Logika matematika (1) Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1) vFilsafat Matematika (1)
Nama
: Alfin Ade Putra
Absen
: 05
Kelas: XI MIPA 3
Logika matematika
Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan
gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan
memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal
paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika
matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan
mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali
ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi ,
biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat
berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Pernyataan
Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di
dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah'
namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar).
Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita
tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat
relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu
pernyataan tertuutp dan terbuka.
Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai
benar-salahnya.
Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai
benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)
Negasi / pernyataan ingkaran
Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan,
sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak
benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada
contoh yang ada di bawah ini:
Pernyataan A :
- Becak memiliki roda tiga buah
Negasi dari pernyataan A :
- Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi ,
konjungsi , implikasi dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan
menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini
menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:
P
Q
P ^
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p
benar
Jika p benar dan q salah maka p
salah
Jika p salah dan q benar maka p
salah
Jika p salah dan q salah maka p
salah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi,
kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu
pernyataan akan dianggap salah.
Disjungsi
Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika
dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk
memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
p
Q
P
q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
v
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p atau
benar
Jika p benar dan q salah maka p atau
benar
Jika p salah dan q benar maka p atau
benar
Jika p salah dan q salah maka p atau
salah
q adalah
q adalah
q adalah
q adalah
Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah
satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya
akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki
nilai salah.
Implikasi
Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua
pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan
makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel
berikut:
p
q
p =>
q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Logika matematika
Jika awalnya BENAR lalu
BENAR
Jika awalnya BENAR lalu
SALAH
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
Biimplikasi
Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki
nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan
dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol () dengan makna ‘ p
….. Jika dan hanya jika q …..'
p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Logika matematika
P adalah BENAR jika
(dianggap benar)
P adalah BENAR jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap benar)
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan
dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita
dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga
biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti
yang ada pada gambar di bawah ini:
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap
pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti
yang ada pada gambar bawah ini:
Kuantor pernyataan
Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat
konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor
eksistensial.
Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep
setiap atau semua.
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep
ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor
universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada
contoh di bawah ini:
Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataanpernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep
penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:
Nama
: Anisya Sami Wahyuningrum
Absen
: 11
Kelas: XI MIPA 2
Logika matematika
Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan
gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan
memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal
paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika
matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan
mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali
ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi ,
biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat
berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Pernyataan
Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di
dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah'
namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar).
Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita
tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat
relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu
pernyataan tertuutp dan terbuka.
Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai
benar-salahnya.
Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai
benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)
Negasi / pernyataan ingkaran
Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan,
sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak
benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada
contoh yang ada di bawah ini:
Pernyataan A :
- Becak memiliki roda tiga buah
Negasi dari pernyataan A :
- Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi ,
konjungsi , implikasi dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan
menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini
menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:
P
Q
P ^
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p
benar
Jika p benar dan q salah maka p
salah
Jika p salah dan q benar maka p
salah
Jika p salah dan q salah maka p
salah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi,
kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu
pernyataan akan dianggap salah.
Disjungsi
Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika
dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk
memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
p
Q
P
q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
v
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p atau
benar
Jika p benar dan q salah maka p atau
benar
Jika p salah dan q benar maka p atau
benar
Jika p salah dan q salah maka p atau
salah
q adalah
q adalah
q adalah
q adalah
Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah
satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya
akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki
nilai salah.
Implikasi
Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua
pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan
makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel
berikut:
p
Q
p =>
q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Logika matematika
Jika awalnya BENAR lalu
BENAR
Jika awalnya BENAR lalu
SALAH
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
Biimplikasi
Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki
nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan
dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol () dengan makna ‘ p
….. Jika dan hanya jika q …..'
p
Q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Logika matematika
P adalah BENAR jika
(dianggap benar)
P adalah BENAR jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap benar)
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan
dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita
dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga
biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti
yang ada pada gambar di bawah ini:
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap
pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti
yang ada pada gambar bawah ini:
Kuantor pernyataan
Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat
konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor
eksistensial.
Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep
setiap atau semua.
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep
ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor
universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada
contoh di bawah ini:
Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataanpernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep
penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:
Nama
: Alfin Ade Putra
Absen
: 05
Kelas
: XI MIPA 3
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Nama
: Anisya Sami Wahyuningrum
Absen
: 11
Kelas
: XI MIPA 2
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Nama
Absen
Kelas
: Anisya Sami Wahyuningrum
: 11
: XI MIPA 2
Pembangunan dan Pertumbuhan
Ekonomi
I.
Pembangunan Ekonomi
A. Pengertian Pembangunan Ekonomi
Pembangunan ekonomi adalah suatu proses perubahan menuju arah perbaikan yang
dilakukan secara sadar dan terencana guna meningkatkan taraf hidup masyarakat.
B. Tujuan Pembangunan Ekonomi
Meningkatkan kualitas hidup masyarakat dalam memenuhi kebutuhan hidup.
Memperluas distribusi barang kebutuhan pokok.
Memperluas kesempatan kerja.
Memperbaiki kualitas pendididkan.
Meningkatkan pemahaman dan tingkah laku masyarakat dalam menunjang tinggi nilainilai luhur budaya bangsa.
Meingkatkan pendapatan masyarakat.
Memperluas pilihan ekonomi dan sosial bagi tiap-tiap individu secara keseluruhan.
C. Faktor-faktor yang Memengaruhi Pembangunan
1. Faktor-faktor Ekonomi
Sumber daya alam
Sumber daya manusia
Modal
Teknologi dan kewirausahaan
2. Faktor Nonekonomi
Kondisi kestabilan dan keamanan negara
Kemudahan birokasi
Etos kerja masyarakat dan pemerintah
Kondisi sosial budaya masyarakat
Indikator Pembangunan Ekonomi
Indikator pembangunan adalah suatu ukuran untuk mengevaluasi pelaksanaan
pembangunan ekonomi.
Indikator Keberhasilan Pembangunan Ekonomi
I.
Pertumbuhan Produk Domestik Bruto (PDB)
Pendapatan Per Kapita
Indeks Kualitas Hidup
Indeks Pembangunan Manusia
Masalah-masalah dalam Pembangunan
II.
Kemiskinan dan Ketimpangan Pendapatan
II.
a.
1.
2.
3.
Pengangguran
Tingkat Inflasi yang Tinggi
Kerusakan Sumber Daya Alam
Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi adalah kenaikan pendapatan nasional(dalam hal ini kapasitas
produksi barang dan jasa) tanpa memandang kenaikan tersebut lebih besar atau lebih kecil
dari tingkat pertumbuhan penduduk atau ada tidaknya perubahan dalam struktur ekonomi.
Teori-teori Pertumbuhan Ekonomi
Teori Klasik
- Adam Smith
Pertumbuhan output total ditentukan oleh tiga variabel, yaitu SDA, SDM, dan stok
kapital yang ada.Pertumbuhan penduduk akan menentukan luasnya pasar dan menentukan
laju pertumbuhan ekonomi.
- David Ricardo
Oleh karena terbatasnya tanah, pertumbuhan penduduk9tenaga kerja) akan
menurunkan produk marginal, dikenal dengan the law of diministhing return.
Teori Neoklasik
- Joseph A. Schumpeter
Proses pertumbuhan ekonomi adalah proses inovasi yang dilaksanakan oleh para
inovator dan wirausaha(enterpreneur).
- Robert Solow
Pertumbuhan ekonomi bergantung pada penambahan penyediaan faktor-faktor
produksi dan tingkat kemajuan teknologi.
Teori Neokeynes
- Roy F. Harrod dan Evsey D. Domar
Adanya pengaruh investasi pada permintaan agrerat dan pertumbuhan kapasitas
produksi yang ada pada akhirnya dapat meningkatkan pertumbuhan ekonomi, penanaman
modal menjadi penting.
4. Teori W.W. Rostow
Proses pembangunan ekonomi dalam suatu masyarakat dapat berlangsung melalui
tahap-tahap:
Masyarakat tradisional.
Prakondisi untuk lepas landas.
Lepas landas.
Menuju kedewasaan.
Era konsumsi tinggi.
5. Teori Karl Bucher
Perkembangan ekonomi dibagi menjadi 4 tahap:
Produksi untuk kebutuhan sendiri (rumah tangga tertutup).
Perekonomian sebagai perluasan pertukaran produksi di pasar (rumah tangga kota).
Perekonomian nasional, peran perdagangan semakin penting (rumah tangga negara).
Kegiatan perdagangan telah meluas melintasi batas negara (rumah tangga dunia).
Kesimpulannya , bahwa pertumbuhan ekonomi merupakan perkembangan kegiatan
ekonomi yang menyebabkan barang dan jasa dalam masyarakat bertambah dan
kemakmuran masyarakat meningkat dalam jangka panjang.
b. Menghitung Laju Pertumbuhan Ekonomi
r(t-1, t)=PDBt-PDBt-1PDBt-1×100%
C. Dampak Penganguran dan Cara Mengatasinya
1. Dampak Penganguran
a. Menurunnya permintaan agrerat yang disebabkan banyaknya orang yang tidak memiliki
penghasilan.
b. Menurunnya penawaran agrerat karena kegiatan produksi menurun.
c. Menurunnya tingkat upah
d. Menurunnya tingkat kesejahteraan rakyat
e. Menurunnya tingkat investasi.
f. Menurunnya penerimaan negara dari sektor pajak.
g. Menurunnya potensi dan produktivitas individu.
h. Munculnya sektor informal, terutama di perkotaan.
i. Menimbulkan masalah-masalah sosial.
j. Meningkatkan angka kemiskinan.
2. Upaya Mengatasi Pengangguran
a. Cara Mengatasi Pengangguran Struktural dan Teknologi
Disebabkan oleh ketidakmampuan tenaga kerja mengembangkan ketrampilan dalam
rangka menyesuaikan diri dengan penerapan teknologi baru. Jadi cara mengatasinya
dengan melakukan program pelatihan kerja secara berkelanjutan.
b. Cara mengatasi Pengangguran Siklikal
Disebabkan lesunya iklim kegiatan ekonomi. Jadi cara mengatsinya denagn
mengambil kebijakan giskal dan moneter guna menggairahkan kembali iklim ekonomi dan
meningkatkan permintaan masyarakat atas barang dan jasa.
c. Cara Mengatasi Pengangguran Friksional
Disebabkan adanya perpindahan atau peralihan yang dilakukan oleh tenaga kerja
dari satu sektor ke sektor lain. Jadi cara mengatasinya dengan memperlancar arus informasi
pekerjaan secara luas sehingga dapat mempercepat pertemuan antara permintaan dan
penawaran tenaga kerja.
d. Cara Mengatasi Pengangguran Musiman
Disebabkan adanya masa tunggu musim panen dan musim tanam pada bidang
usaha pertanian, perkebunan, dan peternakan. Jadi cara mengatasinya dengan
mengembangkan kegiatan yang produktif pada saat mengisi masa tunggu tersebut.
e. Cara Mengatasi Pengangguran Teknologi
Disebabkan adanya program padat modal yang dilakukan perusahaan dalam
menggunakan teknologi canggih dan modern. Jadi cara mengatasinya denagn melakukan
mutasi kerja sehingga tenaga kerja dapat terhindar dari PHK.
f. Cara Mengatasi Pengangguran karena Kurangnya Permintaan Agrerat
Disebabkan karena lesunya kegiatan ekonomi. Untuk menhidupkan kegiatan ekonomi
dibutuhkan investasi dalam skala besar sehingga permintaan agrerat yang berasal dari
rumah tangga, perusahaan, dan pemerintah meningkat.
g. Cara Mengatasi Setengah Pengangguran
Disebabkan karena kurangnya jam kerja. Jadi cara mengatasinya denagn
memperluas lapangan kerja.
: Alfin Ade Putra
Absen
: 05
Kelas: XI MIPA 3
Logika matematika
Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan
gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan
memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal
paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika
matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan
mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali
ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi ,
biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat
berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Pernyataan
Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di
dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah'
namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar).
Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita
tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat
relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu
pernyataan tertuutp dan terbuka.
Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai
benar-salahnya.
Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai
benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)
Negasi / pernyataan ingkaran
Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan,
sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak
benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada
contoh yang ada di bawah ini:
Pernyataan A :
- Becak memiliki roda tiga buah
Negasi dari pernyataan A :
- Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi ,
konjungsi , implikasi dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan
menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini
menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:
P
Q
P ^
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p
benar
Jika p benar dan q salah maka p
salah
Jika p salah dan q benar maka p
salah
Jika p salah dan q salah maka p
salah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi,
kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu
pernyataan akan dianggap salah.
Disjungsi
Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika
dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk
memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
p
Q
P
q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
v
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p atau
benar
Jika p benar dan q salah maka p atau
benar
Jika p salah dan q benar maka p atau
benar
Jika p salah dan q salah maka p atau
salah
q adalah
q adalah
q adalah
q adalah
Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah
satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya
akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki
nilai salah.
Implikasi
Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua
pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan
makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel
berikut:
p
q
p =>
q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Logika matematika
Jika awalnya BENAR lalu
BENAR
Jika awalnya BENAR lalu
SALAH
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
Biimplikasi
Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki
nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan
dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol () dengan makna ‘ p
….. Jika dan hanya jika q …..'
p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Logika matematika
P adalah BENAR jika
(dianggap benar)
P adalah BENAR jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap benar)
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan
dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita
dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga
biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti
yang ada pada gambar di bawah ini:
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap
pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti
yang ada pada gambar bawah ini:
Kuantor pernyataan
Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat
konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor
eksistensial.
Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep
setiap atau semua.
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep
ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor
universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada
contoh di bawah ini:
Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataanpernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep
penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:
Nama
: Anisya Sami Wahyuningrum
Absen
: 11
Kelas: XI MIPA 2
Logika matematika
Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan
gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan
memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal
paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika
matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan
mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali
ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi ,
biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat
berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Pernyataan
Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di
dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah'
namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar).
Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita
tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat
relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu
pernyataan tertuutp dan terbuka.
Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai
benar-salahnya.
Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai
benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)
Negasi / pernyataan ingkaran
Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan,
sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak
benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada
contoh yang ada di bawah ini:
Pernyataan A :
- Becak memiliki roda tiga buah
Negasi dari pernyataan A :
- Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi ,
konjungsi , implikasi dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan
menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini
menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:
P
Q
P ^
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p
benar
Jika p benar dan q salah maka p
salah
Jika p salah dan q benar maka p
salah
Jika p salah dan q salah maka p
salah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
dan q adalah
Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi,
kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu
pernyataan akan dianggap salah.
Disjungsi
Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika
dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk
memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
p
Q
P
q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
v
Logika matematika
Jika p benar dan q benar maka p atau
benar
Jika p benar dan q salah maka p atau
benar
Jika p salah dan q benar maka p atau
benar
Jika p salah dan q salah maka p atau
salah
q adalah
q adalah
q adalah
q adalah
Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah
satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya
akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki
nilai salah.
Implikasi
Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua
pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan
makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel
berikut:
p
Q
p =>
q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Logika matematika
Jika awalnya BENAR lalu
BENAR
Jika awalnya BENAR lalu
SALAH
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
Jika awalnya SALAH lalu
BENAR
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
akhirnya BENAR maka dianggap
akhirnya SALAH maka dianggap
Biimplikasi
Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki
nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan
dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol () dengan makna ‘ p
….. Jika dan hanya jika q …..'
p
Q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Logika matematika
P adalah BENAR jika
(dianggap benar)
P adalah BENAR jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap salah)
P adalah SALAH jika
(dianggap benar)
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
dan hanya jika q adalah BENAR
dan hanya jika q adalah SALAH
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan
dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita
dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga
biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti
yang ada pada gambar di bawah ini:
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap
pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti
yang ada pada gambar bawah ini:
Kuantor pernyataan
Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat
konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor
eksistensial.
Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep
setiap atau semua.
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep
ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor
universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada
contoh di bawah ini:
Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataanpernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep
penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:
Nama
: Alfin Ade Putra
Absen
: 05
Kelas
: XI MIPA 3
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Nama
: Anisya Sami Wahyuningrum
Absen
: 11
Kelas
: XI MIPA 2
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip.
Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan
rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara
untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A +
B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan
nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Nama
Absen
Kelas
: Anisya Sami Wahyuningrum
: 11
: XI MIPA 2
Pembangunan dan Pertumbuhan
Ekonomi
I.
Pembangunan Ekonomi
A. Pengertian Pembangunan Ekonomi
Pembangunan ekonomi adalah suatu proses perubahan menuju arah perbaikan yang
dilakukan secara sadar dan terencana guna meningkatkan taraf hidup masyarakat.
B. Tujuan Pembangunan Ekonomi
Meningkatkan kualitas hidup masyarakat dalam memenuhi kebutuhan hidup.
Memperluas distribusi barang kebutuhan pokok.
Memperluas kesempatan kerja.
Memperbaiki kualitas pendididkan.
Meningkatkan pemahaman dan tingkah laku masyarakat dalam menunjang tinggi nilainilai luhur budaya bangsa.
Meingkatkan pendapatan masyarakat.
Memperluas pilihan ekonomi dan sosial bagi tiap-tiap individu secara keseluruhan.
C. Faktor-faktor yang Memengaruhi Pembangunan
1. Faktor-faktor Ekonomi
Sumber daya alam
Sumber daya manusia
Modal
Teknologi dan kewirausahaan
2. Faktor Nonekonomi
Kondisi kestabilan dan keamanan negara
Kemudahan birokasi
Etos kerja masyarakat dan pemerintah
Kondisi sosial budaya masyarakat
Indikator Pembangunan Ekonomi
Indikator pembangunan adalah suatu ukuran untuk mengevaluasi pelaksanaan
pembangunan ekonomi.
Indikator Keberhasilan Pembangunan Ekonomi
I.
Pertumbuhan Produk Domestik Bruto (PDB)
Pendapatan Per Kapita
Indeks Kualitas Hidup
Indeks Pembangunan Manusia
Masalah-masalah dalam Pembangunan
II.
Kemiskinan dan Ketimpangan Pendapatan
II.
a.
1.
2.
3.
Pengangguran
Tingkat Inflasi yang Tinggi
Kerusakan Sumber Daya Alam
Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi adalah kenaikan pendapatan nasional(dalam hal ini kapasitas
produksi barang dan jasa) tanpa memandang kenaikan tersebut lebih besar atau lebih kecil
dari tingkat pertumbuhan penduduk atau ada tidaknya perubahan dalam struktur ekonomi.
Teori-teori Pertumbuhan Ekonomi
Teori Klasik
- Adam Smith
Pertumbuhan output total ditentukan oleh tiga variabel, yaitu SDA, SDM, dan stok
kapital yang ada.Pertumbuhan penduduk akan menentukan luasnya pasar dan menentukan
laju pertumbuhan ekonomi.
- David Ricardo
Oleh karena terbatasnya tanah, pertumbuhan penduduk9tenaga kerja) akan
menurunkan produk marginal, dikenal dengan the law of diministhing return.
Teori Neoklasik
- Joseph A. Schumpeter
Proses pertumbuhan ekonomi adalah proses inovasi yang dilaksanakan oleh para
inovator dan wirausaha(enterpreneur).
- Robert Solow
Pertumbuhan ekonomi bergantung pada penambahan penyediaan faktor-faktor
produksi dan tingkat kemajuan teknologi.
Teori Neokeynes
- Roy F. Harrod dan Evsey D. Domar
Adanya pengaruh investasi pada permintaan agrerat dan pertumbuhan kapasitas
produksi yang ada pada akhirnya dapat meningkatkan pertumbuhan ekonomi, penanaman
modal menjadi penting.
4. Teori W.W. Rostow
Proses pembangunan ekonomi dalam suatu masyarakat dapat berlangsung melalui
tahap-tahap:
Masyarakat tradisional.
Prakondisi untuk lepas landas.
Lepas landas.
Menuju kedewasaan.
Era konsumsi tinggi.
5. Teori Karl Bucher
Perkembangan ekonomi dibagi menjadi 4 tahap:
Produksi untuk kebutuhan sendiri (rumah tangga tertutup).
Perekonomian sebagai perluasan pertukaran produksi di pasar (rumah tangga kota).
Perekonomian nasional, peran perdagangan semakin penting (rumah tangga negara).
Kegiatan perdagangan telah meluas melintasi batas negara (rumah tangga dunia).
Kesimpulannya , bahwa pertumbuhan ekonomi merupakan perkembangan kegiatan
ekonomi yang menyebabkan barang dan jasa dalam masyarakat bertambah dan
kemakmuran masyarakat meningkat dalam jangka panjang.
b. Menghitung Laju Pertumbuhan Ekonomi
r(t-1, t)=PDBt-PDBt-1PDBt-1×100%
C. Dampak Penganguran dan Cara Mengatasinya
1. Dampak Penganguran
a. Menurunnya permintaan agrerat yang disebabkan banyaknya orang yang tidak memiliki
penghasilan.
b. Menurunnya penawaran agrerat karena kegiatan produksi menurun.
c. Menurunnya tingkat upah
d. Menurunnya tingkat kesejahteraan rakyat
e. Menurunnya tingkat investasi.
f. Menurunnya penerimaan negara dari sektor pajak.
g. Menurunnya potensi dan produktivitas individu.
h. Munculnya sektor informal, terutama di perkotaan.
i. Menimbulkan masalah-masalah sosial.
j. Meningkatkan angka kemiskinan.
2. Upaya Mengatasi Pengangguran
a. Cara Mengatasi Pengangguran Struktural dan Teknologi
Disebabkan oleh ketidakmampuan tenaga kerja mengembangkan ketrampilan dalam
rangka menyesuaikan diri dengan penerapan teknologi baru. Jadi cara mengatasinya
dengan melakukan program pelatihan kerja secara berkelanjutan.
b. Cara mengatasi Pengangguran Siklikal
Disebabkan lesunya iklim kegiatan ekonomi. Jadi cara mengatsinya denagn
mengambil kebijakan giskal dan moneter guna menggairahkan kembali iklim ekonomi dan
meningkatkan permintaan masyarakat atas barang dan jasa.
c. Cara Mengatasi Pengangguran Friksional
Disebabkan adanya perpindahan atau peralihan yang dilakukan oleh tenaga kerja
dari satu sektor ke sektor lain. Jadi cara mengatasinya dengan memperlancar arus informasi
pekerjaan secara luas sehingga dapat mempercepat pertemuan antara permintaan dan
penawaran tenaga kerja.
d. Cara Mengatasi Pengangguran Musiman
Disebabkan adanya masa tunggu musim panen dan musim tanam pada bidang
usaha pertanian, perkebunan, dan peternakan. Jadi cara mengatasinya dengan
mengembangkan kegiatan yang produktif pada saat mengisi masa tunggu tersebut.
e. Cara Mengatasi Pengangguran Teknologi
Disebabkan adanya program padat modal yang dilakukan perusahaan dalam
menggunakan teknologi canggih dan modern. Jadi cara mengatasinya denagn melakukan
mutasi kerja sehingga tenaga kerja dapat terhindar dari PHK.
f. Cara Mengatasi Pengangguran karena Kurangnya Permintaan Agrerat
Disebabkan karena lesunya kegiatan ekonomi. Untuk menhidupkan kegiatan ekonomi
dibutuhkan investasi dalam skala besar sehingga permintaan agrerat yang berasal dari
rumah tangga, perusahaan, dan pemerintah meningkat.
g. Cara Mengatasi Setengah Pengangguran
Disebabkan karena kurangnya jam kerja. Jadi cara mengatasinya denagn
memperluas lapangan kerja.