Pecahan Parsial (Partial Fractions)

  oki neswan (fmipa-itb)

  

Pecahan Parsial (Partial Fractions)

_{p r} (x) (x)

  Diberikan fungsi rasional f (x) = : Jika deg p deg q; maka r (x) = ^ p (x)+ ; dengan deg r < deg q: _{q q}

  (x) (x)

  Maka Z Z Z Z p r

  (x) (x) f (x) dx = dx = p ^ (x) dx + dx: q (x) q (x)

  Integral pertama mudah ditangani. Maka selanjutnya pada masalah integral fungsi rasional Z Z p

  (x) f dx; (x) dx = q

  (x) diasumsikan deg p < deg q: Kita akan membicarakan integral dalam hal setiap faktor q (x) adalah polinom

  2

  dengan derajat paling tinggi 2, yaitu linear atau kuadratik. (Ingat faktor x adalah faktor linear berulang dua kali).

  Dekomposisi Pecahan Parsial.

  2x 1

  Fungsi rasional ditulis sebagai

  (x+1)(x+2)

  2x

  1

  3

  3

  5

• =

  2

  2

  x + 1 x + 2 (x + 1) (x + 2) (x + 2) _p

  (x)

  Ruas kanan disebut dekomposisi pecahan parsial dari ruas kiri. Misalkan sebuah fungsi rasional dan _{q m n}

  (x)

  2

  2

  q a x : (x) = (x ) + bx + c Diasumsikan x + bx + c tak tereduksi (tak bisa difaktorkan).. Dekomposisi pecahan parsial dari p (x) adalah ruas kanan dari identitas. p (x) A A A m B x + C B x + C B n x + C n

  1

  2

  

1

  1

  2

  2 _{m n}

• = + + + + +
_n : (1) +

  2 m

  

2

  2

  2

  2

  2

  a x x x x (x ) (x + bx + c) + bx + c (x + bx + c)

  (x + bx + c) R _p dx

  Dengan dekomposisi pecahan parsial, maka masalah integral diubah menjadi jumlah beberapa integral _q

  2

  2

  yang lebih mudah ditangani. Karena x + bx + c tak mempunyai akar (b 4c < 0) maka bentuk kuadrat

  2

  2

  ; sempurnanya adalah u + d !

  2 !

  2

  r p

  2

  2

  2

  2

  b b b b 4c

  2

• bx + c = + = + + + x x c x

  2

  4

  2

  2 p

  2

  b b 4c

  2

  2

  ; : = u + d dengan u = x + dan d = _x

  2

  2

₃

₂

  1

  : Contoh Tentukan dekomposisi pecahan parsial dari _{x x 2x}

  3

  2

  3

  2 Penyebut x x 2x dapat difaktorkan sebagai berikut. x x 2x = x (x + 1) (x 2). Jadi, ada tiga

  faktor linear yang tak berulang (m = 1). Maka x

  1 A B C :

• = +

  3

  2

  x x x x x 2x + 1

  2 Setelah menyamakan penyebut, diperoleh x A B C A 1 (x + 1) (x 2) + Bx (x 2) + Cx (x + 1)

• = =

  3

  2

  x x x x x x 2x + 1 2 (x + 1) (x 2)

  2

  (A + B + C) x + (C

  2B A ) x

  2A :

  = x (x + 1) (x 2) Kesamaan pembilang memberikan

  

2

  x A 1 = (A + B + C) x + (C

  2B ) x

  2A (2) Ada dua cara menentukan koe…sien-koe…sien A; B; dan C: Cara 1 Hubungan (2) berlaku untuk tiap x: Maka untuk x = 0; 1 = A (1) ( 2) + B (0) + C (0) =

  2A

  1

  : yang memberikan A = Dengan cara serupa, untuk x = 1 dan x = 2;

  2

  2 : 1 1 = A (0) + B ( 1) ( 1 2) + C (0) = 3B; jadi B =

  1 2 1 = A (0) + B (0) + C (2) (2 + 1) = 6C; jadi C =

  6 Cara 2 Cara lain menentukan A; B; dan C :

  2

  x 1 = A (x + 1) (x 2) + Bx (x 2) + Cx (x + 1) = (A + B + C) x + ( A

  2B + C) x

  2A Kesamaan koe…sien pada kedua ruas memberikan

  A

• B + C = 0 A

  2B + C = 1

  2A =

  1 Kemudian selesaikan sistem persamaan linear ini untuk memperoleh A; B; dan C: Peroleh

  1

  2

  1 A = ; B = ; C = :

  2

  3

  6 Dengan demikian, x

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  =

• :

  3

  2

  2 _{3 :}

  x x 2x 2x 3 (x + 1) 6 x

  1 Contoh Tentukan dekomposisi pecahan parsial dari _x

• 1

  3

  3 Karena ( 1) + 1 = 1 + 1 = 0; maka 1 adalah akar dari x + 1 atau (x + 1) adalah salah satu faktor dari

  3

  3

  2

  2

  x + 1: Dengan metoda bagi panjang dapat diperoleh bahwa x + 1 = (x + 1) x x + 1 : Faktor x x + 1

  2

  tak tereduksi karena diskriminannya, D = ( 1) 4 (1) (1) = 3 < 0: Maka, terdapat A dan B sehingga

  2 A x x

  1 A Bx + C + 1 + (Bx + C) (x + 1)

• = =

  3

  2

  2

  x x x x x

• 1 + 1 + 1 (x + 1) (x + 1)

  2

  (A + B) x + (B A + C) x + (A + C) =

  2

  x (x + 1) (x + 1)

  Karena itu pembilang harus sama, yaitu

2 A

  1 = (A + B) x + (B + C) x + (A + C) : Kesamaan ini memberikan

  A

• B = 0 A + B + C = 0

  A

• C = 1

  1

  1

  2

  ; B ; C : Penyelesaiannya adalah A = = = Jadi,

  3

  3

  3

  1

  1

  2

• x

  1

  3

  3

  3

  : = +

  3

  2

  x x x x

• 1 + 1 + 1

  

x

  2 ₂

  Contoh Tentukan dekomposisi pecahan parsial dari _x ^{2 :} _{x A B x B x} (x 4x+5) _{1 1 2 2} 2 +C +C _{2 2 2} Dekomposisi pecahan parsial dari _x ^{2 adalah jumlahan berbentuk} _{x x} + + ^{2 :}

  4x+5 (x 4x+5) (x 4x+5)

  x A B x B x

  2

  

1 + C

  1 2 + C

  2

• = :

  2

  2

  2

  2

  2

  x x 4x + 5 x

  (x 4x + 5) (x 4x + 5) Untuk menentukan semua konstanta,

  2

  2

  

2

  x A x x x 2 4x + 5 + (B

  1 + C 1 ) (x) x 4x + 5 + (B 2 + C 2 ) x

  =

  2

  2

  2

  2

  x (x 4x + 5) x (x 4x + 5)

  4

  3

  2

  (A + B ) x + (C

  4B

  8A) x + (26A + 5B + B

  4C ) x + (5C

  40A + C ) x + 25A =

  2

  2

  x (x 4x + 5)

  Dengan menyamakan koe…sien pada kedua ruas, diperoleh, A + B = 0

  1

  8A

  4B C = 0

  

1

  1

  26A + 5B + B

  4C = 0

  1

  2

  1

  40A + 5C + C = 1

  

1

  2

  25A =

  2 Maka diperoleh

  2

  2

  8 A ; B A ; C ; = = = = 8A + 4B =

  1

  1

  1

  25

  25

  25

  2

  8

  3 C = 1 + 40A

  5C = 1 + 40 5 =

  2

  1

  25

  25

  5

  2

  2

  8

  2 B =

  26A

  5B + 4C =

  26 5 + 4 =

  2

  1

  1

  25

  25

  25

  5 Jadi,

  2

  2

  8

  2

  3

  x x x

  2

  25

  25

  25

  5

  5

• =

  2

  2

  2

  2

  2

  x x 4x + 5 x (x 4x + 5) (x 4x + 5)

  2

  1 1 2x

  8 1 2x

  3 = + +

  2

  

2

  2

  25 x 25 x 4x + 5

  5 (x 4x + 5)

  Integral Pecahan Parsial

  Dari dekomposisi pecahan parsial fungsi rasional (1), kita ketahui bahwa bentuk-bentuk integral yang mungkin muncul adalah Z Z Z Z dx dx

  (ax + b) dx (ax + b) dx ; ; ; _{n n}

  2

  x a x (x a ) + px + q (x + px + q)

  Bila disederhanakan lebih lanjut, Z Z Z Z Z Z dx dx xdx dx xdx dx

  ; ; ; ; ; : _{n n n}

  2

  2

  2

  2

  x a a x x (x ) + px + q + px + q (x + px + q) (x + px + q)

  Untuk intengral dengan penyebut memuat bentuk kuadratik, lakukan lengkapan kuadratik: !

  2

  p

  2

  2

  

2

  2

  p p p 4q p

  2

  2

  2

  ; c >

• px + q = x + + q = x + = u + c 0; n > 1:
• x

  2

  2

  2

  2

  2

• c
• c
• c
• c
• C; (substitusi v = x a ).
• c
• C; (substitusi v = u
• c
• c
• C; (substitusi v = u
• c
• c
• c
• C Sedangkan untuk yang terakhir, gunakan substitusi u = c tan t; du = c sec
• c
• a
• 1
• 1
• 1
• 1
• ln jx 2j
• C = ln jxj
^{1 2} jx 2j ^{1 6} jx + 1j ² 3<
• C = ln
• C Contoh Hitunglah R _{dx x}
3<
• ²
³ _{x 2} x +1<
• 1

• +1

• 1
• 2
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1 Lengkapan kuadrat dari x
• 1 adalah x
• p
• 1
• 1
• c
• c
• c
• c
• 1
• C =
• 1 +
• C
• 1 +
• C
• C

  2

  x

  2

  x

  1

  2

  2

  3

  2

  2

  : Misalkan u = x

  2

  1

  dan c =

  p

  3

  2

  : Maka

  Z xdx x

  2

  x + 1 =

  Z u

  2

  du u

  3 Z dx x

  2

  x

  : Maka

  2

  3 Z dx (x + 1)

  6 Z dx x

  2 = ln jxj

  2 2 ln jx + 1j

  3

  6

  (x) ^{1 2} (x 2) ^{1 6} (x + 1) ^{2 3}

  : Sebelumnya diketahui

  

1

_{x 3}

  = ^{1 3} _{x +1} + ( ^{1 3} ) ^x

  Z dx x

  3 Z xdx x

  3

  =

  1

  3 Z dx x

  3 Z ( x + 2) dx x

  2

  x

  =

  1

  3 ln jx + 1j

  1

  2

  = Z udu u

  2

  Z du u

  2

  x

  1 p 3 tan

  1

  2x

  1 p

  3

  1

  dan Z dx x

  2

  x + 1 =

  2

  1

  2

  =

  1 c tan

  1

  u c =

  2 p 3 tan

  1

  2x

  1 p

  3

  2

  2 ln x

  =

  2

  1

  2

  2 Z du u

  2

  2

  = =

  1

  2 ln u

  2

  2

  2

  1 c tan

  u c

  1

  1

  2 ln x

  2

  x

  1 p 3 tan

  1

  x

  1

  2 p

  3

  2

  2 Z dx x

  =

  1

  1

  2 ln u

  2

  2

  2

  2

  ) Z udu

  (u

  2

  2

  ) ⁿ =

  2

  =

  1 (n 1) (u

  2

  

2

  )

  1 n

  2

  2

  ) Z du u

  2

  2

  =

  1

  Z udu u

  1

  2

  Maka, setelah substitusi, bentuk integral yang terlibat adalah Z dx x a

  ; Z dx

  (x a ) ⁿ

  ; Z udu u

  2

  2

  ; Z du u

  2

  2

  ; Z udu

  (u

  2

  

1

  ) ⁿ ;

  Z du (u

  2

  2

  ) ⁿ :

  Z dx x a

  = ln jx a j + C; (substitusi v = x a ).

  Z dx (x a

  ) ^{n =}

  1 (n 1) (x a

  ) ⁿ

  1 c tan

  u c

  1 x 2 dx

  2

  R _x

  1 _{x 3 x 2} 2x

  dx: Karena ^x

  1 _{x 3 x 2} 2x

  =

  1 2x

  2

  3

  1 (x+1)

  6

  1 _x

  ; maka Z x

  2

  1 x

  3

  x

  2

  2x dx =

  Z

  1 2x

  2

  3

  1 (x + 1)

  6

  cos 2t: Contoh Hitunglah

  2

  2

  1

  tdt; Z du

  (u

  2

  2

  ) ⁿ =

  Z c sec

  2

  t dt (c

  2

  sec

  2

  t ) ⁿ =

  1 c

  2n 1

  Z dt sec

  2n 2

  t =

  1 c

  2n 1

  Z cos

  2n 2

  t dt; (n &gt; 1) Integral terakhir adalah integral trigonometri. Diselesaikan dengan substitusi sudut ganda: cos

  2

  t =

  :

• c
Maka Z dx

  1

  1

  1 1 2x

  1

  2 2 2x

  1

  2

  1

  1

  x = ln x + 1 + p tan p p tan p + C + ln jx + 1j

  3

  x + 1

  3

  3

  2

  3

  3

  3

  3

  3 p

  1

  1 3 2x

  1

  2

  1

  x = ln x + 1 + tan + C ln jx + 1j p

  3

  6

  3 _x

  3 _{x 2}

  2 ₂

  2 ₂

  2

  1 1 2x 8 ₂

  : ² Contoh Hitunglah Sebelumnya telah diketahui bahwa + + _{x x} =

  25 x 25 x 4x+5 (x 4x+5) (x 4x+5) 1 2x 3 _{2 : 2} Maka 5 (x 4x+5)

  Z Z Z Z dx (x 2) dx

  2 1 (2x 8) dx 1 (2x 3) dx

• = +

  2

  2

  2

  2

  2

  x x

  25 25 4x + 5

  5 x (x 4x + 5) (x 4x + 5)

  2

  2

  2

  : Lengkapan kuadrat dari x 4x + 5 adalah (x 2) + (1) Misalkan u = x 2 dan c = 1: Maka

  Z Z Z Z Z dx (2x 8) dx (2 (u + 2) 8) du (2u 4) du 2udx

  = = =

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  x 4x + 5 u + 1 u + 1 u + 1 u + 1

  2

  1

  2

  1

  u : = ln u + 1 6 tan = ln x 4x + 5 4 tan (x 2) + C

  1

  dan Z Z Z Z Z du

  (2x 3) dx (2 (u + 2) 3) du (2u + 1) du 2udu = + = =

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  (x 4x + 5) (u + 1) (u + 1) (u + 1) (u + 1) Z Z Z

  2

  d u

• 1 du d 1 tan t
• = =

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  u

• 1 (u + 1) (u + 1) t tan + 1

  Integral kedua, dengan u = tan t; adalah Z Z Z Z

  2

  d tdt t t tan t sec cos 2t

  1

  1

  1

  2

  tdt dt = = + cos = = sin 2t + = sin t cos t +

  2

  4

  2

  sec t

  2

  2

  4

  2

  2

  2 t tan + 1 u

  1

  1

  1

  

1

  = p p tan (x 2) +

  2

  2

  2

  2 u u

• 1 + 1 1 u

  1 1 x

  2

  1

  1

  1

• = tan (x 2) = tan (x 2) +

  2

  2

  u x 2 + 1 2 2 4x + 5

  2 Maka Z x

  (2x 3) dx

  1

  1

  2

  1

  1

• = tan (x 2)

  2

  2

  2

  2

  2 (x 4x + 5) x

  x 4x + 5 2 x 4x + 5

  1

  4

  1

  1

• tan = (x 2) + C

  2

  2

  x 2 4x + 5

  2 Dengan demikian, Z

  (x 2) dx

  2

  1

  2

  1

  = ln x 4x + 5 4 tan (x + 2) + C + ln jxj +

  1

  2

  2

  25

  25 x (x 4x + 5) x

  1

  1

  4

  1

  1

• tan (x + 2) + C

  2

  2

  5 2 x 4x + 5

  2

  2

  1

  3 1 x

  4

  2

  1

  = ln x 4x + 5 tan (x + 2) + + C ln jxj +

  3

  2

  x

  25

  25

  50 10 4x + 5 dengan C = : ^{C C} + ^{1 2}

  3 _{x dx x 3}

  25

  5 ₃

  1

  _{2 : 3 2 3} Contoh Integrand didekomposisi menjadi jumlah pecahan parsial _{x (x 2) x (x 2)}

1 R ( ) ( )

  3

  x A A B B B

  1

  1

  2

  1

  2

  3

  = + + + + :

  3

  2

  3

  2

  2

  x x x

  2 x (x 2) (x 2) (x 2) Maka

  3

  3

  2

  3

  2

  2

  2

  x 1 = A x (x 2) + A (x 2) + B x (x 2) + B x (x 2) + B x

  1

  2

  1

  

2

  3

  4

  3

  2

  = (A + B ) x + (A

  6A

  4B + B ) x + (12A

  6A + 4B

  2B + B ) x + (12A

  8A ) x

  8A

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  2

  1

  2

  yang memberikan sistem persamaan linear 0 = A + B

  1

  1

  1 = A

  6A

  4B + B

  2

  1

  

1

  2

  0 = 12A

  6A + 4B

  2B + B

  1

  2

  1

  2

  3

  0 = 12A

  8A

  2

  1

  1 =

  8A ₂

  1

  12A

  12

  3

  : :

  Persamaan terakhir memberikan A = Gunakan persamaan ke-4 untuk memperoleh A = = =

  2

  1

  8

  8

  64

  16

3 A :

  Persamaan pertama memberikan B = = Selanjutnya persamaan ke-2 memberikan

  1

  1

  16

  5 B A

  2 = 1 2 + 6A 1 + 4B 1 =

  4 Maka persamaan ke-3 memberikan B

  =

  12A + 6A

  4B + 2B

  3

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  3

  5

  7 = 12 + 6 4 + 2 =

  16

  8

  16

  4

  4 Jadi,

  3

  x

  1

  3

  1

  3

  5

  7

• =

  3

  2

  2

  3

  2

  16x 8x 16 (x 2) x (x 2) 4 (x 2) 4 (x 2) Z Z Z Z Z Z

  3

  x 1 dx dx dx dx dx dx

  3

  1

  3

  5

  7

• =

  3

  2

  3

  2

  2

  x x x x

  16

  8

  16

  2

  4

  4 (x 2)

  (x 2) (x 2) !

  3

  1

  1

  3

  5

  1

  7

  1 =

• 2
• C ln jxj + ln jx 2j +

  x x

  16

  8

  16

  4

  2

  4 2 (x 2)

  2

  x 3 11x + 17x

  4 = ln + + C

  2

  16 x

  2 8x (x 2)

  Persamaan Diferensial Logistik

  Jika y (t) menyatakan populasi pada saat, Salah satu model yang menggambarkan populasi y (t) dimana lingkungan mempunyai daya dukung (carrying capacity) L adalah y y k &gt;

  = ky (L ) ; 0: Konsep daya dukung mengharuskan populasi y turun jika y &gt; L dan y akan naik jika y &lt; L: Kedua syarat ini dipenuhi oleh persamaan diferensial di atas. Persamaan diferensial di atas memberikan dy

  = kdt y (L y ) Z Z dy

  = kdt = kt + C: y y (L )

  1

  : Integral pada ruas kiri merupakan integral fungsi rasional Dekomposisi pecahan parsialnya adalah _y

  (L y)

  1

  1

  1

  1

  : _{L L y} Maka +

  (L y)

  Z Z Z Z dy

  1

  1

  1 1 dy dy

  1

  = + = = ( ln jL j + ln jyj) y y L L y y L L y y L

• dy y

  (L )

  1

  1 1 y y = ln y = ln ln jL j +

  L L L L y Maka y

  1 ln = kt + C L L y y _{Lkt LC Lkt} e ;

  = e = Ae L y

  Maka y _{Lkt LC} e = Ae dengan A =

  L y Untuk memperoleh ungkapan eksplisit dari y; _{Lkt Lkt Lkt} y y yAe _{Lkt Lkt} = (L ) Ae = ALe y

• yAe = ALe

  : Maka

  L y (t) = _Lkt 1 + Ae dan perhatikan bahwa y lim (t) = L

  t!1

  4

  4

  y y Contoh Misalkan diketahui y = 3 10 (2000 ) : Maka k = 3 10 dan L = 2000: Jika y (0) = 800;

  2000

  

3

  : maka 800 = Selesaikan untuk memperoleh A = . Jadi,

  1+A

  

2

  2000 y (t) =

  1

  3 0:6t

  e 1 +

  2 Fungsi y 1 (t) adalah solusi persamaan diferensial logistik untuk nilai awal y (0) = 800: 2000

  1

  : Jika y (0) = 2500; maka 2500 = Selesaikan untuk memperoleh A = . Jadi,

  1+A

  5

  2000 y (t) =

  2

  1 0:6t

  1 e

  5