Materi dan LKS Matematika Kelas XI IPA Semester 2: Limit Fungsi
-1-
LIMIT FUNGSI
1. LIMIT FUNGSI ALJABAR
lim
Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis
x c
f(x) dibaca “limit x
mendekati c dari f(x)”.
Artinya x mendekati bilangan c sedekat mungkin baik dari sebelah kiri (
maupun dari sebelah kanan (
lim
Jika
x c
f(x) =
Contoh 1: Tentukan
Jawab
lim
x 2
lim
x c
lim
x c
x c
f(x))
f(x)).
lim
f(x) = L
x c
f(x) = L maka
lim
(3x-1)
: Jika f(x) = 3x - 1, dengan menggunakan tabel :
x
1
1,
5
1,
9
1,99
F(x)
…
…
…
…
...
…
2,01
2,1
2,5
3
…
…
…
...
Dari tabel bisa terlihat bahwa jika x mendekati 2, baik dari sebelah kiri maupun kanan,
maka f(x) mendekati ... .
lim
Jadi
(3x-1) = ...
x 2
Contoh 2 : Tentukan
Jawab
: Dengan menggunakan tabel :
x
f(x)
Jadi
lim
x2 9
x 3 x 3
2
...
2,5
...
2,9
...
2,99
...
3
...
3,01
...
3,1
...
3,5
...
4
...
lim
x2 9
= ....
x 3 x 3
Contoh 3: Tentukan
Jawab
1
x 0 x
Lim
: Dengan pendekatan tabel sebagai berikut :
x
-3
-2
-1
-0,1
f(x)
...
...
...
…
0,01
…
0
0,01
0,1
1
2
3
...
…
…
...
...
...
Lim
1
= ...
x 0 x
1.1 Limit x c
Jadi
1.1.1
Lim
x c
f(x) dimana f(x) bentuk pecahan yang dapat difaktorkan
1. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c)
0 maka
Lim
f(x) = f(c)
x c
Limit Fungsi
-2-
0
maka f(x) harus difaktorkan
0
2. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) =
pembilang atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga menghasilkan
bentuk bukan
0
jika x diganti dengan c.
0
Contoh 4 : Tentukan
Jawab
:
x2 1
x 1 x 1
Lim
Lim
x2 1
= …………….
x 1 x 1
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya !
1.
Lim
x 3
5x+6
5.
x2 4
x 2 x 2
9.
Lim
x2 x 6
x 3 x 2 7 x 12
Lim
2.
Lim
5x 1
x 3 4x 2
6.
x2 x
x 0
x
10.
Lim
2x2 9x 5
x 5 4 x 2 17 x 15
3.
Lim
3x 6
x 2 x 1
7.
Lim
x2 2 x 8
x 2
x 2
11.
x3 2 x 2 3x
x 0
x2 x
4.
Lim
2x 1
x 1 x 1
8.
Lim
x 5
2
x 5 2x 9x 5
12.
x3 1
x 1 x2 1
1.1.2
Lim
Lim
Lim
Lim
f(x) dimana f(x) pecahan bentuk akar
x c
Diselesaikan dengan mengalikan sekawan f(x) yang berharga 1 sehingga dapat
diserhanakan menjadi bentuk yang berharga bukan
Contoh 1 : Tentukan
Jawab
:
Lim
3
x 1
Lim
x 1
3
0
jika x diganti dengan c.
0
x 8
x 1
x 8
= …………………..
x 1
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya !
1.
Lim
x 4
x 2
x 4
7.
Lim
x 10
x 1 3
x 10
Limit Fungsi
-3-
2.
x9
x 9
x 3
8.
3.
x
x 0 2 4 x
9.
4.
5.
6.
Lim
Lim
Lim
x 0
x2 4 2
x
Lim
x
x 1
2
5 x
x 1
10.
3
4x 1
x 2
11.
x 1
Lim
Lim
x 2
Lim
x 0 6
5x
36 2 x
12.
2x 1
x 1
Lim
x 2
x 2 x2 4
Lim
x 3
Lim
h 0
x 4 2x 1
3x 1 x 7
xh
h
x
1.2 LIMIT x
Contoh 1. Tentukan
Jawab
x
Lim
1
dengan pendekatan tabel !
x x
:
1
10
100
f(x)
...
...
...
Lim
1
Jadi
= ...
x x
100
0
...
...
..
...
...
Untuk menyelesaikan limit untuk x mendekati
digunakan cara :
Lim
f(x) menjumpai bentuk pada substitusi x dengan , maka
x
diselesaikan dengan membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.
1. Jika pada
2. Jika f(x) berupa bentuk untuk x maka diselesaikan dengan mengalikan
sekawan dari f(x) yang berharga 1, kemudian diselesaikan dengan cara no.1
Contoh 2 : Tentukan
Jawab
:
Lim
5x2 2 x 3
x
7 x2
5x2 2 x 3
x
7 x2
Lim
: .....
= ……………..
Contoh 3 : Tentukan
Jawab
:
Lim
x
Lim
x
x 2 3x
x 2 3x
x2 2x
x 2 2 x . .......
Limit Fungsi
-4-
Lim
...
x
Lim
=
...
x
Lim
=
....
x
=
: .......
= ...............
= .....
LATIHAN SOAL
1.
Lim
2x 1
x 4 x 2 3x
6.
Lim
3x 1
x 3x 1
2.
Lim
4 x3 2 x
x 3x 2 x
7.
Lim
5 x 5 x
x 5 x 5 x
3.
Lim
5 2 x x3
x 5x3 2 x 2 1
8.
Lim
x
x3 4 x 2 7
x 3 6 x 2 2 x3
9.
4.
5.
Lim
5x
Lim
x
10.
2
x 1 x
Lim
x
Lim
x
x2 1
x 1
x2 1
x 1
4x2 x
4 x 2 3x
1.3 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
C
Karena AB = AD = r = 1, maka AE = cos x , DE
= sin x
D
dan BC = tan x
x
A
L
E
B
ADE < L juring ABD < L ABC
1
x
1
AE.DE
12 AB.BC
2
2
2
1
1
1
cos x sin x x tan x
2
2
2
x
1
cos x
sin x cos x
Lim
Lim
cos x <
x 0
x 0
1<
Jadi
Lim
x 0
x
sin x
:
1
sin x
2
Lim
1
x 0 cosx
x
1
sin x
Lim
x
sin x
=
=1
x 0 sin x
x 0
x
Lim
Limit Fungsi
-5-
Sehingga :
Contoh 1: Tentukan
Jawab
:
x
Lim
Lim
tgx
1
x 0 tgx
x 0 x
Lim
sin 5 x
x 0
3x
sin 5 x
. ....
x 0
3x
Lim
sin 5 x
=
. ...
x 0
....
Lim
= ...
Contoh 2: Tentukan
Jawab
:
2 2 cos x
x 0
x2
Lim
Lim
Lim
2 (......................)
2 2 cos x
=
2
x 0
x 0
x
x2
Lim
2(............................)
x 0
x2
Lim
=
4. .....
x 0
=
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya !
1.
Lim
sin 4 x
x 0
x
4.
Lim
2 sin 3 x
x 0
4x
7.
Lim
1 cos 2 x
x 0
2x2
2.
Lim
tg 3 x
x 0 cos 4 x
5.
Lim
sin 2 x
x 0
x2
8.
Lim 1 cos x
x 0
x
3.
sin 5 x
Lim
x 0 tg 4 x
6.
Lim
1 cos x
x 0
sin x
9.
Lim
xtgx
x 0 1 cos x
Limit Fungsi
LIMIT FUNGSI
1. LIMIT FUNGSI ALJABAR
lim
Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis
x c
f(x) dibaca “limit x
mendekati c dari f(x)”.
Artinya x mendekati bilangan c sedekat mungkin baik dari sebelah kiri (
maupun dari sebelah kanan (
lim
Jika
x c
f(x) =
Contoh 1: Tentukan
Jawab
lim
x 2
lim
x c
lim
x c
x c
f(x))
f(x)).
lim
f(x) = L
x c
f(x) = L maka
lim
(3x-1)
: Jika f(x) = 3x - 1, dengan menggunakan tabel :
x
1
1,
5
1,
9
1,99
F(x)
…
…
…
…
...
…
2,01
2,1
2,5
3
…
…
…
...
Dari tabel bisa terlihat bahwa jika x mendekati 2, baik dari sebelah kiri maupun kanan,
maka f(x) mendekati ... .
lim
Jadi
(3x-1) = ...
x 2
Contoh 2 : Tentukan
Jawab
: Dengan menggunakan tabel :
x
f(x)
Jadi
lim
x2 9
x 3 x 3
2
...
2,5
...
2,9
...
2,99
...
3
...
3,01
...
3,1
...
3,5
...
4
...
lim
x2 9
= ....
x 3 x 3
Contoh 3: Tentukan
Jawab
1
x 0 x
Lim
: Dengan pendekatan tabel sebagai berikut :
x
-3
-2
-1
-0,1
f(x)
...
...
...
…
0,01
…
0
0,01
0,1
1
2
3
...
…
…
...
...
...
Lim
1
= ...
x 0 x
1.1 Limit x c
Jadi
1.1.1
Lim
x c
f(x) dimana f(x) bentuk pecahan yang dapat difaktorkan
1. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c)
0 maka
Lim
f(x) = f(c)
x c
Limit Fungsi
-2-
0
maka f(x) harus difaktorkan
0
2. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) =
pembilang atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga menghasilkan
bentuk bukan
0
jika x diganti dengan c.
0
Contoh 4 : Tentukan
Jawab
:
x2 1
x 1 x 1
Lim
Lim
x2 1
= …………….
x 1 x 1
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya !
1.
Lim
x 3
5x+6
5.
x2 4
x 2 x 2
9.
Lim
x2 x 6
x 3 x 2 7 x 12
Lim
2.
Lim
5x 1
x 3 4x 2
6.
x2 x
x 0
x
10.
Lim
2x2 9x 5
x 5 4 x 2 17 x 15
3.
Lim
3x 6
x 2 x 1
7.
Lim
x2 2 x 8
x 2
x 2
11.
x3 2 x 2 3x
x 0
x2 x
4.
Lim
2x 1
x 1 x 1
8.
Lim
x 5
2
x 5 2x 9x 5
12.
x3 1
x 1 x2 1
1.1.2
Lim
Lim
Lim
Lim
f(x) dimana f(x) pecahan bentuk akar
x c
Diselesaikan dengan mengalikan sekawan f(x) yang berharga 1 sehingga dapat
diserhanakan menjadi bentuk yang berharga bukan
Contoh 1 : Tentukan
Jawab
:
Lim
3
x 1
Lim
x 1
3
0
jika x diganti dengan c.
0
x 8
x 1
x 8
= …………………..
x 1
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya !
1.
Lim
x 4
x 2
x 4
7.
Lim
x 10
x 1 3
x 10
Limit Fungsi
-3-
2.
x9
x 9
x 3
8.
3.
x
x 0 2 4 x
9.
4.
5.
6.
Lim
Lim
Lim
x 0
x2 4 2
x
Lim
x
x 1
2
5 x
x 1
10.
3
4x 1
x 2
11.
x 1
Lim
Lim
x 2
Lim
x 0 6
5x
36 2 x
12.
2x 1
x 1
Lim
x 2
x 2 x2 4
Lim
x 3
Lim
h 0
x 4 2x 1
3x 1 x 7
xh
h
x
1.2 LIMIT x
Contoh 1. Tentukan
Jawab
x
Lim
1
dengan pendekatan tabel !
x x
:
1
10
100
f(x)
...
...
...
Lim
1
Jadi
= ...
x x
100
0
...
...
..
...
...
Untuk menyelesaikan limit untuk x mendekati
digunakan cara :
Lim
f(x) menjumpai bentuk pada substitusi x dengan , maka
x
diselesaikan dengan membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.
1. Jika pada
2. Jika f(x) berupa bentuk untuk x maka diselesaikan dengan mengalikan
sekawan dari f(x) yang berharga 1, kemudian diselesaikan dengan cara no.1
Contoh 2 : Tentukan
Jawab
:
Lim
5x2 2 x 3
x
7 x2
5x2 2 x 3
x
7 x2
Lim
: .....
= ……………..
Contoh 3 : Tentukan
Jawab
:
Lim
x
Lim
x
x 2 3x
x 2 3x
x2 2x
x 2 2 x . .......
Limit Fungsi
-4-
Lim
...
x
Lim
=
...
x
Lim
=
....
x
=
: .......
= ...............
= .....
LATIHAN SOAL
1.
Lim
2x 1
x 4 x 2 3x
6.
Lim
3x 1
x 3x 1
2.
Lim
4 x3 2 x
x 3x 2 x
7.
Lim
5 x 5 x
x 5 x 5 x
3.
Lim
5 2 x x3
x 5x3 2 x 2 1
8.
Lim
x
x3 4 x 2 7
x 3 6 x 2 2 x3
9.
4.
5.
Lim
5x
Lim
x
10.
2
x 1 x
Lim
x
Lim
x
x2 1
x 1
x2 1
x 1
4x2 x
4 x 2 3x
1.3 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
C
Karena AB = AD = r = 1, maka AE = cos x , DE
= sin x
D
dan BC = tan x
x
A
L
E
B
ADE < L juring ABD < L ABC
1
x
1
AE.DE
12 AB.BC
2
2
2
1
1
1
cos x sin x x tan x
2
2
2
x
1
cos x
sin x cos x
Lim
Lim
cos x <
x 0
x 0
1<
Jadi
Lim
x 0
x
sin x
:
1
sin x
2
Lim
1
x 0 cosx
x
1
sin x
Lim
x
sin x
=
=1
x 0 sin x
x 0
x
Lim
Limit Fungsi
-5-
Sehingga :
Contoh 1: Tentukan
Jawab
:
x
Lim
Lim
tgx
1
x 0 tgx
x 0 x
Lim
sin 5 x
x 0
3x
sin 5 x
. ....
x 0
3x
Lim
sin 5 x
=
. ...
x 0
....
Lim
= ...
Contoh 2: Tentukan
Jawab
:
2 2 cos x
x 0
x2
Lim
Lim
Lim
2 (......................)
2 2 cos x
=
2
x 0
x 0
x
x2
Lim
2(............................)
x 0
x2
Lim
=
4. .....
x 0
=
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya !
1.
Lim
sin 4 x
x 0
x
4.
Lim
2 sin 3 x
x 0
4x
7.
Lim
1 cos 2 x
x 0
2x2
2.
Lim
tg 3 x
x 0 cos 4 x
5.
Lim
sin 2 x
x 0
x2
8.
Lim 1 cos x
x 0
x
3.
sin 5 x
Lim
x 0 tg 4 x
6.
Lim
1 cos x
x 0
sin x
9.
Lim
xtgx
x 0 1 cos x
Limit Fungsi