Dengan Cara mencuci pakaian dengan

ISI
N0

Judul Bab

Halaman

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Himpunan
Bilangan
Garis dan Sudut

Segiempat dan Segitiga
Perbandingan dan Skala
Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Aritmatika Sosial
Transformasi
Statistika
Peluang

2–8

HIMPUNAN
Menemukan konsep Himpunan
Penyajian Himpunan
Menemukan Konsep Himpunan Semesta dan Diagram Venn
Kardinalitas Himpunan
Menemukan Konsep Himpunan Kosong
Relasi himpunan
 a. Menemukan Konsep Himpunan Bagian
 b. Himpunan Kuasa
 c. Kesamaan Dua Himpunan

Operasi Himpunan
 Irisan (intersection)
 Gabungan (Union)
 Komplemen (Complement)
 Selisih (Diference)
 Sifat-sifat Operasi Himpunan
 Penyederhanaan Operasi Himpunan

Teori

Soal
latihan

I

A.

PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama
atau terdefinisi dengan jelas

B.

CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DAN KEANGGOTAANYA
Himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya
dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal, anggota
satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma.
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu:
Dengan Cara Mendaftarkan Anggotanya (Roster Method / Enumerasi )

1)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan / menyebutkan semua anggotanya yang
dituliskan dalam kurung kurawal.
Dengan Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya (Ruler Method)

2)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan / menyebutkan sifat-sifat yang dimiliki
anggotanya.

Dengan Notasi Pembentuk Himpunan

3)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan
tersebut.
Himpunan tersebut ditulis A= { x | syarat yang harus dipenuhi}. Simbol ” ” garis tegak
dibaca ”sedemikian sehingga”.
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini
No
1.

Dengan Cara
Mendaftarkan Anggotanya
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2.

B = {Senin, Selasa, Rabu,
Kamis, Jum’at, Sabtu,

Minggu}

3.

C = {A, I, U, E, O}

Dengan Menyatakan sifat
yang dimiliki anggotanya
A = Himpunan semua
bilangan asli kurang dari 8
B = Himpunan nama-nama
hari dalam satu minggu

Dengan Notasi
Pembentuk Himpunan
A = { x | x bilangan asli
kurang dari 8}
B = { x | x nama-nama
hari dalam seminggu}

C = Himpunan semua

C = { x | x huruf-huruf

No

4

C.

Dengan Cara
Mendaftarkan Anggotanya

D = {Soekarno, Soeharto,
B.J. Habibie,
Abdurrahaman Wahid,
Megawati, Susilo Bambang
Yudoyono}

Dengan Menyatakan sifat

yang dimiliki anggotanya
huruf-huruf vokal dalam
alfabet
D = Himpunan nama-nama
presiden Republik
Indonesia

Dengan Notasi
Pembentuk Himpunan
vokal dalam alfabet}
C = { x | x nama-nama
orang yang pernah
menjadi presiden RI }

BANYAKNYA ANGGOTA SUATU HIMPUNAN
Setiap objek atau benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen
himpunan tersebut. Dalam matematika untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota
himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan,
anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉”
Misalkan A adalah himpunan huruf-huruf pada kata “PENTIUM” maka A adalah himpunan

yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf P, E, N, T, I, U dan M. Huruf P, E, N, T, I,
U dan M termasuk anggota himpunan A, ditulis P ∈ A, E ∈ A, N ∈ A, T ∈ A, I ∈ A, U ∈ A,
dan M ∈ A sedangkan L bukan anggota A atau ditulis L ∈ A.
Banyaknya elemen / anggota yang dikandung dalam suatu himpunan disebut kardinalitas
himpunan. Banyaknya anggota himpunan A adalah 7 buah, yaitu P, E, N, T, I, U dan M ditulis
n(A) = 7.
Misalkan B = { x x < 10, x ∈ bilangan prima} . Jadi 2 ∈ B, 5 ∈ B, 7 ∈ B. Tetapi 1 ∉ B, 9 ∉
B. Misalkan C =

{ a, { b} }

berarti a ∈ C dan { b} ∈ C.

{ b}

anggota C yang berbentuk

himpunan.
Contoh 1.1 :


Misalkan A = { a, b, c, d , e, f } , maka kardinalitas himpunan A adalah n(A) = 6.



Misalkan B = { x x < 10, x ∈ bilangan ganjil} = { 1,3,5, 7,9,11,13} , maka kardinalitas
himpunan B adalah n(B) = 7.



D = { x x bilangan prima} , berarti D = { 2,3,5, 7,...} , maka kardinalitas himpunan D
adalah n(D) = ~

D.

KARDINALITAS HIMPUNAN
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat diartikan sebagai ukuran banyaknya elemen yang
dikandung oleh himpunan tersebut.
Catatan :
Dua buah himpunan dikatakan equivalen jika banyaknya anggota dari kedua himpunan

tersebut adalah sama.
Contoh 1.2 :

Misalkan himpunan A = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at, Sabtu, Minggu}, dan
himpunan P = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 15}. Banyaknya elemen atau anggota dari himpunan A
adalah 4, begitu pula dengan banyaknya elemen atau anggota dari himpunan B adalah 4.
Berarti kedua himpunan tersebut eqivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki
kardinalitas yang sama.

E.

SIMBOL¬SIMBOL BAKU HIMPUNAN
Dalam mempelajari himpunan ada beberapa himpunan yang memakai simbol baku yang
sering dipakai dalam matematika. Simbol¬simbol himpunan baku ini diantaranya ::
£ = Himpunan bilangan Cacah = { 0, 1, 2, 3, 4 . . . }
¥ = Himpunan bilangan asli = { 1, 2, 3 . . . }

¢ = Himpunan bilangan bulat = { . . . , – 2,– 1, 0, 1, 2, . . . }
¡ = Himpunan bilangan riil

F.

JENIS-JENIS HIMPUNAN
Ada beberapa macam-macam himpunan, antara lain :
1)

Himpunan Berhingga
Himpunan Berhingga yaitu himpunan dengan banyaknya elemen/anggota dapat
dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 1.3 :
 Misalkan himpunan A = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at, Sabtu, Minggu},
dan n(A) = 7.
A disebut himpunan berhingga.


2)

Misalkan himpunan B = {1, 3, 5, 7, 9}. dan n(B) = 5.
B disebut himpunan berhingga.

Himpunan Tak Berhingga
Himpunan Tak Berhingga yaitu himpunan dengan banyaknya elemen/anggota tidak
dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 1.4 :
 Misalkan himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, dan n(A) = tak berhingga atau
n(A) = ∞.
A disebut himpunan tak berhingga.



Misalkan himpunan B = {1, 3, 5, 7, 9, 13, ... }. dan n(B) = tak berhingga atau

n(B) = ∞.
B disebut himpunan tak berhingga.
3)

Himpunan Kosong
Suatu Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila kardinalitas dari himpunan A = 0
atau n(A) = 0.
Himpunan kosong dinotasikan dengan φ (phi) atau { } .
Contoh 1.5 :
 Misalkan himpunan A = himpunan bilangan prima antara 7 dan 10.
Kita tahu bahwa tidak ada bilangan prima antara 7 dan 10, sehingga n(A) = 0.
Jadi A disebut himpunan kosong, atau A = φ, atau A = { }.


Misalkan himpunan B = himpunan bilangan genap prima yang lebih dari 3.
Kita tahu bahwa tidak ada bilangan genap prima yang lebih dari 3, sehingga n(B)
= 0.
Jadi B disebut himpunan kosong, atau B = φ, atau B = { }



2
Misalkan himpunan C = x x < 0, x ∈ bilangan bulat

{

}

Kita tahu bahwa tidak ada bilangan kuadrat yang nilainya lebih kecil dari 0,
sehingga n(C) = 0.
Jadi C disebut himpunan kosong, atau C = φ, atau C = { }
4)

HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan semesta biasanya disimbolkan dengan “ U “ (Universum) atau “S”
(Semessta).
Himpunan Semesta adalah berarti himpunan yang memuat semua anggota yang
dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek-objek yang sedang dibicarakan.
Biasanya hinpunan semesta sudah harus ditetapkan dahulu sebelum kita membicarakan
suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut
merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 1.5 :


Misalkan himpunan A =

{ 2,3,5, 7,11}

maka yang dapat menjadi himpunan

semesta adalah:
 S = { x x bilangan prima} ,
 S = { x x bilangan cacah} ,
 S = { x x bilangan bulat positif } atau himpunan lain yang memuat A.

Apa yang akan kamu
. pelajari? Pengertian himpunan

5) Diagram venn

semesta dan lambangnya.

A. Himpunan Semesta

.
Diagram
himpunan.

Venn

suatu

Misalkan A = {merah, putih}.

. Pengertian himpunan bagian.
. Banyak himpunan bagian dari

B = {merah, hijau}.

suatu himpunan
. Pengertian himpun- an

C = {merah, putih, biru}.

kosong dan lambangnya
Kata Kunci:
. Himpunan semesta.

BB Apakah himpunan C memuat
semua anggota

. Diagram Venn.
. Himpunan bagian.

himpunan A?

. Himpunan Kosong

Apakah himpunan C memuat semua
anggota
himpunan B?
. Karena C memuat semua anggota A, maka
dikata-kan bahwa C merupakan himpunan
semesta dari himpunan A.

. Karena ada anggota B yang tidak termuat
pada C, yaitu hijau (h); h ∉ C, maka dikatakan

bahwa C bukan himpunan semesta dari
himpunan B.

Misalkan kita punya himpunan D = {merah,
kuning, putih, ungu}. Apakah D memuat semua

anggota A? Ya, bukan?

Jadi, D juga merupakan himpunan semesta dari A.
Apakah D memuat semua anggota himpunan B?
Tidak, bukan?

Karena D tidak memuat semua anggota B, berarti D bukan

merupakan himpunan semesta dari himpunan B.
Jadi, jika kita punya himpunan A = { merah, putih }, maka
himpunan semesta dari A yang mungkin antara lain:

1. C = { merah, putih, biru }, atau

2. D = { merah, kuning, putih, ungu }.

Dapatkah kamu menyebutkan himpunan semesta yang lain?
Dapatkah kamu menarik kesimpulan, apa yang dimaksud
dengan himpunan semesta dari suatu himpunan A?
Dari penjelasan tersebut, dapat dikatakan bahwa:

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat
semua
Himpunan
Semesta

Contoh

anggota himpunan yang sedang dibicarakan.
Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S.

:
Misalnya kita mempunyai himpunan P = {1, 3, 5, 7}.

Himpunan semesta yang mungkin dari P, antara lain:

1. S = {1, 3, 5, 7, 9}

2. S = Himpunan 10 bilangan asli yang pertama

3. S = {1, 2, 3, . . . , 100}

4. S = {1, 3, 5, 7, . . . , 51}

5. S = Himpunan bilangan asli.
Sebutkan dua himpunan semesta yang mungkin untuk masing-

masing himpunan berikut ini.

1. A = {1, 2, 3}.

2. B = {a, i, u}.

3. C = {x : 2 < x < 10, x adalah bilangan asli}.

4. D = {x : x ≥ 100, x adalah bilangan bulat}.

5. E = {n : n < 15, n adalah bilangan prima}.

6. F = Himpunan bilangan prima yang genap.

7. G = Himpunan bilangan asli yang habis dibagi 6.

8. H = Himpunan bilangan komposit antara 1 dan 10.

9. I = Himpunan bilangan genap yang habis dibagi 3.

10. J = Himpunan bilangan prima kurang dari 20.

6)

HIMPUNAN SAMA
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B ditulis “ A = B ” jika dan hanya jika
setiap angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B, demikian pula
sebaliknya himpunan B dikatakan sama dengan himpunan A ditulis “ B = A ” jika dan
hanya jika setiap angota himpunan B juga merupakan angota himpunan A.
Contoh 1.6 :


Misalkan himpunan A =

{ 2,3,5,7,11}

maka yang dapat menjadi himpunan

semesta adalah:
P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q.

7)

HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B ditulis “ A ⊆ B “ jika dan hanya
jika setiap anggota himpunanA merupakan anggota himpunan B, demikian pula
sebaliknya himpunan B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A ditulis “ B ⊆ A ”
jika dan hanya jika setiap angota himpunan B juga merupakan angota himpunan A.
Contoh 1.7 :


Misalkan himpunan A = { 2,3,5, 7} , dan B = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} .
Maka dapat dikatakan

{ 2,3,5, 7} ⊆ { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} .

Jadi A ⊆ B, atu dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari
himpunan B.

8)

HIMPUNAN KUASA (POWER SET)
Himpunan kuasa (Power Set) adalah himpunanseluruh himpunan bagian dari suatu
himpunan.
Banyaknya himpunan kuasa dari suatu himpunan dapat di hitung dengan “ 2 n(A) “.
Contoh 1.8 :
 Misalkan himpunan A = {2, 3, 5}.
Maka himpunan kuasa dari A = {φ, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}}.
Jadi banyaknya himpunan kuasa dari A adalah 8. Atau dapat di hitung dengan “
2n(A) “.
Jelas bahwa n(A) = 3, maka banyaknya himpunan kuasa dari A adalah 23 = 8.