Permainan dua orang berjumlah tidak nol dan metagame tanpa kerjasama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Permainan dua orang berjumlah tidak nol merupakan permainan yang
dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain tidak selalu
negatif dari hasil permainan pemain yang lain. Hasil permainan dari permainan
tersebut merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium dari
permainan tersebut dapat dibentuk dengan mencari hasil yang optimal dari
strategi-strategi campuran yang digunakan masing-masing pemain. Cara lain yang
dapat digunakan adalah dengan metode Swastika, yaitu menentukan peluang dari
masing-masing strategi sehingga diperoleh nilai permainan harapan dari para
pemainnya.
Metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain merupakan permainan yang
strateginya didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Hal ini karena
penyelesaian permainan yang didasarkan pada teori permainan hasilnya tidak
selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi. Strategi salah satu pemain
merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Dari strategi tersebut
dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Pasangan
ekuilibrium dari metagame didapatkan melalui irisan hasil rasional dari masingmasing pemain.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Two-person non-zero-sum games is a game with two players and the
outcomes of one player is not always negative from the other player’s outcomes.
The outcomes of the game is an equilibrium pairs. The equilibrium pairs from the
game can be determined by finding the optimal outcomes from mix strategies
which is used by each player. Another way can be used is Swastika method,
which determines probability of each strategy so it gains the expected value of the
game.
Metagame without cooporation for two players is a games which is based
on the actual game being played . It is because the game solving is based on the
game theory which the outcomes is not always the same with the playing game.
These are games where the players strategies are really reaction functions to the
other players strategies. From the strategy it can be determine the rational
outcomes for each player. The equilibrium pairs from metagame is gained from
each players rational outcomes section.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN
METAGAME TANPA KERJASAMA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
PUJI ASTUTI
NIM : 023114031
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TWO-PERSON NON-ZERO-SUM GAMES AND
METAGAME WITHOUT COOPERATION
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
by:
PUJI ASTUTI
Student number : 023114031
MATHEMATICS DEPARTMENT
SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Percayalah pada Tuhan dengan segenap hatimu,
dan janganlah bersandar pada pergertianmu sendiri.
Amsal 3:5
Kupersembahkan Skripsiku ini kepada :
Tuhan Yesus Kristus yang senatiasa menyertaiku,sumber harapan dan kekuatanku.
Kedua orang tuaku atas cinta dan doa yang tiada henti.
Mas Sun, Mbak Asih, Nug, dan Bowo.
Yang terkasih Albertus Aan Oky atas dukungan, doa, perhatian, dan cinta.
Serta Almamaterku tercinta.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Punyailah iman yang dapat melihat kesempatan dalam kesulitan,
dan bukan melihat kesulitan dalam kesempatan.
Yakinilah dibalik semua kesulitan ada rencana indah yang Tuhan telah siapkan.
-nn-
Seribu kata tidak akan meninggalkan kesan yang begitu dalam
dibandingkan dengan satu perbuatan.
-Henrik Ibsen-
Selalu ada jalan untuk melakukan yang lebih baik. Temukanlah !
-Thomas Alfa Edison-
Letakkan segala sesuatunya pada Tuhan sehingga Dia mengambil alih
semuanya. Kerjakan bagianmu dengan baik, maka Dia akan mengerjakan
bagian dengan sangat baik.
-nn-
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Permainan dua orang berjumlah tidak nol merupakan permainan yang
dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain tidak selalu
negatif dari hasil permainan pemain yang lain. Hasil permainan dari permainan
tersebut merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium dari
permainan tersebut dapat dibentuk dengan mencari hasil yang optimal dari
strategi-strategi campuran yang digunakan masing-masing pemain. Cara lain yang
dapat digunakan adalah dengan metode Swastika, yaitu menentukan peluang dari
masing-masing strategi sehingga diperoleh nilai permainan harapan dari para
pemainnya.
Metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain merupakan permainan yang
strateginya didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Hal ini karena
penyelesaian permainan yang didasarkan pada teori permainan hasilnya tidak
selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi. Strategi salah satu pemain
merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Dari strategi tersebut
dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Pasangan
ekuilibrium dari metagame didapatkan melalui irisan hasil rasional dari masingmasing pemain.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Two-person non-zero-sum games is a game with two players and the
outcomes of one player is not always negative from the other player’s outcomes.
The outcomes of the game is an equilibrium pairs. The equilibrium pairs from the
game can be determined by finding the optimal outcomes from mix strategies
which is used by each player. Another way can be used is Swastika method,
which determines probability of each strategy so it gains the expected value of the
game.
Metagame without cooporation for two players is a games which is based
on the actual game being played . It is because the game solving is based on the
game theory which the outcomes is not always the same with the playing game.
These are games where the players strategies are really reaction functions to the
other players strategies. From the strategy it can be determine the rational
outcomes for each player. The equilibrium pairs from metagame is gained from
each players rational outcomes section.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, atas
berkat dan kasih karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang bejudul ” Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol
Dan Metagame Tanpa Kerjasama”.
Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh
penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi
ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing
skripsi dan selaku ketua program studi Matematika FST USD Yogyakarta
yang telah memberikan banyak saran dan yang telah meluangkan waktu,
pikiran, nasihat, tenaga, serta memberikan kesabarannya sehingga penulis
dapat sampai pada tahap penyusunan skripsi ini. (matatih buangeeeet ya
bu….. :))
2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dekan FMIPA dan dosen
pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan, saran, nasehat,
dan dukungan selama ini.
3. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. Selaku Dekan
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu pengetahuan
yang sangat berguna bagi penulis.
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Mas Tukijo , Ibu Suwarni dan Ibu Linda yang telah memberikan
pelayanan administrasi dan urusan – urusan akademik kepada penulis
selama masih kuliah.
6. Romo Dr. Frans Susilo, SJ, selaku kepala perpustakaan yang telah
menyediakan fasilitas dan kemudahan selama penulis kuliah.
7. Perpustakaan USD dan Staf yang telah memberikan fasilitas dan
kemudahan kepada penulis.
8. Bapak dan ibu tercinta : Ibu Karpini dan Bapak Basuki yang selalu
mendoakan penulis dan memberikan dukungan yang tak pernah berhenti
dalam segala hal.
9. Mas Sun, Mbak Narsih, Sinuk, Bowo, Mas Sugeng, Mbak Ari dan sikecil
Lintang terima kasih buat persaudaraan ini semoga kita dapat selalu
menjaganya. Tuhan berkati kita.
10. Albertus Aan Oky Dwi Hatmoko yang telah memberikan banyak cinta,
pengertian, waktu, kesabaran, nasehat, semangat (cayo-cayo ijup......:),
perhatian, serta kasih sayangnya kepada penulis. Terima kasih buat doa
yang tiada henti untuk penulis, saran, pengetahuan, kebersamaan dan
kenangan indah yang telah diberikan kepada penulis.
11. Saudara dan sahabat penulis : Yulita, Minul, Ika, Teguh, Mas Wawan,
Mas Aga terima kasih untuk kesempatan hidup yang Tuhan berikan
sehingga penulis bisa lalui bersama kalian, terima kasih untuk doa dan
kasih sayangnya serta dukungan yang tak pernah berhenti.
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12. Aan, Bani, Taim, Markus, Galih, Tato, (genk mawut) terima kasih atas
persahabatan, kenangan, dukungan, semangat, dan perjalanan hidup yang
sangat berarti yang kalian berikan untuk penulis (kapan bisa main barengbareng lagi.....???). Untuk Ridwan dan Katrin (asyik bisa main bareng
kalian).
13. Teman – teman Kost ‘ICHA’, mbak Nia, Lusae, Via, Indri, Tecca, Tiehna,
Ratih, Cicil, Siane, Ana, Erita dan untuk teman dikost baru Yemima
terima kasih buat keceriaan yang boleh dibagi bersama penulis.
14. Teman – teman angkatan 2002, Amelia, Lenta, Debby, Priska, Retno, Sari,
Vida, Lili, Dani, Ika, Feliks, Archi, Aning, Desi, Deon, Nunung, Chea,
Wuri, Rita, Asih, dan Palma yang sudah memberikan segala keceriaan
dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD.
15. Seluruh teman – teman di Prodi Matematika, kakak angkatan dan adik
angkatan.
16. Teman – teman KKN: Angga, Wiwik, Lisna, Suko, Suro, Beny, Mina, dan
Tyas yang memberi warna hidup yang baru selama KKN.
17. Teman – teman di Persekutuan Ekklesia Blok 8, terima kasih untuk
doanya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.
18. Pak Mardi dan Ibu yang memberikan nasehat, pengalaman hidup, dan
semangat.
19. Kost Kodok Ijo : Didit, Topan, Sumin, Bayu yang memberi keceriaan.
20. Ririn yang memberikan bantuan dan pengertian kepada penulis. Semangat
dan selamat berjuang.
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan di sini.
Yogyakarta,
Januari 2008
Penulis
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL……………………………………………………....
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …………………….
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………...
iii
HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………..
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………..............
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………..
vii
ABSTRAK………………………………………………………………..
viii
ABSTRACT………………………………………………………………
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA
ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ……………………...
x
KATA PENGANTAR ……………………………………………………
xi
DAFTAR ISI……………………………………………………………..
xv
BAB I PENDAHULUAN………………………………………………
1
A. Latar Belakang……………………………………………….
1
B. Rumusan Masalah……………………………………………
3
C. Pembatasan Masalah………………………………………...
4
D. Tujuan Penulisan…………………………………………….
4
E. Metode Penulisan…………………………………………....
4
F. Manfaat Penulisan…………………………………………...
5
G. Sistematika Penulisan……………………………………….
5
BAB II PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL…
6
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
A. Permainan Berjumlah Tidak Nol…………………………….
7
B. Permainan Tanpa Kerjasama..…………………………….....
7
C. Strategi Campuran…………………………………………
15
D. Teorema Nash……………………………………………...
21
E. Metode Swastika Untuk Menemukan Pasangan Ekuilibrium
28
BAB III METAGAME TANPA KERJASAMA UNTUK DUA PEMAIN
48
A. Metagame dan Metaekuilibria………….…………………
49
B. Teorema Metarasionalitas..………………………………...
65
C. Simetri Metaekuilibria…………………………..………….
78
D. Analisis Pilihan………………...………………………….
81
E. Analisis Pilihan Yang Berlaku Untuk Strategi Pasar………
84
BAB IV PENUTUP…………….……………………………………...
103
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………..
106
xvi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang
bersifat kompetitif yang diwarnai dengan suatu keadaan persaingan (konflik).
Persaingan ini dapat dilakukan diantara dua orang atau sejumlah orang (grup).
Persaingan ini dapat disebut sebagai suatu permainan (game). Dari persaingan
yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari, muncullah sebuah Teori
Permainan.
Teori Permainan diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh seorang ahli
Matematika bangsa Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Pada
tahun 1928 barulah John Von Neumann berhasil untuk pertama kalinya
menganalisis dan menyatakan pembuktian dari Teorema Minimax, yang
mencakup prinsip dasar tentang minimisasi dari kerugian (kekalahan) maksimum,
yang menjadi teorema dasar dalam teori permainan. Teori permainan dikenal
kembali setelah muncul karya bersama yang gemilang dari John Von Neumann
dan Oscar Morgestern seorang ahli ekonomi pada tahun 1944. Pada tahun yang
hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1947, saat John Von Neumann dan Oscar
Morgestren sedang mempublikasikan karyanya, tampil juga pengembangan dan
penggunaan program linear oleh George Dantzig. Dari sini kemudian
diketemukan bahwa permasalahan dalam teori permainan dapat dirumuskan
sebagai kasus khusus dari program linear. Sejak saat itu teori permainan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
mendapatkan perhatian yang begitu besar dan digunakan pada bidang ekonomi,
politik , olahraga, militer, dan bidang-bidang lainnya.
Masih banyak kegiatan-kegiatan lain yang bersifat kompetitif , namun
tidak setiap keadaan persaingan dapat disebut sebagai permainan, hanya persaingan yang memenuhi kriteria atau ciri-ciri tertentu saja yang dapat disebut sebagai
permainan. Kriteria atau ciri-ciri tersebut adalah:
1. Terdapat persaingan kepentingan diantara pemain (pelaku).
2. Jumlah pemain terbatas.
3. Setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan atau tindakan yang terbatas
yang disebut strategi.
4. Aturan permainan di dalam memilih tindakan diketahui oleh setiap
pemain.
5. Hasil permainan dipengaruhi oleh tindakan-tindakan yang dibuat oleh
semua pemain. Hasil untuk seluruh kombinasi tindakan yang mungkin
dilakukan tersebut dapat didefinisikan secara numeris.
Permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada
faktor-faktor tertentu. Salah satunya adalah jumlah keuntungan atau kerugian dari
pemain yang diklasifikasikan sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game)
dan permainan bejumlah tidak nol (non zero-sum game). Faktor yang lain dapat
ditentukan dari adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan tersebut yang
diklasifikasikan dalam permainan dengan kerjasama dan permainan tanpa
kerjasama. Dalam bab selanjutnya yang akan dibahas lebih lanjut adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama. Permainan berjumlah tidak nol
tanpa kerjasama merupakan permainan yang hasil permainannya
bukan
merupakan negatif dari hasil pemain lainnya dan dalam permainan tersebut tidak
terdapat kerjasama diantara para pemainnya.
Penyelesaian dalam permainan terkadang membuat hasil yang diperoleh
tidak seperti yang diperkirakan. Dapat diasumsikan bahwa setiap pemain mencoba
memprediksikan strategi apa yang akan digunakan oleh lawannya. Hal ini akan
menuju pada hasil nyata yang stabil dimana masing-masing pemain dapat
memprediksikan dengan tepat strategi yang digunakan dan hasil yang akan
dicapai oleh pemain lain.
Metagame merupakan pengembangan dari Teori Permainan, dimana
metagame adalah strategi permainan yang titik ekuilibriumnya didapat
berdasarkan pada permainan yang sebenarnya. Metagame merupakan permainan
yang strategi para pemainnya benar-benar merupakan reaksi untuk strategi pemain
lain. Dalam metagame setiap pemain memberikan reaksi untuk strategi yang
dipilih oleh pemain lainnya.
B. Perumusan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai
berikut:
1. Bagaimana penyelesaian permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama?
2. Bagaimana metode penyelesaian Metagame berjumlah tidak nol tanpa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
kerjasama untuk dua pemain?
3. Bagaimana aplikasi Metagame dalam penggunaannya pada Strategi Pasar?
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut :
1. Teori permainan yang dibahas hanya yang terkait langsung dengan
permasalahan dalam permainan berjumlah tidak nol.
2. Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada permainan tanpa
kerjasama, dimana hanya terdapat dua pemain dalam setiap permainan.
3. Strategi permainan yang digunakan terbatas.
D. Tujuan Penulisan
Skripsi ini bertujuan untuk :
1. Merumuskan model matematika untuk setiap masalah dalam suatu
permainan.
2. Menyelesaikan permainan dengan menggunakan Metagame untuk dua
pemain berjumlah tidak nol, sehingga setiap pemain dapat memprediksi
dengan tepat strategi dan hasil yang dicapai oleh para pemain lain.
E. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan buku-buku yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
baru.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah agar penulis dan
pembaca mengetahui cara menyelesaikan suatu masalah permainan dengan
Metagame.
G. Sistematika Penulisan
Bab I.
Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai latar
belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan,
metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.
Bab II. Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol. Pada bagian ini
akan dibahas mengenai permainan tidak berjumlah nol, permainan tanpa
kerjasama, strategi campuran, Teorema Nash, dan penyelesaian permainan
menggunakan metode Swastika untuk menemukan pasangan ekuilibrium.
Bab III. Metagame Tanpa Kerjasama Untuk 2 Pemain. Pada bagian
ini
akan
dibahas
mengenai
metagame
dan
metaekuilibria,
teorema
metarasionalitas, simetri metaekuilibria, analisis pilihan, dan analisis pilihan yang
berlaku untuk strategi pasar.
Bab IV. Penutup. Pada bagian ini berisi mengenai kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL
Teori permainan (game theory) adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang
berkaitan dengan pengambilan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada
dalam kondisi persaingan atau konflik. Pihak-pihak tersebut selanjutnya disebut
sebagai pemain. Para pemain yang bersaing diasumsikan bersifat rasional dan
cerdas, artinya masing-masing pemain akan melakukan strategi atau tindakan
yang rasional untuk memenangkan persaingan tersebut, dan masing-masing
pemain juga mengetahui strategi pemain lawannya.
Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara,
bergantung pada faktor-faktor berikut : banyaknya pemain, jumlah keuntungan
dan kerugian, dan adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan. Sebagai
contoh, jika banyaknya pemain adalah dua (baik individu maupun kelompok)
maka permainannya disebut sebagai permainan dua pemain (two-person game).
Jika banyaknya pemain adalah n pemain maka permainannya disebut sebagai
permainan n pemain (n person game). Jika hasil permainan untuk salah satu
pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya, maka
permainannya disebut sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game).
Sebaliknya, jika hasil dari permainannya bukan merupakan negatif dari hasil
pemain lainnya, maka permainannya disebut sebagai permainan berjumlah tidak
nol (non-zero-sum game). Dalam permainan berjumlah nol maupun permainan
berjumlah tidak nol, model permainannya dapat dibagi menjadi permainan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
kerjasama dan permainan tanpa kerjasama. Dalam penulisan ini hanya akan
dibahas mengenai permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama.
A. Permainan berjumlah tidak nol
Pada permainan berjumlah nol untuk dua pemain hasil permainan untuk
salah satu pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya.
Untuk permainan berjumlah nol n pemain, penjumlahan dari hasil permainan
pemain 1 sampai pemain n harus sama dengan nol.
Pada permainan berjumlah tidak nol untuk dua pemain, hasil dari
permainan untuk pemain 1 bukan merupakan negatif dari hasil permainan untuk
pemain 2. Tetapi hasil permainannya dapat ditulis sebagai pasangan, misalkan
(A,B), dengan A adalah hasil dari pemain 1 dan B adalah hasil dari pemain 2.
Untuk permainan n pemain tidak berjumlah nol maka hasil permainannya dapat
ditulis sebagai pasangan ( A1 , A2 ,..., An ) dengan Ai masing-masing adalah hasil
dari pemain i.
B. Permainan Tanpa Kerjasama
Dalam permainan berjumlah tidak nol, jika diantara pemainnya tidak
diperbolehkan melakukan komunikasi atau tidak boleh saling berhubungan satu
dengan yang lainnya, maka permainan tersebut dapat disebut dengan permainan
tanpa kerjasama. Karena tidak ada kerjasama antara para pemainnya maka
setiap pemain akan berusaha untuk dapat memaksimalkan perolehan hasil dalam
setiap permainan yang akan dilakukan. Hasil dari permainan juga dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
dinyatakan dengan sebuah matriks yang strategi-strategi pemainnya dinyatakan
dengan baris dan kolom dalam matriks yang bersangkutan.
Definisi 2.2.1
Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu
permainan.
Permainan yang menggunakan dua atau lebih strategi murni disebut dengan
permainan yang menggunakan strategi campuran.
Definisi 2.2.2
Misalkan x dan y masing-masing adalah strategi yang digunakan pemain 1 dan
pemain 2, maka hasil untuk pemain i dapat dituliskan sebagai
ei (x,y)
Hasil permainan merupakan hasil terbaik yang diperoleh kedua pemain.
Definisi 2.2.3
Matriks hasil adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil
permainan dari setiap pemain yang bersesuaian dengan strategi yang digunakan
para pemain. Umumnya elemen baris ke-i kolom ke-j bersesuaian dengan hasil
permainan pemain 1 bila menggunakan strategi i dan pemain 2 menggunakan
strategi j.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Contoh 2.2.1
Misalkan suatu permainan dengan dua pemain, dengan pemain 1 menggunakan
strategi (x1 , x2 ) dan pemain 2 menggunakan strategi ( y1 , y2 ) . Maka matriks hasil
untuk pemain 1 tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
Strategi pemain 2
y1
Strategi
x1
pemain 1
x2
ei ( x1 , y1 )
ei ( x2 , y1 )
y2
ei ( x1 , y2 )
ei ( x2 , y2 )
Definisi 2.2.4
Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e(xi , y j ) . Jika hasil e1 (xi , y j )
merupakan keuntungan dari pemain 1 maka paling tidak pemain 1 mendapatkan
hasil min y j {e1 (xi , y j )} untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 2. Kriteria
maksimin adalah memilih strategi xi yang memaksimalkan hasil tersebut di atas,
yakni vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}.
Definisi 2.2.5
Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e(xi , y j ) . Jika hasil e2 (xi , y j )
merupakan kerugian dari pemain 2, maka paling tidak pemain 2 mendapatkan
hasil max xi {e2 (xi , y j )} untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 1. Kriteria
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
minimaks adalah memilih strategi y j yang meminimumkan hasil tersebut di atas,
yakni vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )}.
Definisi 2.2.6
Nilai maksimin adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan
memaksimumkan minimum keuntungan dari strategi baris yang dimainkan
pemain 1.
Nilai minimaks adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan
meminimumkan maksimum kerugian dari strategi kolom yang dimainkan pemain
2.
Definisi 2.2.7
Titik sadel merupakan titik keseimbangan dari suatu permainan dengan nilai
maksimin sama dengan nilai minimaks.
Suatu permainan yang hanya menggunakan strategi murni mempunyai titik sadel.
Definisi 2.2.8
Misalkan permainan yang dimainkan oleh dua pemain. Saat pemain 1
menggunakan strategi x* , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 1. Dan saat
pemain 2 menggunakan strategi y * , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 2.
e(x* , y * ) merupakan titik ekuilibrium dari permainan tersebut, yaitu titik
keseimbangan saat kedua pemain menggunakan strategi yang terbaik dari
permainan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Contoh 2.2.2 (Permainan Prisoner’s Dilemma)
Dua orang ditangkap polisi karena mencuri barang milik orang lain. Kemudian
dilakukan wawancara secara terpisah oleh polisi. Mereka berdua tahu jika mereka
tetap diam maka polisi tidak mendapatkan cukup bukti untuk menghukum mereka
atas pencurian tersebut, dan mereka hanya mendapatkan satu tahun hukuman
penjara karena perbuatan mereka. Jika mereka berdua mengakui bahwa mereka
mencuri, maka masing-masing mendapatkan sembilan tahun hukuman penjara.
Jika salah satu mengakui dan yang lain tetap diam, maka yang mengakui menjadi
bukti dan akan dibebaskan, sedangkan yang tetap diam akan mendapatkan
hukuman sepuluh tahun penjara. Apa yang sebaiknya mereka lakukan?
Penyelesaian :
Dalam permainan ini strategi murni yang digunakan pemain 1 adalah A1 =
mengakui dan A2 = tidak mengakui. Sedangkan strategi pemain 2 adalah B1 =
mengakui dan B2 = tidak mengakui. Misalkan banyaknya hukuman dinyatakan
dengan –n tahun, maka matriks hasil dari permainan di atas dapat dituliskan
sebagai berikut :
Pemain 2
B1 : Mengakui
B2 : Tidak mengakui
A1 : Mengakui
(-9,-9)
(0,-10)
A2 : Tidak mengakui
(-10,0)
(-1,-1)
B
Pemain 1
B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Jika keduanya mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah
( A1 , B1 )
dan masing-masing akan mendapatkan hukuman 9 tahun penjara,
dituliskan dengan e1 ( A1 , B ) = − 9 dan e2 ( A, B1 ) = − 9 . Jika keduanya tidak
mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah
( A2 , B2 )
dan setiap
pemain akan mendapatkan hukuman 1 tahun penjara dituliskan dengan
e1 ( A2 , B ) = − 1 dan e2 ( A, B2 ) = − 1 . Jika salah satu mengakui dan yang lain tidak
mengakui mencuri berarti yang mengakui akan dibebaskan dan yang tidak
mengakui akan mendapatkan hukuman 10 tahun penjara, dengan demikian
strategi yang digunakan adalah ( A1 , B2 ) dan ( A2 , B1 ) dan hasilnya dapat dituliskan
dengan e1 ( A1 , B ) = 0 , e2 ( A, B2 ) = − 10 dan e1 ( A2 , B ) = − 10 , e2 ( A, B1 ) = 0 .
Akan dicari penyelesaian permainan tersebut, yaitu dengan cara mencari
nilai minimaks dan nilai maksimin untuk setiap pemain. Matrik hasil untuk
pemain 1 adalah:
B1
B2
Minimum baris
-9
A1
-9
0
A2
-10
-1
-9
0
Maksimum
maks
-10
kolom
min
Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 1 adalah e1 ( A1 , B1 ) = − 9 dan
mempunyai titik sadel karena nilai maksimin sama dengan nilai minimaks.
Sebaliknya matriks hasil untuk pemain 2 adalah sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
A1
A2
Minimum baris
-9
B1
-9
0
B2
-10
-1
-9
0
Maksimum
maks
-10
kolom
min
Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 2 e2 ( A1 , B1 ) = − 9 dan juga
mempunyai titik sadel. Hasil permainan untuk kedua pemain dinyatakan dengan
{e1 ( A1 , B1 ), e2 ( A1 , B1 )} = {− 9,−9} dan ini merupakan titik ekuilibrium dari
permainan ini. Maka penyelesaian dari permainan ini adalah jika kedua pemain
saling mengakui bahwa mereka mencuri.
Akan dicari penyelesaian permainan Prisoner’s Dilemma menggunakan
kriteria maksimin dan kriteria minimaks. Dengan menggunakan kriteria maksimin
vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}
hasil
permainan
vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}
{
untuk
pemain
1
adalah
}
= max xi min y j {(− 9,−9), (0,−10)}dan min y j {(− 10,0), (− 1,−1)}
= max xi {(− 9,−9)dan (− 10,0 )}
= {(− 9,−9 )}
Dengan menggunakan kriteria minimaks
vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )} hasil
permainan untuk pemain 2 adalah
vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )}
{
}
= min y j max xi {(− 9,−9), (− 10,0)}dan max xi {(0,−10), (− 1,−1)}
= min y j {(− 9,−9 ), (− 10,0 )}
= {(− 9,−9 )}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Dapat dilihat bahwa hasil permainan dengan menggunakan kriteria maksimin
sama dengan hasil permainan dengan menggunakan kriteria minimaks, yaitu
vL = vU = {(− 9,−9)} . Maka permainan Prisoner’s Dilemma tersebut mempunyai
titik ekuilibrium karena vL = vU .
Definisi 2.2.9
Dalam permainan tanpa kerjasama untuk n pemain, misalkan xi* adalah strategi
campuran yang digunakan oleh pemain i. n pasang strategi campuran x1* , x 2* ,...,
x n* , adalah n pasang ekuilibrium untuk strategi campuran jika untuk semua
strategi – strategi yang lain, yaitu y1 , y 2 ,…, y n berlaku :
ei (x1* , x 2* ,..., xi* ,..., x n* ) ≥ ei (x1* , x 2* ,..., y i ,..., x n* ) ,
1≤i≤n.
Definisi 2.2.10
Misalkan pada permainan yang dimainkan oleh dua pemain, X adalah himpunan
strategi campuran untuk pemain 1, Y adalah himpunan strategi campuran untuk
pemain 2. Suatu pasangan strategi x* ∈ X , y * ∈ Y adalah pasangan ekuilibrium
untuk permainan tidak berjumlah nol jika untuk setiap x ∈ X , y ∈ Y :
( ) ( )
e (x , y ) ≤ e (x , y )
e1 x, y * ≤ e1 x* , y *
*
2
*
*
2
Dengan e1 (x* , y * ) adalah hasil untuk pemain 1 dan e2 (x* , y * ) adalah hasil untuk
pemain 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Contoh 2.2.3
Dari permainan Prisoners Dilemma pada contoh 2.2.2 didapatkan pasangan
ekuilibrium {e1 (x* , y * ), e2 (x* , y * )}= {− 9,−9}. {− 9,−9} adalah pasangan ekuilibrium
untuk permainan tidak berjumlah nol tersebut jika untuk setiap x ∈ X , y ∈ Y
berlaku :
( ) ( )
e (x , y ) ≤ e (x , y )
e1 x, y * ≤ e1 x* , y *
*
2
*
*
2
Dari permainan pada contoh 2.2.2 tersebut didapatkan hasil untuk pemain 1
adalah e1 (x, y * )= − 10 dan hasil untuk pemain 2 adalah e2 (x* , y )= − 10 . Didapatkan
untuk pemain 1 berlaku e1 (x, y * )≤ e1 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 dan untuk pemain 2
berlaku e2 (x* , y )≤ e2 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 . Maka menurut definisi 2.2.9 untuk
permainan Prisoners Dilemma berlaku
e1 (x, y * )≤ e1 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9
e2 (x* , y )≤ e2 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 .
pasangan
Dengan
ekuilibriumnya
dan
adalah
{− 9,−9}.
C. Strategi Campuran
Von Neumann menyarankan salah satu cara untuk menyelesaikan kasus
dimana vL ≠ vU dengan menggunakan strategi campuran. Suatu strategi campuran
terdiri atas seni percobaan acak setiap waktu dalam permainan tersebut dan untuk
menentukan strategi yang akan digunakan pemain setiap saat. Strategi murni
terdiri dari beberapa strategi murni dengan probabilitas tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Contoh 2.3.1 (Permainan Poker sederhana)
Dalam permainan Poker yang sederhana strategi yang digunakan para pemain
akan ditunjukkan dalam tabel berikut :
Strategi
Pemain 1
Pemain 2
I1
Pemain 1 percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’
I2
Pemain 1 tidak percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’
II 1
Pemain 2 berkata ’Two’ ketika mempunyai ’Two’
II 2
Pemain 2 berkata ’Ace’ ketika mempunyai ’Two’
Dari strategi di atas akan didapatkan hasil permainan sebagai berikut.
Jika pemain 1 menggunakan strategi I 1 dan pemain 2 menggunakan strategi II 1 ,
maka pemain 1 akan mendapatkan -1 jika pemain 2 menunjukkan ’Ace’. Tetapi
jika pemain 2 menunjukkan ’Two’ maka saat itu juga pemain 1 mendapatkan +1.
Harapan mendapatkan ’Ace’ adalah
1
2
dan harapan mendapatkan ’Two’ juga
1
2
,
maka nilai yang diharapkan adalah 1. 12 + (− 1). 12 = 0 .
Jika pemain 1 menggunakan strategi I 1 dan pemain 2 menggunakan strategi II 2 ,
maka pemain 1 mendapatkan nilai -1.
Jika pemain 1 menggunakan strategi I 2 dan pemain 2 menggunakan strategi II 1 ,
maka ketika pemain 2 menunjukkan ’Ace’ pemain 1 kalah -2. Jika pemain 2
menunjukkan ’Two’ pemain 1 menang +1. Maka nilai harapannya adalah
1
2
. − 2 + 12 .1 = − 12 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Yang terakhir jika pemain 1 menggunakan strategi I 2
dan pemain 2
menggunakan strategi II 2 , maka pemain 1 akan mendapatkan -2 ketika pemain 2
mendapatkan ’Ace’. Tetapi jika kartu tersebut adalah ’Two’ maka pemain 1
mendapatkan +2. Kemudian, nilai harapannya adalah 12 . − 2 + 12 .2 = 0 .
Maka matriks hasilnya dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Pemain 2
II 1
II 2
0
-1
I1
Pemain 1
I2
-
1
2
0
Dalam permainan Poker, pemain 1 akan melempar koin untuk menentukan
strategi yang akan digunakan. Apabila muncul ”kepala” maka yang digunakan
adalah strategi I1 . Dan bila muncul ”ekor” maka akan menggunakan strategi I 2 .
Probabilitas pemain 1 menggunakan strategi I1 dan strategi I 2 masing-masing
adalah
1
2
.
Hasil permainan dari matriks di atas menunjukkan jika pemain 2 menggunakan
strategi II 1 maka peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi I 1 adalah
0 dan peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi I 2 adalah -
1
2
.
Sedangkan, jika pemain 2 menggunakan strategi II 2 maka peluang pemain 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
menang jika menggunakan strategi I 1 adalah -1. Dan jika menggunakan strategi
I 2 adalah 0.
Hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2 menggunakan strategi II1 adalah
(0 x
1
2
) + (-
1
2
x
1
2
)=-
1
4
. Dan hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2
menggunakan strategi II 2 adalah (-1 x
1
2
) + (0 x
1
2
)=-
1
2
. Dalam permainan
tersebut digunakan strategi campuran, yakni pemain 1 menggunakan strategi
campuran (I1 , I 2 ) dan pemain 2 menggunakan strategi campuran (II1 , II 2 ) .
Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu
permainan. Misalkan pemain 1 mempunyai n strategi murni, susunan strategi
campuran X
bisa dinyatakan dengan n-tuple
x = ( x1 , x2 ,..., xn )
dimana
xi ≥ 0 , i =1,2,..., n , dan
n
∑x
i =1
i
=1
(2.3.1)
Persamaan (2.3.1) digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap
strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas xi .
Sedangkan jika pemain 2 mempunyai m strategi murni, susunan strategi campuran
Y bisa dinyatakan dengan m-tuple y = ( y1 , y2 ,..., ym ) dimana yi ≥ 0 , i =1,2,..., m ,
dan
m
∑y
i =1
i
=1
(2.3.2)
Persamaan (2.3.2) juga digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap
strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas yi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Apabila pemain 1 memainkan strategi x = (x1 , x 2 ,..., x n ) dan pemain 2
y = ( y1 , y2 ,..., ym ) hasil yang diharapkan untuk pemain 1
memainkan strategi
adalah :
m
n
e 1(x, y ) = ∑∑ xi eij y j
(2.3.3)
j =1 i =1
Contoh 2.3.2
Dalam permainan Poker yang sederhana, misalkan pemain 1 memainkan strategi
x = ( x ,1 − x ) dan pemain 2 memainkan strategi y = ( y ,1 − y ) , dan matriks hasilnya
adalah
Pemain 2
Pemain 1
I1
x
I2
1-x
II 1
II 2
y
1-y
0
-1
1
2
0
-
Nilai harapan hasil pemain 1 adalah
e1 (x, y ) = 0 . xy − 1. x (1 − y ) − 12 (1 − x ) y + 0 (1 − x )(1 − y )
= xy − x − 12 y + 12 xy
= − x − 12 y + 32 xy
(2.3.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Jika pemain 1 memainkan strategi x *= (13 , 23 ) , yakni x = 13 artinya bahwa pemain 1
bermain dengan menggunakan strategi I 1
1
3
kali banyaknya permainan yang dia
lakukan. Maka dari persamaan (2.3.4) diperoleh
e1 (x*, y ) = − 13 ,
untuk semua y ∈ Y
(2.3.5)
Hal ini secara tidak langsung menyatakan bahwa pemain 1 yakin hasilnya paling
sedikit −
adalah
1
3
1
3
jika memainkan x * . Artinya bahwa dia akan kalah paling tidak
.
Jika pemain 2 memainkan y * = ( 23 , 13 ) , yakni y = 23 artinya pemain 2 bermain
dengan menggunakan strategi II 1 adalah
2
3
kali jumlah permainan yang
dimainkannya. Maka dari persamaan (2.3.4) memberikan
e1 (x, y *) = − 13 ,
untuk semua x ∈ X
(2.3.6)
Jadi, jika pemain 2 memainkan y * dia meyakinkan pemain 1 bahwa pemain 1
tidak dapat memperoleh hasil lebih dari −
dimainkan. Pemain 1 akan kalah
1
3
1
3
dengan strategi apapun yang
.
Dari contoh di atas jika pemain 1 menggunakan strategi x * maka
hasilnya akan kurang dari atau sama dengan hasil pemain 2 jika pemain 2
menggunakan strategi y * . Penyelesaian optimal permainan ini adalah pemain 2
memainkan strategi campuran y* = ( 23 , 13 ) dan pemain 1 memainkan strategi
campuran x* = ( 13 , 23 ) dengan hasil yang diharapkan −
1
3
untuk pemain 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
D. Teorema Nash
Definisi 2.4.1
Semesta pembicaraan adalah R. Dengan titik x merupakan x ∈ R dan himpunan
S⊂R.
Untuk
p∈R
dan
r < 0.
Kitar
p
dengan
radus
r
adalah
N ( p, r ) = ( p − r , p + r ) = {x ∈ R :| x-p | < r} . Atau kitar titik p dengan radius r adalah
interval terbuka dengan ujung-ujung p-r dan p+r.
Definisi 2.4.2
Titik p adalah titik limit himpunan S jika untuk setiap r < 0 terdapat titik q
dengan q ≠ p, q∈S dan q ∈ N ( p, r ) .
Definisi 2.4.3
Himpunan S dikatakan tertutup jika semua titik limitnya anggota dari S.
Atau (S tertutup) ⇔ (p titik limit S ⇒ p ∈S ) .
Contoh 2.4.1
i.
Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} maka S adalah himpunan tertutup
jika semua titik limitnya, yaitu titik limit diantara interval 0 sampai 1
adalah anggota himpunan S.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Definisi 2.4.4
Himpunan S disebut terbatas jika himpunan tersebut mempunyai batas atas atau
batas bawah.
Contoh 2.4.2
i.
Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} maka S adalah himpunan terbatas
karena himpunan S akan menuju ke 1 dan terbatas pada 1 saja, tidak
akan melewati 1. Dengan kata lain, anggota-anggota himpunan S akan
berada dintara 0 dan 1, batas bawah 0 dan batas atas 1.
Definisi 2.4.5
Himpunan S disebut konveks jika untuk setiap pasangan dari titik x1 , x 2 dalam S
membentuk segmen garis
[ x1 , x 2 ] = { x : x = α x1 + β x 2 , α ≥ 0, β ≥ 0,α + β = 1 }
y
untuk semua S.
y
x
Gambar 2.4.1 Himpunan konveks
x
Gambar 2.4.2 Himpunan bukan konveks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Contoh 2.4.3
i.
{
}
Misalkan himpunan S = x, y | x 2 + y 2 ≤ 4 adalah himpunan konveks.
Untuk menunjukkan hal tersebut, ambil dua titik dalam S
u = (u1 , u2 ) ∈ S ⇒ u1 + u2 ≤ 4
2
2
v = (v1 , v2 ) ∈ S ⇒ v1 + v2 ≤ 4
2
2
Himpunan S disebut konveks jika memenuhi definisi 2.4.5
⎛ v ⎞ ⎛ α u + β u2 ⎞
⎛u ⎞
⎟⎟
α u + β v ∈ S ⇒ α ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + β ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1
u
v
v
v
α
β
+
2 ⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 1
⎝ 2⎠
Maka :
(α u1 + β v1 )2 + (α u2 + β v2 )2
≤4
α 2 u12 + 2αβ u1 v1 + β 2 v12 + α 2 u2 2 + 2αβ u2v2 + β 2 v2 2 ≤ 4
α 2u12 + α 2u2 2 + 2αβ u1v1 + 2αβ u2v2 + β 2v12 + β 2v2 2
≤4
α 2 u1 + u2 + 2αβ (u1v1 + u2v2 ) + β 2 v1 + v2
≤4
(
2
2
)
(
2
2
)
Karena α ≥ 0, β ≥ 0,α + β = 1 dan u1 + u2 ≤ 4, v1 + v2 ≤ 4
2
(
(v
)
)
α 2 u12 + u2 2
Maka β
2
2
1
+ v2
2
2
2
2
≤4
≤4
2αβ (u1v1 + u2v2 ) ≤ 4
(
)
(
Sehingga α 2 u1 + u2 + 2αβ (u1v1 + u2v2 ) + β 2 v1 + v2
2
2
2
2
)
≤4
Oleh karena itu α u + β v ∈ S maka himpunan S konveks.
y
2
-2
2
-2
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Definisi 2.4.6
Fungsi
f
kontinu jika fungsi tersebut berkelanjutan tanpa perubahan yang
mendadak.
Contoh 2.4.5
i.
Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} dan diberikan fungsi f ( x ) =1− x .
Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai x antara 0 dan 1 jika
dipetakan ke dalam fungsi f(x) maka akan mendapatkan nilai yang
saling berdekatan dan dapat dihubungkan sebagai garis lurus.
ii.
Misalkan diberikan himpunan S = {x | −1 ≤ x ≤ 1} dengan persamaan
f ( x ) = x 2 . Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai dalam x jika
dipetakan ke dalam fungsi
f(x) akan mendapatkan nilai yang
berkelanjutan tanpa ada perubahan yang mendadak.
Gambar dibawah ini mengambarkan himpunan S yang tertutup, terbatas,
konveks dan fungsi f yang berlaku dalam himpunan S tersebut kontinu.
S
f
Gambar 2.4.3 Fungsi f dalam sebuah lingkaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Teorema 2.4.1 (Teorema titik tetap Brouwer)
Jika f suatu fungsi yang memetakan titik-titik pada himpunan S yang tertutup,
terbatas dan konveks dalam ruang Euclides ke dalam himpunan S dan jika f adalah
fungsi kontinu maka sekurang-kurangnya ada satu titik dalam S yang dipetakan ke
dirinya sendiri (titik tetap).
Dengan kata lain titik tetap tersebut dapat dituliskan ke dalam fungsi sebagai,
misalkan f : x → y , x ∈ S , f kontinu ∃ p ∈ S ∋ f ( p ) = p
.
Maka f ( p ) = p merupakan titik tetap.
Bukti untuk teorema Titik Tetap Brouwer ini tidak diberikan, dapat dilihat pada
buku ” Some Topics in Two Person Games” yang ditulis oleh T. Parthasarathy
dan T.E.S. Raghavan, 1977.
Teorema 2.4.2 (Teorema Nash)
Sebarang permainan untuk dua orang (berjumlah nol atau berjumlah tidak nol)
dengan sejumlah strategi yang berhingga paling sedikit mempunyai satu pasangan
ekuilibrium.
Bukti :
Diberikan S = {(x,y)| x ∈ X, y ∈ Y} adalah himpunan semua pasangan strategi
yang mungkin. Karena x dan y adalah vektor dengan strategi yang terbatas, maka
dalam hal ini S adalah tertutup dan terbatas dan juga konveks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Misal e1 (I i , y ) adalah nilai harapan untuk pemain 1 jika pemain 1 menggunakan
strategi I , dan e2 (x, II j ) adalah nilai harapan untuk pemain 2 jika pemain 2
menggunakan strategi II.
Didefinisikan (∀ x ∈ X , y ∈ Y )
ci (x, y ) = max { 0 , e1 (I i , y ) − e1 (x, y )}
,1 ≤ i ≤ n
d i (x, y ) = max {0 , e2 (x, II j ) − e2 (x, y )}
,1 ≤ j ≤ m
dengan n banyaknya strategi murni pemain 1 dan m banyaknya strategi murni
pemain 2.
S dengan f (x,y) = (x′, y′) dimana
Diberikan fungsi f : S
xi′ =
xi + ci (x, y )
n
1 + ∑ ci (x, y )
, 1≤ i < n
i =1
dan
y′j =
y j + d j (x, y )
m
1 + ∑ d j (x, y )
, 1≤ j < m
j =1
Fungsi f adalah suatu fungsi yang kontinu, karena jika diambil sebarang x ∈ X,
y ∈ Y, f akan selalu terdefinisi dengan perubahan yang kecil dalam x dan y, akan
menyebabkan perubahan kecil dalam x′ dan y′ . Dengan demikian menurut
(
)
teorema Titik Tetap Brouwer ada suatu titik tetap x* , y * dimana
(
) (
f x* , y * = x* , y *
)
(2.4.1)
Menurut persamaan (2.3.1) dan (2.3.3) jika menggunakan strategi campuran maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
(
)
(
n
)
(
n
)
(
e1 x* , y * = ∑ xi* e1 I i , y * ≤ ∑ xi*e1 x* , y * =1. e1 x* , y *
i =1
)
i =1
= e1 (x* , y * )
(
)
Jadi untuk suatu i diperoleh ci x* , y * = 0
dari persamaan (2.4.1) diperoleh
x *i =
( )
1 + ∑ c (x , y )
x*i + ci x* , y *
(2.4.2)
n
*
i =1
(
*
i
)
∑ c (x , y ) = 0 .
n
dan untuk i dimana ci x* , y * = 0, maka
*
i =1
*
i
Jadi ∀i , 1 ≤ i < n , ci (x* , y * ) = 0 berlaku e1 (x* , y * ) ≥ e1 (I i , y * ) , sehingga dari sini
diperoleh
e1 (x* , y * ) ≥ e1 (x, y * ),
Demikian
juga
∀ x∈ X
∀j , 1 ≤ j < m ,
untuk
(2.4.3)
menurut
persamaan
(2.3.3)
jika
menggunakan strategi campuran maka
(
)
(
)
(
e2 x* , y * = ∑ y *j e2 (x, II j ) ≤ ∑ y *j e2 x* , y * = 1.e2 x* , y *
m
m
j =1
j =1
(
= e2 x* , y *
)
)
Jadi untuk suatu j, d j (x* , y * ) = 0
Dari persamaan (2.4.1) diperoleh
y
*
j
=
( )
1 + ∑ d (x , y )
y * j + d j x* , y *
(2.4.4)
m
*
j =1
*
j
Dan untuk j dimana d j (x* , y * ) = 0 , maka
∑ d (x , y ) = 0
m
*
j =1
j
*
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Jadi ( ∀j ,1 ≤ j < m ),
(
)
d j x* , y * = 0
berlaku
(
)
(
e2 x* , y * ≥ e2 x* , II j
)
sehingga
diperoleh
(
(∀y ∈ Y )
Dari
)
(
e2 x * , y * ≥ e 2 x * , y
persamaan
(2.4.3)
dan
)
(2.4.5)
persamaan
(2.4.5)
diperoleh
e1 (x, y * ) ≤ e1 (x* , y * ) dan e2 (x* , y ) ≤ e2 (x* , y * ) dengan demikian berdasarkan definisi
pasangan ekuilibrium untuk permainan tidak berjumlah nol maka (x* , y * ) adalah
suatu pasangan ekuilibrium.
▄
E . Metode Swastika untuk menemukan Pasangan Ekuilibrium
Teorema Nash menyatakan bahwa paling sedikit ada satu titik ekuilibrium
dalam suatu permainan. Tetapi dalam teorema tersebut tidak disebutkan cara
untuk mendapatkannya. Metode untuk mencari titik ekuilibrium (x* , y * ) dari
permainan dua orang berjumlah tidak nol antara lain dengan metode Swastika.
Metode swastika ini digunakan pada matriks hasil berordo 2 x 2 dengan langkahlangkah sebagai berikut :
1. Dimisalkan x = (x, 1-x) adalah strategi untuk pemain 1 dan y =
(y,1-y) adalah strategi untuk pemain 2.
2. Hitung
ei (x, y ) , yaitu nilai harapan hasil pemain i yang
berhubungan dengan strategi x dan y.
3. Tentukan nilai x* dan y * yang memaksimalkan e1 (x, y ) untuk
semua nilai y, dan yang memaksimalkan e2 (x, y ) untuk semua nilai
x.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
4.
(x , y ) merupakan titik ekuilibrium.
*
*
Contoh 2.5.1
Diberikan matriks hasil untuk permainan berjumlah tidak nol
Pemain 2
Pemain 1
II1
II2
I1
(3,2)
(2,1)
I2
(0,3)
(4,4)
Akan dicari hasil yang optimal untuk masing-masing pemain, yaitu titik
ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil permainan untuk setiap titik
ekuilibrium.
Penyelesaian :
Untuk pemain 1
Langkah 1:
Matriks hasil untuk pemain 1 adalah
A=
y
1-y
x
3
2
1-x
0
4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Langkah 2 :
Nilai harapan hasil pemain 1 adalah
e1(x,y) = x ( 3y + 2 (1 – y)) + (1 – x) (0.y + 4 (1 – y))
= x ( 3y + 2 – 2y) + (1 – x) (4 – 4y)
= x (y + 2) + (4 – 4y – 4x + 4xy)
= x (y + 2) + x (4y – 4) + (4 – 4y)
= x (5y – 2) + (4 – 4y)
(2.5.1)
Langkah 3 :
Untuk mendapatkan hasil e1(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya,
yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.1) terhadap x, sehingga diperoleh :
e1 ' (x, y ) = (5y – 2) = 0 ⇒ y = 52 .
Terdapat tiga kemungkinan nilai y, yaitu y < 52 , y = 52 , y > 52 .
Dari persamaan (2.5.1) akan didapatkan :
Jika y < 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 0
Jika y = 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh 0 < x < 1
Jika y > 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 1
Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
y
1
2
5
0
1
x
Gambar 2.5.1 x memaksimumkan hasil e1(x,y).
Nilai x* yang memaksimalkan hasil e1(x,y) untuk semua nilai y adalah nilai-nilai
diantara x = 0, 0 < x < 1 , x = 1.
Untuk pemain 2
Langkah 1 :
Matriks hasil untuk pemain 2 adalah
B =
x
1-x
y
2
3
1-y
1
4
Langkah 2 :
Nilai harapan hasil pemain 2 adalah
e2(x,y) = y ( 2 x + 3 (1 – x)) + (1 – y) ( 1.x + 4 (1 – x))
= y ( 2x + 3 – 3x) + (1 – y) ( x + 4 – 4x)
= y (-x + 3) + (1 – y) (-3x + 4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
= y (-x + 3) + (-3x + 4 + 3xy – 4y)
= y (-x + 3) + y (3x – 4) + (4 – 3x)
= y (2x – 1) + (4 – 3x)
(2.5.2)
Langkah 3 :
Untuk mendapatkan hasil e2(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya,
yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.2) terhadap y, sehingga diperoleh :
e2 ' (x, y ) = (2x – 1) = 0 ⇒ x = 12 .
Terdapat tiga kemungkinan nilai x, yaitu x < 12 , x = 12 , x > 12 .
Dari persamaan (2.5.2) diperoleh bahwa
jika x <
1
maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 0
2
jika x =
1
maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh 0 < y < 1
2
jika x >
1
maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 1
2
Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
y
1
1
2
0
1
x
Gambar 2.5.2 y memaksimumkan hasil e2(x,y).
Nilai y * yang memaksimalkan hasil e2(x,y) untuk semua nilai x adalah nilai-nilai
diantara y = 0, 0 < y < 1 , y = 1.
Langkah 4 :
Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik dari Gambar 2.5.1 dan Gambar
2.5.2. Grafik perpotongannya disajikan sebagai berikut :
y
1
2
5
0
1
2
1
x
Gambar 2.5.3 Metode Swastika untuk pasangan ekuilibrium.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Dari gambar 2.5.3 diperoleh tiga buah titik potong, yaitu A(0,0), B( 12 , 52 ), C(1,1).
Akan ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium-ekuilibrium tersebut.
Perhatikan kembali, dari persamaan 2.5.1 dan persamaan 2.5.2 diperoleh
e1 (x, y ) = x (5y – 2) + (4 – 4y)
e2 (x, y ) = y (2x – 1) + (4 – 3x)
Untuk titik ekuilibrium A(0,0), yakni x = 0 dan y = 0 maka didapatkan
e1 (0,0 ) = 0 (5.0 – 2) + (4 – 4.0) = 4 .
e2 (0,0) = 0(2.0 – 1) + (4 – 3.0) = 4 .
Dengan demikian hasilnya adalah (4,4).
Untuk titik ekuilibrium B( 12 , 52 ), yakni x = 12 dan y = 52 maka didapatkan
e1 ( 12 , 52 ) =
1
2
(5.
2
5
– 2) + (4 – 4.
2
5
) = 125 = 2,4 .
e2 ( 12 , 52 ) =
2
5
(2.
1
2
– 1) + (4 – 3.
1
2
) = 2,5 .
Dengan demikian hasilnya adalah (2,4 ; 2,5).
Untuk titik ekuilibrium C(1,1), ya
ABSTRAK
Permainan dua orang berjumlah tidak nol merupakan permainan yang
dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain tidak selalu
negatif dari hasil permainan pemain yang lain. Hasil permainan dari permainan
tersebut merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium dari
permainan tersebut dapat dibentuk dengan mencari hasil yang optimal dari
strategi-strategi campuran yang digunakan masing-masing pemain. Cara lain yang
dapat digunakan adalah dengan metode Swastika, yaitu menentukan peluang dari
masing-masing strategi sehingga diperoleh nilai permainan harapan dari para
pemainnya.
Metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain merupakan permainan yang
strateginya didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Hal ini karena
penyelesaian permainan yang didasarkan pada teori permainan hasilnya tidak
selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi. Strategi salah satu pemain
merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Dari strategi tersebut
dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Pasangan
ekuilibrium dari metagame didapatkan melalui irisan hasil rasional dari masingmasing pemain.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Two-person non-zero-sum games is a game with two players and the
outcomes of one player is not always negative from the other player’s outcomes.
The outcomes of the game is an equilibrium pairs. The equilibrium pairs from the
game can be determined by finding the optimal outcomes from mix strategies
which is used by each player. Another way can be used is Swastika method,
which determines probability of each strategy so it gains the expected value of the
game.
Metagame without cooporation for two players is a games which is based
on the actual game being played . It is because the game solving is based on the
game theory which the outcomes is not always the same with the playing game.
These are games where the players strategies are really reaction functions to the
other players strategies. From the strategy it can be determine the rational
outcomes for each player. The equilibrium pairs from metagame is gained from
each players rational outcomes section.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN
METAGAME TANPA KERJASAMA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
PUJI ASTUTI
NIM : 023114031
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TWO-PERSON NON-ZERO-SUM GAMES AND
METAGAME WITHOUT COOPERATION
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
by:
PUJI ASTUTI
Student number : 023114031
MATHEMATICS DEPARTMENT
SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Percayalah pada Tuhan dengan segenap hatimu,
dan janganlah bersandar pada pergertianmu sendiri.
Amsal 3:5
Kupersembahkan Skripsiku ini kepada :
Tuhan Yesus Kristus yang senatiasa menyertaiku,sumber harapan dan kekuatanku.
Kedua orang tuaku atas cinta dan doa yang tiada henti.
Mas Sun, Mbak Asih, Nug, dan Bowo.
Yang terkasih Albertus Aan Oky atas dukungan, doa, perhatian, dan cinta.
Serta Almamaterku tercinta.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Punyailah iman yang dapat melihat kesempatan dalam kesulitan,
dan bukan melihat kesulitan dalam kesempatan.
Yakinilah dibalik semua kesulitan ada rencana indah yang Tuhan telah siapkan.
-nn-
Seribu kata tidak akan meninggalkan kesan yang begitu dalam
dibandingkan dengan satu perbuatan.
-Henrik Ibsen-
Selalu ada jalan untuk melakukan yang lebih baik. Temukanlah !
-Thomas Alfa Edison-
Letakkan segala sesuatunya pada Tuhan sehingga Dia mengambil alih
semuanya. Kerjakan bagianmu dengan baik, maka Dia akan mengerjakan
bagian dengan sangat baik.
-nn-
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Permainan dua orang berjumlah tidak nol merupakan permainan yang
dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain tidak selalu
negatif dari hasil permainan pemain yang lain. Hasil permainan dari permainan
tersebut merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium dari
permainan tersebut dapat dibentuk dengan mencari hasil yang optimal dari
strategi-strategi campuran yang digunakan masing-masing pemain. Cara lain yang
dapat digunakan adalah dengan metode Swastika, yaitu menentukan peluang dari
masing-masing strategi sehingga diperoleh nilai permainan harapan dari para
pemainnya.
Metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain merupakan permainan yang
strateginya didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Hal ini karena
penyelesaian permainan yang didasarkan pada teori permainan hasilnya tidak
selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi. Strategi salah satu pemain
merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Dari strategi tersebut
dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Pasangan
ekuilibrium dari metagame didapatkan melalui irisan hasil rasional dari masingmasing pemain.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Two-person non-zero-sum games is a game with two players and the
outcomes of one player is not always negative from the other player’s outcomes.
The outcomes of the game is an equilibrium pairs. The equilibrium pairs from the
game can be determined by finding the optimal outcomes from mix strategies
which is used by each player. Another way can be used is Swastika method,
which determines probability of each strategy so it gains the expected value of the
game.
Metagame without cooporation for two players is a games which is based
on the actual game being played . It is because the game solving is based on the
game theory which the outcomes is not always the same with the playing game.
These are games where the players strategies are really reaction functions to the
other players strategies. From the strategy it can be determine the rational
outcomes for each player. The equilibrium pairs from metagame is gained from
each players rational outcomes section.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, atas
berkat dan kasih karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang bejudul ” Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol
Dan Metagame Tanpa Kerjasama”.
Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh
penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi
ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing
skripsi dan selaku ketua program studi Matematika FST USD Yogyakarta
yang telah memberikan banyak saran dan yang telah meluangkan waktu,
pikiran, nasihat, tenaga, serta memberikan kesabarannya sehingga penulis
dapat sampai pada tahap penyusunan skripsi ini. (matatih buangeeeet ya
bu….. :))
2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dekan FMIPA dan dosen
pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan, saran, nasehat,
dan dukungan selama ini.
3. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. Selaku Dekan
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu pengetahuan
yang sangat berguna bagi penulis.
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Mas Tukijo , Ibu Suwarni dan Ibu Linda yang telah memberikan
pelayanan administrasi dan urusan – urusan akademik kepada penulis
selama masih kuliah.
6. Romo Dr. Frans Susilo, SJ, selaku kepala perpustakaan yang telah
menyediakan fasilitas dan kemudahan selama penulis kuliah.
7. Perpustakaan USD dan Staf yang telah memberikan fasilitas dan
kemudahan kepada penulis.
8. Bapak dan ibu tercinta : Ibu Karpini dan Bapak Basuki yang selalu
mendoakan penulis dan memberikan dukungan yang tak pernah berhenti
dalam segala hal.
9. Mas Sun, Mbak Narsih, Sinuk, Bowo, Mas Sugeng, Mbak Ari dan sikecil
Lintang terima kasih buat persaudaraan ini semoga kita dapat selalu
menjaganya. Tuhan berkati kita.
10. Albertus Aan Oky Dwi Hatmoko yang telah memberikan banyak cinta,
pengertian, waktu, kesabaran, nasehat, semangat (cayo-cayo ijup......:),
perhatian, serta kasih sayangnya kepada penulis. Terima kasih buat doa
yang tiada henti untuk penulis, saran, pengetahuan, kebersamaan dan
kenangan indah yang telah diberikan kepada penulis.
11. Saudara dan sahabat penulis : Yulita, Minul, Ika, Teguh, Mas Wawan,
Mas Aga terima kasih untuk kesempatan hidup yang Tuhan berikan
sehingga penulis bisa lalui bersama kalian, terima kasih untuk doa dan
kasih sayangnya serta dukungan yang tak pernah berhenti.
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12. Aan, Bani, Taim, Markus, Galih, Tato, (genk mawut) terima kasih atas
persahabatan, kenangan, dukungan, semangat, dan perjalanan hidup yang
sangat berarti yang kalian berikan untuk penulis (kapan bisa main barengbareng lagi.....???). Untuk Ridwan dan Katrin (asyik bisa main bareng
kalian).
13. Teman – teman Kost ‘ICHA’, mbak Nia, Lusae, Via, Indri, Tecca, Tiehna,
Ratih, Cicil, Siane, Ana, Erita dan untuk teman dikost baru Yemima
terima kasih buat keceriaan yang boleh dibagi bersama penulis.
14. Teman – teman angkatan 2002, Amelia, Lenta, Debby, Priska, Retno, Sari,
Vida, Lili, Dani, Ika, Feliks, Archi, Aning, Desi, Deon, Nunung, Chea,
Wuri, Rita, Asih, dan Palma yang sudah memberikan segala keceriaan
dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD.
15. Seluruh teman – teman di Prodi Matematika, kakak angkatan dan adik
angkatan.
16. Teman – teman KKN: Angga, Wiwik, Lisna, Suko, Suro, Beny, Mina, dan
Tyas yang memberi warna hidup yang baru selama KKN.
17. Teman – teman di Persekutuan Ekklesia Blok 8, terima kasih untuk
doanya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.
18. Pak Mardi dan Ibu yang memberikan nasehat, pengalaman hidup, dan
semangat.
19. Kost Kodok Ijo : Didit, Topan, Sumin, Bayu yang memberi keceriaan.
20. Ririn yang memberikan bantuan dan pengertian kepada penulis. Semangat
dan selamat berjuang.
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan di sini.
Yogyakarta,
Januari 2008
Penulis
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL……………………………………………………....
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …………………….
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………...
iii
HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………..
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………..............
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………..
vii
ABSTRAK………………………………………………………………..
viii
ABSTRACT………………………………………………………………
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA
ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ……………………...
x
KATA PENGANTAR ……………………………………………………
xi
DAFTAR ISI……………………………………………………………..
xv
BAB I PENDAHULUAN………………………………………………
1
A. Latar Belakang……………………………………………….
1
B. Rumusan Masalah……………………………………………
3
C. Pembatasan Masalah………………………………………...
4
D. Tujuan Penulisan…………………………………………….
4
E. Metode Penulisan…………………………………………....
4
F. Manfaat Penulisan…………………………………………...
5
G. Sistematika Penulisan……………………………………….
5
BAB II PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL…
6
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
A. Permainan Berjumlah Tidak Nol…………………………….
7
B. Permainan Tanpa Kerjasama..…………………………….....
7
C. Strategi Campuran…………………………………………
15
D. Teorema Nash……………………………………………...
21
E. Metode Swastika Untuk Menemukan Pasangan Ekuilibrium
28
BAB III METAGAME TANPA KERJASAMA UNTUK DUA PEMAIN
48
A. Metagame dan Metaekuilibria………….…………………
49
B. Teorema Metarasionalitas..………………………………...
65
C. Simetri Metaekuilibria…………………………..………….
78
D. Analisis Pilihan………………...………………………….
81
E. Analisis Pilihan Yang Berlaku Untuk Strategi Pasar………
84
BAB IV PENUTUP…………….……………………………………...
103
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………..
106
xvi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang
bersifat kompetitif yang diwarnai dengan suatu keadaan persaingan (konflik).
Persaingan ini dapat dilakukan diantara dua orang atau sejumlah orang (grup).
Persaingan ini dapat disebut sebagai suatu permainan (game). Dari persaingan
yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari, muncullah sebuah Teori
Permainan.
Teori Permainan diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh seorang ahli
Matematika bangsa Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Pada
tahun 1928 barulah John Von Neumann berhasil untuk pertama kalinya
menganalisis dan menyatakan pembuktian dari Teorema Minimax, yang
mencakup prinsip dasar tentang minimisasi dari kerugian (kekalahan) maksimum,
yang menjadi teorema dasar dalam teori permainan. Teori permainan dikenal
kembali setelah muncul karya bersama yang gemilang dari John Von Neumann
dan Oscar Morgestern seorang ahli ekonomi pada tahun 1944. Pada tahun yang
hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1947, saat John Von Neumann dan Oscar
Morgestren sedang mempublikasikan karyanya, tampil juga pengembangan dan
penggunaan program linear oleh George Dantzig. Dari sini kemudian
diketemukan bahwa permasalahan dalam teori permainan dapat dirumuskan
sebagai kasus khusus dari program linear. Sejak saat itu teori permainan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
mendapatkan perhatian yang begitu besar dan digunakan pada bidang ekonomi,
politik , olahraga, militer, dan bidang-bidang lainnya.
Masih banyak kegiatan-kegiatan lain yang bersifat kompetitif , namun
tidak setiap keadaan persaingan dapat disebut sebagai permainan, hanya persaingan yang memenuhi kriteria atau ciri-ciri tertentu saja yang dapat disebut sebagai
permainan. Kriteria atau ciri-ciri tersebut adalah:
1. Terdapat persaingan kepentingan diantara pemain (pelaku).
2. Jumlah pemain terbatas.
3. Setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan atau tindakan yang terbatas
yang disebut strategi.
4. Aturan permainan di dalam memilih tindakan diketahui oleh setiap
pemain.
5. Hasil permainan dipengaruhi oleh tindakan-tindakan yang dibuat oleh
semua pemain. Hasil untuk seluruh kombinasi tindakan yang mungkin
dilakukan tersebut dapat didefinisikan secara numeris.
Permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada
faktor-faktor tertentu. Salah satunya adalah jumlah keuntungan atau kerugian dari
pemain yang diklasifikasikan sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game)
dan permainan bejumlah tidak nol (non zero-sum game). Faktor yang lain dapat
ditentukan dari adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan tersebut yang
diklasifikasikan dalam permainan dengan kerjasama dan permainan tanpa
kerjasama. Dalam bab selanjutnya yang akan dibahas lebih lanjut adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama. Permainan berjumlah tidak nol
tanpa kerjasama merupakan permainan yang hasil permainannya
bukan
merupakan negatif dari hasil pemain lainnya dan dalam permainan tersebut tidak
terdapat kerjasama diantara para pemainnya.
Penyelesaian dalam permainan terkadang membuat hasil yang diperoleh
tidak seperti yang diperkirakan. Dapat diasumsikan bahwa setiap pemain mencoba
memprediksikan strategi apa yang akan digunakan oleh lawannya. Hal ini akan
menuju pada hasil nyata yang stabil dimana masing-masing pemain dapat
memprediksikan dengan tepat strategi yang digunakan dan hasil yang akan
dicapai oleh pemain lain.
Metagame merupakan pengembangan dari Teori Permainan, dimana
metagame adalah strategi permainan yang titik ekuilibriumnya didapat
berdasarkan pada permainan yang sebenarnya. Metagame merupakan permainan
yang strategi para pemainnya benar-benar merupakan reaksi untuk strategi pemain
lain. Dalam metagame setiap pemain memberikan reaksi untuk strategi yang
dipilih oleh pemain lainnya.
B. Perumusan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai
berikut:
1. Bagaimana penyelesaian permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama?
2. Bagaimana metode penyelesaian Metagame berjumlah tidak nol tanpa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
kerjasama untuk dua pemain?
3. Bagaimana aplikasi Metagame dalam penggunaannya pada Strategi Pasar?
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut :
1. Teori permainan yang dibahas hanya yang terkait langsung dengan
permasalahan dalam permainan berjumlah tidak nol.
2. Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada permainan tanpa
kerjasama, dimana hanya terdapat dua pemain dalam setiap permainan.
3. Strategi permainan yang digunakan terbatas.
D. Tujuan Penulisan
Skripsi ini bertujuan untuk :
1. Merumuskan model matematika untuk setiap masalah dalam suatu
permainan.
2. Menyelesaikan permainan dengan menggunakan Metagame untuk dua
pemain berjumlah tidak nol, sehingga setiap pemain dapat memprediksi
dengan tepat strategi dan hasil yang dicapai oleh para pemain lain.
E. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan buku-buku yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
baru.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah agar penulis dan
pembaca mengetahui cara menyelesaikan suatu masalah permainan dengan
Metagame.
G. Sistematika Penulisan
Bab I.
Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai latar
belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan,
metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.
Bab II. Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol. Pada bagian ini
akan dibahas mengenai permainan tidak berjumlah nol, permainan tanpa
kerjasama, strategi campuran, Teorema Nash, dan penyelesaian permainan
menggunakan metode Swastika untuk menemukan pasangan ekuilibrium.
Bab III. Metagame Tanpa Kerjasama Untuk 2 Pemain. Pada bagian
ini
akan
dibahas
mengenai
metagame
dan
metaekuilibria,
teorema
metarasionalitas, simetri metaekuilibria, analisis pilihan, dan analisis pilihan yang
berlaku untuk strategi pasar.
Bab IV. Penutup. Pada bagian ini berisi mengenai kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL
Teori permainan (game theory) adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang
berkaitan dengan pengambilan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada
dalam kondisi persaingan atau konflik. Pihak-pihak tersebut selanjutnya disebut
sebagai pemain. Para pemain yang bersaing diasumsikan bersifat rasional dan
cerdas, artinya masing-masing pemain akan melakukan strategi atau tindakan
yang rasional untuk memenangkan persaingan tersebut, dan masing-masing
pemain juga mengetahui strategi pemain lawannya.
Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara,
bergantung pada faktor-faktor berikut : banyaknya pemain, jumlah keuntungan
dan kerugian, dan adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan. Sebagai
contoh, jika banyaknya pemain adalah dua (baik individu maupun kelompok)
maka permainannya disebut sebagai permainan dua pemain (two-person game).
Jika banyaknya pemain adalah n pemain maka permainannya disebut sebagai
permainan n pemain (n person game). Jika hasil permainan untuk salah satu
pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya, maka
permainannya disebut sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game).
Sebaliknya, jika hasil dari permainannya bukan merupakan negatif dari hasil
pemain lainnya, maka permainannya disebut sebagai permainan berjumlah tidak
nol (non-zero-sum game). Dalam permainan berjumlah nol maupun permainan
berjumlah tidak nol, model permainannya dapat dibagi menjadi permainan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
kerjasama dan permainan tanpa kerjasama. Dalam penulisan ini hanya akan
dibahas mengenai permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama.
A. Permainan berjumlah tidak nol
Pada permainan berjumlah nol untuk dua pemain hasil permainan untuk
salah satu pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya.
Untuk permainan berjumlah nol n pemain, penjumlahan dari hasil permainan
pemain 1 sampai pemain n harus sama dengan nol.
Pada permainan berjumlah tidak nol untuk dua pemain, hasil dari
permainan untuk pemain 1 bukan merupakan negatif dari hasil permainan untuk
pemain 2. Tetapi hasil permainannya dapat ditulis sebagai pasangan, misalkan
(A,B), dengan A adalah hasil dari pemain 1 dan B adalah hasil dari pemain 2.
Untuk permainan n pemain tidak berjumlah nol maka hasil permainannya dapat
ditulis sebagai pasangan ( A1 , A2 ,..., An ) dengan Ai masing-masing adalah hasil
dari pemain i.
B. Permainan Tanpa Kerjasama
Dalam permainan berjumlah tidak nol, jika diantara pemainnya tidak
diperbolehkan melakukan komunikasi atau tidak boleh saling berhubungan satu
dengan yang lainnya, maka permainan tersebut dapat disebut dengan permainan
tanpa kerjasama. Karena tidak ada kerjasama antara para pemainnya maka
setiap pemain akan berusaha untuk dapat memaksimalkan perolehan hasil dalam
setiap permainan yang akan dilakukan. Hasil dari permainan juga dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
dinyatakan dengan sebuah matriks yang strategi-strategi pemainnya dinyatakan
dengan baris dan kolom dalam matriks yang bersangkutan.
Definisi 2.2.1
Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu
permainan.
Permainan yang menggunakan dua atau lebih strategi murni disebut dengan
permainan yang menggunakan strategi campuran.
Definisi 2.2.2
Misalkan x dan y masing-masing adalah strategi yang digunakan pemain 1 dan
pemain 2, maka hasil untuk pemain i dapat dituliskan sebagai
ei (x,y)
Hasil permainan merupakan hasil terbaik yang diperoleh kedua pemain.
Definisi 2.2.3
Matriks hasil adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil
permainan dari setiap pemain yang bersesuaian dengan strategi yang digunakan
para pemain. Umumnya elemen baris ke-i kolom ke-j bersesuaian dengan hasil
permainan pemain 1 bila menggunakan strategi i dan pemain 2 menggunakan
strategi j.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Contoh 2.2.1
Misalkan suatu permainan dengan dua pemain, dengan pemain 1 menggunakan
strategi (x1 , x2 ) dan pemain 2 menggunakan strategi ( y1 , y2 ) . Maka matriks hasil
untuk pemain 1 tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
Strategi pemain 2
y1
Strategi
x1
pemain 1
x2
ei ( x1 , y1 )
ei ( x2 , y1 )
y2
ei ( x1 , y2 )
ei ( x2 , y2 )
Definisi 2.2.4
Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e(xi , y j ) . Jika hasil e1 (xi , y j )
merupakan keuntungan dari pemain 1 maka paling tidak pemain 1 mendapatkan
hasil min y j {e1 (xi , y j )} untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 2. Kriteria
maksimin adalah memilih strategi xi yang memaksimalkan hasil tersebut di atas,
yakni vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}.
Definisi 2.2.5
Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e(xi , y j ) . Jika hasil e2 (xi , y j )
merupakan kerugian dari pemain 2, maka paling tidak pemain 2 mendapatkan
hasil max xi {e2 (xi , y j )} untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 1. Kriteria
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
minimaks adalah memilih strategi y j yang meminimumkan hasil tersebut di atas,
yakni vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )}.
Definisi 2.2.6
Nilai maksimin adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan
memaksimumkan minimum keuntungan dari strategi baris yang dimainkan
pemain 1.
Nilai minimaks adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan
meminimumkan maksimum kerugian dari strategi kolom yang dimainkan pemain
2.
Definisi 2.2.7
Titik sadel merupakan titik keseimbangan dari suatu permainan dengan nilai
maksimin sama dengan nilai minimaks.
Suatu permainan yang hanya menggunakan strategi murni mempunyai titik sadel.
Definisi 2.2.8
Misalkan permainan yang dimainkan oleh dua pemain. Saat pemain 1
menggunakan strategi x* , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 1. Dan saat
pemain 2 menggunakan strategi y * , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 2.
e(x* , y * ) merupakan titik ekuilibrium dari permainan tersebut, yaitu titik
keseimbangan saat kedua pemain menggunakan strategi yang terbaik dari
permainan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Contoh 2.2.2 (Permainan Prisoner’s Dilemma)
Dua orang ditangkap polisi karena mencuri barang milik orang lain. Kemudian
dilakukan wawancara secara terpisah oleh polisi. Mereka berdua tahu jika mereka
tetap diam maka polisi tidak mendapatkan cukup bukti untuk menghukum mereka
atas pencurian tersebut, dan mereka hanya mendapatkan satu tahun hukuman
penjara karena perbuatan mereka. Jika mereka berdua mengakui bahwa mereka
mencuri, maka masing-masing mendapatkan sembilan tahun hukuman penjara.
Jika salah satu mengakui dan yang lain tetap diam, maka yang mengakui menjadi
bukti dan akan dibebaskan, sedangkan yang tetap diam akan mendapatkan
hukuman sepuluh tahun penjara. Apa yang sebaiknya mereka lakukan?
Penyelesaian :
Dalam permainan ini strategi murni yang digunakan pemain 1 adalah A1 =
mengakui dan A2 = tidak mengakui. Sedangkan strategi pemain 2 adalah B1 =
mengakui dan B2 = tidak mengakui. Misalkan banyaknya hukuman dinyatakan
dengan –n tahun, maka matriks hasil dari permainan di atas dapat dituliskan
sebagai berikut :
Pemain 2
B1 : Mengakui
B2 : Tidak mengakui
A1 : Mengakui
(-9,-9)
(0,-10)
A2 : Tidak mengakui
(-10,0)
(-1,-1)
B
Pemain 1
B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Jika keduanya mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah
( A1 , B1 )
dan masing-masing akan mendapatkan hukuman 9 tahun penjara,
dituliskan dengan e1 ( A1 , B ) = − 9 dan e2 ( A, B1 ) = − 9 . Jika keduanya tidak
mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah
( A2 , B2 )
dan setiap
pemain akan mendapatkan hukuman 1 tahun penjara dituliskan dengan
e1 ( A2 , B ) = − 1 dan e2 ( A, B2 ) = − 1 . Jika salah satu mengakui dan yang lain tidak
mengakui mencuri berarti yang mengakui akan dibebaskan dan yang tidak
mengakui akan mendapatkan hukuman 10 tahun penjara, dengan demikian
strategi yang digunakan adalah ( A1 , B2 ) dan ( A2 , B1 ) dan hasilnya dapat dituliskan
dengan e1 ( A1 , B ) = 0 , e2 ( A, B2 ) = − 10 dan e1 ( A2 , B ) = − 10 , e2 ( A, B1 ) = 0 .
Akan dicari penyelesaian permainan tersebut, yaitu dengan cara mencari
nilai minimaks dan nilai maksimin untuk setiap pemain. Matrik hasil untuk
pemain 1 adalah:
B1
B2
Minimum baris
-9
A1
-9
0
A2
-10
-1
-9
0
Maksimum
maks
-10
kolom
min
Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 1 adalah e1 ( A1 , B1 ) = − 9 dan
mempunyai titik sadel karena nilai maksimin sama dengan nilai minimaks.
Sebaliknya matriks hasil untuk pemain 2 adalah sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
A1
A2
Minimum baris
-9
B1
-9
0
B2
-10
-1
-9
0
Maksimum
maks
-10
kolom
min
Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 2 e2 ( A1 , B1 ) = − 9 dan juga
mempunyai titik sadel. Hasil permainan untuk kedua pemain dinyatakan dengan
{e1 ( A1 , B1 ), e2 ( A1 , B1 )} = {− 9,−9} dan ini merupakan titik ekuilibrium dari
permainan ini. Maka penyelesaian dari permainan ini adalah jika kedua pemain
saling mengakui bahwa mereka mencuri.
Akan dicari penyelesaian permainan Prisoner’s Dilemma menggunakan
kriteria maksimin dan kriteria minimaks. Dengan menggunakan kriteria maksimin
vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}
hasil
permainan
vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}
{
untuk
pemain
1
adalah
}
= max xi min y j {(− 9,−9), (0,−10)}dan min y j {(− 10,0), (− 1,−1)}
= max xi {(− 9,−9)dan (− 10,0 )}
= {(− 9,−9 )}
Dengan menggunakan kriteria minimaks
vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )} hasil
permainan untuk pemain 2 adalah
vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )}
{
}
= min y j max xi {(− 9,−9), (− 10,0)}dan max xi {(0,−10), (− 1,−1)}
= min y j {(− 9,−9 ), (− 10,0 )}
= {(− 9,−9 )}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Dapat dilihat bahwa hasil permainan dengan menggunakan kriteria maksimin
sama dengan hasil permainan dengan menggunakan kriteria minimaks, yaitu
vL = vU = {(− 9,−9)} . Maka permainan Prisoner’s Dilemma tersebut mempunyai
titik ekuilibrium karena vL = vU .
Definisi 2.2.9
Dalam permainan tanpa kerjasama untuk n pemain, misalkan xi* adalah strategi
campuran yang digunakan oleh pemain i. n pasang strategi campuran x1* , x 2* ,...,
x n* , adalah n pasang ekuilibrium untuk strategi campuran jika untuk semua
strategi – strategi yang lain, yaitu y1 , y 2 ,…, y n berlaku :
ei (x1* , x 2* ,..., xi* ,..., x n* ) ≥ ei (x1* , x 2* ,..., y i ,..., x n* ) ,
1≤i≤n.
Definisi 2.2.10
Misalkan pada permainan yang dimainkan oleh dua pemain, X adalah himpunan
strategi campuran untuk pemain 1, Y adalah himpunan strategi campuran untuk
pemain 2. Suatu pasangan strategi x* ∈ X , y * ∈ Y adalah pasangan ekuilibrium
untuk permainan tidak berjumlah nol jika untuk setiap x ∈ X , y ∈ Y :
( ) ( )
e (x , y ) ≤ e (x , y )
e1 x, y * ≤ e1 x* , y *
*
2
*
*
2
Dengan e1 (x* , y * ) adalah hasil untuk pemain 1 dan e2 (x* , y * ) adalah hasil untuk
pemain 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Contoh 2.2.3
Dari permainan Prisoners Dilemma pada contoh 2.2.2 didapatkan pasangan
ekuilibrium {e1 (x* , y * ), e2 (x* , y * )}= {− 9,−9}. {− 9,−9} adalah pasangan ekuilibrium
untuk permainan tidak berjumlah nol tersebut jika untuk setiap x ∈ X , y ∈ Y
berlaku :
( ) ( )
e (x , y ) ≤ e (x , y )
e1 x, y * ≤ e1 x* , y *
*
2
*
*
2
Dari permainan pada contoh 2.2.2 tersebut didapatkan hasil untuk pemain 1
adalah e1 (x, y * )= − 10 dan hasil untuk pemain 2 adalah e2 (x* , y )= − 10 . Didapatkan
untuk pemain 1 berlaku e1 (x, y * )≤ e1 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 dan untuk pemain 2
berlaku e2 (x* , y )≤ e2 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 . Maka menurut definisi 2.2.9 untuk
permainan Prisoners Dilemma berlaku
e1 (x, y * )≤ e1 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9
e2 (x* , y )≤ e2 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 .
pasangan
Dengan
ekuilibriumnya
dan
adalah
{− 9,−9}.
C. Strategi Campuran
Von Neumann menyarankan salah satu cara untuk menyelesaikan kasus
dimana vL ≠ vU dengan menggunakan strategi campuran. Suatu strategi campuran
terdiri atas seni percobaan acak setiap waktu dalam permainan tersebut dan untuk
menentukan strategi yang akan digunakan pemain setiap saat. Strategi murni
terdiri dari beberapa strategi murni dengan probabilitas tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Contoh 2.3.1 (Permainan Poker sederhana)
Dalam permainan Poker yang sederhana strategi yang digunakan para pemain
akan ditunjukkan dalam tabel berikut :
Strategi
Pemain 1
Pemain 2
I1
Pemain 1 percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’
I2
Pemain 1 tidak percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’
II 1
Pemain 2 berkata ’Two’ ketika mempunyai ’Two’
II 2
Pemain 2 berkata ’Ace’ ketika mempunyai ’Two’
Dari strategi di atas akan didapatkan hasil permainan sebagai berikut.
Jika pemain 1 menggunakan strategi I 1 dan pemain 2 menggunakan strategi II 1 ,
maka pemain 1 akan mendapatkan -1 jika pemain 2 menunjukkan ’Ace’. Tetapi
jika pemain 2 menunjukkan ’Two’ maka saat itu juga pemain 1 mendapatkan +1.
Harapan mendapatkan ’Ace’ adalah
1
2
dan harapan mendapatkan ’Two’ juga
1
2
,
maka nilai yang diharapkan adalah 1. 12 + (− 1). 12 = 0 .
Jika pemain 1 menggunakan strategi I 1 dan pemain 2 menggunakan strategi II 2 ,
maka pemain 1 mendapatkan nilai -1.
Jika pemain 1 menggunakan strategi I 2 dan pemain 2 menggunakan strategi II 1 ,
maka ketika pemain 2 menunjukkan ’Ace’ pemain 1 kalah -2. Jika pemain 2
menunjukkan ’Two’ pemain 1 menang +1. Maka nilai harapannya adalah
1
2
. − 2 + 12 .1 = − 12 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Yang terakhir jika pemain 1 menggunakan strategi I 2
dan pemain 2
menggunakan strategi II 2 , maka pemain 1 akan mendapatkan -2 ketika pemain 2
mendapatkan ’Ace’. Tetapi jika kartu tersebut adalah ’Two’ maka pemain 1
mendapatkan +2. Kemudian, nilai harapannya adalah 12 . − 2 + 12 .2 = 0 .
Maka matriks hasilnya dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Pemain 2
II 1
II 2
0
-1
I1
Pemain 1
I2
-
1
2
0
Dalam permainan Poker, pemain 1 akan melempar koin untuk menentukan
strategi yang akan digunakan. Apabila muncul ”kepala” maka yang digunakan
adalah strategi I1 . Dan bila muncul ”ekor” maka akan menggunakan strategi I 2 .
Probabilitas pemain 1 menggunakan strategi I1 dan strategi I 2 masing-masing
adalah
1
2
.
Hasil permainan dari matriks di atas menunjukkan jika pemain 2 menggunakan
strategi II 1 maka peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi I 1 adalah
0 dan peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi I 2 adalah -
1
2
.
Sedangkan, jika pemain 2 menggunakan strategi II 2 maka peluang pemain 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
menang jika menggunakan strategi I 1 adalah -1. Dan jika menggunakan strategi
I 2 adalah 0.
Hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2 menggunakan strategi II1 adalah
(0 x
1
2
) + (-
1
2
x
1
2
)=-
1
4
. Dan hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2
menggunakan strategi II 2 adalah (-1 x
1
2
) + (0 x
1
2
)=-
1
2
. Dalam permainan
tersebut digunakan strategi campuran, yakni pemain 1 menggunakan strategi
campuran (I1 , I 2 ) dan pemain 2 menggunakan strategi campuran (II1 , II 2 ) .
Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu
permainan. Misalkan pemain 1 mempunyai n strategi murni, susunan strategi
campuran X
bisa dinyatakan dengan n-tuple
x = ( x1 , x2 ,..., xn )
dimana
xi ≥ 0 , i =1,2,..., n , dan
n
∑x
i =1
i
=1
(2.3.1)
Persamaan (2.3.1) digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap
strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas xi .
Sedangkan jika pemain 2 mempunyai m strategi murni, susunan strategi campuran
Y bisa dinyatakan dengan m-tuple y = ( y1 , y2 ,..., ym ) dimana yi ≥ 0 , i =1,2,..., m ,
dan
m
∑y
i =1
i
=1
(2.3.2)
Persamaan (2.3.2) juga digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap
strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas yi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Apabila pemain 1 memainkan strategi x = (x1 , x 2 ,..., x n ) dan pemain 2
y = ( y1 , y2 ,..., ym ) hasil yang diharapkan untuk pemain 1
memainkan strategi
adalah :
m
n
e 1(x, y ) = ∑∑ xi eij y j
(2.3.3)
j =1 i =1
Contoh 2.3.2
Dalam permainan Poker yang sederhana, misalkan pemain 1 memainkan strategi
x = ( x ,1 − x ) dan pemain 2 memainkan strategi y = ( y ,1 − y ) , dan matriks hasilnya
adalah
Pemain 2
Pemain 1
I1
x
I2
1-x
II 1
II 2
y
1-y
0
-1
1
2
0
-
Nilai harapan hasil pemain 1 adalah
e1 (x, y ) = 0 . xy − 1. x (1 − y ) − 12 (1 − x ) y + 0 (1 − x )(1 − y )
= xy − x − 12 y + 12 xy
= − x − 12 y + 32 xy
(2.3.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Jika pemain 1 memainkan strategi x *= (13 , 23 ) , yakni x = 13 artinya bahwa pemain 1
bermain dengan menggunakan strategi I 1
1
3
kali banyaknya permainan yang dia
lakukan. Maka dari persamaan (2.3.4) diperoleh
e1 (x*, y ) = − 13 ,
untuk semua y ∈ Y
(2.3.5)
Hal ini secara tidak langsung menyatakan bahwa pemain 1 yakin hasilnya paling
sedikit −
adalah
1
3
1
3
jika memainkan x * . Artinya bahwa dia akan kalah paling tidak
.
Jika pemain 2 memainkan y * = ( 23 , 13 ) , yakni y = 23 artinya pemain 2 bermain
dengan menggunakan strategi II 1 adalah
2
3
kali jumlah permainan yang
dimainkannya. Maka dari persamaan (2.3.4) memberikan
e1 (x, y *) = − 13 ,
untuk semua x ∈ X
(2.3.6)
Jadi, jika pemain 2 memainkan y * dia meyakinkan pemain 1 bahwa pemain 1
tidak dapat memperoleh hasil lebih dari −
dimainkan. Pemain 1 akan kalah
1
3
1
3
dengan strategi apapun yang
.
Dari contoh di atas jika pemain 1 menggunakan strategi x * maka
hasilnya akan kurang dari atau sama dengan hasil pemain 2 jika pemain 2
menggunakan strategi y * . Penyelesaian optimal permainan ini adalah pemain 2
memainkan strategi campuran y* = ( 23 , 13 ) dan pemain 1 memainkan strategi
campuran x* = ( 13 , 23 ) dengan hasil yang diharapkan −
1
3
untuk pemain 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
D. Teorema Nash
Definisi 2.4.1
Semesta pembicaraan adalah R. Dengan titik x merupakan x ∈ R dan himpunan
S⊂R.
Untuk
p∈R
dan
r < 0.
Kitar
p
dengan
radus
r
adalah
N ( p, r ) = ( p − r , p + r ) = {x ∈ R :| x-p | < r} . Atau kitar titik p dengan radius r adalah
interval terbuka dengan ujung-ujung p-r dan p+r.
Definisi 2.4.2
Titik p adalah titik limit himpunan S jika untuk setiap r < 0 terdapat titik q
dengan q ≠ p, q∈S dan q ∈ N ( p, r ) .
Definisi 2.4.3
Himpunan S dikatakan tertutup jika semua titik limitnya anggota dari S.
Atau (S tertutup) ⇔ (p titik limit S ⇒ p ∈S ) .
Contoh 2.4.1
i.
Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} maka S adalah himpunan tertutup
jika semua titik limitnya, yaitu titik limit diantara interval 0 sampai 1
adalah anggota himpunan S.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Definisi 2.4.4
Himpunan S disebut terbatas jika himpunan tersebut mempunyai batas atas atau
batas bawah.
Contoh 2.4.2
i.
Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} maka S adalah himpunan terbatas
karena himpunan S akan menuju ke 1 dan terbatas pada 1 saja, tidak
akan melewati 1. Dengan kata lain, anggota-anggota himpunan S akan
berada dintara 0 dan 1, batas bawah 0 dan batas atas 1.
Definisi 2.4.5
Himpunan S disebut konveks jika untuk setiap pasangan dari titik x1 , x 2 dalam S
membentuk segmen garis
[ x1 , x 2 ] = { x : x = α x1 + β x 2 , α ≥ 0, β ≥ 0,α + β = 1 }
y
untuk semua S.
y
x
Gambar 2.4.1 Himpunan konveks
x
Gambar 2.4.2 Himpunan bukan konveks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Contoh 2.4.3
i.
{
}
Misalkan himpunan S = x, y | x 2 + y 2 ≤ 4 adalah himpunan konveks.
Untuk menunjukkan hal tersebut, ambil dua titik dalam S
u = (u1 , u2 ) ∈ S ⇒ u1 + u2 ≤ 4
2
2
v = (v1 , v2 ) ∈ S ⇒ v1 + v2 ≤ 4
2
2
Himpunan S disebut konveks jika memenuhi definisi 2.4.5
⎛ v ⎞ ⎛ α u + β u2 ⎞
⎛u ⎞
⎟⎟
α u + β v ∈ S ⇒ α ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + β ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1
u
v
v
v
α
β
+
2 ⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 1
⎝ 2⎠
Maka :
(α u1 + β v1 )2 + (α u2 + β v2 )2
≤4
α 2 u12 + 2αβ u1 v1 + β 2 v12 + α 2 u2 2 + 2αβ u2v2 + β 2 v2 2 ≤ 4
α 2u12 + α 2u2 2 + 2αβ u1v1 + 2αβ u2v2 + β 2v12 + β 2v2 2
≤4
α 2 u1 + u2 + 2αβ (u1v1 + u2v2 ) + β 2 v1 + v2
≤4
(
2
2
)
(
2
2
)
Karena α ≥ 0, β ≥ 0,α + β = 1 dan u1 + u2 ≤ 4, v1 + v2 ≤ 4
2
(
(v
)
)
α 2 u12 + u2 2
Maka β
2
2
1
+ v2
2
2
2
2
≤4
≤4
2αβ (u1v1 + u2v2 ) ≤ 4
(
)
(
Sehingga α 2 u1 + u2 + 2αβ (u1v1 + u2v2 ) + β 2 v1 + v2
2
2
2
2
)
≤4
Oleh karena itu α u + β v ∈ S maka himpunan S konveks.
y
2
-2
2
-2
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Definisi 2.4.6
Fungsi
f
kontinu jika fungsi tersebut berkelanjutan tanpa perubahan yang
mendadak.
Contoh 2.4.5
i.
Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} dan diberikan fungsi f ( x ) =1− x .
Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai x antara 0 dan 1 jika
dipetakan ke dalam fungsi f(x) maka akan mendapatkan nilai yang
saling berdekatan dan dapat dihubungkan sebagai garis lurus.
ii.
Misalkan diberikan himpunan S = {x | −1 ≤ x ≤ 1} dengan persamaan
f ( x ) = x 2 . Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai dalam x jika
dipetakan ke dalam fungsi
f(x) akan mendapatkan nilai yang
berkelanjutan tanpa ada perubahan yang mendadak.
Gambar dibawah ini mengambarkan himpunan S yang tertutup, terbatas,
konveks dan fungsi f yang berlaku dalam himpunan S tersebut kontinu.
S
f
Gambar 2.4.3 Fungsi f dalam sebuah lingkaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Teorema 2.4.1 (Teorema titik tetap Brouwer)
Jika f suatu fungsi yang memetakan titik-titik pada himpunan S yang tertutup,
terbatas dan konveks dalam ruang Euclides ke dalam himpunan S dan jika f adalah
fungsi kontinu maka sekurang-kurangnya ada satu titik dalam S yang dipetakan ke
dirinya sendiri (titik tetap).
Dengan kata lain titik tetap tersebut dapat dituliskan ke dalam fungsi sebagai,
misalkan f : x → y , x ∈ S , f kontinu ∃ p ∈ S ∋ f ( p ) = p
.
Maka f ( p ) = p merupakan titik tetap.
Bukti untuk teorema Titik Tetap Brouwer ini tidak diberikan, dapat dilihat pada
buku ” Some Topics in Two Person Games” yang ditulis oleh T. Parthasarathy
dan T.E.S. Raghavan, 1977.
Teorema 2.4.2 (Teorema Nash)
Sebarang permainan untuk dua orang (berjumlah nol atau berjumlah tidak nol)
dengan sejumlah strategi yang berhingga paling sedikit mempunyai satu pasangan
ekuilibrium.
Bukti :
Diberikan S = {(x,y)| x ∈ X, y ∈ Y} adalah himpunan semua pasangan strategi
yang mungkin. Karena x dan y adalah vektor dengan strategi yang terbatas, maka
dalam hal ini S adalah tertutup dan terbatas dan juga konveks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Misal e1 (I i , y ) adalah nilai harapan untuk pemain 1 jika pemain 1 menggunakan
strategi I , dan e2 (x, II j ) adalah nilai harapan untuk pemain 2 jika pemain 2
menggunakan strategi II.
Didefinisikan (∀ x ∈ X , y ∈ Y )
ci (x, y ) = max { 0 , e1 (I i , y ) − e1 (x, y )}
,1 ≤ i ≤ n
d i (x, y ) = max {0 , e2 (x, II j ) − e2 (x, y )}
,1 ≤ j ≤ m
dengan n banyaknya strategi murni pemain 1 dan m banyaknya strategi murni
pemain 2.
S dengan f (x,y) = (x′, y′) dimana
Diberikan fungsi f : S
xi′ =
xi + ci (x, y )
n
1 + ∑ ci (x, y )
, 1≤ i < n
i =1
dan
y′j =
y j + d j (x, y )
m
1 + ∑ d j (x, y )
, 1≤ j < m
j =1
Fungsi f adalah suatu fungsi yang kontinu, karena jika diambil sebarang x ∈ X,
y ∈ Y, f akan selalu terdefinisi dengan perubahan yang kecil dalam x dan y, akan
menyebabkan perubahan kecil dalam x′ dan y′ . Dengan demikian menurut
(
)
teorema Titik Tetap Brouwer ada suatu titik tetap x* , y * dimana
(
) (
f x* , y * = x* , y *
)
(2.4.1)
Menurut persamaan (2.3.1) dan (2.3.3) jika menggunakan strategi campuran maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
(
)
(
n
)
(
n
)
(
e1 x* , y * = ∑ xi* e1 I i , y * ≤ ∑ xi*e1 x* , y * =1. e1 x* , y *
i =1
)
i =1
= e1 (x* , y * )
(
)
Jadi untuk suatu i diperoleh ci x* , y * = 0
dari persamaan (2.4.1) diperoleh
x *i =
( )
1 + ∑ c (x , y )
x*i + ci x* , y *
(2.4.2)
n
*
i =1
(
*
i
)
∑ c (x , y ) = 0 .
n
dan untuk i dimana ci x* , y * = 0, maka
*
i =1
*
i
Jadi ∀i , 1 ≤ i < n , ci (x* , y * ) = 0 berlaku e1 (x* , y * ) ≥ e1 (I i , y * ) , sehingga dari sini
diperoleh
e1 (x* , y * ) ≥ e1 (x, y * ),
Demikian
juga
∀ x∈ X
∀j , 1 ≤ j < m ,
untuk
(2.4.3)
menurut
persamaan
(2.3.3)
jika
menggunakan strategi campuran maka
(
)
(
)
(
e2 x* , y * = ∑ y *j e2 (x, II j ) ≤ ∑ y *j e2 x* , y * = 1.e2 x* , y *
m
m
j =1
j =1
(
= e2 x* , y *
)
)
Jadi untuk suatu j, d j (x* , y * ) = 0
Dari persamaan (2.4.1) diperoleh
y
*
j
=
( )
1 + ∑ d (x , y )
y * j + d j x* , y *
(2.4.4)
m
*
j =1
*
j
Dan untuk j dimana d j (x* , y * ) = 0 , maka
∑ d (x , y ) = 0
m
*
j =1
j
*
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Jadi ( ∀j ,1 ≤ j < m ),
(
)
d j x* , y * = 0
berlaku
(
)
(
e2 x* , y * ≥ e2 x* , II j
)
sehingga
diperoleh
(
(∀y ∈ Y )
Dari
)
(
e2 x * , y * ≥ e 2 x * , y
persamaan
(2.4.3)
dan
)
(2.4.5)
persamaan
(2.4.5)
diperoleh
e1 (x, y * ) ≤ e1 (x* , y * ) dan e2 (x* , y ) ≤ e2 (x* , y * ) dengan demikian berdasarkan definisi
pasangan ekuilibrium untuk permainan tidak berjumlah nol maka (x* , y * ) adalah
suatu pasangan ekuilibrium.
▄
E . Metode Swastika untuk menemukan Pasangan Ekuilibrium
Teorema Nash menyatakan bahwa paling sedikit ada satu titik ekuilibrium
dalam suatu permainan. Tetapi dalam teorema tersebut tidak disebutkan cara
untuk mendapatkannya. Metode untuk mencari titik ekuilibrium (x* , y * ) dari
permainan dua orang berjumlah tidak nol antara lain dengan metode Swastika.
Metode swastika ini digunakan pada matriks hasil berordo 2 x 2 dengan langkahlangkah sebagai berikut :
1. Dimisalkan x = (x, 1-x) adalah strategi untuk pemain 1 dan y =
(y,1-y) adalah strategi untuk pemain 2.
2. Hitung
ei (x, y ) , yaitu nilai harapan hasil pemain i yang
berhubungan dengan strategi x dan y.
3. Tentukan nilai x* dan y * yang memaksimalkan e1 (x, y ) untuk
semua nilai y, dan yang memaksimalkan e2 (x, y ) untuk semua nilai
x.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
4.
(x , y ) merupakan titik ekuilibrium.
*
*
Contoh 2.5.1
Diberikan matriks hasil untuk permainan berjumlah tidak nol
Pemain 2
Pemain 1
II1
II2
I1
(3,2)
(2,1)
I2
(0,3)
(4,4)
Akan dicari hasil yang optimal untuk masing-masing pemain, yaitu titik
ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil permainan untuk setiap titik
ekuilibrium.
Penyelesaian :
Untuk pemain 1
Langkah 1:
Matriks hasil untuk pemain 1 adalah
A=
y
1-y
x
3
2
1-x
0
4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Langkah 2 :
Nilai harapan hasil pemain 1 adalah
e1(x,y) = x ( 3y + 2 (1 – y)) + (1 – x) (0.y + 4 (1 – y))
= x ( 3y + 2 – 2y) + (1 – x) (4 – 4y)
= x (y + 2) + (4 – 4y – 4x + 4xy)
= x (y + 2) + x (4y – 4) + (4 – 4y)
= x (5y – 2) + (4 – 4y)
(2.5.1)
Langkah 3 :
Untuk mendapatkan hasil e1(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya,
yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.1) terhadap x, sehingga diperoleh :
e1 ' (x, y ) = (5y – 2) = 0 ⇒ y = 52 .
Terdapat tiga kemungkinan nilai y, yaitu y < 52 , y = 52 , y > 52 .
Dari persamaan (2.5.1) akan didapatkan :
Jika y < 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 0
Jika y = 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh 0 < x < 1
Jika y > 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 1
Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
y
1
2
5
0
1
x
Gambar 2.5.1 x memaksimumkan hasil e1(x,y).
Nilai x* yang memaksimalkan hasil e1(x,y) untuk semua nilai y adalah nilai-nilai
diantara x = 0, 0 < x < 1 , x = 1.
Untuk pemain 2
Langkah 1 :
Matriks hasil untuk pemain 2 adalah
B =
x
1-x
y
2
3
1-y
1
4
Langkah 2 :
Nilai harapan hasil pemain 2 adalah
e2(x,y) = y ( 2 x + 3 (1 – x)) + (1 – y) ( 1.x + 4 (1 – x))
= y ( 2x + 3 – 3x) + (1 – y) ( x + 4 – 4x)
= y (-x + 3) + (1 – y) (-3x + 4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
= y (-x + 3) + (-3x + 4 + 3xy – 4y)
= y (-x + 3) + y (3x – 4) + (4 – 3x)
= y (2x – 1) + (4 – 3x)
(2.5.2)
Langkah 3 :
Untuk mendapatkan hasil e2(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya,
yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.2) terhadap y, sehingga diperoleh :
e2 ' (x, y ) = (2x – 1) = 0 ⇒ x = 12 .
Terdapat tiga kemungkinan nilai x, yaitu x < 12 , x = 12 , x > 12 .
Dari persamaan (2.5.2) diperoleh bahwa
jika x <
1
maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 0
2
jika x =
1
maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh 0 < y < 1
2
jika x >
1
maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 1
2
Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
y
1
1
2
0
1
x
Gambar 2.5.2 y memaksimumkan hasil e2(x,y).
Nilai y * yang memaksimalkan hasil e2(x,y) untuk semua nilai x adalah nilai-nilai
diantara y = 0, 0 < y < 1 , y = 1.
Langkah 4 :
Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik dari Gambar 2.5.1 dan Gambar
2.5.2. Grafik perpotongannya disajikan sebagai berikut :
y
1
2
5
0
1
2
1
x
Gambar 2.5.3 Metode Swastika untuk pasangan ekuilibrium.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Dari gambar 2.5.3 diperoleh tiga buah titik potong, yaitu A(0,0), B( 12 , 52 ), C(1,1).
Akan ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium-ekuilibrium tersebut.
Perhatikan kembali, dari persamaan 2.5.1 dan persamaan 2.5.2 diperoleh
e1 (x, y ) = x (5y – 2) + (4 – 4y)
e2 (x, y ) = y (2x – 1) + (4 – 3x)
Untuk titik ekuilibrium A(0,0), yakni x = 0 dan y = 0 maka didapatkan
e1 (0,0 ) = 0 (5.0 – 2) + (4 – 4.0) = 4 .
e2 (0,0) = 0(2.0 – 1) + (4 – 3.0) = 4 .
Dengan demikian hasilnya adalah (4,4).
Untuk titik ekuilibrium B( 12 , 52 ), yakni x = 12 dan y = 52 maka didapatkan
e1 ( 12 , 52 ) =
1
2
(5.
2
5
– 2) + (4 – 4.
2
5
) = 125 = 2,4 .
e2 ( 12 , 52 ) =
2
5
(2.
1
2
– 1) + (4 – 3.
1
2
) = 2,5 .
Dengan demikian hasilnya adalah (2,4 ; 2,5).
Untuk titik ekuilibrium C(1,1), ya