DIKTAT MATEMATIKA DASAR DIKTAT MATEMATIKA DASAR

MATEMATIKA DASAR UNTUK SAINS & TERAPAN

(VERSI MODUL KULIAH)

Basic Mathematical For Science & Applied (Lecture Module Version)

x  

2 lim 2 a  b dx

DISUSUN OLEH: Baiq Desy Aniska Prayanti, M.Sc Maxrizal, M.Sc. FAKULTAS PERTANIAN PERIKANAN DAN BIOLOGI UNIVERSITAS BANGKA BELITUNG 2016

CHAPTER I HIMPUNAN

(SETS)

A. Pengertian Himpuan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai istilah kelompok atau grup. Misalknya kelompok pemuda desa, grup tari, grup paduan suara ataupun kumpulan mahasiswa dari suatu program studi di universitas.

Definisi 1. Himpunan (sets) adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1.

a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian se-Indonesia.

b. Kumpulan mahasiswa jurusan Biologi yang berumur kurang dari 19 tahun.

c. Kumpulan mahasiswa peminat UKM Marching Band dan UKM Penelitian.

Dalam matematika, tidak semua pengelompokkan benda disebut dengan himpunan.

Contoh 2.

a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian yang ganteng dan imut-imut.

b. Kumpulan masakan Bangka yang enak.

c. Kumpulan mahasiswa yang berbadan tinggi.

Perhatikan bahwa contoh-contoh diatas melibatkan sisi kualitas sehingga menimbulkan sifat ambiguitas. Kita tidak bisa mendefinisikan dengan jelas, kriteria-kriteria ganteng ataupun kriteria suatu makanan dikatakan enak. Pada intinya, setiap Perhatikan bahwa contoh-contoh diatas melibatkan sisi kualitas sehingga menimbulkan sifat ambiguitas. Kita tidak bisa mendefinisikan dengan jelas, kriteria-kriteria ganteng ataupun kriteria suatu makanan dikatakan enak. Pada intinya, setiap

Test 1. (Question and Answer)

Randam Sampel : 5 orang mahasiswa.

1. Berilah dua contoh himpunan!

2. Berilah tiga contoh yang bukan himpunan!

B. Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti

ABC ,,, dan diikuti oleh tanda kurung kurawal  . Anggota atau elemen dari himpunan berupa huruf, biasanya dinyatakan

dalam huruf kecil.

Contoh 3.

a. A   1, 2,3 

b. B   xx  3, x  

c. C   abcd ,,, 

Berdasarkan Contoh 3, 1 adalah anggota dari himpunan A dinotasikan 1  A dan d adalah anggota himpunan C , dinyatakan sebagai d  . Selanjutnya, a bukan anggota dari C himpunan A dinotasikan a  . Banyaknya anggota himpunan A

A ada 3 dan dinotasikan nA   atau 3 A  . 3

Selanjutnya cara penyajian pada contoh ) a dan ) c disebut bentuk pendaftaran (tabular-form) dan cara penyajian pada contoh ) b disebut bentuk perincian (set-builder form).

Contoh 4.

1. Misalkan A   1,3,5, 

2. B   Andi Canas Toni , ,  Bentuk diatas bisa diubah menjadi bentuk perincian (set-builder

form) .

1. A   x x adalah bilangan ganjil 

2. B   x x adalah pelajar pemenang lari 100 m  Perhatikan bahwa pada bentuk pendaftaran (tabular-form),

semua elemen/anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal. Sedangkan pada bentuk perincian (set-builder form), elemen himpunan hanya diwakili dengan sifat/ketentuan yang sesuai.

Test 2. (Question and Answer)

Randam Sampel : 8 orang mahasiswa.

1. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan pendaftaran (tabular-form)!

2. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan bentuk perincian (set-builder form)!

3. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan dengan pendaftaran (tabular-form)!

a. A   x x adalah mahasiswa berawalan huruf Y 

b. B   x x adalah bilangan prima genap 

4. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan dengan bentuk perincian (set-builder form)!

a. A   1, 4,9,16, 25, 

b. B   becak bemo bajaj , , 

C. Jenis-Jenis Himpunan

a. Himpunan kosong (null sets)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Notasi untuk himpunan kosong adalah  atau  .

Contoh 5.

1. A   x x adalah manusia normal berkaki empat 

 xx  4 dan x  ganjil 

2. 2 B 

Jelas bahwa A   , karena tidak ada manusia normal yang berkaki empat. Sedangkan B   , karena tidak ada angka ganjil yang memenuhi persamaan itu. Nilai x yang mungkin

hanyalah 2 atau  2 .

Test 3. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Berilah dua contoh himpunan kosong!

b. Himpunan semesta (universal sets)

Himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta.

Contoh 6.

1. Misalkan A   1,3,5,  . Himpunan semesta dari A

adalah himpunan bilangan asli  , yaitu S .

2. Misalkan diberikan beberapa himpunan berikut ini.

A   x x adalah mahasiswa agribisnis  Himpunan semesta S   x x adalah mahasiswa FPPB 

Test 4. (Question and Answer)

Randam Sampel : 4 orang mahasiswa. Tentukan himpunan semesta dari himpunan berikut ini!

1. A   1, 2,3 

2. K   mawar melati anggrek , , 

3. S   x x adalah ikan karnivora 

4. C   x x adalah hewan mamalia  4. C   x x adalah hewan mamalia 

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A merupakan anggota B , yang dinotasikan dengan A  B . Jika paling sedikit ada satu anggota dari A bukan merupakan anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B , dinotasikan A . B

Contoh 7.

1.  merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

2. Misalkan A   2,3 dan B   1, 2,3, 4  maka jelas

A  B . Perhatikan bahwa A  B dibaca A subset B atau bisa juga

dinyatakan sebagai B super set dari A .

Jika himpunan A memiliki n anggota maka banyak himpunan

1, 2,3  maka himpunan bagiannya adalah  ,  1,  2,  3,  1, 2 ,  1,3 ,  2,3 dan  1, 2,3 . 

bagian dari n A adalah 2 . Misalkan A  

Test 5. (Question and Answer)

Randam Sampel : 5 orang mahasiswa. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari

A   x x adalah bilangan bulat antara 0 dan 10  .

1. C   0,1, 2,3 

2. K   7,8

3. S   x x adalah bilangan genap antara 0 dan 10 

4. C  ,,   234 

5. G   x x adalah bilangan prima genap  5. G   x x adalah bilangan prima genap 

Himpunan A dinamakan keluarga himpunan jika semua elemennya berupa himpunan.

Contoh 8.

1. A    1 , 1, 2 

2. B    x x bilangan genap  ,  abc ,,  ,  

Selanjutnya C    0, 1 , ab ,  bukan merupakan contoh

keluarga himpunan karena ada satu anggota yang bukan merupakan himpunan yaitu 0 .

Test 6. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

1. Berilah satu contoh keluarga himpunan!

2. Berilah satu contoh yang bukan keluarga himpunan!

e. Himpunan kuasa (power sets)

 2 adalah keluarga himpunan dari semua

Himpunan kuasa A

himpunan bagian dari himpunan A .

Contoh 9.

1. Diberikan A   1, 2 , maka banyak himpunan bagian dari 2 A adalah 2  yaitu 4  , 1 , 2 , 1, 2 

Jadi A 2  

2. Diberikan B   a , maka banyak himpunan bagian dari 1 B adalah 2  yaitu 2  ,a 

Jadi B 2  

,  a  .

Test 7. (Question and Answer)

Randam Sampel : 3 orang mahasiswa. Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut!

1. A   ab ,

2. B   x x adalah bilangan ganjil antara 0 dan 5 

3. C   1, 2,3 

f. Himpunan terhingga (finite) dan himpunan tak terhingga (infinite)

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya berhingga.

Contoh 10.

1. Himpunan 

2. Himpunan dengan n anggota.

3. M   ayam itik bangau , , 

himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

Himpunan tak

1. Himpunan bilangan asli.

2. Himpunan bilangan bulat.

3. M   x x adalah bakteri di dunia 

Test 8. (Question and Answer)

Randam Sampel : 4 orang mahasiswa.

1. Buatlah dua contoh himpunan terhingga!

2. Apakah himpunan berikut terhingga?

a. A   x x adalah nama  nama hari 

b. B   y y adalah bilangan ganjil  b. B   y y adalah bilangan ganjil 

Himpunan terhitung adalah himpunan terhingga (finite) atau tak terhingga (infinite).

Contoh 12.

1. A   abc ,, 

2. Himpunan bilangan ganjil.

Himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak terhitung jumlahnya.

Himpunan bilangan Real  adalah contoh himpunan yang tak terhitung. Hal ini cukup beralasan karena kita tidak bisa

menentukan berapa banyak bilangan Real yang terletak diantara dua bilangan bulat yang berurutan. Sifat bilangan Real akan kita bicarakan lebih mendalam pada bab 2.

Test 9. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Apakah himpunan berikut terhitung?

1. A   x x adalah nama  nama planet 

2. B   y y adalah nama  nama presiden di bumi 

h. Himpunan saling lepas (disjoint sets)

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika himpunan A dan B tidak memiliki elemen yang sama.

Contoh 13.

Misalkan himpunan A   1, 2,3  dan B   ab , maka himpunan

A dan B dikatakan saling lepas.

Test 10. (Question and Answer)

Randam Sampel : 3 orang mahasiswa. Apakah kedua himpunan berikut saling lepas?

1. A   x x adalah nama  nama planet 

B   Venus Bumi , 

2. K   y y adalah bilangan genap  L   x x adalah bilangan ganjil 

3. C   0, 2

D   x x adalah salah satu faktor dari 14 

D. Kesamaan Himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B dan sebaliknya.

Contoh 14.

1. A   1, 2,3  dan B   3, 2,1  maka A  B .

2. C   1, 2, 2, 2,1  dan D   2,1, 2  maka C . D

3. 2 E  

5, 6 , F   xx  11 x  30  0  maka E  F .

Perhatikan bahwa jika ada elemen yang sama cukup dihitung sekali dan pada himpunan urutan elemen tidak dipermasalahkan.

Berdasarkan sifat himpunan bagian, himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika berlaku A  B dan B  A .

Test 11. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Apakah kedua himpunan berikut sama?

1. K   y y adalah bilangan genap  , L   , 2, 0, 2,  

2. C  

D   x x adalah bilangan prima genap lebih dari 2 

E. Representasi Himpunan

Ada dua cara untuk menyajikan himpunan yaitu menggunakan diagram Venn dan diagram garis. Diagram Venn biasanya lebih umum digunakan karena dapat menyajikan elemen himpunan dengan jelas.

a. Diagram Venn

Pada diagram Venn, daerah persegi untuk menggambarkan himpunan semesta dan daerah lingkaran untuk menggambarkan himpunan di dalamnya.

Contoh 15.

1. Misalkan S   abcde ,,,,  , A   ab , dan B   cd , .

2. Diberikan diagram Venn sebagai berikut.

Dari diagram diperoleh S   abcde ,,,,  , A  dan S

B   cd , . Perhatikan bahwa berlaku B  A .

Pada contoh 1, himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan (not comparable) sedangkan pada contoh 2, himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable).

Test 12. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Buatlah diagram Venn untuk himpunan berikut!

1. Himpunan Semesta S   abcdef ,,,,,  ,

A   ae , , B   ad , dan C   ade ,, 

2. Himpunan Semesta S   x x adalah nama  nama hari 

A   senin rabu ,  dan B   rabu sabtu ,  .

b. Diagram garis

Cara kedua untuk menyatakan hubungan antar himpunan dengan menggunakan diagram garis. Pada diagram garis A  B dinyatakan sebagai

Contoh 16.

1. Misalkan A   1, 2,3  , B   3 dan C   1, 2 .

Jelas bahwa B  A , C  dan B C A  . Dengan kata lain, B dan C tidak dapat dibandingkan.

2. Perhatikan diagram garis berikut ini!

Jelas bahwa B  A E , B  A F , C  A E ,

C , BC A F  dan E F .

Test 13. (Question and Answer)

Randam Sampel : 4 orang mahasiswa.

1. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut!

a. A   ae , , B   ad , dan C   ade ,, 

b. A   senin  , B   senin rabu , 

C   senin rabu kamis , , 

2. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut!

a. A  ,DEC B C  .

b. A  D ,C  , E F D  F  H .

F. Operasi Pada Himpuan

Jika kita memiliki dua himpunan atau lebih, kita bisa mengoperasikan himpunan-himpunan tersebut. Beberapa operasi yang dikenakan pada himpunan:

a. Irisan

A  B  xx  A dan x  B 

b. Gabungan

A  B  xx  A atau x  B 

c. Penjumlahan

A  B  xx  Ax ,  Bx ,  A B 

d. Selisih

A  B  xx  A dan x  B  A  B  xx  A dan x  B 

xx 

A dan x  S 

Contoh 17.

1. Diketahui S   1, 2, ,10  , A   2,3 dan

B   2, 4, 6,8,10  maka diperoleh

a. A  B  2

b. A  B  2,3, 4, 6,8,10 

c. AB   3, 4, 6,8,10 

d. AB   3

e. B  A  4, 6,8,10 

f. c A  

g. c B   1,3,5, 7,9 

2. Perhatikan diagram Venn berikut ini!

S   abcdefgh ,,,,,,, 

a. A   abfh ,,, 

b. B   cdg ,, 

c. C   defgh ,,,, 

d. AB 

e. A  C  fh ,

Test 14. (Question and Answer)

Randam Sampel : 6 orang mahasiswa.

Diberikan A   x 0  x 10, x   , B   x 5  x 9, x   ,

dan semesta S   x 0  x 12, x  

6. c 

7. c 

G. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Beberapa sifat yang berlaku pada operasi himpunan:

a. Sifat komutatif

A  B B A dan A  B B A .

b. Sifat Asosiatif

 A  B   C A  B  C  dan  A  B   C A  B  C  .

c. Sifat Distributif

A   B  C   A  B   B  C  dan

A   B  C   A  B   B  C  .

d. Sifat Identitas

A    , A S A ,A   dan A S S A .

e. Sifat Idempoten

A  A A dan A  A A .

f. Sifat De Morgan

A  B   A  B dan  A  B   A  B .

Contoh 18.

Diberikan himpunan semesta S   ab ,, , z  , A   ab , dan

B  C  ae , . Tentukan  A  B   ! C

Perhatikan bahwa  A  B   C A  B  C   a .

Test 14. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

Diberikan A   rabu kamis jumat , ,  , B   jumat sabtu ,  , dan semesta S   x x adalah nama  nama hari  Tentukan!

1. c 

2. c 

H. Task and Exercise

1. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari

A   1, 2, , 20  . Berikan penjelasanmu !

a. M   0,3, 6,9 

b. N   x x bilangan bulat antara 11 dan 12 

c. O   19, 20, 21 

d. A   x x bilangan prima kurang dari 23 

2. Diberikan S   1, 2, ,7 

A   1, 2 .

B   3,5, 7  Tentukanlah:

a. A  B

b. A  B

c. AB 

d. AB  d. AB 

f. c 

g. c 

h. Diagram Venn

3. Perhatikan diagram Venn di bawah ini!

Tentukan himpunan dari

a. Laut

b. Sungai

c. Danau

d. Laut  Danau

e. Laut  Sungai

f. Sungai  Danau

g. Laut  Danau  Sungai

4. Berikut ini daftar olahraga favorit beberapa mahasiswa Agribisnis.

A menyukai sepak bola dan futsal. B menyukai bulutangkis. C tidak menyukai sepak bola, dan menyukai futsal. D menyukai semua jenis olahraga. E tidak menyukai semua jenis olahraga yang ada .

a. Buatlah diagram Venn untuk masalah di atas!

b. Siapa yang menyukai futsal dan Bulutangkis!

5. c Diberikan S  

1, 2,3, 4,5  ,  A  B   1, 2 dan

A c  

2 . Tentukan:

a. c B

b. c 

c.  A  B 

d.  A  B 

CHAPTER II SISTEM BILANGAN PART 1 (Numbers System)

A. Bilangan Real

Sistem bilangan terdiri atas dua himpunan utama yaitu himpunan bilangan real  dan himpunan bilangan imajiner

 I . Gabungan antara bilangan real dan imajiner dinamakan dengan bilangan kompleks  .

Himpunan bilangan real terdiri atas bilangan rasional dan irrasional. Berikut ini diberikan diagram garis untuk himpunan bagian dari bilangan real.

B. Bilangan Bulat

Bilangan bulat positif berbentuk   

1, 2,3,  atau lebih dikenal dengan bilangan asli  . Bilangan asli digunakan

untuk menghitung buku-buku, teman dan uang.

Selanjutnya bilangan

bulat

negatif berbentuk

1, 2, 3,  . Gabungan antara

0 dan

membentuk bilangan bulat  .

Task 1 (Quetion and Answer)

Sebutkan dua contoh penggunaan bilangan bulat negatif dalam kehidupan nyata!

C. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan berbentuk , dengan ab ,  dan b  . 0

Bilangan pecahan bisa berbentuk pecahan biasa, pecahan campuran dan pecahan desimal.

Task 2 (Question and Answer)

1. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan biasa!

a. 0,5

b. 4

2. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan campuran!

a. 7

b. 2,5

D. Bilangan Rasional

Gabungan antara pecahan dan bilangan bulat dinamakan bilangan rasional. Secara umum bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dibentuk menjadi dengan , ab  dan

Contoh 1.

1. , merupakan contoh bilangan rasional

2. 4 juga bilangan rasional karena bisa dibentuk dari

16 atau

dan seterusnya.

Task 3 (Question and Answer)

Apakah bilangan berikut bilangan rasional?

E. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional terlahir dari pengukuran panjang sisi miring pada suatu segitiga siku-siku. Misalkan c adalah sisi miring dan , a b adalah alas dan tinggi segitiga siku-siku maka berlaku

teorema pythagoras, yaitu:

Jika diketahui a  b 1 cm maka diperoleh c  2 . Nah, 2 termasuk bilangan irrasional karena tidak bisa dibentuk menjadi

a . Jika dihitung menggunakan kalkulator

b Jelas bahwa, billangan irrasional merupakan bilangan desimal.

Jadi, bilangan irrasional adalah bilangan yang berbentuk akar

dan tidak bisa dibentuk menjadi dengan , ab  dan b  . 0

Seperti pada bilangan rasional, bilangan irrasional juga dapat dinyatakan dalam desimal. Namun, pada bilangan irrasional, desimal tidak berakhir dan tidak berulang mengikuti suatu pola, Seperti pada bilangan rasional, bilangan irrasional juga dapat dinyatakan dalam desimal. Namun, pada bilangan irrasional, desimal tidak berakhir dan tidak berulang mengikuti suatu pola,

. Berikut perbedaaan bilangan rasional dan irrasional dalam bentuk bilangan desimal.

Contoh 2.

Buktikan 0,333 adalah bilangan rasional!

Jawab:

Misalkan x  0,333 . Dengan teknik manipulasi, kita peroleh

Jadi 0,333 bilangan rasional.

Contoh 3.

Buktikan 1,1818 bilangan rasional.

Jawab:

Misalkan x  1,1818 Dengan teknik manipulasi, kita peroleh

100 x  118,1818 x  1,1818

Jadi 1,1818 bilangan rasional.

Perhatikan bahwa bilangan desimal yang mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur (siklus) yang tetap selamanya merupakan bilangan rasional.

Task 4 (Question and Answer)

1. Manakah yang merupakan bilangan irrasional?

a. 4 a. 4

c.    3252

d. 52

e. 3, 75

2. Buktikan bilangan di bawah ini rasional

a. x  0,136136136

b. x  0, 271717171

c. x  0,1999999

d. x  2,567567

e. x  0,3999999

3. Apakah bilangan 0,12345678910111213 rasional atau irrasional?

4. Apakah bilangan 0,10100100010000 rasional atau irrasional?

F. Sifat Urutan Pada Bilangan Real

Karena sifat urutan pada bilangan real maka diantara dua bilangan real pasti terdapat bilangan real yang lain. Misalkan

ab 

ab ,  maka pasti terdapat c  , karena c  begitu

2 seterusnya. Dengan demikian, diantara dua bilangan real yang sangat dekat pasti terdapat bilangan real yang lain. Bilangan ini bisa berupa bilangan rasional ataupun bilangan irrasional.

Contoh 4.

Carilah suatu bilangan rasional dan irrasional yang terletak diantara a  0,12345678 dan b  0,12345700 !

Jawab:

Dipilih r  0,123456800000 merupakan bilangan rasional karena

perulangan nol. Dipilih s  0,123456801001000100001

berakhir

dengan

merupakan bilangan merupakan bilangan

Selanjutnya, gabungan antara bilangan rasional dan irrasional dinamakan bilangan real.

Task 5 (Question and Answer)

1. Carilah sebuah bilangan rasional dan irrasional diantara

dan 0,123467 !

2. Carilah dua bilangan irrasional yang jumlahnya bilangan rasional!

G. Sifat Himpunan Bilangan Real

Himpunan bilangan real dapat dinyatakan pada sebuah garis bilangan dengan mengambil titik nol sebagai titik awal. Selanjutnya, kita definisikan titik-titik di sebelah kanan nol sebagai bilangan real positif dan titik-titik di sebelah kiri nol sebagai bilangan real negatif. Setiap titik-titik itu hanya mewakili satu bilangan real.

Perhatikan bahwa pada garis bilangan ini, 1  2 atau 2  2 . Jelaslah bahwa pada bilangan Real mengenal sifat urutan. Beberapa sifat urutan yang dikenal pada bilangan Real,yaitu:

a. Trikotomi Jika , xy  maka berlaku x  y atau x  y atau x  y

b. Transitif Untuk , xy  , jika x  y dan y  z maka berlaku x  z

c. Penambahan Untuk , , xyz  , berlaku x  y jika dan hanya jika

x . z y z x . z y z

Misalkan ab ,  dan a b  maka beberapa himpunan dapat dinyatakan pada selang atau interval itu, diantaranya:

a.  ab ,    xa  x b 

b.  ab ,   xa  x b 

c.  ab ,    xa  x b 

d.  ab ,    xa  x b 

e.  a ,    xx  a 

f.  a ,    xx  a 

g.   ,b    xx  b 

h.   ,b    xx  b  h.   ,b    xx  b 

Task 6 (Question and Answer)

1. Nyatakan apakah urutan berikut benar atau salah!

2. Nyatakan himpunan berikut kedalam selang (interval) dan simbolnya, untuk x bilangan Real.

H. Pertidaksamaan

Misalkan diberikan , ab  maka berdasarkan sifat urutan pada bilangan real berlaku x  y atau x  y atau x  y . Pernyataan x  y , x , y x  y dan x  disebut pertidaksamaan. y

a. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang melibatkan salah satu ruas atau kedua ruasnya bentuk linear (peubah pangkat satu). Pada bagian ini kita akan membahas Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang melibatkan salah satu ruas atau kedua ruasnya bentuk linear (peubah pangkat satu). Pada bagian ini kita akan membahas

Contoh 5.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x  . 4 0

Jawab:

Diketahui 2 x   sehingga diperoleh 4 0

2 x  4 0

Jadi HP   xx  2, x     2,   .

Contoh 6.

1 Tentukan himpunan penyelesaian dari  4 x 6 2 x  4 x  1

Jawab:

Diketahui  4 x 6 2 x  4 x  sehingga diperoleh 1

Jadi HP   x  x 2, x    ,2  .

Task 7 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

a. x  4 5

b.  3 x  2 10

c. 5  2 x  7

d. 5  3 x  2 x  4 x

e.  4 x  1 11 e.  4 x  1 11

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang melibatkan bentuk kuadarat pada salah satu ruas atau kedua ruasnya. Hal yang sama juga didefiniskan pada pertidaksamaan polinomial (bentuk pangkat tiga atau lebih)

Contoh 7.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x  3 x  4 0

Jawab:

Diketahui 2 x  3 x  . 4 0

1. Mencari titik kritis. Dengan cara faktorisasi, diperoleh

x 2  3 x  4 0

 x  4  x  1  0

x  4 x 1

2. Uji selang diantara titik kritis.

2 Jika 2 x  maka 0 x  3 x  4 0  30  .

Perhatikan bahwa untuk x  berlaku nilai negatif 0   4 .

Karena nol berada pada    dan bernilai negatif maka sisi 1 x 4 kiri dan kanan bernilai positif.

Jadi HP   x  1 x 4, x     1, 4  .

Perlu diingat bahwa tanda  atau  akan selalu bergantian selama tidak ada akar kembar.

Contoh 8.

Berdasarkan data pada Contoh 7, diperoleh himpunan penyelesaian dari 2 x  3 x   adalah daerah yang bertanda 4 0

positif, yaitu x   atau 1 x  . 4

Jadi HP   xx  1 x 4, x     ,1  ,4  .

Contoh 9.

3 Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x  7 x  12 x  0

Jawab:

3 Diketahui 2 x  7 x  12 x  . 0

1. Mencari titik kritis. Dengan cara faktorisasi, diperoleh

3 x 2  7 x  12 x  0

xx   3  x  4   0

x  0 x 3 x 4

2. Uji selang diantara titik kritis.

3 2 3 Jika 2 x  maka 1 x  7 x  12  1 71  

Perhatikan bahwa untuk x  berlaku nilai positif 1  6 . Karena

x  berada pada 0 1   dan bernilai positif maka sisi kiri x 3 dan kanan bernilai negatif.

Jadi HP   x 0  x 3 x 4, x     0,3  4, . 

Contoh 10.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2  x  1  x  1  x  2  0

Jawab:

Diketahui 2 

x  1  x  1  x  . 2  0

1. Mencari titik kritis. Dengan cara faktorisasi, diperoleh

 2 x  1  x  1  x  2   0

x  1 x 1 x 2

2. Uji selang diantara titik kritis.

Jika 2 x  0 maka  x  1  x  1  x  2   2 . Perhatikan bahwa

untuk x  0 berlaku nilai negatif   . Karena 2 x  0 berada

pada  1 x 1 dan bernilai negatif maka sisi kiri bernilai positif. Sedangkan sisi kanan tetap bernilai negatif karena 1 merupakan akar kembar.

Jadi HP   x  1 x 2, x     1, 2  .

Task 8 (Qustion and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

Task and Exercise

1. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan biasa!

2. Nyatakan apakah urutan berikut benar atau salah!

a.  12  0

11 b. 2  

c. 14

d.   3

3. Buktikan bilangan di bawah ini rasional!

a. x  0,789789

b. x  0,11111

c. x  4,1999999

d. x  2,5611000

4. Apakah bilangan di bawah ini rasional atau irrasional? Berikan alasanmu!

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

e.  x  22  x  13  x  7  0

f. 2 

2 x  33  x  1  x  5  0

6. Manakah yang merupakan bilangan irrasional?

a. 625

b. 1  70

c.  13 7   57

d. 5 64

CHAPTER II SISTEM BILANGAN PART 2 (Numbers System)

a. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang

fx 

dengan gx   pada salah 0

melibatkan bentuk pecahan

gx 

satu ruas atau kedua ruasnya.

Contoh 1.

x  1 Tentukan himpunan penyelesaian dari

Jawab:

1. Mencari titik kritis.

Titik kritis diperoleh pada x  1 atau x  3 .

(Faktorisasi pada pembilang dan penyebut)

Karena  x  penyebut maka 3   x   , yaitu 3  0 x  3 .

(Titik x  3 bukan himpunan penyelesaian)

2. Uji selang diantara titik kritis.

Jika x  0 maka

  tanda +  .

Jadi HP   x 1  x 3, x     1,3 .

Contoh 2.

4 x  1 Tentukan himpunan penyelesaian dari

Jawab:

1. Mencari titik kritis.

4 x  1 Ubahlah

 2 . (Ruas kanan harus nol)

4 x  1 2  0 x  1 1

4 x  12 x  2  0

Titik kritis diperoleh pada x   atau x  1 .

(Faktorisasi pada pembilang dan penyebut)

Karena  x  penyebut maka 1   x   , yaitu 1  0 x  1 .

(Titik x  1 bukan himpunan penyelesaian)

2. Uji selang diantara titik kritis.

2 x  1 Jika x  0 maka

  1 tanda   .

Jadi HP   xx  atau x  1, x   . 

Task 1 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut!

a.  0

b.  0 x  1

c.  5 x

d.  3 2x d.  3 2x

Pertidaksamaan Irrasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan bentuk tak rasional atau bentuk akar. Pertidaksamaan irrasional juga bisa berbentuk pecahan, yaitu

fx 

gx  Misalkan diberikan fx   . Adapun teknik menyelesaikan 0

pertidaksamaan irrasional yaitu:

a. fx   (syarat) 0

b. Kuadratkan kedua ruas, untuk menghilangkan akar

c. Iriskan penyelesaian a) dan b)

Contoh 3.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4  x 2

Jawab:

1. Menentukan fx   . (Perhatikan di dalam akar) 0

4  x 0

2. Mengkuadratkan kedua ruas

4  x 4

3. Menentukan irisan Perhatikan bahwa x  4 dan x  0 sehingga

HP   x 0  x 4, x     0, 4  .

Contoh 4.

2  x Tentukan himpunan penyelesaian dari

Jawab:

1. Menentukan fx   . (Perhatikan di dalam akar) 0

2  x 0

2. Mengkuadratkan kedua ruas. (Ingat ruas kanan harus

Titik kritis

(Faktorisasi pembilang dan penyebut)

Dengan rumus ABC diperoleh x  2 atau x  1 .

x yaitu 2 x  0 (akar kembar)

Uji selang diantara titik kritis

23 2  x  x

Untuk x  1 maka

2  6 tanda +   .

HP   xx  2 atau x  1, x   .

3. Menentukan irisan

Perhatikan bahwa x  2 dan  x  2 atau x  1  sehingga

HP   xx  2 atau1  x 2, x   .

Task 2 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irrasional berikut!

a. 2 x  1 3

b. 5  x 4 x  3

c.  1 2

d.  3 x  1

I. Persamaan Nilai Mutlak

Misalnya diberikan x  , nilai mutlak x , dinotasikan dengan x didefiniskan

 x , jika x  0 x 

  x jika x ,  0

Dari definisi kita dapatkan bahwa 3  dan 2 2 3  . Beberapa sifat nilai mutlak, yaitu:

a. ab a b 

b. 

dengan b  0

c. ab    (Ketaksamaan Segitiga) a b

d. ab  a b

Contoh 5.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x  1 3

Jawab:

 2 x  1 Ingat kembali definisi nilai mutlak 2 x  1 .

   2 x  1 

Untuk 2 x  1 3 maka x  2 .

Untuk   2 x   maka 1  3 x  1 . Jadi HP   xx  1 x 2, x  

Contoh 6.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 x  3 1 x

Jawab:

 4 x  3 Berdasarkan definisi nilai mutlak 4 x  3 dan

   4 x  3 

 1  x

1  x .

   1 x 

Ada 4 kemungkinan penyelesaian, yaitu:

a. 4 x  31 x

b.   4 x  3  1 x

c. 4 x  3  1 x 

d.   4 x  3   1 x 

Perhatikan bahwa bentuk a) dan d) sama. Bentuk b) dan c) juga sama. Dengan kata lain kita cukup menentukan a) dan b) saja

(cukup memutlakkan salah satu ruas).

Untuk 4 x  31 x maka x  .

Untuk   4 x    maka 3  1 x x  .

Jadi HP   xx  x , x   

(Cara Lain: Kedua ruas dikuadratkan)

Task 3 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut!

a. x  3 7

b. 216 x 

c. x    (Konsep penting) 1 1

d.  1 x  1

J. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Sifat-sifat persamaan nilai mutlak, diantaranya:

a. xa  a x a

b. xa  x a atau x  a

2 c. 2 x  y  x  y (dikuadratkan kedua ruas)

Contoh 7.

Tentukan himpunan penyelesaian 2 x  1 4

Jawab:

Ingat kembali sifat x . a a x a

2 x  1 4  4 2 x  14

 4 2 x  1 atau 2 x  14

atau

Jadi HP   xx  x , x   

Contoh 8.

Tentukan himpunan penyelesaian x 2 1

Jawab:

Ingat kembali sifat x . a a x a

 3 x 6 3  3 x 6 atau x  6 4

atau

x  10

Jadi HP   x 3  x 10, x  

Contoh 9.

Tentukan himpunan penyelesaian 3 x  1 2 x  . 6

Jawab:

Sulit dikerjakan karena ada dua tanda mutlak, alternatifnya mengkuadaratkan kedua ruas.

3 x  1 2 x  6 3 x  1 2 x  12

3 x  1   2 x  12 

2  2 9 x  6 x  14 x  48 x  144  2 5 x  54 x  143  0

  5 x  11  x  13   0

Jadi HP   x  13 x , x   

Task 4 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut!

K. Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut.

a. 2 x  1 3

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak berikut ini.

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irrasional berikut ini.

a. 4 x  1 2

b.  2

c. 53  x  1

d.  1

12  x

e. 12  x  34  x

CHAPTER III FUNGSI (FUNCTION) PART I

A. Pengertian Fungsi

Diberikan dua buah himpunan tak kosong yaitu himpunan A dan B . Elemen pada himpunan A dapat dihubungkan dengan elemen pada himpunan B , hubungan atau aturan ini dinamakan relasi .

Relasi yang mengaitkan setiap elemen

A dengan tepat satu elemen

B disebut dengan fungsi.

Fungsi dari himpunan A ke B ditulis fA :   B , dimana A disebut sebagai daerah asal atau domain  D f dan B disebut

sebagai daerah kawan atau kodomain. Selanjutnya a  A disebut sebagai pra-bayangan (pre-image) dari b dan

fa   B disebut sebagai bayangan (image) dari a . Himpunan R f   b  Bb  fa  , a  A  disebut sebagai daerah

hasil atau range.

Berikut ini ilustrasi dari suatu fungsi.

Fungsi

bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan

A yang tidak mempunyai kawan.

Untuk lebih mudahnya memahami definisi fungsi pahami 2 aturan berikut ini:

1) Setiap elemen himpunan A harus habis terkait dengan elemen himpunan B .

2) Tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

Contoh:

Diberikan himpunan A   x, y, z  dan himpunan B   1, 2, . didefinisikan suatu fungsi fA :   B sebagai berikut:

x  1, y  2, z  1 atau fx   1, fy   2, fz   . Dari 1

contoh diatas dapat dikatakan bahwa

 image dari x adalah 1 atau x adalah pre-image dari 1  image dari y adalah 2 atau y adalah pre-image dari 2

 image dari z adalah 1 atau z adalah pre-image dari 1

Diperoleh R f   1, 2 .

Task 1 (Question and Answer)

Diberikan himpunan A   abcd ,,,  dan himpunan B   0,1 . didefinisikan suatu fungsi fA :   B sebagai berikut:

fa   1, fb   0, fc   1, fd   . Tentukan! 1

a. Image dari a

b. Pre-image dari 1

c. R f

B. Notasi Fungsi

Fungsi fx  dibaca “f dari x” atau “f pada x”. Jika fx   4 x  maka 2

f  1   4.1 2 6

f   2 4.   2 2 6

fa   4 a  2

fs   h   4 s  h   2 4 s  4 h  2

Contoh:

Diberikan 2 fx  

x  2 x . Diperoleh

a. 2 f 

4  h   4  h   24   h 

b. 2  16 8  h  h  82 h  2 86 h  h

2 c. 2 f 

4  h  f  4  86 hh   8 6 hh 

 f  4 6 h  h h  6  h 

Diberikan fx    . tentukan nilai x 3 x jika

a. fx   . Diperoleh 7

fx   7

x  3 7

x  73 x  10

b. fx    . Diperoleh 2

fx   2

x  3 2

x  23 x  1 x  23 x  1

fx  

x  3

1 x  3

Task 2 (Question and Answer)

1. 2 Untuk fx  

x  , tentukan nilai 1

a. f  1

b. f   3

c. f  2 h

d. f   2

e. fk   2 

2. Untuk gy  

, tentukan nilai

a. g  0

b. 2 gy

c. g   2

d. g  2  x 

e. g   4

3. Tentukan nilai x pada fungsi dibawah ini:

a. fx   2 x  dan 1 fx   9

b. 2 fx  

x  dan 1 fx   3

c. 2 fx   x  2 x  dan 3 fx   0

C. Grafik Fungsi

Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk grafik dengan memperhatikan pasangan-pasangan terurut dari fungsi tersebut. Jika daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) merupakan bilangan riil maka fungsi dapat diganbar dengan menggunakan sistem koordinat Cartesius.

Contoh:

Diberikan fx   x 4

D. Jenis-Jenis Fungsi

Berikut ini disajikan beberapa jenis fungsi:

a. Fungsi injektif (satu-satu, into) adalah jika setiap elemen

himpunan A memiliki pasangan yang berbeda pada himpunan B.

b. Fungsi surjektif/onto (pada) adalah jika setiap elemen himpunan B memiliki pasangan pada himpunan A.

c. Fungsi bijektif (satu-satu dan pada) adalah jika setiap elemen himpunan B memiliki pasangan tepat satu pada himpunan A. Dengan kata lain suatu fungsi dikatakan c. Fungsi bijektif (satu-satu dan pada) adalah jika setiap elemen himpunan B memiliki pasangan tepat satu pada himpunan A. Dengan kata lain suatu fungsi dikatakan

Fungsi injektif, Fungsi surjektif, bukan surjektif

bukan injektif

AB

Bukan fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi maupun pada

Task (Question and Answer)

1. Tentukan jenis fungsi berikut:

a.  fx   pada

b. fx    pada : x 1 f 

c. fx   2 x f : 

E. Invers Fungsi

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijektif) dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1 . Misalkan a adalah

anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -

1 (b) = a jika f(a) = b.

Fungsi injektif (not surjektif) Fungsi surjektif (not injektif) Tidak memiliki invers fungsi

Tidak memiliki invers fungsi

Mengapa contoh di atas tidak memiliki invers fungsi?

Not injektif dan not surjektif Tidak memiliki invers fungsi

Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh:

Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Jawab:

Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke- satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f -1 (y) = y +1.

F. Operasi Aljabar Pada Fungsi

Diberikan  f x dan  g x . Pada kedua fungsi itu bisa dikenakan operasi, yaitu:

a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi Prinsip dasar penjumlahan dan pengurangan adalah mengoperasikan suku-suku yang sejenis.

Contoh:

3 Diberikan 3 fx  

3 x  2 x  dan 1 gx   x  maka 4 fx 3  

gx  4 x  2 x  3

fx 3  

gx  2 x  2 x  5

b. Perkalian dengan skalar Prinsip dasarnya sama dengan sifat distributif.

Contoh:

3 Diberikan 3 fx  

3 x  2 x  maka 1 2 fx   6 x  4 x . 2

c. Perkalian antar fungsi Prinsip dasar perkalian antar suku.

Contoh:

Diberikan 3 fx  

2 x  dan 1 gx   x  maka 1

4 fxgx 3 

 2 x  x 2 x . 1

d. Pembagian antar fungsi Pembagian yang dibahas tidak melibatkan pembagian yang bersisa.

Contoh:

Diberikan 2 fx   x  5 x  dan 6 gx    maka x 3 Diberikan 2 fx   x  5 x  dan 6 gx    maka x 3

  x  2  . gx 

G. Komposisi Dua Fungsi.

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan

g , dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh

(f  g)(a) = f(g(a))

Contoh:

Diberikan fungsi f(x) = x 2 – 1 dan g(x) = x + 1. Tentukan f g dan g f

Jawab:

2 2 a. 2 (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = x +1 –1=x .

2 b. 2 (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1) +1=x - 2x + 2.

Contoh:

Diberikan fungsi 2 fx  

2 x  dan 1 gx   x  . Tentukan 2

 f g   0 dan  gf   0

Jawab:

Perhatikan bahwa 2 f 

0  20   dan 11 g  0  0  2 2

a.  f g   0  fg   0   f   2 2 2 1 3

b. 2 

gf   0  gf   0   g  1  1 2 1

Contoh:

Diberikan fungsi 2 fx  

2 x  dan 1  f g   x  x  3 x  . 2 Tentukan gx. 

Jawab:

Perhatikan bahwa Perhatikan bahwa

    x  3 x  2

fgx 2

 gx    1 x  3 x  2

 gx    x  3 x  3 x 2  3 x  3

gx  

Contoh:

Diberikan fungsi 2 fx    dan x 1  gf   x  x  3 x  . 2 Tentukan gx. 

Jawab:

Perhatikan bahwa

g f   x  x  3 x  2

    x  3 x  2

gfx 2

gx 2  

Misalkan y   maka x 1 x   , sehingga diperoleh y 1

gy 2   y  1   3  y  1  2 gy 2  

y  2 y  13 y  32

gy 2  

Jadi 2 gx  

x  5 x . 2

H. Latihan

1. 4 Diberikan fx   x  dan 1 gx    . Tentukan: x 1

a.  f  g   x

b.  f  g   x

c.    fg x

 f

d.   x  g

2. 2 Diberikan fx  

2 x  , 1 gx   x dan hx   . 4

Tentukan:

a.  f g   x a.  f g   x

c.  fh   x.

d.  hg   x

e.  f g   2

BAB IV LIMIT

(Pertemuan Ke-9)

A. Pendahuluan Limit

Diberikan fx  

. Perhatikan tabel di bawah ini. x  1

Perhatikan bahwa fungsi fx  

tidak terdefinisi pada

x  1 . Tetapi kita bisa menarik kesimpulan “ fx  mendekati 2 jika x mendekati 1. Dalam lambang matematis, dinyatakan

sebagai

lim

Note: dibaca “limit dari untuk x mendekati 1 adalah 2.

Jika kita seorang good algebra, kita dapat mengetahui bagaimana cara memvalidasi fakta diatas.

x  1  x  1 

lim   lim  lim  1

x  11 2

Definisi (Pengertian limit secara intuisi)

Jika lim fx   maka kita dapat menyatakan “ jika L x x c dekat

tetapi berlainan dari c , maka  f x dekat ke L .

CONTOH 1. Carilah lim 4 x . 5

Penyelesaian: Jika jika x dekat 3 , maka 4 x  5 dekat ke  4.3 5 7 . Kita nyatakan

x  5  7

lim 4 lim 4

Penyelesaian: (Bisa diselesaikan dengan menggunakan kalkulator seperti tabel bagia awal) Dengan aljabar

x 2  x 6 

x  3  x  2 

lim   x  3 x lim  3 x  3 x 2 32 x 5  3

STOP!!! RED LIGHT

Dengan aljabar, carilah limit fungsi di bawah ini! x 2  3 x  4

Definisi (Limit kiri dan limit kanan)

Jika lim  fx   maka kita dapat menyatakan “ jika L x dekat

tetapi pada sebelah kanan c , maka  f x dekat ke L . Jika

 c fx   maka kita dapat menyatakan “ jika L x  dekat tetapi

lim

pada sebelah kiri c , maka  f x dekat ke L .

TEOREMA A

 L lim  fx  . L

x c  

lim fx

L jika dan hanya jika lim fx  dan

 c   jika dan hanya jika limit kanan

Secara sederhana, lim x fx

sama dengan limit kiri.

CONTOH 3. Perhatikan grafik di bawah ini!

 2 x 2 x  2, untuk x  1

Jika fx  

 3  x untuk x ,  1 Tentukan nilai lim x

fx  .

Jawab:

Berdasarkan grafik, lim 2

 x  2 x   . (limit kiri) x 21  1

dan lim 3  x 2 (limit kanan)

Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka lim x fx

tidak ada.

STOP!!! RED LIGHT (No. 27 di Purcell, Hal 78)

For the function f , find the indicated limit or function value, or state that it dose not exist.

a. lim fx  b. f   3 c. x f  3  

d. lim x 1 fx  e.

f  1 f. lim x fx  1 

g. lim fx h. lim fx i. lim fx

STOP!!! RED LIGHT (No. 29 di Purcell, Hal 78)

Sketch the graph of

  x , if x  0 

fx    x , if 0  x 1

  1 x , if x  1

Then find each of the following or state that it dose not exist.

a. lim x 0 fx  b. lim

x 1 fx  

c. f  1 d. lim  fx 

B. TEOREMA LIMIT

Sifat-sifat limit fungsi

x  a    x  a 

4. lim fx x a    gx   lim fx x  lim

 a 

x  a 

gx

5. lim fxgx . lim fx .lim gx

x  a     x  a  x  a 

 fx   lim fx x  a 

6. lim x a    , untuk gx   

 gx    lim gx x  a 

7. lim  fx    lim fx x

 a  x  a  

8. Untuk setiap polinomial

n  Px 1  

ax n  a n  1 x  ax 1  a 0

maka lim Px   Pb x b 

Bagian ini tanpa kita sadari, telah kita pelajari (saya anggap sudah mahir)

C. KEKONTINUAN FUNGSI DEFINISI (Kekontinuan di satu titik)

Kita namakan f kontinu di c jika beberapa selang terbuka disekitar c terkandung dalam daerah asal f dan lim

x c fx   fc  . 

Bahasa yang lebih sederhana

Suatu f dikatakan kontinu pada c jika

1. lim fx ada

x  c 

2.  f c ada

3. lim fx   fc 

CONTOH. Diberikan fx   . Perhatikan bahwa f  2

tidak terdefinisi, fx  diskontinu pada x  2 dan lim x fx  2  .

4 Tetapi jika kita definisi kembali menjadi

 2 x 4 

; untuk x  2

fx    x  2

 4 ; untuk x  2

  f x kontinu 2

Perhatikan bahwa lim fx   f  2  sehingga 4

pada x  2 .

STOP!!!

Dalam soal-soal 1-7, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di 2. Jika tak kontinu jelaskan sebabnya!

a. 2 fx  

b. fx  

4 x  2 x  12 8

d. gx   x  1

c. gx  

e. 2 gx  

x  3  t 8 

; jika t  2

f. ht    t  2

  12 ; jika t  2

TASK OF THIS WEEK!!!!

1. Dengan aljabar, carilah limit fungsi di bawah ini!

2. Perhatikan grafik di bawah ini!

For the function f , find the indicated limit or function value, or state that it dose not exist.

a. x lim fx b. f  3 c. f  1

d. x lim 1 fx  e. f  1 f. x lim 1 fx 

g. lim fx  h. lim fx  i. lim fx

x  1 

3. Dengan aljabar, carilah limit fungsi yang lebih rumit di bawah ini!

4. Dalam soal-soal a-f, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di 2. Jika tak kontinu jelaskan sebabnya!

a. ft  

; jika t  2

t  2 b. gt    t  2

 2 ; jika t  2

c. ft  

4 t  8  x  3 ; jika t  2

d. ft  

2 t  2  x  1 ; jika t  2 2 t  2  x  1 ; jika t  2

e. gx  

f. ht  

x  3   2 ; jika t  2

5. Dalam soal-soal di bawah ini, di titik mana, jika ada, fungsi tak kontinu?

a. fx   2

x  x 6

b. gx   2

2 x  x 1

6. Andaikan   1 ; jika x  0

 fx    ax b 

; jika 0  x 1

 1 ; jika x  1 Tentukan a dan b sehingga f kontinu dimana-mana!

BAB V TURUNAN

(Pertemuan Ke-10)

A. MOTIVASI

Masalah turunan dimotivasi oleh garis singgung dan kecepatan sesaat.

Garis singgung dipengaruhi oleh kemiringan  m tan  .

fc   h   fc 

Cari kemiringan garis singgung pada kurva 2 y  fx  

x di

titik  2, 4 . Penyelesaian:

f  2  h   f  2

NOTE: Cara ini hanya motivasi, pembahasan berikutnya ada cara yang lebih praktis.

Kecepatan sesaat. Jika kita mengendarai motor dari kota A ke

B yang berjarak 80 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata kita adalah 40 km tiap jam. Artinya kecepatan rata-rata adalah jarak antara posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh.

Tapi selama perjalanan speedometer tidak selalu menunjukkan angka 40 km. Jadi apa yang diukur oleh speedometer? Tentu saja bukan kecepatan rata-rata. Kita perhatikan kasus yang lebih akurat yaitu kecepatan sesaat pada benda jatuh.

fc   h   fc 

v  lim

 h  0 v rata rata  lim

CONTOH. Persamaan benda jatuh di ruang hampa 2 s  16 t meter, dengan t dalam detik. Hitunglah kecepatan sesaat dari

sebuah benda jatuh, beranjak dari posisi pada diam t  3,8 detik dan pada t  5, 4 detik. Penyelesaian:

Kita hitung kecepatan pada t  c detik.

fc   h   fc 

v  lim

c  h   16 c

c  16 h 

 32 c

Jadi kecepatan pada 3,8 detik adalah 32(3,8)=121,6 meter/detik. Pada 5,4 detik adalah 32(5,4)=172,8 meter/detik.

CONTOH: Berapa lama waktu yang diperlukan oleh benda jatuh pada Contoh di atas untuk mencapai kecepatan sebesar 112 meter/detik? Penyelesaian: Kita hanya perlu menyelesaikan persamaan 32c=112. Diperoleh

c   3,5 detik.

B. TURUNAN

Definisi. Turunan fungsi f adalah fungsi lain ' f yang nilainya

pada sebarang bilangan c adalah

fc   h   fc 

f '  c  lim h  0

asalkan limit itu ada.

C. ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Teorema A. (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika fx   k maka f '  x  atau 0 Dk   0 , untuk k

sebarang konstanta.

CONTOH: Turunan dari fx   2016 adalah f '  x  . 0

Teorema B. (Aturan Fungsi Identitas)

Jika fx   maka x f '  x  atau 1 Dx  . 1 CONTOH: Turunan dari fx   adalah x f '  x  . 1

Teorema C. (Aturan Pangkat)

n  Jika 1 fx   maka

f '  x  nx atau Dx   nx , dengan

n bilangan positif.

10 CONTOH: Turunan dari 9 fx   x adalah f '  x  10 x .

Teorema D. (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensial maka  kf ' x  kf .'  x atau Dkfx   .     k Df x .  .

CONTOH: 10 Turunan dari fx  

7 x adalah 10 10 9 D 9

 7 x  7. Dx   7.10 x  70 x .

Teorema E. (Aturan Jumlah)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka

 f  g  ' x  f '  x  gx ' 

atau

Dfx     gx     Df x   Dg x  .

3 CONTOH: 2 Turunan dari fx  

x  x adalah

f 2 ' 

Teorema F. (Aturan Selisih)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka

 f  g  ' x  f '  x  gx ' 

atau

Dfx     gx    Df x   Dg x  .

2 CONTOH: 5 Turunan dari fx  

x  x adalah

f 4 ' 

STOP!!!!

Carilah turunan dari

a. 2 fx  

6 5 b. 2 fx  

4 x  3 x  10 x  5 x  16

2 10 c. 99 fx  

100  x  100 x  x

Teorema G. (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka

 fg .  ' x  f '  xgx  fxgx  '

atau

Dfxgx    .    Df x g x    f x Dg x .

2 CONTOH: Tentukan turunan dari 4 hx   

3 x  52  x  x  .

Penyelesaian:

fx 2  

3 x  maka 5 f '  x  6 x

4 gx 3  

2 x  maka x gx '   8 x  1

 fg .  ' x  f '  xgx  fxgx  '

 6.2 x  x  x  3 x  58  x  1 

Sampai sini OKE. Lebih oke lagi, jika disederhanakan!!!

STOP!!!

Diketahui 3 hx    x  1  x  2 x  4  . Tentukan

a. hx ' 

b. h '0 

c. h '1 

Teorema H. (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan dan

 f f '  xgx  fxgx  ' gx   0 maka  '  x 

 g g  x  fx   Df x g x    f x Dg x

2 atau

 gx  

g  x

3 x  5  CONTOH: Tentukan turunan dari hx   2 .

Penyelesaian:

fx   3 x  maka 5 f '  x  3

gx 2  

x  maka 7 gx '   2 x

 f f '  xgx  fxg  ' x  '  x 

 2 g g 

3  x  7   3 x  52  x

Sampai sini OKE. Lebih oke lagi, jika disederhanakan!!!

STOP!!!

Diketahui hx  

x 2  12

3 . Tentukan

a. hx '  a. hx ' 

c. h '1 

Teorema I. (Aturan Pangkat Negatif)

 n Jika 1 fx  

x maka f '  x  nx atau Dx   nx ,

 n 1  n

dengan n bilangan negatif.

 10  CONTOH: Turunan dari 11 fx   x adalah f '  x  10 x .

LEBIH BANYAK LATIHAN!!!!

1. Carilah f '  x dari

3 2  a. 3 fx  

2 x b. fx    x c. fx   3 x

5 4 e. 2 fx  x 

   xx 

d. fx 

f. fx

g. 2 fx    x  17  x  1  2 x  1 x  2 x  h. 1

fx  

i. fx  

2. Jika f  0  , 4 f '0   , 1 g  0   dan 3 g '0   10

. Tentukan:

a.  f  g  '0 b.  f  g  '0

c.  fg .  '0  f

d.  '0   g

3. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada

saat 2 t detik diberikan oleh s  16 t  40 t  100

a. Berapa kecepatan sesaat pada t  2 ?

b. Kapan kecepatan seseatnya 0 ?

D. TURUNAN SINUS DAN KOSINUS

Teorema A.

Turunan dari fx   sin x adalah f '  x  cos x dan turunan dari fx   cos x adalah f '  x  sin x .

fx   3sin x

fx   3 cos x   3cos x .

Fungsi trigonometri yang lain dapat dicari dengan bantuan fungsi sinus dan cosinus.

CONTOH: Tentukan turunan dari fx   tan x . Penyelesaian:

Perhatikan bahwa fx   tan x 

sin x

cos x

Misalkan gx   sin x maka gx '   cos x dan hx   cos x maka hx '   sin x .

g '  xhx  gxhx '

f '  x 

h 2 

cos .cos x x  sin x   sin x 

Tentukan turunan dari fungsi berikut! (Hint: semua aturan turunan berlaku juga di sinus dan kosinus)

a. fx   3sin x  5cos x b. y  sin cos x x

c. y  cot x 

cos x sin x

d. y  sin x

sin x  cos x cos x

e. y 

f. y 

x x sin x

E. ATURAN RANTAI

Teorema A. (Aturan Rantai)

Andaikan y  fu  dan u  gx  menentukan fungsi komposit

y  fgx      f g   x . Jika g terdeferensial di x dan f

terdeferensial di u  gx  , maka f g terdeferensial di x dan

 f g  ' x  f '  gx   .' gx  atau Dy x  DyDu u . x .

2 CONTOH: Tentukan turunan dari 60 y  

Penyelesaian: