Kul minggu 2 smp 4 Besaran Karakteristik Penampang

  Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil Luas Penampang

a. Bidang berbentuk tak beraturan

  Luas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemen diferensial dA dengan A : Luas penampang secara keseluruhan (mm2) dA : Luas elemen diferensial = dx . Dy Example:

1. Tentukan luas daerah B dibawah kurva : y = x

  x = -1 dan x = 2

  ⁴

• + 2 diantara
• – 2x
³

  Answer : 5,1

• 5
• 4
• 5

  10

  51 2 -

  2

  1

  1

  

2

  

16

  32

  2

  

4

  

2

  5

  2 2 - ₂ 1 - ^{4 5 2 1 - 4} x x x

  A dx x x Luas _B

• oleh dibatasi dan 1 persamaan mempunyai

  antara nilai mempunyai yang sumbu x

  Tentukan yang parabola semisegmen berbentuk yang bidang luas 3. _{2 2} b x h x f y

  bh hb b h b hb

b

h x

hx dx h b x A dx h dx b x h y dx dA

  A dA b _b ^{b b}

  3

  2

  3

  3

  3

  3 1 .

  2 ^{3 2 3 2 2 2 2}

b. Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidak

  terdefinisi secara sistematis sederhana

  Luas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidang menjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudian menjumlahkannya.

  Dengan : n = Jumlah elemen yang terbentuk “A

• –i (in
² atau mm ² )

  i

  = Luas elemen ke

  n i i

  A A

  1

c. Penampang Bidang Secara Umum

  Momen Statis Momen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan y

didefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiap

elemendiferensial dA dengan jarak titik berat luasan elemen tersebut

terhadap suatu sumbu yang ditinjau

  Terhadap sumbu x :

  

3

  3 M y.dA (in atau mm ) sx

  Terhadap sumbu y :

  

3

  3 M x.dA (in atau mm ) sy Titik Pusat Berat Benda

  Titik pusat berat suatu penampang dapat dinyatakan sebagai titik tangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atau suatu titik dimana semua berat terpusat pada titik tersebut. Koordinat x dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi dengan luas penampang ₂ M ³ ₁ M M

  Dimana:

  1

  2

  3

  m , m , m = massa pias

  1

  2

  3

  x , x , x = jarak massa terhadap titik pusat O pada sumbu x

  1

  2

  3

  y , y , y = jarak massa terhadap titik pusat O pada sumbu y = jarak titik berat benda

  x dan y

  terhadap sumbu x dan y M =

  Σm Prinsip Besaran Momen M mx x mx x m x m x m x m x m ...

  3

  3

  2

  2

  1

1 Dengan cara yang sama:

  M my y Titik Berat Bidang / Penampang . a y a . x y x

  A A

  Dimana:

  1

  2

  3

  a , a , a = luas penampang pias

  1

  2

  3

  x , x , x = Jarak penampang terhadap sumbu y

  1

  2

  3

  y , y , y = Jarak penampang terhadap sumbu x

  1

  2

3 A = = a + a + a Σa … +

  Contoh: Tentukan titik berat penampang berikut: y ¹ y ² X Y

  Penampang ABCH: a ¹ = 10 x 3 = 30 cm ² x ¹ = 5 cm y ^{1 = 15}

• – 3) x 3 = 36 cm
² x ² = 5 cm y 2 = ½ (15 <
• – 3/2 = 13,5 cm Penampang DEFG: a
2 = (15 <
• – 3) = 6 cm

  5

  5

  36

  5 30 . x x x a x

  41 ,

  9

  6

  36 5 , 13 30 . x x y a y

3. Tampang L

  Bagian Luas Momen Statis terhadap x y I (15x20)=300 300x10=300 300x7,5=2250

  II -(10x15)=-150 -150x12,5=-1875 -150x10=-1500

Jumlah 150 1125 750

  5 750 .

  5 ,

  7 150 1125 . o ^o x a M x A y a A

  M y _sy ^sx Soal:

Tentukan titik berat penampang berikut:

MOMEN INERSIA BIDANG (I)

  2 I a r ₃ . ₂ a a ₁

  2

  2

  2 a

  I a r a r a r . . .

  1

  1

  2

  2

  3

  3 Jika luas bidang yang diarsir:

  1

  1 a = dA

  2

  2 a = dA ₁

  3

  3 a = dA r ₂ Jarak terhadap sumbu y: r

  1

  1 ₃ r = x r

  2

  2 r = x

  3

  3 r = x Maka momen inersia Maka momen inersia terhadap sumbu y: terhadap sumbu x:

  2

2 I dA x

  I dA

  yy

  y

  xx

  Example :

  1

  I

  1 I b.dy dA

  3

  3 . .

  1

  2

  3

  2

  Inersia segiempat terhadap sumbu x melalui titik berat

  3

  1 .

  8

  3

  1

  8

  3 ^{3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2}

  t _t ^{2 1} t b t b t b t b b y dy by x dA y t _t ^{y y x} Momen inersia segiempat terhadap sumbu y melalui titik berat _{x 2 2} I x dA _y dx _{x 1}

  dA d.dx _{1 2b 2} I d . x dx _{y 1 2b 1}

  y _{3 2 b}

  1 . .

  x d ₁ dy

  3 _{3 2 b 3}

  d d

  1

  1

  b b

  3

  2

  2 ₃

  3 ₃

  d

  1 d

  1 . b b

  3 ₃

  8 ₃

  3 ₃

  8

  db db

  2 db

  1 ₃

  d . b

  24

  24

  24

  12 Momen inersia pada penampang berlubang Momen inersia segiempat ABCD terhadap sumbu x:

  3 xx I = 1/12 b d Momen inersia segiempat EFGH terhadap sumbu x :

  3 xx

  1

  1 I = 1/12 b d Momen inersia segiempat berlubang: xx xx (ABCD) xx (EFGH) I = I - I

  3

  3 xx

  1

  1 I = 1/12 b d - 1/12 b d

Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang

terhadap sumbu y : yy yy (ABCD) yy (EFGH) I = I - I

  3

  3 Momen Inersia Penampang Lingkaran dA

  = 2π . r . dr

2π . r = keliling sebuah cincin

r

  = jari-jari cincin dr

  = lebar cincin

  2

  2

  2 r +y

  = x

  R R R R

  2

  2

  2

  2

  2 I r dA x y dA x dA y dA p

   I I x y R

  R

  2

  3 I r ( 2 r ) dr 2 r dr p R

  R

  4 2 r

  1

  1

  

4

  4 r R

  4

  2

  2

  1

  1

  1

  4 I

  I I . R x y p

  2

  2

  2

  1

4 R

  4 Momen Inersia Pada Sistem Koordinat Translasi _{2 2} Ix ' y' dA a y dA _{2 2} y dA 2 a y dA a dA ₂ Ix ' Ix ₂ 2 aMs a . A _{x 2} Iy ' x . dA b x dA _{2 2} x . dA

  2 b x . dA b dA ₂ Iy ' Iy 2 bMs b . A _y a &amp; b = koordinat pusat berat O

  koordinat X, Y bertitik

  terhadap sumbu x’y’

  tangkap pada titik berat

  sumbu // sumbu x x’

  penampang, maka Ms dan x

  sumbu // sumbu y y’

  Ms = 0 y

  Bila:

  x’ = b + x

  2 Ix' Ix a .A

  y’ = a + y

  Momen inersia segitiga terhadap sumbu x

  2 I y dA x a t t

  ' ' ' a a ' . a t t a

  Luas dA a dy t dy '. '. t a

  2

  2 Luas jarak t dy t t '. ' t t a

  2

  1

  3 I t t t dy at '. ' . x t ₂

  12 I ( thd titik berat)

  I Luas jarak 1 _{x x}

  3 at I ( thd dasar penampang) . ₂ x

  12 1 at t ₃

  1 ₃ . at . at

  

Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan tegangan lentur dari penampang pada gambar di bawah. Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakan dalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslah diperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang Menentukan titik berat penampang Luas (A) Jarak titik berat thd. ₃ Keterangan ₂ A x y (mm )

(mm ) alas (y (mm))

  Luas Total 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000 Luas Rongga -(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000 dalam ∑A = 1800

  ∑A..y = 51000

51 A

  dasar dari mm 3 , 28 800 .

  1 000 .

  A.y y Momen inersia terhadap sumbu x

• untuk luas penampang luar

  10 . 69 , 10 . 50 , 4 .

  10 . 69 , 3 ,

  28 . 30 2400 10 .

  4 ^{4 4 4 4 2 4 4 2 2 4 4 3 3 o} 72,69 10 .

  12 60 .

  40 . .

  2

  1

  

mm

A mm y

  I Ix A mm y mm h b

  I

  72

• untuk rongga dalam

  1 mm A mm y

  7,19 10 . 72,69 10 . berlubang penampang untuk

  4 65,50 10 .

  4

  4

  

4

  I

  I Ix A mm y mm h b

  2

  4 ^{4 4 4 4 2 4 4 2 2 4 4 3 3 o} 7,19 10 .

  20 . .

  

12

30 .

  4

  50 . 50 ,

  2 3 , 28 . 35 600

  10 . 69 ,

  2 10 . 50 , 4 .

  10 . 69 ,

  I mm

  Dari gambar terlihat bahwa r

  2 = x

  2

• y

  2 Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb : dA y dA x Ip dA y x dA r _{2 2} ^{2 2 2} Ip = Ix + Iy

  MOMEN INERSIA POLAR :

  Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbu x dan y ₂ Ix Ixc A a ₂ Iy Iyc A b

  Berhubung : Ip Ix Iy maka :

  2

2 Ip Ixc Iyc A a A b

  2

2 Ixc Iyc A a b

  Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yang ditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang. xy Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang) I

  

Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yang

ditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, atau

bernilai 0 tergantung pada letak sumbu x’y’ terhadap penampang tersebut.

  I xy dA xy A

  Sehingga, untuk koordinat translasi: Ix y Ixy a b A ' ' . .

  Produk inersia bernilai o, apabila salah satu sumbunya merupakan sumbu simetris penampang Jari-jari Inersia (Radius Girasi)

  Jari-jari inersia terhadap sumbu x : Jari-jari inersia terhadap sumbu y:

  ) (cm A

  I r ^x _x ) (cm

  A

  I r y y

  I x dan I y berturut-turut sama dengan momen inersia terhadap sumbu

  x

  dan sumbu

  y , dan A sama dengan luas bidang. Suatu penampang pada gambar. Tentukan :

  1. Momen inersia terhadap sumbu dan sumbu dari penampang

  x y

  2. (produk inersia)

  Ixy

  

Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, maka

Ixy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama.

  Penampang dibagi atas 8 bagian. Titik Berat Penampang ₂ Jarak terhadap Momen statis: Bagian Luas A (cm ) Letak sumbu sumbu x A.Y I 150 x 150 = 2250 7,5 16875

  Ay y A

  II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000 575293 y

  III 15 x 25 = 375 165 57187,5 –12,5 = 152,5 8125 y

  70 ,

  81 IV 375 152,5 57187,5

  V ½ (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5

  VI 112,5 135 57187,5

  VII ½ (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334

  VIII 200 21,67 4334 Total 8125 Total 575293

  26.1 03 990

  96 Ix . , Iy 5 . 23 9.536,86 Ixy sumbu x dan sumbu y membagi penampang sama besar, sehingga sumbu x dan sumbu y disebut sumbu simetri. Jika suatu penampang mempunyai sumbu simetri, maka sumbu tersebut dan sumbu lainnya yang tegak lurus sumbu tersebut disebut sumbu utama.

  Produk inersia suatu penampang sama dengan nol jika sedikitnya satu sumbu merupakan sumbu simetri. Sehingga dapat disimpulkan bahwa produk inersia sama dengan nol dan sumbu utama (

  Ix’y’=0) Perhatikan gambar !!!

  sumbu X dan Y bukan sumbu utama sehingga

  Ixy ≠ 0. Untuk

  menentukan sumbu utama, X dan sumbu Y dirotasikan sebesar ø sehingga menjadi sumbu

  X’ dan Y’  tidak semua sumbu utama menjadi sumbu simetri. Menentukan momen inersia utama Ix’ dan Iy’ serta sudut putar ø

  Ordinat titik berat elemen A terhadap sumbu X’ dan Y’ adalah (x’;y’)

  AC y ' ; AF x ' AC AD CD AD AB sin ø AC y cos ø x sin ø y’ = y cos ø – x sin ø

  AF OC OE EC OE OB cos ø x cos ø EC BD AB sin ø y sin ø

  AF x cos ø y sin ø x’ = x cos ø – y sin ø Syarat sumbu utama : ø Iy Ix ø Ixy Ix y

  2 sin

  2

  1 cos2 o ' o '

  Ix Iy Ixy ø tg

  2

  2 ø tg ø

  ø tg ø tg ø

  2

  1

  1 2 cos

  2

  1

  2 2 sin

  2

  2

  2 ₂

  1

  1 Iy ' Ix Iy Iy Ix

  I xy

  2

  2 _{2 2}

  1

  1 Ix ' Ix Iy Iy Ix

  I xy

  2

2 Ix

  

' y ' o

Sumbu x’ dan y’ adalah sumbu yang saling tegak lurus dimana

momen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maximum

dan minimum.

  2

  2

  1

  1 I Ix Iy Ix Iy I xy

  max

  2

  2

  2

  2

  1

  1 I Ix Iy Ix Iy I xy

  min

  2

  2

  

Suatu penampang seperti pada gambar

Tentukan :

  

1. Letak titik berat penampang tersebut

  2. I &amp; I max min

  3. Letak sumbu utama Menentukan titik berat penampang

  4 _min ^{4 2 2 2 2 max} 1 ,

  67

  Iy Ix Iy Ix

  I cm Ixy

  Ixy ø arctg cm

  2 ø arctg Ix Iy

  2

  2 187,73 486,933 2 187,73 486,933

  2 ,

  12 486 933 , 187 73 , 2 ,

  1 337,332 164 173 332 , 501,332 164 337,332

  2

  2

  1

  2

  2

  67

  I