MATERI GESERAN (TRANSLASI) 6A

KELOMPOK : 6

GESERAN ( TRANSLASI )

DI SUSUN OLEH
KELOMPOK
NAMA

:
: 6 ( ENAM )

: HERMANSYAH

( 4007002

)
: EKA ERLINAWATI
( 4007020 )
: LUSI ZULAIHA
( 4007027 )
: WENI WULANDARI

( 4007039

: HOIRI

( 4006134

)
)
SEMESTER
M. KULIAH

:VI . A
: GEOMETRI TRANSFORMASI
DOSEN: FADLI, S.Si.,M.Pd

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

1

KELOMPOK : 6

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
( STKIP - PGRI ) LUBUK LINGGAU
TAHUN AKADEMIK 2009/2010

GESERAN ( TRANSLASI )
1. Pengertian Translasi
Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada
bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.
´
Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada garis berarah AB
sehingga setiap titik P pada bidang menjadi G(t) = P’ dan ⃗
PP'= ⃗
AB
Teorema 10.1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B
maka ⃗
AA ¿ = ⃗
BB ¿ dengan A’’ = MhMg ( A ) dan B’’ = MhMg (B).

Bukti : Kita pilih sebuah sistem koordinatdengan misalnya h sebagai sumbu y
dan sebuah garis tegak lurus pada g, sebagai sumbu x.

y

2

KELOMPOK : 6

Andaikan A= ( a1,a2 ) dan B= ( b1 ,b2 ). Kalau N tengah-tengah ruas garis ⃗
A B¿
maka harus dibuktikan SN ( A ) = B”. Andaikan persamaan h adalah x = k ( k ≠ 0 ¿.

´ memotong h di sebuah titik Q ( k,y )
Apabila P = ( x,y ) dan P’ = M h (P) maka PP
´ , jadi P’ = Mh P = ( 2k-xy ) sedangkan M g P = ( -x,y ).
dengan Q sebagai titik PP
Jadi MhMg (P) = Mh [ ( -x,y ) ] = ( 2k + x,y ).
Jadi pula A” = MhMg (A) = ( 2x + a1.a2 )
B” = MhMg (B) = ( 2x + b1.b2 )

Oleh karena N titik tengah A ´B ¿, maka
N=

[[

Sedangkan SN (A) = 2

[ ( 2 k +a2 )+b , a +2 b ]
1

1

2

2

(2 k +a1 )
a +b
−a1 .2 2 2 2 −a2
2

]

[

]

]

SN (A) = ( 2k + b1.b2 ) = B”
Dengan demikian maka⃗
AA ¿ + ⃗
BB ¿
Disetiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan akhir di titik petanya
oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil
transformasi MhMg seakan-akan penggeser setiap titik sejauh jarak dan searah.
Transformasi demikian dinamakan translasi.
Teorema 10.2 : Apabila ⃗
AB =⃗
CD maka Gab = Gcd

Bukti : Jika X sebarang, maka harus dibuktikan GAB (X) = GCD (X).
Andaikan GAB (X) = X 1 dan GCD (X) =X 2
Jadi

´ 1 = AB
´ 2 =CD
´ dan XX
´
XX

´ 1 = XX
´ 2 . Ini berarti bahwa X1=X2 sehingga GAB = GCD.
´ = CD
´ maka XX
Karena AB

3

KELOMPOK : 6

Contoh :
Diberikan tiga titik A, B, dan P yang tak kolinear.
Lukisllah :
a). Titik P’ sehingga GAB (P) = P dan
b). Titik P” sehingga GAB (P”) = P
PENYELESAIAN :
´ = AB
´ atau AB
´ = PP'
´ . Dengan
a) Karena GAB (P) = P’ maka PP'
pengetahuan ruas garis berarah,anda dapat lukis titik P’ yang memenuhi
syarat di atas.
´ atau AB
´ = P ´P ¿ juga dengan
b) Karena P = GAB (P”) maka P ´P ¿ = AB
pengetahuan anda mengenai ruas garis berarah anda dapat melukis titik P”
yang memenuhi syarat di atas.

´ sebuah garis

Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD
berarah tegak lurus pada g dengan Cϵ g dan D ϵ h.

´ = CD
´ maka GAB = MgMh
Apabila AB

4

KELOMPOK : 6

Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P’ = GAB (P) dan P” = MhMg (P).
maka harus dibuktikan bahwa P’ = P”

C
C” =MhMg

D

C

P
B

P

g

´ AB.
´ Oleh karena AB
´ =2 CD,
´ maka AB=2
´
´
Menurut ketentuan geseran, PP'=
CD.
Berhubung C” = MhMg (C), C∈g. Maka C” = Mg (C). Jadi D adalah titik tengah
´ Oleh karena CC´ ¿ = PP´ ¿ maka PP´ ¿ = 2CD
´ = PP.
´

CC´ ¿ sehingga CC´ ¿ = 2CD.
Ini berarti bahwa P’=P”. Jadi GAB (P) = MhMg (P). Karena P sebarang, maka GAB =
MhMg.
Teorema 10.4 : Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)-1 = GBA
Bukti : Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grupbagian dari grup
tranformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan (GAB)-1. Dari
uraian diatas kita peroleh berturut-turut :
GAB = MhMg = MgMh

5

KELOMPOK : 6

Sedangkan

GBA = MgMh = MhMh

Sehingga

(GAB)-1 = (MgMh)-1= Mh-1 Mg-1 = MhMg = GBA

Jadi

(GAB)-1 = GAB

Contoh : Jika A = (3,4) dan B = (-1,2).Tentukan :
a. GAB(P) jika P = ( x,y)?
b. Koordinat titik D sehingga GAB (D) = (2,-2).
Jawab:
a. GAB (P) = GAB (x,y)
= { ( -1-3)+x , (2-4)+y }
= ( -4+x, -2 + y )
b. Titik D sehingga GAB (D) = (2,-2)
Karena GAB (P) = (-4+x,-2+y), jika P=(x,y).
Sehingga D = GAB(2.-2) = ( 4+x,2+y) = ( 4+2,2-2) = ( 6,0).
Jadi titik D = ( 6,0).
2. Hasilkali Geseran
Teorema 10.5 : Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik

´ = 2CD
´ maka :
sehingga AB
GAB = SDSC
´ .k
Bukti : Andaikan g = CD

g di C, n

g di D

B

g
D
C

A
n
k
6

KELOMPOK : 6

´
´ maka GAB =
Maka CD ruas garius berarah dari k ke n. Oleh karena AB=2
CD
MmMk. Sedangkan SD = MmMg dan Sc = MgMk.
Jadi :

SDSC = ( MmMg ) ( MgMk ) = Mm ( MgMg ) Mk

Atau :

SDSC = Mm I Mk = MmMk

Dengan demikian

GAB = SDSC

Contoh :
Jika A ( 3,-1 ), B ( 1,7 ) dan C ( 4,2 ) adalah titik yang diketahui, tentukan
sebuah titik D sehingga GAB = SDSC

´ = AB
´ . Maka
Penyelesaian : Andaikan E sebuah titik sehingga CE
E = ( 4 + [ 1-3 ], 2 + [ 7- (-1) ] ) atau E = ( 2,10 )
´ maka D = ( 3,6 ), sehingga CE
´ = 2 CD
´
Apabila P titik tengah CE
Jadi

´ = 2 CD
´
AB

Menurut teorema 10.5 diperoleh GAB = SDSC maka titik D yang dicari adalah
( 3,6 )
Teorema 10.6 : Komposisi suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu
setengah putaran.
Bukti : Andaikan GAB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang. Andaikan E titik

´ = AB
´ . Andaikan D titik tengah CE
´ maka CE
´ =2
( yang tunggal ) sehingga CE
´ .
CD
Menurut teorema 10.5 : GAB = SDSC
Jadi GABSC = ( SDSC ) SC = SD (SCSC) = SD I = SD maka GABSC = SD

7

KELOMPOK : 6

Akibat : Andaikan SA , SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA =

´ = BC
´ .
SD dengan D sebuah titik sehingga AD
Bukti : Kita peroleh berturut-turut : SCSB = GZBC . Jadi SCSCSA = GZBCSA.

B

A

C

D

´ = 2 AX
´ atau BC
´ = AX
´
Andaikan GZBCSA = SX maka 2 BC

´ = AD
´ .
Jadi SCSBSA = SD sehingga BC
Perhatikan dua geseran GAB dan GBC , maka GBC (A) = B dan GBC (B) = C, sehingga
dapat kita tulis bahwa GBCGAB (A) = C.
´ = AB.
´ Sedangkan GDC (E)
Apabila E titk sebarang, maka GAB(E) = F dengan EE
´ ' = BC.
´
= E” sehingga EE

B

E’

O

A

P

R

C

E

E

´ sehingga GEE”(E) = E” = GAC (E).
Jika GBCGAB (E) = E” dengan EE´ ¿ = AC,
Jadi GACGAB = GAC.
´ = AB
´ dan titik g sehingga 2 QR
´ = BC
´
Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 PQ
maka

8

KELOMPOK : 6

GAD = SQSP dan GBC = SRSQ
Sehingga

GBCGAB = ( SRSQ ) ( SQSR ) = SRSQ

Oleh karena

´ = AC
´ maka SQSR = GAC
2 PR

Jadi

GBCGAB = GAC

Berdasarkan penguraian diatas terbukti teorema berikut :
Teorema 10.7 : Hasilkali dua transiasi adalah sebuah translasi.Catatan : Apabila
´ = BA
´ maka GABGCD = GABGBA = I. Disini I adalah transformasi identitas. Jadi
CD
´ = BA
´ maka kalau I dianggap sebagai translasi.
kalau CD
Teorema 10.8 : Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik O ( 0,0 ) dan
A ( a,b ) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P ( x,y ) sebagai
T (P) = ( x + a,y + b ) maka T = GOA .

´ '=
Bukti : Untuk P ( x,y ), T(P) = ( x+a, y+b ). Andaikan P’ = GOA (P), maka PP
´ sehingga P’ ( x+a-o, y+b-o ) = ( x+a, y+b ).
OA
Soal- Soal:
1) Jika A = ( 2,3 ) dan B = ( -4,7 ) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
MhMg = GAB.
2) Diketahui titik-titik A = ( -1,3 ), B = (-5,-1 ) dan C= ( 2,4 ).
a) Tentukan C’ = GAB(C)
b) Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C ε g dan sehingga
MhMg=GAB.
3) G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P = ( x,y ) maka G (P) = ( x+2,y+3).Diketahui C = (1,-7).Tentukan
koordinat D sehingga SDSC = G.
4) Jika A = (1,0), B = (2,3) dan C = (3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat-koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.
5) Buktikan bahwa GABGBF = GBFGAB

9

KELOMPOK : 6

6) Diketahui garis-garis g dan h dan ruas garis A´ B seperti pada gambar
´ sehingga Pεg,
dibawah ini.Gunakan translasi untuk melukis ruas garis PQ
´ = AB
´
Q ε h dan PQ

Penyelesaiannya:

´ ,h
AB

1) Karena MhMg = GAB, maka g // h dan g

´ . Karena koefisien
AB

y −y
´ adalah 2 1 = 7−3 = 4 = −2 ; maka koefisien arah g dan h
arah AB
x 2−x 1 −4−2 −6 3
3
adalah 2 .

´ , { D } =h ᴒ AB
´ , maka AB=2
´
´ . Dalam hal ini
CD
Misalkan { C }=g ᴒ AB
pasangan g dan h tak terhingga sesuai pasangan C dan D sehingga

´
´ . Ambil sebagai contoh C = (0,0), maka titik didapat:
AB=2
CD
1 ´
´
´
´
AB=2
CD=¿
AB=CD
2
´ 1 AB
´ . Jadi F = 2−4 , 3+7 =( −1,5 )
Misal AF=
2
2
2

(

)

´ 1 AB
´ dan 1 AB
´ =CD
´ , maka AF=
´ CD
´
Karena AF=
2
2
Misal D ( x,y ) maka didapat:
-1-2 = x - 0 dan 5-3 = y-0 atau x = -3 dan y = 2.Jadi D = (-3,2).

10

KELOMPOK : 6

3
3
Sehingga g = { (x,y) │y = 2 x } dan h = { (x,y) │y-2 = 2 ( x + 3)}.
2) a) Karena C’ = GAB( C ) = GAB ( 2, 4) = ((-5+1)+2, (-1-3)+4) =(-2,0).
b)Karena MhMg = GAB. C ε g. Maka g // h, g

´ h
AB,

´ Misal g ᴒ
AB.

´ =CD
´ . Misal AF=
´ 1 AB
´ , maka F
´ = { D }, maka AB=2
´
´ atau 1 AB
AB
CD
2
2
=

3−1
´ 1 AB
´ dan 1 AB=
´ CD
´ , maka
AF=
( −1−5
2
2
2 , 2 )=( −3,1 ) karena

´ CD
´ . Misalkan D ( x,y ) maka didapat hubungan :
AF=
-3 + 1 = x dan 1-3 = y-4 atau x = 0 dan y = 0.Jadi D= ( 0,2 ).Dan karena

´ adalah −1−3 = 4 =1, maka koefisien arah garis g dan h
koefisien arah AB
−5+1 4
adalah -1. Jadi persamaan g = { (x,y) │y-2 = -x }.
3 ) Misalkan D = ( x0,y0 ). Karena SDSC = G, maka (SDSC ) ( P ) = G ( P ).
Tetapi, G (P) = (x+2,y+3).
(SDSC ) ( P ) = SD [ SC(P) ] = SD ( 2-x, -14-y ) = ( 2x0-2 +x, 2y0 + 14+y)
akibat didapat :
( x +2, y+3) = ( 2x0-2+x, 2y0 +14+y). Apa bila diselesaikan untuk x0 dan y0
11
11
didapat: x0 =2 dan y0 = - 2 . Jadi D = ( 2, - 2 ).
´
´ CF
´
´ => 1 CD=
´ = AB
´ , F titik tengah CD
´ .
AB,
4)GCD = SBSA => CD=2
AB
2
Misal D = ( x0,y0) => F =

´ = AB
´ , =>
CF

( 3+2x , 8+2y )
0

0

3+ x 0
8+ y 0
2 −3=2−1 dan 2 -8 =3-0. X0 = 5 dan y0 = 14. Jadi D =

( 5, 14).
5) Ambil GAB dengan A = ( x0,y0 ), B = ( x1,y1) dan GEF dengan E = ( x2,y2), F =
( x3,y3).Kemudian ambil P = ( x,y) ε v.
11

KELOMPOK : 6

Dimana:
( GABGBF) ( P ) = GAB[ GBF(P)] = GAB ( ( x3 - x2) + x, (y3- y2)+y)
= ((x1- x0) + ( x3 - x2)+ x,( y1- y0)+ (y3- y2)+y)
= (( x3 - x2)+ (x1- x0)+x, (y3- y2)+ ( y1- y0)+y)
= GEF (x1- x0 + x, ( y1- y0)+y)
= GEF ( GAB (x,y))
= (GEF GAB) ( P). Terbukti
6) Misalkan g’ = GAB(g) dan ambil {Q} = g’ ᴒ h.Kemudian misalkan P =
GAB( Q ), karena Q ε g’, maka P ε g.

Bukti : g’ = GAB (g), {Q} = g’ᴒ h, missal P = GAB (Q) maka Pε g.
´
´
GAB (Q) = P => Q => GAB (P), sehingga PQ=
AB.

´
´ di penuhi.
AB
Jadi syarat bahwa P ε g, Q ε h sehingga PQ=

12

KELOMPOK : 6

13