PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN ( Linear Shooting Method ) Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  

PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI BATAS

MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN

( Linear Shooting Method )

Skripsi

  

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematik

  a

  

Disusun Oleh :

Yuli Purwandari

NIM : 013114009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

  

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

  NUMERICAL SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM USING LINEAR SHOOTING METHOD THESIS Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics By : Yuli Purwandari Student Number : 013114009 MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY

HALAMAN PERSEMBAHAN

  

“ Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, maka apabila telah selesai

(dari suatu urusan) maka kerjakanlah dengan sungguh – sungguh (urusan yang

lain)

( QS. Alam Nasyrah 6-7)

  

Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan hidayah-Nya skripsi ini kupersembahkan kepada : ™

  Bapak dan Ibu yang kuhormati yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan moril maupun materiil ™

  Mas Novi, Suamiku tercinta,yang selalu sabar memberi dukungan ™ Calon anakku tersayang.

  

ABSTRAK

  Masalah menyelesaikan suatu Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua, yaitu masalah nilai awal dan masalah nilai batas. Dalam masalah nilai awal, penyelesaian khusus persamaan diferensial diperoleh dari satu titik awal dan pada masalah nilai batas, penyelesaian khusus persamaan diferensial diperoleh dari dua nilai yang berbeda atau dari dua titik.

  Dalam skripsi ini akan dipaparkan penyelesaian dari masalah nilai batas secara numerik dengan metode tembakan. Metode tembakan mereduksi masalah nilai batas menjadi dua masalah nilai awal. Selanjutnya kedua masalah nilai awal tersebut akan diselesaiakan dengan Metode Runge-Kutta. Penyelesaian dari dua masalah nilai awal tersebut akan ditambahkan sehingga diperoleh penyelesaian masalah nilai batas.

  Metode tembakan sangat sederhana dan mudah untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah nilai batas. Masalah nilai batas yang direduksi menjadi dua masalah nilai awal akan mudah diselesaikan satu per satu.

  

ABSTRACT

  The problem to solve a differential equation can be divided into two different problems, which are initial value problem and boundary value problem. The special solution of a differential equation in initial value problem is given by one point and in boundary value problem given by two different values or from two points.

  This thesis discusses the solution of boundary value problem using shooting method. Linear shooting method reduce the boundary value problem into two initial value problems, then the fourth order Runge-Kutta used to solved the two initial value problems. The both solutions will be added to find the solution of boundary value problem.

  Shooting method is very simple and easy to solve boundary value problem. Boundary value problem that reduce into two initial value problems will be easy to solve one by one.

KATA PENGANTAR

  Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan Karunia-Nya penulisan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini berjudul “PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI

  

BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN”, yang disusun untuk

  memenuhi persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Darma Yogyakarta. Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan bimbingan berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada :

  1. Allah SWT yang selalu menyertai hidupku dan Al Qur’an yang menjadi pedoman hidupku.

  2. Bapak Y.G Hartono, S.Si, M.Sc dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingannya dengan penuh kesabaran kepada penyusun untuk menyelesaikan skipsi ini.

  3. Bapak Herry Pribawanto, S.Si, M.Sc. sebagai dosen penguji

  4. Bapak St. Eko Hari Parmadi, S.Si, M.Kom. sebagai dosen penguji

  5. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD

  6. Segenap dosen dan karyawan sekretariat FST yang telah mendidik dan menyediakan fasilitas yang sangat bermanfaat bagi penulis.

  7. Ayah, Ibu dan adikku yang senantiasa memberikan semangat dan doa serta segala bantuan yang telah diberikan sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi ini.

  8. Mas Novi yang telah mendukung setiap saat, menemaniku dan mendengarkan keluh kesahku serta cinta yang begitu besar yang kau berikan.

  9. Teman-teman seperjuangan angkatan 2001, Rita, Fanya, Daniel, Teddy, Indah, Erika, Ray, Alam, Maria, Deta, Very, Ajeng dan yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, terima kasih atas bantuan dan kerjasamanya.

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL .................................................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.......................... iii HALAMAN PENGESAHAN .................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................. v HALAMAN HAK CIPTA .......................................................... vi ABSTRAK .................................................................................. vii ABSTRACT ................................................................................ viii KATA PENGANTAR ................................................................ ix PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................... xi DAFTAR ISI ............................................................................... xii DAFTAR GAMBAR .................................................................. xiv

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ...............................................

  1 B. Rumusan Masalah ........................................................

  3 C. Pembatasan Masalah .....................................................

  3 D. Tujuan Penulisan ........................................................... 3

  E. Manfaat Penulisan .......................................................... 3

  F. Metode Penulisan ........................................................... 4

  G. Sistematika Penulisan ..................................................... 4

  BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Pengantar Persamaan Diferensial ....................................

  6

  1. Klasifikasi Persamaan Diferensial .............................. 10 2. Penyelesaian Persamaan Diferensial ...........................

  11 B. Persamaan Diferensial Orde Dua ......................................

  12

  1. Penyelesaian Fundamental Persamaan Diferensial Linear Homogen ........................................................................

  13 2. Bebas Linear dan Wronskian ........................................

  19

  C. Reduksi Order ......................................................................

  29 D. Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Orde-2 ............

  31 BAB III METODE RUNGE-KUTTA A. Metode Simpson .................................................................

  37 B. Metode Runge-Kutta Orde Empat .......................................

  39 C. Analisis Galat .......................................................................

  51 BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN

  A. Metode Tembakan Linear .................................................... 52 B. Penerapan dengan Program Matlab .....................................

  59 BAB V PENUTUP A. Kesimpulan .......................................................................

  65 B. Saran .................................................................................

  66 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 67 LAMPIRAN ........................................................................................ 68

  DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 2.1 .................................................................................

  33 Gambar 2.2 .................................................................................

  33 Gambar 3.1 ...............................................................................

  37 Gambar 3.2 ...............................................................................

  38 Gambar 3.3 .................................................................................

  45 Gambar 3.4 ................................................................................

  46 Gambar 4.1 .................................................................................

  60 Gambar 4.2 .................................................................................

  62 Gambar 4.3 .................................................................................

  64

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Persamaan diferensial diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz (1646 –

  1716). Definisi dari persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang memuat satu variabel bebas x dan satu fungsi yang tidak diketahui y dan satu atau lebih derivatif dari fungsi yang tidak diketahui tersebut.

  Selanjutnya persamaan diferensial dapat diklasifikasikan sesuai dengan tingkatan atau orde, yakni tingkat tertinggi dari derivatif yang muncul dalam Persamaan Diferensial tersebut.

  Persamaan diferensial mempunyai dua macam penyelesaian, yakni penyelesaian umum dan penyelesaian khusus. Penyelesaian umum adalah penyelesaian yang masih memuat konstanta dan penyelesaian khusus adalah penyelesaian yang tidak lagi memuat konstanta. Untuk menentukan penyelesaian khusus digunakan syarat – syarat bantu, yaitu syarat awal dan syarat batas. Persamaan diferensial dengan syarat awal disebut masalah nilai awal dan persamaan diferensial dengan syarat batas disebut masalah nilai batas. Perbedaan masalah nilai awal dan masalah nilai batas adalah masalah nilai awal merupakan persamaan diferensial yang penyelesaian khususnya diperoleh dari satu titik sedangkan masalah nilai batas adalah persamaan diferensial yang penyelesaian khususnya diperoleh pada dua nilai yang berbeda atau dari dua titik, titik – titik tersebut membatasi satu interval. Masalah Nilai Batas dapat tidak mempunyai penyelesaian atau jika ada penyelesaiannya tidak tunggal. Masalah Nilai Batas bila mempunyai penyelesaian tunggal sulit untuk diselesaikan, karena tidak ada teori sederhana untuk menjamin penyelesaian tunggal pada Masalah Nilai Batas.

  Untuk memperoleh penyelesaian Masalah Nilai Batas yang tidak tunggal adalah dengan pendekatan secara numerik. Prosedur numerik yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah Metode Tembakan (Linear Shooting

  

Methods ). Metode Tembakan adalah metode numerik yang digunakan untuk

  menghitung nilai yang dihasilkan dari penyelesaian khusus. Dengan menggunakan pendekatan secara numerik dengan Metode Tembakan, maka penyelesaian yang diperolah tidak hanya penyelesaian tunggal, tetapi akan menghasilkan beberapa nilai Penyelesaian.

  Prosedur dari metode tembakan yaitu dengan memperkirakan nilai awal untuk turunan fungsi di titik awal dan menghasilkan suatu penyelesaian, kemudian menyesuaikan penyelesaian tersebut sehingga sesuai untuk nilai fungsi di titik batas.

  Salah satu cara untuk menyelesaikan Masalah Nilai Batas dengan Metode Tembakan adalah dengan mereduksi persamaan menjadi dua Masalah Nilai Awal dan membentuk kombinasi linear dari penyelesaian tersebut sehingga diperolah penyelesaian Masalah Nilai Batas. Dalam metode ini juga akan digunakan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta adalah metode perhitungan yang praktis karena tidak memerlukan penghitungan turunan dari fungsi, tetapi hanya memerlukan fungsi itu sendiri.

B. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dituliskan dengan beberapa pertanyaan sebagai berikut

  1. Bagaimana untuk memperoleh penyelesaian Masalah Nilai Batas dengan Metode Tembakan ?

  2. Bagaimana aplikasinya dengan menggunakan MATLAB ?

  C. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini hanya akan dibahas tentang Persamaan Diferensial Biasa Linear Orde-2 dengan Masalah Nilai Batas. Sedangkan Persamaan Diferensial Linear Orde-n tidak akan dibahas.

  D. Tujuan Penulisan

  Penulisan ini bertujuan untuk memperdalam pengetahuan tentang Persamaan Diferensial Linear Orde-2 serta metode penyelesaiannya.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat mengetahui dan memahami Persamaan Diferensial Linear Orde-2 metode penyelesaiannya secara numerik.

  F. Metode Penulisan

  Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku- buku acuan yang telah tersedia. Jadi dalam skripsi ini tidak ada penemuan baru.

  G. Sistematika Penulisan

BAB I Pendahuluan A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II Persamaan Diferensial Biasa A. Pengantar Persamaan Diferensial B. Persamaan Diferensial Orde Dua D. Reduksi Order C. Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Orde-2 BAB III Metode Runge-Kutta Orde Empat BAB IV Penyelesaian Masalah Nilai Batas Dengan Metode Tembakan

BAB V Penutup A. Kesimpulan B. Saran

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Pengantar Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif – derivatif atau turunan dari satu fungsi. Contoh : a.

  ^x

  = b.

  e dx dy ₂

• =
² c.

  ( ) dx x y dy

• 4 " + = x y y

  ( ) ^{3 2}

  1. Klasifikasi Persamaan Diferensial Persamaan diferensial dikelompokkan dalam beberapa cara. Jika fungsi yang tidak diketahui hanya bergantung pada satu variabel bebas, persamaan tersebut disebut Persamaan Diferensial Biasa. Contoh Persamaan diferensial biasa : a.

• dx x y dy =
² b.

  ( )

• = +

  ( ) ^{3 2}

  1 4 "

  x y y

  c. dx xdx dy x

  25

  3 ² + + Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial biasa dengan y mewakili fungsi yang belum diketahui atau variabel tak bebas (dependent

  1 Jika fungsi yang tidak diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial parsial. Contoh Persamaan diferensial parsial :

  ∂ u ∂ u

• a.

  = ∂ x ∂ y _{2 2}

  ∂ u ∂ u

  b. t x ₂ + = + ₂ ∂ t ∂ x

  Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial, dengan u mewakili satu fungsi yang belum diketahui atau variabel tak bebas dan y, x, t mewakili variabel – variabel bebas

  Selanjutnya persamaan diferensial diklasifikasikan berdasarkan orde derivatif tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial tersebut atau sering disebut sebagai orde atau derajat.

  Definisi 2.1.2

  Orde dari persamaan diferensial adalah derajat / orde tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial.

  Klasifikasi persamaan diferensial menurut orde atau derajatnya : 1) Persamaan Diferensial Orde-1

  Bentuk umum persamaan diferensial Orde-1

  F x , y , y '

  =

  ( ) Contoh :

  a. dx =

  t dt ₂

  b. x ' ( t ) = t −

  1 2) Persamaan Diferensial Orde-2

  Bentuk umum dari persamaan diferensial Orde-2

  F x , y , y ' , y " = ( )

  Contoh : ₂

  d x

  a. t ₂ = −

  dt _{2 3} d x dx

  ⎛ ⎞

• b. −

  4 x = ₂ ⎜ ⎟ dt dt

  ⎝ ⎠

  3) Persamaan Diferensial Orde ke-n Bentuk umum persamaan diferensial Orde ke-n _{( n )}

  F x , y , y ' ,......, y = ( )

  Definisi 2.1.3 :

  Persamaan diferensial orde ke-n disebut linear dalam y jika persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : _{n ( n − 1 )}

  K a ( x ) y a ( x ) y a ( x ) y ' a ( x ) y = f ( x ) _{n n − 1}

₁

+ + + +

  dimana a , a , K , a dan f adalah fungsi kontinu dalam interval x dan _{1 n} a ( x ) ≠ dalam interval tersebut. Fungsi a (x ) disebut koefisien fungsi. _{n k}

  Definisi di atas menyebutkan bahwa persamaan diferensial biasa linear jika kondisi berikut dipenuhi : a. Fungsi yang belum diketahui dan derivatif – derivatifnya secara aljabar berderajat satu.

  b. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan derivatif – derivatifnya atau dua atau lebih derivatif.

  y

  c. Tidak ada fungsi transendental dari y, y’, y”, misalnya e , cos y’ dan seterusnya.

  Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear.

  Contoh 2.1.1 :

  a. Persamaan berikut ini adalah linear :

  3 y ' _x 3 y = x ³

• y " −

  xy " ye

• 5 =

  Perhatikan bahwa pergantian variabel bebas dalam persamaan diferensial tidak mempengaruhi klasifikasi linear.

  b. Persamaan Diferensial Biasa Orde-1 :

  3

  (y’) + 2y = x nonlinear karena derivatif pertama dari fungsi yang belum diketahui berderajat tiga.

  c. Persamaan Diferensial Orde-2 :

  y” + 5y = cos y

  nonlinear karena cos y adalah fungsi transendental dari fungsi yang belum

  2. Penyelesaian Persamaan Diferensial

  Definisi 2.1.4 :

  Suatu keluarga berparameter-n dari penyelesaian persamaan diferensial orde-n disebut penyelesaian umum dari persamaan diferensial jika semua penyelesaian Persamaan Diferensial dapat diperoleh dari keluarga berparameter-n.

  Definisi 2.1.5 :

  Suatu penyelesaian persamaan diferensial orde-n yang diperoleh dari penyelesaian umum dengan menentukan nilai n parameter disebut penyelesaian khusus.

  Contoh 2.1.2 :

  a. Penyelesaian umum dari y” + 9y = 0 adalah keluarga berparameter- dua

  y = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x

  Suatu penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan mengambil dua nilai parameter, misal c = 2 dan c = 1, diperoleh penyelesaian :

  1

  2 y = 2 cos 3x + sin 2x

  − ^{2 x x} +

  b. Diketahui y c e c e adalah penyelesaian umum dari = _{1 2} persamaan diferensial orde-dua y” – y’ – 2y = 0, carilah penyelesaian khusus yang memenuhi y(0) = 2 dan y’(0) = -1.

  Penyelesaian :

• c
• 1 = 2c

  5 ;

  1) Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui berhubungan dengan sebuah nilai x, syarat itu disebut syarat awal.

  Definisi 2.1.6 :

  kemudian menyelesaikan n konstanta sembarang. Ada dua metode menetapkan Syarat – syarat bantu.

  

n persamaan pada fungsi penyelesaian dan derivatif – derivatifnya dan

  □ Penyelesaian umum persamaan diferensial orde-n memuat n konstanta sembarang untuk menentukan penyelesaian khusus ditentukan

  1 ₂

  3

  5

  3

  −

  1 _{2 1}

= = c c , sehingga penyelesaian khusus menjadi :

_{x x} e e y

  3

  3

  1 dan c 2 diperoleh

  dengan menyelesaikan persamaan untuk c

  2

  1 – c

  2

  1

  2= c

  1 dan c 2 , dengan mensubstitusikan x = 0, y = 2 dan x = 0, y’ = -1 ke persamaan yang sesuai, diperoleh :

  2 untuk menghitung c

  − = ₂ ² ₁

  e c e c y −

  Diberikan nilai x = 0 untuk y dan y’, untuk menentukan y’, penyelesaian yang diketahui diturunkan terhadap x, diperoleh : _{x x}

• =

  Persamaan diferensial dengan syarat awalnya disebut Masalah Nilai Awal ( M N A ).

  2) Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui berhubungan dengan dua atau lebih nilai x, syarat itu disebut syarat batas atau nilai batas. Persamaan diferensial dengan syarat batasnya disebut Masalah Nilai Batas ( M N B ).

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎝ ⎛

  , y x f ) ( ) ( ) ( , − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  y t q dx dy t p t g dx dy

  , , ₂ ² ( 2.2.1 ) dengan f adalah fungsi yang diketahui. Biasanya variabel bebas dinotasikan dengan t, karena dalam masalah – masalah fisika waktu dilambangkan dengan t yang merupakan variabel bebas, tapi seringkali variabel bebas juga dinotasikan dengan x dan variabel tak bebas dilambangkan dengan y. persamaan ( 2.2.1 ) dikatakan linear jika fungsi f mempunyai bentuk

  dx dy y x f dx y d

  =

  Persamaan diferensial orde-2 mempunyai Bentuk umum : ⎟ ⎠ ⎞

  Contoh 2.1.3 :

   Persamaan Diferensial Orde Dua

  □ B.

  , y(0) = 2, y(1) = -1 adalah masalah nilai batas Orde-2.

  3

  c. y”- y’ + y = x

  b. y” + 2y = 0 , y(1) = 2, y’(1) = 3 adalah masalah nilai awal

  a. y’ + y = 3 , y(0) = 1 adalah masalah nilai awal

  ( 2.2.2 ) jika f linear dalam y dan y’. g, p, q adalah fungsi dari variabel bebas x tapi tidak bergantung pada y, maka persamaan ditulis : atau

  P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y = G(x) (

  2.2.4 ) Jika ≠ , maka persamaan (2.2.4 ) dapat dibagi dengan P(x)

  P ( x ) Q ( x ) R ( x ) G ( x )

• y " y ' y = (

  2.2.5 )

  P x ( ) P ( x ) P ( x )

  Persamaan ( 2.2.1 ) disebut non linear jika tidak dalam bentuk (2.2.3 ) atau (2.2.4 ). Persamaan diferensial orde-2 disebut homogen jika pada persamaan (2.2.3), g(x) = 0 untuk semua x dan disebut nonhomogen

  ≠ jika g ( x ) .

  1. Penyelesaian Fundamental Persamaan Diferensial Linear Homogen

  Contoh 2.2.1 :

  Carilah penyelesaian tunggal dari masalah nilai awal

  y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 ; y(x ) = 0 ; y’(x ) = 0 ( 2.2.7 )

  dengan p dan q kontinu pada interval terbuka I dan x pada interval tersebut fungsi maka y = Φ(x) = 0 untuk semua x di I, memenuhi

  Persamaan Diferensial dengan ketunggalan dari Teorema 2.2.1 maka y

  = Φ(x) merupakan penyelesaian tunggal persamaan diferensial.

  □

  Teorema 2.2.1

  Jika y

  1 dan y 2 adalah penyelesaian persamaan diferensial y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

  maka y = c

  1 y 1 + c 2 y 2 ( 2.2.8) juga merupakan penyelesaian persamaan diferensial diatas untuk sebarang konstanta c

  1 dan c 2 .

  Bukti :

  Diketahui y

  1 dan y 2 adalah penyelesaian persamaan diferensial orde-2,

  maka :

  y 1 ” + p(x)y 1 ’ + q(x)y

1 = 0 ( karena y

1 penyelesaian ) y 2 ” + p(x)y 2 ’ + q(x)y

2 = 0 ( karena y

2 penyelesaian )

  Akan dibuktikan c y + c y juga penyelesaian

  1

  1

  2

  2

  (c

  1 y 1 + c 2 y 2 )” + p(x) (c 1 y 1 + c 2 y 2 )’ + q(x) (c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = 0 c 1 y 1 ” + c 2 y 2 ” + c 1 p(x)y 1 ’ + c 2 p(x)y 2 ’ + c 1 q(x)y 1 + c 2 q(x)y 2 = 0 c

  1 (y” + p(x)y 1 ’ + q(x)y 1 ) + c 2 (y 2 ” + p(x)y 2 ’ + q(x)y 2 ) = 0

  c

  1 . 0 + c 2 . 0 = 0

  Jadi terbukti c y + c y juga penyelesaian dari persamaan diferensial

  1

  1

  2

  2 orde-2.

  ■

  Contoh 2.2.2

  Selesaikanlah persamaan y” – y = ( 2.2.9) Penyelesaian : Persamaan (2.2.9) menunjukkan bahwa akan dicari suatu fungsi yang turunan kedua dari fungsi tersebut sama dengan fungsi itu sendiri atau

  y” = y. Suatu fungsi yang sesuai dengan persamaan tersebut misalnya x -x

  fungsi eksponensial y

  1 (x) = e dan y 2 (x) = e , karena: x x y ’(x) = e sehingga y ”(x) = e = y

  1

  1

• x -x

  dan y

  2 ’(x) = e sehingga y

2 ”(x) = e = y Jadi kedua fungsi tersebut merupakan penyelesaian.

  □

  Contoh 2.2.3 x -x

  Buktikan apakah fungsi 2e dan 5e juga penyelesaian persamaan pada contoh 2.2.2 ! Penyelesaian :

  x x y 1 ’(x) = 2e sehingga y 1 ”(x) = 2e = y

• -x -x

  dan y

  2 ’(x) = 5e sehingga y 2 ”(x) = 5e = y x -x

  dengan cara yang sama fungsi c y (x) = c e dan c y (x) =c e juga

  1

  

1

  1

  2

  2

  2

  memenuhi persamaan (2.2.9) untuk semua nilai konstanta c

  1 dan c 2 ,

  kemudian penjumlahan dari penyelesaian – penyelesaian tersebut juga

  x -x

  merupakan penyelesaian. Misalkan dengan fungsi 2e dan 5e jika dijumlahkan meka juga merupakan penyelesaian, karena :

  x -x y = 2e - 5e x -x y’ = 2e + 5e x -x y” = 2e - 5e = y

  Selanjutnya karena c

  1 y 1 (x) dan c 2 y 2 (x) adalah penyelesaian, maka

  demikian juga dengan fungsi

  x -x y = c y (x) + c y (x) = c e + c e (2.2.10)

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  untuk semua nilai c

  1 dan c 2 . Dengan mencari y” diperoleh : x -x

  y = c e + c e

  1

  2 x -x y = c 1 e + c 2 e = y x -x

  Jadi dapat dilihat bahwa fungsi y

  1 (x) = e dan y 2 (x) = e adalah

  penyelesaian dari persamaan (2.2.9) demikian juga kombinasi linear dari persamaan (2.2.10).

  □ Koefisien c

  1 dan c 2 pada persamaan (2.2.8) adalah sebarang.

  Persamaan tersebut merupakan keluarga penyelesaian yang tidak terbatas dari persamaan (2.2.8). Hal ini memungkinkan untuk mengambil contoh dari keluarga penyelesaian yang memenuhi masalah nilai awal.

  Contoh 2.2.4: y” – y = 0 dengan y(0) = 2; y’(0) = 1 (2.2.11 )

  Penyelesaian dari persamaan (2.2.11) adalah melalui titik (0,2) dan pada titik tersebut mempunyai gradien m = -1. Pertama pada x = 0 dan 0 dan y = 2, dengan mensubstitusikan pada persamaan (2.2.10), diperoleh : c

  1 + c 2 = 2

  kemudian persamaan (2.2.10) diturunkan menjadi

  x -x y’ = c 1 e - c 2 e

  substitusikan nilai x = 0 dan y’ = 1, diperoleh c - c = -1

  1

  2

  dengan menyelesaikan kedua persamaan di atas, dipeoleh

  1

  3 c dan c ₁ = = ₁

  2

  2

  masukkan nilai c

  1 dan c 2 ke persamaan (2.2.10), maka diperoleh

  penyelesaian khusus dari persamaan (2.2.11) yaitu :

  1

  3 − ^{x x} + y = e e

  □

  Teorema 2.2.2

  Jika y

  1 dan y

2 adalah penyelesaian dari persamaan diferensial

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

  dan w = y

  1 y 2 ’ – y 2 y 1 ’ ≠

  dengan

  y(x ) = y ; y’(x ) = y ’

  dengan syarat awal maka dapat ditemukan konstanta c

  1 dan c

  2

  sedemikian hingga y = c y (x) + c y (x) memenuhi persamaan

  1

  1

  2

  2 diferensial dan nilai awal.

  Bukti :

  Persamaan Diferensial : y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 (*)

  y(x ) = y ; y’(x ) = y ’ (**) y dan y penyelesaian P. D (*) dan menurut teorema 2.2.2

  1

  2

  y = c

  1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) juga penyelesaian P.D (*) maka

  dengan mensubstitusikan y(x ) = y dan y’(x ) = y ’diperoleh c

  1 y 1 (x ) + c 2 y 2 (x ) = y (i) c 1 y 1 ’(x ) + c 2 y 2 ’(x ) = y ’ (ii)

  Dengan aturan Cramer diperoleh :

  

y y ( x ) y ( x ) y

_{' ' ' ' 2 1}

y y ( x ) y ( x ) y

_{2 1} c = dan c = _{1 2} y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) ₁

_{' ' ' '}

_{2 1 2} y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) _{1 2 1 2} Supaya c 1 dan c 2 ada maka

  y ( x ) y ( x ) _{1 2 ' '} w = = y ( x ) y ( x ) − y ( x ) y ( x ) ≠ _{, , 1 2 1 2} y ( x ) y ( x ) _{1 2} Jadi teorema terbukti.

  ■

  Teorema 2.2.3 :

  Jika y

  1 dan y 2 adalah penyelesaian persamaan diferensial y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

  dan jika pada titik x = x , nilai wronskian dari y

  1 dan y 2 tidak sama

  dengan nol, maka keluarga penyelesaian y = c

  1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) dengan

  sebarang koefisien c dan c memuat setiap solusi Persamaan Diferensial

  1

2 Bukti :

  Misalkan y = Φ(x) penyelesaian lain dari persamaan diferensial

  y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

  y(x ) = y ; y’(x ) = y ’ maka Φ” + p(x)Φ + q(x)Φ = 0

  ) = y ) = y’ Φ(x Φ’(x

  Dari Teorema 2.2.3 diketahui bahwa y = c

  1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) juga

  penyelesaian dari persamaan diferensial. Menurut Teorema 2.2.1 penyelesaian persamaan diferensial tunggal, maka y (x) +

  1

  1

  Φ(x) = c

  c 2 y 2 (x). Jadi teorema terbukti.

  ■

  Contoh 2.2.5 :

  Buktikan bahwa y

  1 dan y 2 adalah penyelesaian persamaan diferensial dan

  tentukan apakah merupakan penyelesaian fundamental dari persamaan :

  y” + 4y = 0 ; y 1 = cos 2x ; y 2 = sin 2x

  penyelesaian : (i) y

  1 = cos 2x (ii) y 2 = sin 2x

  y”

  1 = -2 sin 2x y’ 2 = 2 cos 2x

  y” = -4 cos 2x y” = -4 sin 2x

  1

  2

  substitusikan ke persamaan (i) -4 cos 2x + 4 cos 2x = 0 (ii) -4 sin 2x + 4 sin 2x = 0 jadi y

  1 dan y 2 adalah penyelesaian

  Wronskian : cos 2 x sin 2 x

• w ( y , y )( x ) = =
_{1 2} 2 (cos ² 2 x sin ² 2 x ) = 2 . 1 = 2 ≠ 2 sin

  2 x 2 cos 2 x − jadi y

  1 dan y 2 merupakan penyelesaian fundamental.

  Penyelesaian umum dari y” + 4y = 0 adalah y = c y (x) + c y (x) = c cos 2x + c sin 2x

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  □

  2. Bebas Linear dan Wronskian Dua buah fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linear pada interval I bila persamaan kombinasi linear dari dua fungsi tersebut,

  m f(x) + n g(x) = 0 untuk setiap x ∈ I hanya dipenuhi oleh m = n = 0.

  Bila tidak demikian maka dikatakan f(x) dan g(x) bergantung linear.

  Penyelesaian umum persamaan diferensial sebagai kombinasi linear dengan Wronskian tidak sama dengan nol, berhubungan dengan konseb bebas linear dari dua fungsi. Akan dilihat sistem persamaan aljabar linear homogen berikut :

  a 11 x 1 + a 12 x 2 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 = (2.2.12 )

  Δ

  dan misal = a

  11 a 22 – a 12 a 21 adalah determinan dari koefisien –

  koefisiennya. Kemudian x = 0, y = 0 adalah penyelesaian tunggal dari sistem (2.2.12) jika dan hanya jika Δ ≠ , selanjutnya sistem (2.2.12)

  Δ mempunyai tak nol penyelesaian jika dan hanya jika = 0.

  Dua fungsi f dan g dikatakan bebas linear pada interval I jika ada dua konstanata k

  1 dan k 2 , kedunnya tak nol, sehingga : k 1 f(x) + k 2 g(x) = (2.2.13 )

  Untuk semua x pada interval I. Fungsi f dan g dikatakan bebas linear pada interval I jika tidak tak bebas linear, sehingga persamaan (2.2.13) berlaku untuk semua x di I hanya jika k

  1 = k 2 = 0.

  Contoh 2.2.6 : x 2x

  Tunjukkan bahwa fungsi e dan e bebas linear pada setiap interval Penyelesaian :

  x 2x

  Misal : k

  1 e + k 2 e = 0 ( 2.2.14 )

  Untuk semua x pada interval, harus ditunjukkan bahwa k

  1 = k 2 = 0. pilih

  dua titik x dan x

  1 dimana x ≠ , dengan mensubstitusikan titik – titik x ₁

  x0 2x0 k 1 e + k 2 e = 0 x1 2x1 k 1 e + k 2 e = (2.2.15 )

  Determinan dari koefisien – koefisiennya :

  x0 2x1 2x0 x1 x0 x1 x1 x0 e e – e e = e e (e – e )

  Karena determinan tidak nol, maka penyelesaian tunggal dari

  x 2x

  persamaan (2.2.15) adalah k

  1 = k 2 = 0. jadi e dan e bebas linear.

  □

  3. Persamaan Diferensial Orde-2 Homogen Persamaan Diferensial Homogen mempunyai bentuk umum :

  P(x)y” + q(x)y” + R(x) = 0

  Persamaan diferensial linear orde-2 homogen dengan koefisien konstan mempunyai bentuk umum :

• ay " by ' cy = (2.2.16 ) dengan a, b, c sembarang bilangan real.

  rx

  Misalkan penyelesaian persamaan diatas berbentuk y = e , dengan r suatu parameter yang harus ditentukan, maka :

  rx y’ = re

  2 rx y” = r e

  dengan mensubstitusikan y, y’ dan y” ke persamaan (2.2.16), sehingga diperoleh : _{2 rx rx rx}

  a r e b re ce

• =

  ( ) ( ) _{2 rx} ar br c e =

  ( ) _rx ≠

  karena e maka

  ) ( ) ( ₂ ² _{2 2 1} ² _{1 1}

  e c e c x y c x y c y ^{2 1} ₂

₁

_{2 2 1 1}

  e c br ar c e c br ar c ^{2 1}

  e c e c c e r c e r c b e r c e r c a cy by ay

  ) ( ) ( ) ( ' " ^{2 1 2 1 2 1} _{2 1 2 2 1 1 2 2 1 1} ^{x r x r x r x r x r x r}

  ' + = dengan mensubstitusikan kedua persamaan di atas ke persamaan (2.2.16) diperoleh :

  e r c e r c y ^{2 1 2} _{2 2} ² _{1 1}

  ' + = dan (2.2.20) ^{x r x r}

  e r c e r c y ^{2 1} _{2 2 1 1}

  (2.2.19 ) ^{x r x r}

  ) ( ) ( + = + = juga merupakan penyelesaian. Untuk memeriksa bahwa persamaan di atas juga penyelesaian, maka dapat diturunkan menjadi :

  adalah penyelesaian dari persamaan (2.2.16), maka (2.2.18 ) ^{x r x r}

  2 = + + c br ar (2.2.17 )

  2 = e r2x

  dan y

  1 dan r 2 dimana , kemudian y _{2 1} ≠ r r 1 = e r1x

  Andaikan akar –akar persamaan dinotasikan dengan r

  2 – 4ac positif.

  a. Akar – akar Persamaan Real dan Berbeda Akar – akar persamaan real dan berbeda jika b

  penyelesaian dari persamaan (2.2.16). Karena persamaan (2.2.17) adalah persamaan kuadrat dengan koefisien - koefisien real, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang akar – akarnya bisa real dan berbeda, real dan sama atau akar – akar kompleks.

  rx

  adalah persamaan karakteristik untuk persamaan (2.2.16). Parameter r merupakan akar persamaan karakteristik dan y = e

• = + + = ^{x r x r}
jumlah dari setiap sisipan pada ruas kanan pada persamaan di atas adalah nol, karena r

  1 dan r 2 adalah akar – akar dari persamaan (2.2.17). Jadi penyelesaian umum dari persamaan (2.2.16) adalah persamaan (2.2.18).

  Andaikan diberikan suatu nilai awal

  y(x ) = y dan y’(x ) = y

  dengan mensubstitusikan x = x dan y = y pada persamaan (2.2.18), diperoleh : ^{r x r x 1 2} =

• c e c e y ( 2.2.21)
_{1 2}

  kemudian x = x dan y’ = y’ pada persamaan (2.2.19), diperoleh ^{r x r x 1 2}

• c r e c r e = y '
_{1 1 2 2}

  dengan menyelesaikan kedua persamaan di atas, diperoleh

  y ' − y r − r x y r − y ' − r _{2 1 1} ^{2 x} c e dan c e ₁ = = ₁ r − r r − r _{1 2 1 2} Jadi dengan nilai dari c 1 dan c 2 pada persamaan di atas, maka persamaan

  (2.2.18) merupakan suatu penyelesaian dari masalah nilai awal ay” + by’ + cy = 0 dengan y(x ) = y ; y’(x ) = y ’

  Contoh 2.2.7 :