2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup Penjumlahan
Bilangan Bilangan Asli ( Bilangan Nol Bilangan Negatif
ℕ) (1,2,3, ⋯ )
(0) (⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Bulat ( Bilangan Pecahan
ℤ )
1
5 ( 2 ; 3 7 ; 5%; 6,82; ⋯ )
A. Operasi Aritmatika 1) Penjumlahan
Definisi
Penjumlahan adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Contoh: 2 + 3 = 5
2) Pengurangan Definisi
Pengurangan adalah menambahkan dengan lawan dari bilangan itu. Untuk setiap bilangan dan berlaku − = + (− ). Contoh: 2 − 3 = 2 + (−3) = −1
3) Perkalian Definisi
Perkalian adalah penjumlahan berulang. Maksudnya adalah 3 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau ditulis 3 5 = 5 + 5 + 5. Untuk setiap bilangan dan berlaku ⋅ = . Contoh: 2 ⋅ 3 = 6
4) Pembagian Definisi
Pembagian adalah ada sekumpulan benda sebanyak dibagi rata (sama banyak) dalam kelompok. Untuk setiap
Jika = maka = ⋅
1
2
1
bilangan . Contoh: dan berlaku = ⋅ = 2 ⋅
3
3 5) Perpangkatan
Definisi
Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak . = × × × ⋯ × , Dimana , ∈ ℝ .
3 Contoh:
2 = 2 ⋅ 2 ×⋅2
6) Akar
Definisi
1 Akar merupakan kebalikan dari pangkat. ,
= , ∈ ℝ . Contoh: √
1
3
3
1
3
= √2 = 2 √2
B. Bilangan Bulat 1) Pengertian Bilangan Bulat
Definisi
Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli atau bilangan bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Contoh: {⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, ⋯ }.
2) Sifat-sifat Bilangan Bulat
a) Tertutup Penjumlahan Jika setiap , ∈ ℤ maka + ∈ ℤ.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 ∈ ℤ atau 5 ∈ ℤ.
Perkalian Jika setiap , ∈ ℤ maka ⋅ ∈ ℤ.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 ∈ ℤ atau 6 ∈ ℤ.
b) Komutatif (Pertukaran) Penjumlahan (A1) Jika setiap , ∈ ℤ maka + = + .
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 = 3 + 2.
Perkalian (M1) Jika setiap , ∈ ℤ maka ⋅ = ⋅ .
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2.
c) Asosiatif (Pengelompokkan) Penjumlahan (A2) Jika setiap , , ∈ ℤ maka ( + ) + = + ( + ).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) atau 5 + 4 = 2 + 7.
Perkalian (M2) Jika setiap , , ∈ ℤ maka ( ⋅ ) ⋅ = ⋅ ( ⋅ ).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) atau 6 ⋅ 4 = 2 ⋅ 12.
d) Identitas Penjumlahan (A3) Jika setiap ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka + 0 = atau 0 + = .
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 2 + 0 = 2 atau 0 + 2 = 2.
Perkalian (M3) Jika setiap ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka ⋅ 1 = 1 ⋅ = .
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 2 ⋅ 1 = 2 atau 1 ⋅ 2 = 2.
e) Invers Penjumlahan (A4) Jika setiap ∈ ℤ dan ada − ∈ ℤ maka + (− ) = 0 atau (− ) + = 0.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada − 2 ∈ ℤ maka 2 + (−2) = 0 atau (−2) + 2 = 0.
Perkalian (M4)
Jika setiap ∈ ℤ dan ada
e) Distributif (Penyebaran) Distributif Kiri (D1) Jika setiap , , ∈ ℤ maka ⋅ ( + ) = ( ⋅ ) + ( ⋅ ).
3
2
= 12 3 = 1 × 3 4 = 1 × 2
2
5 = 1 × 5 Jadi,
(3, 4) = 1 × 3 × 2
2
× 5 = 60
E. Perpangkatan Bilangan Bulat Definisi
Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak . 1)
= × × × ⋯ × , Dimana , ∈ . Contoh:
2
= 2 ⋅ 2 ×⋅ 2 = 8 2)
2 Jadi,
−
=
2
−3
=
1
2
3
=
1
8
(3, 4) = 1 × 3 × 2
4 = 1 × 2
1
2 ⋅ 2 = 1.
∈ ℤ maka ⋅
1
= 1 atau
1 ⋅ = 1.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada
1
2
∈ ℤ maka 2 ⋅
1
2
= 1 atau
1
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka 2 ⋅ (3 + 4) = (2 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4) atau 2 ⋅ 7 = 6 + 8. Jika setiap , , ∈ ℤ maka ( + ) ⋅ = ( ⋅ ) + ( ⋅ ). Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka (2 + 3) ⋅ 4 = (2 ⋅ 4) + (3 ⋅ 4) atau 5 ⋅ 4 = 8 + 12.
Contoh: 3 = 1 × 3
C. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Teorema
Yang akan dicari FPB-nya, sama dengan pangkat terkecil dari hasil kali dari faktor- faktor prima yang ada . Contoh: 21 = 1 × 3 × 7 45 = 1 × 3
2
× 5 Jadi,
(21, 45) = 1 × 3 = 3 21 = 1 × 3 × 7 45 = 1 × 3
2
× 5 60 = 1 × 2
2
× 3 × 5 Jadi,
(21, 45, 60) = 1 × 3 = 3
D. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Teorema
Yang akan dicari KPK-nya, sama dengan pangkat terbesar dari hasil kali dari faktor-faktor prima yang ada.
1 Contoh:
- Contoh:
atau 4 ⋅ 8 = 32 5)
= 2
3−2
= 2
2
3
2
Contoh:
−
=
5
atau 8 ⋅ 4 = 2
= 2
3+2
= 2
2
⋅ 2
3
2
⋅ =
Contoh: 2 = 1 4)
3) = 1
1
F. Pola Bilangan Bulat
Definisi
2
5
= 25 = 5
2
⋮ =
2 4) Pola Persegi Panjang
1
= 2 = 1 ⋅ 2 = 1 ⋅ (1 + 1) = 1
2
= 16 = 4
= 6 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ (2 + 1) = 2
2
3
= 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ (3 + 1) = 3
2
4
= 20 = 4 ⋅ 5 = 4 ⋅ (4 + 1) = 4
2
2
4
Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu.
= 5 = 4 + 1 ⋮ = + 1
1) Pola Garis Lurus
1
= 2 = 1 + 1
2
= 3 = 2 + 1
3
4
2) Pola Segitiga Pola bilangan yang membentuk segitiga. 3) Pola Persegi
2
1
= 1 = 1
2
2
= 4 = 2
2
3
= 9 = 3
= 4 = 3 + 1
- 1
- 2
- 3
- 4
⋮
2
+ =
5) Pola Bilangan Genap
= 2 = 2(1)
1
= 4 = 2(2)
2
= 6 = 2(3)
3
= 8 = 2(4)
4
⋮
= 2
6) Pola Bilangan Ganjil
= 1 = 2(1) − 1
1
= 3 = 2(2) − 1
2
= 5 = 2(3) − 1
3
= 7 = 2(4) − 1
4
⋮ = 2 − 1
7) Pola Segitiga Pascal
1−1
= 1 = 2 = 2
1 1 2−1
= 2 = 2 = 2
2 2 3−1
= 4 = 2 = 2
3 3 4−1
= 8 = 2 = 2
4
⋮
−1
= 2
G. Bilangan Pecahan 1) Pengertian Bilangan Pecahan
Definisi
Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk Contoh: ; dimana = pembilang dan b = penyebut serta ,b ∈ ℤ dan b ≠ 0.
1
3
9 , , , dll.
2
4
17
2) Macam-macam Bilangan Pecahan
a) Pecahan Biasa
Pecahan Biasa adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk
1
3
9
; ,b ∈ ℤ dan b ≠ 0. Contoh: , , , dll.2
4
17
b) Pecahan Campuran
Pecahan Campuran adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam
1
3
9
bentuk c ; ,b,c ∈ ℤ dan b ≠ 0. Contoh: 1 , 4 , 7 , .
2
4
17
c) Pecahan Desimal
Pecahan Desimal adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk , ; ,b ∈ ℤ. Contoh:1,5; 4,7; 9,3; dll.
d) Persen
Persen adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk %; ∈ ℤ. Contoh: 1%, 9%, 50%, dll.
3) Sifat-sifat Bilangan Pecahan
a) = , dimana , , , ∈ ℤ, serta ≠ 0 dan ≠ 0
(2⋅5)+(3⋅4)
2
4 Contoh:
= +
3 5 3⋅5 −
b) − = , dimana , , , ∈ ℤ, serta ≠ 0 dan ≠ 0
(2⋅5)−(3⋅4)
2
4 Contoh:
− =
3 5 3⋅5
c) ⋅ = , dimana , , ∈ ℤ, serta ≠ 0
3 2⋅3
Contoh: 2 ⋅ =
4
4
d) ⋅ = , dimana , , , ∈ ℤ, serta ≠ 0 dan ≠ 0
2 4 2⋅4
Contoh: ⋅ =
3 5 3⋅5
e) ∶ = ⋅ = , dimana , , , ∈ ℤ, serta ≠ 0, ≠ 0 dan ≠ 0
2
4
2 5 2⋅5
Contoh: ∶ = ⋅ =
3
5
3 4 3⋅4
f) Setiap Pecahan dikalikan dengan kebalikannya adalah 1.
2
3 Contoh:
× = 1
3
2
g) Setiap Pecahan dibagi dengan 1 hasilnya adalah Pecahan itu sendiri.
2
2
2
3 Contoh:
= 2 ; =
1
1
3
h) Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah Pecahan, maka hasilnya adalah kebalikan Pecahan itu.
1
3
3 Contoh: 2 = 1 × =
2
2
3 l) Setiap Pecahan memiliki invers (kebalikan).
2
3 Contoh:
× = 1
3
2 m) Setiap 1 dapat dibentuk bilangan Pecahan berangka sama.
2
3
4 Contoh:
1 = = = =
2
3
4