Eliminasi Gauss Teknik Industri Semester

Eliminasi Gauss Jordan &

Operasi Baris Elementer

• _{Matriks m x n adalah}

susunan bilangan yang berbentuk segi empat dimana:

m = banyaknya baris.

n = banyaknya kolom.

a

_ij = elemen pada baris ke-i kolom ke-j

Terminologi

• _{Matriks real adalah matriks yang}

seluruh elemennya bilangan real.

• _m _{n dikatakan sebagai ukuran}

matriks.

• _{Jika m=n , maka disebut matriks}

bujur sangkar yang ukurannya n

(square matrix of order n).

• _{Dari sebuah sistem persamaan, dapat}

dibuat matriks koefisien dan augmented matriksnya.

• _{Matriks koefisien dan augmented}

matriks adalah cara lain untuk

menyatakan suatu sistem persamaan.

• _{Sistem tersebut dapat diselesaikan}

dengan menggunakan operasi baris

elementer untuk mengubah augmented

Operasi baris elementer (OBE)

• _{sebuah prosedur eliminasi yang}

didasarkan pada gagasan untuk

mereduksi matriks menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga SPL dapat

dipecahkan dengan memeriksa sistem tsb yang pada akhirnya akan menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi

Mengalikan

Operasi Baris Elementer (OBE)

     

   

5 1 0 0

2 6 1 0

7 3 4 1

     

   

3 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1

Sampai didapatkan

atau

Operasi Baris Elementer (OBE)

• _{Di setiap baris, angka pertama}

selain 0 harus 1 (leading 1).

• _{Jika ada baris yang semua}

elemennya nol, maka harus

dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

• _{Jika ada baris yang leading}

1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

• _{Jika kolom yang memiliki leading}

1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

• _{Dua buah matriks dikatakan ekivalen baris jika salah}

satunya merupakan hasil operasi baris elementer dari matriks lainnya.

• _{Sebuah matriks dikatakan berbentuk eselon baris jika:}  _{Baris yang seluruh elemennya nol terletak di lapisan}

bawah.

 _{Baris yang mempunyai elemen bukan nol, elemen}

bukan nol yang paling kiri adalah 1.

 _{Dua baris bukan nol yang berurutan , baris yang di}

lapisan atas elemen 1 nya lebih ke kiri dibanding elemen 1 baris di lapisan bawahnya.

Contoh Matriks Eselon Baris:

Sebuah matriks dikatakan berbentuk eselon baris terreduksi jika:

_{Sudah berbentuk eselon baris.}

_{Elemen bukan 0 paling kiri (angka 1)}

dlm setiap baris merupakan satu-satunya

elemen bukan 0 (angka 1) dalam kolom ybs.

Contoh Matriks Eselon Baris Terreduksi:

Eliminasi Gauss pada Matriks

1. Dari sistem persamaan, tulislah augmented

matriksnya.

2. Gunakan operasi baris elementer untuk mendapatkan matriks ekivalen yang

berbentuk eselon baris.

3. Dari matriks yang sudah berbentuk eselon baris tersebut tulislah dalam bentuk sistem persamaan.

4. Gunakan substitusi balik untuk mendapatkan penyelesaian sistem tersebut.

Eliminasi Gauss Jordan

• _{Pada eliminasi Gauss-Jordan, operasi}

baris elementer terhadap augmented matriks dilanjutkan sampai diperoleh bentuk eselon baris terreduksi.

(seperti di bawah ini)

1 0 0

a

0 1 0

b

0 0 1

c

















Contoh Eliminasi Gauss-Jordan

0 5 6 3 1 3 4 2 9 2          z y x z y x z y x             0 5 6 3 1 3 4 2 9 2 1 1 0 5 6 3 17 7 4 9 2          z y x z y z y x              0 5 6 3 17 7 2 0 9 2 1 1

B2  -2x B1+B2

B3  -3x B1+B3

              27 11 3 0 17 7 2 0 9 2 1 1 27 11 3 17 7 4 9 2          z y z y z y x

Contoh (ljt)

B2  1/2xB2

B3  -3x B2+B3

              27 11 3 0 2 / 17 2 / 7 1 0 9 2 1 1 27 11 3 2 / 17 2 / 7 9 2          z y z y z y x               2 / 3 2 / 1 0 0 2 / 17 2 / 7 1 0 9 2 1 1 2 / 3 2 / 1 2 / 17 2 / 7 9 2          z z y z y x

Contoh (ljt)

SEHINGGA

B1  -1xB2+B1

B1  -11/2x B3+B1 B2  7/2xB3+B2 B3  -2x B3

            3 1 0 0 2 / 17 2 / 7 1 0 9 2 1 1 3 2 / 17 2 / 7 9 2        z z y z y x             3 1 0 0 2 / 17 2 / 7 1 0 2 / 35 2 / 11 0 1 3 2 / 17 2 / 7 2 / 35 2 / 11       z z y z x           3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 3 2 1    z y x

x = 1, y = 2, z = 3

Eliminasi Gauss  matriks segitiga

Eliminasi Gauss-Jordan 

BI+(-2)B3 B2+ (7/2)B3

B1+(-1)B2

Kembalikan ke bentuk persaman biasa, diperoleh: x1 = 1

X2 = 2

SPL Homogen

• _{Sistem persamaan linear yang berbentuk}

0 ...

. .

0 ...

0 ...

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

 

 

 

 

 

 

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x

a

x a x

a x

a

x a x

a x

a

• SPL Homogen senantiasa punya solusi karena x₁ = 0, x₂ = 0, …, x_n = 0 selalu merupakan solusi dari sistem tersebut.

• Solusi tersebut dinamakan solusi trivial (tak sejati)

• Jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi tak trivial (sejati).

Contoh

Matriks yang diperbesar dari sistem tersebut

0 0 2 0 3 2 0 2 2 5 4 3 5 3 2 1 5 4 3 2 1 5 3 2 1                  x x x x x x x x x x x x x x x x                   0 1 1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 3 2 1 1 0 1 0 1 2 2 ~ 3 1 B B                    0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 2 2 0 1 3 2 1 1 0 1 0 2 1 1

Contoh (Ljt)

~

2 1 3

32 1B 2B BB B B

               0 1 1 1 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 2 1 1

~

2 B4

B                 0 0 3 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 2 1 1

~

3 2 3 31 2 B2 B1 BB B B

              0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 1 1

~

3 3 1 B             

 3 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 1 1

Contoh (Ljt)

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

0 0 0 4 5 3 5 2 1       x x x x x x  0 4 5 3 5 2 1       x x x x x x 

x₁ = - s – t x₂ = s

x₃ = -t x₄ = 0 x₅ = t

Solusi SPL Homogen di atas adalah

                                                                                         R t dan R s , t 1 0 1 0 1 s 0 0 0 1 1 x x x x x x x x x x 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1

~

3 4

3

4 3 2

2 2 3 1 1

B B

B B B BB B B

                   0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1

Latihan:

1. 3x + 2y = 5 x + y = 2

2. 2X1 + X2 + 4X3 = 8 3X1 + 2X2 + X3 = 10 X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Latihan:

3. 2x + y + z = 4

X – y – z = -1

SPL Homogen

• _{Sistem persamaan linear yang berbentuk}

0 ...

. .

0 ...

0 ...

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

 

 

 

 

 

 

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x

a

x a x

a x

a

x a x

a x

a

• SPL Homogen senantiasa punya solusi karena x₁ = 0, x₂ = 0, …, x_n = 0 selalu merupakan solusi dari sistem tersebut.

• Solusi tersebut dinamakan solusi trivial (tak sejati)

• Jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi tak trivial (sejati).

Contoh

Matriks yang diperbesar dari sistem tersebut

0 0 2

0 3

2

0 2

2

5 4

3

5 3

2 1

5 4

3 2

1

5 3

2 1

 



 

 

 

 

 

 

 

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

   

 

   

 

 

 





0 1

1 1

0 0

0 1

0 2

1 1

0 1

3 2

1 1

0 1

0 1

2 2

~

3

1 B B 

   

 

   

 



 



 

0 1

1 1

0 0

0 1

0 1

2 2

0 1

3 2

1 1

0 1

0 2

1 1

Contoh (Ljt)

~

2 1 3

32 1B 2B BB B B

               0 1 1 1 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 2 1 1

~

2 B4

B                 0 0 3 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 2 1 1

~

3 2 3

31 2 B2 B1 BB B B

              0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 1 1

~

3 3 1 B             

 3 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 1 1

Contoh (Ljt)

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

0 0 0 4 5 3 5 2 1       x x x x x x  0 4 5 3 5 2 1       x x x x x x 

x₁ = - s – t x₂ = s

x₃ = -t x₄ = 0 x₅ = t

Solusi SPL Homogen di atas adalah

                                                                                         R t dan R s , t 1 0 1 0 1 s 0 0 0 1 1 x x x x x x x x x x 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1

~

3 4

3

4 3 2

2 2 3 1

1

B B

B B B

BB B B

                   0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1

Latihan:

1. 3x + 2y = 5

x + y = 2

2. 2X1 + X2 + 4X3 = 8

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Latihan:

3. 2x + y + z = 4

X

– y – z = -1