baris dan deret di Indonesia
Kelompok 4
“Barisan dan Deret”
Disusun Oleh:
Raden Irfan A G
M.Mulyana Dede s
M. ikbaL
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG
Barisan
dan
Deret
Pola
Bilangan
Notasi
Sigma
Barisan
dan Deret
Aritmatik
a
Barisan
dan Deret
Geometri
Induksi
Matemati
ka
Aplikasi
Barisan
dan Deret
Pola Bilangan
Pola bilangan adalah himpunan bilangan – bilangan yang
diurutkan dengan pola gambar ataupun pola bilangan.
Macam – macam pola bilangan dengan pola – pola tertentu
adalah sebagai berikut :
1. Pola bilangan ganjil
2. Pola bilangan genap
3. Pola bilangan persegi
4. Pola bilangan persegi panjang
5. Pola bilangan segitiga
6. Pola bilangan segitiga pascal
Pola Bilangan Ganjil
•
•
•
•
1 titik 3 titik
5 titik
Gambar tersebut merupakan pola titik – titik yang
menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan suatu
dengan banyak titik , yaitu 1 , 3 , 5 , 7 , 9
Bilangan 1 , 3 , 5 , 7 , 9 merupakan anggota dari
himpunan bilangan ganjil , jadi pola titik – titik tersebut
membentuk pola bilangan ganjil.
Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n x n = n 2
1 + 3 + 5 + 7 + 9+ … + n = n2
Contoh soal :
Tentukan jumlah 8 bilangan asli ganjil yang pertama !
Jawab :
Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n 2
n2 = 82 = 64
Pola Bilangan Genap
•
•
•
•
2 titik 4 titik 6 titik
Gambar tersebut
merupakan pola titik – titik yang
menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan dengan banyak
titik , yaitu 2 , 4 , 6 , 8 , 10 .
Bilangan 2 , 4 , 6 , 8 , 10 merupakan anggota dari himpunan
bilangan genap , jadi pola titik – titik tersebut membentuk
pola bilangan genap.
Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = (n + 1 ) n = n
( n + 1 ).
2 + 4 + 6 +8 + 10 + … + n = n (n +1 )
Contoh soal :
Tentukan jumlah 10 bilangan asli genap yang pertama !
Jawab :
Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = n ( n + 1 )
n ( n + 1 ) = 10 ( 10 + 1 )
= 10 ( 11 )
= 110
Pola Bilangan Persegi
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola
bilangan persegi.
1
4
9
Aturan dari pola bilangan persegi adalah sebagai
berikut :
Suku kesatu : 1 = 1
Suku kedua : 4 = 22
Pola Bilangan Persegi Panjang
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan . Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan
persegi panjang.
2
6
12
Aturan dari pola bilangan persegi panjang adalah sebagai
berikut :
Suku kesatu : 2 = 1 x 2
Suku kedua : 6 = 2 x 3
Suku Ketiga : 12 = 3 x 4 dan seterusnya
Pola Bilangan Segitiga
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola
bilangan segitiga.
1
3
6
Aturan dari pola bilangan segitiga adalah sebagai
berikut :
Suku kesatu : 1 = 1
Suku Kedua: 3 = 1 + 2
Suku ketiga : 6 = 1 + 2 + 3 dan seterusnya .
Pola Bilangan Segitiga Pascal
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan
segitiga pascal.
1
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Bilangan pada baris ke – n pada bilangan segitiga pascal , diperoleh
dengan :
Meletakan angka 1 pada setiap ujung baris ke – n
Menjumlahkan 2 bilangan yang berdekatan yang terdapat pada baris
yang ada tepat di atasnya ( baris ke ( n – 1 )) .
Jumlah bilangan pada baris ke – n pada pola bilangan segitiga pascal
adalah 2n-1
Notasi Sigma
•Perhatikan
penjumlahan bilangan – bilangan di bawah ini .
1 + 2 + 3 + 4 + … + 50
Jika semua suku – sukunya ditulis , cara penulisan
penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika
banyak bilangan yang dijumlahkan semakin besar .
Dengan menggunakan notasi sigma , penulisan tersebut
dapat dipersingkat menjadi ( dibaca : sigma k yang
bergerak mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50 ).
Huruf k digunakan sebagai variabel penjumlahan yang
akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai
50 . Bilangan 1 disebut batas bawah ( nilai awal ) dan 50
disebut batas atas ( nilai akhir ) penjumlahan.
•
Secara
Umum , notasi sigma dinyatakan sebagai berikut
:
Keterangan
n
k
Uk
: l = batas bawah
= batas atas
= indeks
= suku umum
Sifat – Sifat Notasi Sigma
•Secara
Umum sifat – sifat notasi sigma adalah sebagai
berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
•Contoh
soal
Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan notasi
sigma berikut :
a.
b.
Jawab:
a.
b.
Barisan dan Deret
a. Barisan bilangan
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang
diurutkan menurut aturan tertentu.
Suku – suku barisan barisan bilangan ditulis dengan
notasi Un maka bilangan pertama disebut dengan suku
pertama dan ditulis U1.Bilangan kedua dengan suku
kedua dan ditulis U2. Bilangan ke – n disebut dengan
suku ke – n dan ditulis Un.
Misalkan terdapat pola bilangan sebagai berikut :
1 ,3 , 5 , 7
Diketahui suku pertama dari barisan tersebut adalah 1
atau U1 . Suku kedua adalah 3 atau U2. Suku ketiga
adalah 5 atau U3. Suku keempat adalah 7 atau U4 dan
seterusnya.
Jadi bentuk umum barisan bilangan adalah U , U ,U ,
b. Deret Bilangan
Deret Bilangan adalah jumlah suku – suku pada suatu
barisan bilangan.
Adapun bentuk umum deret bilangan adalah sebagai
berikut :
Sn = U1 +U2+U3+…+Un
Ketrangan: Sn = Deret Bilangan
•
Un = Suku pada bilangan.
Barisan dan deret pada bilangan dibagi menjadi 2
bagian yaitu :
1.Barisan dan Deret Aritmatika
2. Barisan dan Deret Geometri
Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh
dari suku sebelumnya ditambah suatu bilangan tetap
Adapun rumus umum suku ke – n barisan aritmatika adalah :
Un = a + (n – 1 ) b
Un = suku ke - n
a = suku pertama
b = beda ( b = Un - Un-1 )
n = banyaknya suku
Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku dari suatu barisan aritmatika.
Adapun rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :
Sn = ½ n ( a + U n )
Sn = ½ n ( 2a + ( n – 1 ) b )
Keterangan : Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku
Contoh soal :
Diketahui suatu barisan
aritmatika -3 , 2 , 7 , 12 ,
…
Tentukan :
a. Suku ke – 8
b. Jumlah 8 suku pertama
Jawab :
Diketahui :
a = -3
b=2–(-3)= 5
n=8
Ditanyakan : a. U8 ?
b. S8 ?
Jawab :
a. Un = a + ( n – 1 ) b
U8 = -3 + ( 8 – 1 ) 5
U8 = -3 + ( 7 ) 5
U8 = -3 + 35
U8 = 32
b. Sn = ½ n ( a + Un )
S8 = ½ 8 ( -3 + 32 )
S8 = ½ 8 ( 29 )
S8 = ½ 232
S8 = 116
Barisan dan Deret Geometri
Geometri
•Barisan
Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap
sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan
suatu bilangan tetap (konstan ).
Adapun rumus umum suku ke – n barisan geometri adalah :
Un = arn-1
Keterangan : Un = suku ke – n
a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku
Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah suku – suku dari suatu
barisan geometri.
Adapun rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri
adalah :
Contoh
Soal
•
Diketahui suatu barisan geometri
2 , 6 , 18 , 54 …..
Tentukan :
a. Suku ke – 7
b. Jumlah 7 suku pertama
Jawab :
Diketahui : a = 2
r=
n=7
Ditanyakan : a. U7 ?
b.S7 ?
Jawab :
a. Un = arn-1
U7 = 2( 37-1 )
U7 = 2 ( 36 )
U7 = 2 (729)
U7 =1458
•
b.
Deret Geometri Tak Hingga
•Deret
geometri tak berhingga adalah deret geometri
yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya.
Adapun rumus jumlah deret geometri tak berhingga
adalah :
•Contoh
soal :
Diketahui suatu barisan geometri tak berhingga 1 + 1/2
+ 1/4 + 1/8 + …
Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret tersebut
!
Jawab :
Induksi Matematika
Induksi Matematika adalah suatu cara pembuktian untuk
membuktikan rumus yang memuat variabel n dan
berlaku umntuk setiap n bilangan asli.
Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut :
Misalkan P ( n ) = suatu rumus , untuk bilangan asli n
a. Misalkan P ( n ) benar untuk n = 1
b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k
c. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = k + 1
Jika ketiga langkah tersebut sudah diakukan dan diuji
kebenarannya maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P
( n ) berlaku untuk setiap n bilangan asli.
Contoh
soal :
•
Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n 2 berlaku untuk setiap n A
Jawab :
Misalkan P ( n ) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n 2
Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut :
a. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = 1
2n – 1 = n2
2 . 1 – 1 = 12
2–1=1
1 = 1Jadi , P ( n ) benar untuk n = 1
b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1 ) = k 2 ( benar )
c. Dibuktikan P ( n ) benar untuk n = k + 1 , berarti harus dibuktikan bahwa 1 +
3 + 5 + 7 + … + (2k – 1 ) + ( 2 ( k+1 ) – 1 ) = ( k+1) 2 ( benar )
Dari langkah kedua , diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + … +( 2k – 1 ) = k 2
Jika kedua ruas ditambah ( 2 ( k +1 ) – 1 ) , diperoleh
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1 )+ ( 2 ( k +1 ) -1 ) = k 2 + ( 2 ( k + 1 ) - 1 )
= k2 + ( 2k +2 – 1 )
= k2 + 2k + 1
= ( k+1 )2
Aplikasi Barisan dan Deret
1.
Setiap
minggu
Agnes
memasukkan uang ke celengan.
Akhir minggu pertama , ia
memasukkan Rp 1.000,00 . Akhir
minggu kedua , ia memasukkan
Rp 1.500,00 . Akhir minggu
ketiga , ia memasukkan Rp
2.000,00 demikian seterusnya.
Berapa
besar
uang
yang
dimasukkan Agnes pada akhir
bulan ke- 20 ?
Jawab :
Diketahui : a = 1000
b = 1500 - 1000 = 500
n = 20
Ditanyakan : a. S20 ?
Un = a + ( n – 1 ) b
U20 = 1000 + ( 20 – 1 ) 500
U20 = 1000 + ( 19 ) 500
U20 = 1000 + 9500
U20 = 10500
Sn = ½ n ( a + U n )
S20 = ½ 20 ( 1000 + 10500
)
S20 = ½ 20 ( 11500 )
S20 = ½ 230000
S20 = 115000
• :
Soal
1. Diketahui suatu barisan aritmatika 2 , 9 , 16 , 23 , …
Tentukan :
a. Suku ke – 20
b. Jumlah 20 suku pertama
2. Buktikan bahwa 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 )
=3n2 berlaku untuk setiap n A
Jawab :
Diketahui : a = 2
b=9-2=7
n = 20
Ditanyakan : a. U20 ?
b.S20 ?
a. Un = a + ( n – 1 ) b
U20 = 2 + ( 20 – 1 ) 7
U20 = 2 + ( 19 ) 7
U20 = 2 +133
U20 = 135
b. Sn = ½ n ( a + Un )
S20 = ½ 20 ( 2 + 135 )
S20 = ½ 20 ( 137 )
S20 = ½ 2740
S20 = 1370
Jawab :
Misalkan P ( n ) adalah 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 ) = 3n 2
Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut :
a. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = 1
6n – 3 = 3n2
6 . 1 – 3 = 3 (1)2
6 – 3 = 3.1
3=3
Jadi , P ( n ) benar untuk n = 1
b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k
3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6k – 3 ) = 3k2 ( benar )
c. Dibuktikan P ( n ) benar untuk n = k + 1 , berarti harus dibuktikan
bahwa 3 + 9 + 15 + 21 + … + (6k – 3 ) + ( 6 ( k+1 ) – 3 ) = 3( k+1) 2
( benar )
Dari langkah kedua , diperoleh 3 + 9 + 15 + 21 + … +( 6k – 3 ) = 3k 2
Jika kedua ruas ditambah ( 6 ( k +1 ) – 3 ) , diperoleh
3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6k – 3 )+ ( 6 ( k +1 ) -3 ) = 3k 2 + ( 6 ( k + 1 ) 3)
= 3k2 + ( 6k +6 – 3 )
= 3k2 + 6k + 3
= 3( k+1 )2
“Barisan dan Deret”
Disusun Oleh:
Raden Irfan A G
M.Mulyana Dede s
M. ikbaL
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG
Barisan
dan
Deret
Pola
Bilangan
Notasi
Sigma
Barisan
dan Deret
Aritmatik
a
Barisan
dan Deret
Geometri
Induksi
Matemati
ka
Aplikasi
Barisan
dan Deret
Pola Bilangan
Pola bilangan adalah himpunan bilangan – bilangan yang
diurutkan dengan pola gambar ataupun pola bilangan.
Macam – macam pola bilangan dengan pola – pola tertentu
adalah sebagai berikut :
1. Pola bilangan ganjil
2. Pola bilangan genap
3. Pola bilangan persegi
4. Pola bilangan persegi panjang
5. Pola bilangan segitiga
6. Pola bilangan segitiga pascal
Pola Bilangan Ganjil
•
•
•
•
1 titik 3 titik
5 titik
Gambar tersebut merupakan pola titik – titik yang
menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan suatu
dengan banyak titik , yaitu 1 , 3 , 5 , 7 , 9
Bilangan 1 , 3 , 5 , 7 , 9 merupakan anggota dari
himpunan bilangan ganjil , jadi pola titik – titik tersebut
membentuk pola bilangan ganjil.
Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n x n = n 2
1 + 3 + 5 + 7 + 9+ … + n = n2
Contoh soal :
Tentukan jumlah 8 bilangan asli ganjil yang pertama !
Jawab :
Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n 2
n2 = 82 = 64
Pola Bilangan Genap
•
•
•
•
2 titik 4 titik 6 titik
Gambar tersebut
merupakan pola titik – titik yang
menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan dengan banyak
titik , yaitu 2 , 4 , 6 , 8 , 10 .
Bilangan 2 , 4 , 6 , 8 , 10 merupakan anggota dari himpunan
bilangan genap , jadi pola titik – titik tersebut membentuk
pola bilangan genap.
Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = (n + 1 ) n = n
( n + 1 ).
2 + 4 + 6 +8 + 10 + … + n = n (n +1 )
Contoh soal :
Tentukan jumlah 10 bilangan asli genap yang pertama !
Jawab :
Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = n ( n + 1 )
n ( n + 1 ) = 10 ( 10 + 1 )
= 10 ( 11 )
= 110
Pola Bilangan Persegi
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola
bilangan persegi.
1
4
9
Aturan dari pola bilangan persegi adalah sebagai
berikut :
Suku kesatu : 1 = 1
Suku kedua : 4 = 22
Pola Bilangan Persegi Panjang
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan . Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan
persegi panjang.
2
6
12
Aturan dari pola bilangan persegi panjang adalah sebagai
berikut :
Suku kesatu : 2 = 1 x 2
Suku kedua : 6 = 2 x 3
Suku Ketiga : 12 = 3 x 4 dan seterusnya
Pola Bilangan Segitiga
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola
bilangan segitiga.
1
3
6
Aturan dari pola bilangan segitiga adalah sebagai
berikut :
Suku kesatu : 1 = 1
Suku Kedua: 3 = 1 + 2
Suku ketiga : 6 = 1 + 2 + 3 dan seterusnya .
Pola Bilangan Segitiga Pascal
Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola
bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan
segitiga pascal.
1
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Bilangan pada baris ke – n pada bilangan segitiga pascal , diperoleh
dengan :
Meletakan angka 1 pada setiap ujung baris ke – n
Menjumlahkan 2 bilangan yang berdekatan yang terdapat pada baris
yang ada tepat di atasnya ( baris ke ( n – 1 )) .
Jumlah bilangan pada baris ke – n pada pola bilangan segitiga pascal
adalah 2n-1
Notasi Sigma
•Perhatikan
penjumlahan bilangan – bilangan di bawah ini .
1 + 2 + 3 + 4 + … + 50
Jika semua suku – sukunya ditulis , cara penulisan
penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika
banyak bilangan yang dijumlahkan semakin besar .
Dengan menggunakan notasi sigma , penulisan tersebut
dapat dipersingkat menjadi ( dibaca : sigma k yang
bergerak mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50 ).
Huruf k digunakan sebagai variabel penjumlahan yang
akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai
50 . Bilangan 1 disebut batas bawah ( nilai awal ) dan 50
disebut batas atas ( nilai akhir ) penjumlahan.
•
Secara
Umum , notasi sigma dinyatakan sebagai berikut
:
Keterangan
n
k
Uk
: l = batas bawah
= batas atas
= indeks
= suku umum
Sifat – Sifat Notasi Sigma
•Secara
Umum sifat – sifat notasi sigma adalah sebagai
berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
•Contoh
soal
Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan notasi
sigma berikut :
a.
b.
Jawab:
a.
b.
Barisan dan Deret
a. Barisan bilangan
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang
diurutkan menurut aturan tertentu.
Suku – suku barisan barisan bilangan ditulis dengan
notasi Un maka bilangan pertama disebut dengan suku
pertama dan ditulis U1.Bilangan kedua dengan suku
kedua dan ditulis U2. Bilangan ke – n disebut dengan
suku ke – n dan ditulis Un.
Misalkan terdapat pola bilangan sebagai berikut :
1 ,3 , 5 , 7
Diketahui suku pertama dari barisan tersebut adalah 1
atau U1 . Suku kedua adalah 3 atau U2. Suku ketiga
adalah 5 atau U3. Suku keempat adalah 7 atau U4 dan
seterusnya.
Jadi bentuk umum barisan bilangan adalah U , U ,U ,
b. Deret Bilangan
Deret Bilangan adalah jumlah suku – suku pada suatu
barisan bilangan.
Adapun bentuk umum deret bilangan adalah sebagai
berikut :
Sn = U1 +U2+U3+…+Un
Ketrangan: Sn = Deret Bilangan
•
Un = Suku pada bilangan.
Barisan dan deret pada bilangan dibagi menjadi 2
bagian yaitu :
1.Barisan dan Deret Aritmatika
2. Barisan dan Deret Geometri
Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh
dari suku sebelumnya ditambah suatu bilangan tetap
Adapun rumus umum suku ke – n barisan aritmatika adalah :
Un = a + (n – 1 ) b
Un = suku ke - n
a = suku pertama
b = beda ( b = Un - Un-1 )
n = banyaknya suku
Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku dari suatu barisan aritmatika.
Adapun rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :
Sn = ½ n ( a + U n )
Sn = ½ n ( 2a + ( n – 1 ) b )
Keterangan : Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku
Contoh soal :
Diketahui suatu barisan
aritmatika -3 , 2 , 7 , 12 ,
…
Tentukan :
a. Suku ke – 8
b. Jumlah 8 suku pertama
Jawab :
Diketahui :
a = -3
b=2–(-3)= 5
n=8
Ditanyakan : a. U8 ?
b. S8 ?
Jawab :
a. Un = a + ( n – 1 ) b
U8 = -3 + ( 8 – 1 ) 5
U8 = -3 + ( 7 ) 5
U8 = -3 + 35
U8 = 32
b. Sn = ½ n ( a + Un )
S8 = ½ 8 ( -3 + 32 )
S8 = ½ 8 ( 29 )
S8 = ½ 232
S8 = 116
Barisan dan Deret Geometri
Geometri
•Barisan
Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap
sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan
suatu bilangan tetap (konstan ).
Adapun rumus umum suku ke – n barisan geometri adalah :
Un = arn-1
Keterangan : Un = suku ke – n
a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku
Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah suku – suku dari suatu
barisan geometri.
Adapun rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri
adalah :
Contoh
Soal
•
Diketahui suatu barisan geometri
2 , 6 , 18 , 54 …..
Tentukan :
a. Suku ke – 7
b. Jumlah 7 suku pertama
Jawab :
Diketahui : a = 2
r=
n=7
Ditanyakan : a. U7 ?
b.S7 ?
Jawab :
a. Un = arn-1
U7 = 2( 37-1 )
U7 = 2 ( 36 )
U7 = 2 (729)
U7 =1458
•
b.
Deret Geometri Tak Hingga
•Deret
geometri tak berhingga adalah deret geometri
yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya.
Adapun rumus jumlah deret geometri tak berhingga
adalah :
•Contoh
soal :
Diketahui suatu barisan geometri tak berhingga 1 + 1/2
+ 1/4 + 1/8 + …
Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret tersebut
!
Jawab :
Induksi Matematika
Induksi Matematika adalah suatu cara pembuktian untuk
membuktikan rumus yang memuat variabel n dan
berlaku umntuk setiap n bilangan asli.
Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut :
Misalkan P ( n ) = suatu rumus , untuk bilangan asli n
a. Misalkan P ( n ) benar untuk n = 1
b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k
c. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = k + 1
Jika ketiga langkah tersebut sudah diakukan dan diuji
kebenarannya maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P
( n ) berlaku untuk setiap n bilangan asli.
Contoh
soal :
•
Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n 2 berlaku untuk setiap n A
Jawab :
Misalkan P ( n ) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n 2
Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut :
a. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = 1
2n – 1 = n2
2 . 1 – 1 = 12
2–1=1
1 = 1Jadi , P ( n ) benar untuk n = 1
b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1 ) = k 2 ( benar )
c. Dibuktikan P ( n ) benar untuk n = k + 1 , berarti harus dibuktikan bahwa 1 +
3 + 5 + 7 + … + (2k – 1 ) + ( 2 ( k+1 ) – 1 ) = ( k+1) 2 ( benar )
Dari langkah kedua , diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + … +( 2k – 1 ) = k 2
Jika kedua ruas ditambah ( 2 ( k +1 ) – 1 ) , diperoleh
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1 )+ ( 2 ( k +1 ) -1 ) = k 2 + ( 2 ( k + 1 ) - 1 )
= k2 + ( 2k +2 – 1 )
= k2 + 2k + 1
= ( k+1 )2
Aplikasi Barisan dan Deret
1.
Setiap
minggu
Agnes
memasukkan uang ke celengan.
Akhir minggu pertama , ia
memasukkan Rp 1.000,00 . Akhir
minggu kedua , ia memasukkan
Rp 1.500,00 . Akhir minggu
ketiga , ia memasukkan Rp
2.000,00 demikian seterusnya.
Berapa
besar
uang
yang
dimasukkan Agnes pada akhir
bulan ke- 20 ?
Jawab :
Diketahui : a = 1000
b = 1500 - 1000 = 500
n = 20
Ditanyakan : a. S20 ?
Un = a + ( n – 1 ) b
U20 = 1000 + ( 20 – 1 ) 500
U20 = 1000 + ( 19 ) 500
U20 = 1000 + 9500
U20 = 10500
Sn = ½ n ( a + U n )
S20 = ½ 20 ( 1000 + 10500
)
S20 = ½ 20 ( 11500 )
S20 = ½ 230000
S20 = 115000
• :
Soal
1. Diketahui suatu barisan aritmatika 2 , 9 , 16 , 23 , …
Tentukan :
a. Suku ke – 20
b. Jumlah 20 suku pertama
2. Buktikan bahwa 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 )
=3n2 berlaku untuk setiap n A
Jawab :
Diketahui : a = 2
b=9-2=7
n = 20
Ditanyakan : a. U20 ?
b.S20 ?
a. Un = a + ( n – 1 ) b
U20 = 2 + ( 20 – 1 ) 7
U20 = 2 + ( 19 ) 7
U20 = 2 +133
U20 = 135
b. Sn = ½ n ( a + Un )
S20 = ½ 20 ( 2 + 135 )
S20 = ½ 20 ( 137 )
S20 = ½ 2740
S20 = 1370
Jawab :
Misalkan P ( n ) adalah 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 ) = 3n 2
Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut :
a. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = 1
6n – 3 = 3n2
6 . 1 – 3 = 3 (1)2
6 – 3 = 3.1
3=3
Jadi , P ( n ) benar untuk n = 1
b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k
3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6k – 3 ) = 3k2 ( benar )
c. Dibuktikan P ( n ) benar untuk n = k + 1 , berarti harus dibuktikan
bahwa 3 + 9 + 15 + 21 + … + (6k – 3 ) + ( 6 ( k+1 ) – 3 ) = 3( k+1) 2
( benar )
Dari langkah kedua , diperoleh 3 + 9 + 15 + 21 + … +( 6k – 3 ) = 3k 2
Jika kedua ruas ditambah ( 6 ( k +1 ) – 3 ) , diperoleh
3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6k – 3 )+ ( 6 ( k +1 ) -3 ) = 3k 2 + ( 6 ( k + 1 ) 3)
= 3k2 + ( 6k +6 – 3 )
= 3k2 + 6k + 3
= 3( k+1 )2