Medan Listrik pada Muatan Kontinu Penerapan Hukum Gauss

  F F i i s s i i k k a a D D a a s s a a r r

  I I

  I I Dalam bab satu kita telah dapat menghitung medan listrik di sekitar suatu muatan titik menggunakan persamaan yang diperoleh dari hukum Coulomb. Namun bagaimana jika sumber muatan bukan muatan titik ? misalnya muatan berupa bongkahan bermuatan yang memiliki volume tertentu.

  

)

! " #$ #% %# ! & '( #% )

  Untuk muatan yang memiliki volume, dikenal rapat muatan atau ρ yang didefinisikan sebagai : Q

  (1) ρ =

  V atau dalam bentuk diferensial : dQ

  (2) ρ = dV atau jika muatan dianggap tidak bervolume dan hanya memiliki panjang, maka muatan persatuan panjang didefinsikan sebagai :

  (3) dQ ρ = dx jika diungkapkan dalam pernyataan integral muatan dalam sumber muatan listrik dengan volume V :

  (4)

  

Q = ρ ⋅ dV

_V

∫

  sehingga persamaan (3) dalam bab I untuk muatan kontinu menjadi :

  

ρ

ˆ (6)

= k dV

₂

  ∫

r

  Mari kita hitung beberapa sumber muatan kontinu menggunakan persamaan (5) atau (6)

• %#

  ! & & + " Kita hitung medan listrik pada titik P sejauh x dari garis bermuatan sepanjang L berikut :

  ! " #$ #% %# # & & " & +

  Dengan menggunakan persamaan (5) :

  dQ ˆ = k ₂

  ∫ r

  kita tempatkan pada ujung garis pada pusat koordinat :

  , ,

  Sehingga jarak elemen muatan dQ ke titik P adalah (x2b) dan dQ sebagaimana persamaan (3) adalah ρdx :

  ρ dx ˆ = k ₂

  ∫ (b 2 x)

  persaaaan ini harus diintegrasi dengan teknik substitusi variabel, ini

  ρ du ˆ

  = − k ₂

  ∫

  u _L

  1

  1

  1

  1  

  = k ρ = k ρ = k ρ −  

  − − u b x  b L b   

  ρ L = k

    b ( b − L )   karena ρL = Q, maka besarnya medan magnet sejauh b dari garis sepanjang garis :

    Q

  (6)

  E = k   − b ( b L )

   

  Contoh :

• . /% %

  Jawab : Dengan mengunakan persamaan (6) di mana : k = 9x109 Nm2/C2 L = 1 m b = 1 mr + 50 cm = 1,5 m _{26 26} Q = ρ L = (5x10 C/m)⋅(1 m) = 5x10 C ₂₆

        Q 5x10 ₉

  2 6 5x10 _{9 4} = = = = E k 9 x

  10 9 x

  10 6 x

  10 N / C       b ( b − L ) (1,5)(1,5 2 1) (0,75)      

  ! & ! # # +# & Sekarang kita hitung medan listrik di titik p pada jarak b tegak lurus garis. Dengan menempatkan pertengahan garis pada pusat koordinat kartesius :

  , , ! " #$ & ! # # &

  Dari persamaan (5) : dQ ˆ

  = k ₂

  ∫

  r jarak dari elemen muatan dQ dengan panjang dx pada titik P adalah : _{2 2} = + r b x dan dQ = ρdx, sehingga : _{L / 2} dx

  ˆ = ρ k

  ∫

• b x
^{2 2}

  − L / ²

  sekarang kita perhatikan gambar berikut :

  θ θ θ θθθθ , Tampak bahwa komponen x dari ( E sinθ) saling menghilangkan satu sama lain sehingga tidak perlu kita hitung dan kita perhatikan komponen y nya saja : _{L / 2}

  θ cos E = k ρ dx _{1 2 2}

  ∫

• b x

  − _{L / 2}

  sampai di sini permasalahannya adalah pengetahuan kalkulus : _{L / 2 L / 2} cos θ cos θ E = k ρ dx = k ρ dx _{1 2 2 2}

  ∫ ∫

• θ x b (1 tan )
² +

  − L / ^{2 − L / 2}

  b (1 ) _{2 2} b ₂ karena 1+tan θ = sec θ : _{L / 2} θ cos

  E = k ρ dx _{y 2 2}

  ∫

  θ b sec

  − _{L / 2}

  kita ganti : ₂ x = tanθ, jika diturunkan maka dx = sec θ dθ sehingga :

  θ cos ² E = k ρ sec θ d θ _{y 2 2}

  ∫

  b sec θ

  −

  ρ k E = cos θ d θ _y

  ∫

  b _{L / 2} ρ ρ k k x

  = sin θ = _{2 2}

• b b b x

  − l / ²

  sehingga medan magnet sajauh d tegak lurus garis :

    k ρ L  

  (7)

  E = _y

₂

₂  
• b b ( L /

  2 )  

  atau :  

  (8) ρ

  2k L /

  2  

  = E _{y 2 2}

   

• b b ( L /

  2 )  

• -. /%

  %

     

  ρ =

  2k E _y

  atau : (9) b

  E

  ρ = _{2 y} ) L 2 / ( L 2 / b 2k

     

     

  Jika garis sangat panjang sehingga L/2 >> b, maka persamaan (8) dapat diaproksimasi menjadi :

  −

  E _{5 5 2 2} ⁶

⁹

_{2 2 y} ≈ =    

     

  2 ) L 2 / ( b L 2 / b 2k

  5 )( 10 x 9 (

  1 5 , ) 10 x

• ρ =

  1 ( 5 , 2 /

  1 ) 2 /

  2 10 x 8 ,

  C / N 1.27x10

  ρ = 5x10 ²⁶ C/m

  Contoh : Jawab : Dengan mengunakan persamaan (8) di mana : k = 9x10 ⁹ Nm ² /C ² L = 1 m b = 50 cm = 0,5 m

• =    

  2 / * %# Kasus kedua misalnya sebuah cincin bemuatan sebagai berikut :

  θ 3 ! " #$ , #% %# #! / / " 4"

  Kita akan menghitung medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat cincin menggunakan persamaan (5) : dQ

  ˆ = k ₂

  ∫

  r sama dengan alasan seblumnya bahwa medan lsitrik pada komponen y akan saling menghilangkan satu sama lain, sehingga medan listrik yang kita perhatikan hanya komponen x saja : dQ

  E = k cos θ _{x 2}

  ∫

  r Karena jarak elemen muatan dQ pada titik P : ^{2 2}

• r = b x , dan cos θ = x/r maka :

  x dQ E = k _{, 2} ∫ ²

• r b x kx = dQ

  ∫ ^{2 2 3 / 2}

• (b x )

  sehingga kuat medan magnet pada titik P sejauh x dari pusat cincin :

  Contoh :

  θ

  Jawab : Dengan mengunakan persamaan (10) di mana : _{9 2 2} k = 9x10 Nm /C x = 50 cm = 0,5 m b = 10 cm = 0,1 m ₂₆ Q = 5x10 C/m _{9 − 6} kxQ

  9 x 10 ( , 5 )( 5 x 10 ) ₅ = = ≈

  E _{x 2 2 3 / 2 2 2 3 / 2} 1,697x10 N / C (b x ) ( , 1 , + + 5 ) 2 ! %

  Sekarang kita hitung kasus lain, yaitu medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat benda berbentuk cakram dengan jari2jari b seperti pada gambar : Kasus ini dapat dipandang sebagai

  θ

  penjumlahan dari muatan2muatan berbentuk cincin sebagaimana telah kita hitng sebelumnya. Cincin2cincin ini jari2jarinya membesar mulai dari r = 0 hingga r = b sehingga akhirnya berjari2jari r bermuatan dQ sebagai berikut : dQ = dE kx _{x 2 2 3 / 2}

• (r x ) dengan dQ = rapat muatan x luas cincin = ρ(2πr⋅dr) Medan akibat cincin ini kita integralkan dari r=0 hingga r=b, sehingga : _{b b}

  ρ π 2 rdr rdr E = kx = kx ρ _{x 2 2 3 / 2} 2 π _{2 2 3 / 2}

  ∫ ∫

• (r x ) (r x ) sekali lagi, ini tinggal persoalan kalkulus. Kita lakukan teknik substitusi variabel, di mana :
₂ 2<
• u = r x dan du = _b

  2 rdr _b (11) 1 du

  1 = ρ π = − ρπ

  E kx

  2 _{3 / 2} 2 kx

  ∫

  2 u ^{2 2}

• r x

   

  1

  1 = − ρπ − E 2 kx   x

• b x
^{2 2}     x

  E = 2 k ρπ 1 − 

• (12)
^{2 2 } b x

   

  ! $ &amp;&amp; Untuk pelat tak hingga, kita bisa menggunakan persamaan (11) dengan menganggap b = ∞ sehingga persamaan (12) menjadi:

    x E = 2 k ρπ 1 − ≈ 2 k ρπ ( 1 − )  ^{2 2 }

• b x  

  (13) ρπ

  E = k

  2

  5 4 6 #! !

  Teknik lain untuk menghitung medan magnet dari muatan kontinu adalah menggunakan hukum Gauss. Teknik yang digunakan Gauss relatif lebih mudah untuk kasus2kasus benda geometris. Sebelum kita melangkah lebih jauh dengan hukum Gauss, kita definisikan

  #

  sebuah besaran fisis yang akan kita gunakan nanti, yaitu fluks listrik Φ. Fluks listrik didefinisikan sebagai perkalian2titik medan listrik dan luas yang dilewatinya A, namun secara fisis fluks menggambarkan banyaknya garis medan magnet yang menembus sebuah permukaan luas. Jika kita ilustrasikan dalam gambar :

  $ ' ! ( ₍ ! 0. $ ' ! (

!

  $ ' ! ( + %#! $ ' ! ( + %#! _{o o} EA

  Φ = E ⋅ A = EA cos 30 =

  3

  Φ = E ⋅ A = EA cos = EA

  2

• 7 6 #! ! % # # $ # %#!

  Kita bisa membayangkan fluks magnetik ini dengan sebuah kipas angin yang menerpa selembar kertas, hembusan angin terasa lebih keras ketika kertas tegak lurus pada hembusan angin artinya vektor luas permukaan searah dengan arah hembusan angin, namun ketika kertas sejajar dengan arah hembusan angin, tekanan angin sangat minim.

• 8 (&amp; 9 #! $ &amp; ! +

  &amp;

  1 &amp; % #+ ! : " ! ! &amp; ! # # $

&amp; 1 ' ! ( # &amp; ' ! ( $ &amp;

" " : % ! 9 #! 1 % ! %#%

  Gauss menyatakan bahwa : “Jumlah Garis Gaya yang keluar dari suatu permukaan tertutup (atau fluks Φ) sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu” atau “Sumber dari sebuah medan magnet adalah muatan listrik”, jika diungkapkan dalam sebuah persamaan matematis :

  Q _dlm (14) Φ = ⋅ d =

  ∫ _S ε _o Q dlm adalah besarnya muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss.

  Hukum Gauss ini tidak akan dijelaskan terlalu detail karena kesulitan teknis mengingat anda belum mendapatkan dasar kalkulus yang cukup terutama tentang divergensi dan integral permukaan. Akan tetapi, kita akan gunakan hukum Gauss ini untuk menghitung kuat medan listrik dari sebuah benda2 benda geometris sederhana seperti bola, silinder, pelat tipis, sebab pada kenyataannya kita seringkali berhadapan dengan benda2benda geometris seperti ini, dan nantinya kita akan menggunakan hasil perhitungan kuat medan listrik tersebut untuk menghitung medan listrik pada sebuah

  Kita akan memulai menghitung medan listrik menggunakan hukum Gauss pada muatan titik sekaligus membuktikan kesesuaian medan listrik yang diperoleh hukum Coulomb pada persamaan (5) dengan hukum Gauss.

  # # ! ! # ! &amp;&amp;# ! 5#!#% # % #! ! 5#!#% 2(# (%

  Perhatikan sebuah muatan titik dengan besar muatan Q pada gambar 2.3 Muatan ini kita lingkupi dengan sebuah “permukaan Gauss” yang kta pilih berbentuk bola. Pemilihan bentuk permukaan Gasuss ini sebetulnya sekehendak kita, kita juga boleh saja memilih berbentuk kubus atau apapun, namun dengan mempertimbangkan , muatan harus terlingkupi

  ; #

  seluruhnya dan , kemudahan dalam perhitungan. Atas kedua dasar ini

  ! &amp;!#+ &amp; # $

  kita bentuk bola.

• %#! # #!

  Kita gunakan hukum Gauss pada persamaan (14) :

  ( &amp; #

  Q _dlm Φ = ⋅ d =

  ∫ _S ε _{o o} Q

  = θ = E dA cos

  ∫ _{S o} ε _o Q

  = E dA cos =

  ∫ _S ε _o

  Sudut θ adalah sudut yang dibentuk vektor permukaan dA dengan vektor

  &lt; = ! ! $ + %#! +

  medan E yang arahnya dalam hal ini sejajar, namun jika permukaan Gauss

  # #!

  , kedua vektor ini belum tentu sejajar bahkan mungkin

  !# # % ! # #

  berubah2ubah seperti yang anda lihat pada gambar 2.9. Inilah alasan kita

  &amp; &amp; '

  memilih permukaan Gauss berbentuk bola.

  % 1# ! _o

• $ # &amp; Karena cos0 adalah 1 maka :

  Q = E dA

  ∫ _{S o} ε

  2

  integral permukaan dari dA berarti luas permukaan bola, yaitu 4πr : _{2 Q} E 4 π R =

  ε _o

  1 Q E = ₂ 4 π ε R _o persis seperti medan listrik yang diturunkan melalui Coulomb pada bab I.

• 5#!#% # &amp; Misalnya kita memiliki pelat bermuatan positif persatuan luas ρ. Untuk menghitung medan listrik dengan hukum Gauss kita harus memilih sebuah ruang2volume yang melingkupi pelat bermuatan. Pada dasarnya kita bebas memilih bentuk ruang2volume ini, pda umumnya yang biasa dipakai berbentuk silinder, bola atau kubus. Pemilihan ini sangat bergantung pada kemudahan perhitungannya nanti. Misalnya, kita ambillah permukaan sebuah silinder berjari2jari r.

  . 6 #! ! 1 &amp; % % # # $ + %#! &amp;

• + ! &amp; + %#! # #!

  Pada gambar disamping kita bagi silinder menjadi tiga permukaan A1, A2,

  Pada A3 : E⋅A3⋅cos 0o : EA3 Pada A2 : E⋅A2⋅cos 90o : 0 Dengan demikian :

  

Q

Φ = = = ^dlm
• EdA E ( A A )
_{1 2} ∫ _{s o}

ε

  Karena A1 dan A3 merupakan luas pelat katakanlah A. Sehingga medan pada pelat bermuatan : =

  ε karena Q/A =σ, maka untuk pelat bermuatan kita dapatkan medan listrik :

  ρ = E

  (15)

  2 ε _o

  atau : πε

  1

  4 = ρ

  E 4 πε 2 ε

  = πρ k

  2 πρ

  E = 2 k persis seperti hasil yang diperoleh persamaan (13) 0 5#!#% # *( " * %#

  ≥≥≥≥ # % " #$

  Kuat medan magnet untuk benda bermuatann berbentuk bola dengan jari2 jari sejauh r seperti ditunjukkan gambar 2.6. Dengan menggunakan hukum Gauss :

  Q _dlm ⋅ d = ∫ _S ε _o

  Untuk menghitung medan listrik sejauh r kita pilih permukaan Gauss

  $ ' ! ( $ ! ( %#

$ &amp; $ + %#! #

  Karena arah vektor medan listrik searah dengan vektor permukaan (artinya _o sudutnya 0 ), maka : _{o dlm} Q = d cos( )

  ∫ _{S o} ε ₂ Q

  = E ( 4 π r ) = ε _o jarak r adalah radius permukaan Gauss yang kita pilih, sehingga medan listrik di luar bola pejal bermuatan adalah :

  1 Q ( ) = rˆ ₂ (16)

  ∈ 4̟ r

  # % " #$ &gt; Kuat medan pada titik di dalam bola pejal bermuatan sejauh a dari pusat dapat kita peroleh sebagai berikut :

  Q _dlm ⋅ d = ∫ _S ε _o

  ruas kiri akan menghaasilkan nlai yang sama seperti sebelumnya : _{2 dlm} Q

  4 ₃ π ³ r r

   

  3 Q = Q = _dlm  

  4 ₃  R 

  π R

  3 sehingga diperoleh kuat medan sejauh r di dalam bola berjari2jari R : r ³ ₂ ( )

  R π =

  ( 4 r ) E Q ε _o

    (17)

  1 Q E = r ₃   4 πε R _o  

  !(

  Medan lsitrik dalam bola pejal bermuatan mulau2mula naik secara linier sebagaimana ditunjukan persamaan (17), ketika sampai r = jari2jari bola R kuat medan menjadi persamaan (16) yang turun secara kuadratik sebanding ₂ dengan (1/r ). Jika diilustrasikan :

  ! # # # !# !

• %

  8 #

• %

  7

• # $ + *( " ( #! (
Contoh : Jawab :

  a. Karena jarak sejauh 2 cm berada di luar bola maka dengan menggunakan persamaan (16) :

  − ₆ Q ₉ 5 x

  10 ₆ = = =

  E k 9 x

  10 2 , 25 x

  10 N / C ₂ − ₂ r 2 x

  10

  b. Karena jarak sejauh 0,5 cm berada di luar bola maka dengan menggunakan persamaan (17) :

  − ⁶  

  ₉

5 x

10 − _{2 8} = = = = E r k r _{3 3} 9 x

10 ,

₃ 5 x

  10 2 , 25 x

  10 N / C   − ² 4 πε R R _{o (} 1 x 10 )  

• 3 5#!#% # *( ( &amp;&amp; ?!(+( &amp;@ Istilah “bola pejal” di sini penting karena jika bola tidak pejal namun berrongga (atau ), kuat medan di dalam bola bernilai nol namun di luar bola kuat medan seperti bola pejal. Untuk bola berrongga kuat perubahan kuat medannya jika diilustrasikan menghasilkan gambar berikut :

  # # !# ! # A.

• %

  7

• 5#!#% # B " &amp; * %# Untuk kawat panjang dengan muatan persatuan panjang ρ kita dihitung medan listrik sejauh r menggunakan hukum Gauss :

  Q _dlm ⋅ = d

  ∫ _{S o} ε

  dengan permukaan Gauss berupa silinder kita dapatkan ruas kiri pada persamaan Gauss : Q _dlm

  ⋅ ⋅ ⋅ = + + ε

• " &amp;

  B ^o

  karena sudut vektor E dengan A1 (tutup silinder) dan A3 (alas silinder)

• %# _{o o}

  adalah 90 , sedangkan terhadap A2 0 , maka : _{o o o dlm} Q ⋅ ⋅ ⋅ = + +

  E A cos ₁

  90 E A cos E A cos _{2 3}

  90 ε _o

  Q _dlm ⋅ =

  E A ₂ ε _o sedangkan A2 adalah luas selimut silinder yaitu 2πrL Maka kuat medan sejauh r dari kawat adalah sebagai berikut :

  1 Q _dlm =

  E 2 π r ε L _o ρ

  1 (18)

  = rˆ ε

  2̟ r _o

• 5#!#% # " &amp; * %# Untuk kawat berbentuk silnider berrongga, maka medan listik # akan menghasilkan nilai yang sama dengan kawat panjang :

  (19) 1 ρ = rˆ

  2̟ ε r _o Medium konduktor memiliki kekhususan tesendiri ketika dipengaruhi

  ! (

  medan listrik. Sebagaimana kita katahui bahwa dalam konduktor terdapat muatan2muatan (dalam hal ini elektron) yang tidak terikat pada atom dan dapat bergerak secara acak dan bebas. Semakin banyak elektron bebas tersebut maka medium tersebut akan makin konduktif. Jika terdapat medan listrik dari luar perilaku elektron berubah dan bergerak hingga permukaan konduktor sedemikian sehingga medan listrik di dalam konduktor menjadi nol.

  8 ! (

  Dalam konduktor gambar 2.18 elektron dan muatan positif di dalamnya

  %

!( #! ( terpolarisasi (terpisah) pada kedua sisi konduktor sehingga menimbulkan

  medan listrik di dalam i konduktor yang awahnya berlawanan dengan medan listrik luar o sehingga jumlah medan listrik di dalam konduktor nol .

  ( A.

  ; ! % !( #! ( $ ( ! %# &amp; ! ! + % % #! % 1 &amp; % B % #

  Dengan demikian jika muatan listrik merupakan bola pejal konduktor, silinder konduktor dll, maka penerapan hukum Gauss untuk menghitung medan listrik akan menghasilkan nilai yang berbeda dengan yang telah kita

  5#!#% *( ( #! ( + # ! # ( !( #! (

  $ ' ! ( &lt; ! # $ ( !( #! ( " #$

  Medan listrik di luar bola konduktor akan menghasilkan nilai yang sama dengan bola pejal sebelumnya, yaitu : (20)

  1 Q ˆ

  = ₂ 4 πε r _o ! % ( !( #! (

  Medan listrik di dalam bola konduktor (dan semua konduktor) adalah nol karena seluruh muatan diasumsikan berada dalam permukaan konduktor sehiingga :

  Q _dlm

  (21) ⋅ d = = maka A .

  ∫ _S ε _o

  Jika kita skesta dalam gafik maka akan kita dapatkan seperti bola berrongga pada gambar 2.14 :

  # # !# ! # % . +

  1 Q E = ₂ πε

  

4

  

1. Muatan garis dengan kerapatan muatan 4 C/cm sepanjang 4 cm,

  diletakkan dalam koordinat kartesius dari x = 0 hingga x = 4 hitunglah :

  a. Muatan total dari garis

  b. Medan listrik di x = 5 cm

  c. Medan listrik di x = 250 m

  

2. Hitung medan listrik dari benda yang dianggap muatan titik dengan

  muatan 16 C sejauh 250 meter dan bandingkan hasilnya dengan nomor 1.d di atas

  

3. Hitunglah medan listrik dari sebuah garis bermuatan sepanjang 50 cm

  dengan rapat muatan 15 C/m pada jarak 20 cm pada arah sepanjang garis seperti pada gambar :

  . /%

• . /%

  4. Hitunglah medan listrik dari sebuah . /%

  garis bermuatan sepanjang 50 cm dengan rapat muatan 5 C/m pada

• . /%

  jarak 10 cm tegak lurus garis seperti pada gambar :

  

5. Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari2jari 5

  cm dengan muatan 15 C pada titik P sejauh 15 cm tegak lurus dari pusat cincin

  6. Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari2jari 5

  cm dengan muatan 15 C di pusat cincin ₃ 7. Bola bermuatan 4 x 10 C berjari2jari 2 cm berada dalam medium udara.

  Berapakah medan listrik yang ditimbulkannya pada jarak :

  a. 4 cm dari pusat bola

  b. 1 cm dari pusat bola ₃

  8. Bola konduktor bermuatan 4 x 10 C berjari2jari 2 cm berada dalam

  medium udara. Hitunglah kuat medan listrik yang ditimbulkannya pada jarak : a. 4 cm dari pusat bola

  b. 1 cm dari pusat bola

  9. Hitunglah medan listrik di titik P dari sebentuk kawat bermuatan yang

  terdiri dari dua kawat lurus identik dengan muatan masing2masing 15 C yang dirangkai dengan kawat setengah lingkaran dengan muatan 15 C seperti gambar di bawah ini

  /% 3 /%

  10. Sebuah cakram dengan jari 20 cm dengan kerapatan muatan terdistribusi

3 /% merata 2 C/cm2. Hitunglah kuat medan listrik sejauh 10 cm dari pusat

  cakram.

  11. Dua kawat panjang bermuatan 4 C/cm sepanjang 5 cm ditempatkan

  secara sejajar seperti pada gambar. Hitunglah kuat medan lsitrik

  a. Di tengah antara dua kawat

  b. 2 cm di kiri kawat pertama

  c. 2 cm di kanan kawat kedua