Materi dan LKS Matematika Kelas XII IPA Semester 2: Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-1-

BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA
PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang
dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”,
maka disebut deret.
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan
barisan Geometri.

1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)
1.1 BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan
suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih
dan dilambangkan dengan b.
Contoh-contoh barisan Aritmetika
1) 1,3,5,....
2) 0,5,10,...
3) 100,97,94,...
4) 3 2 , 7 2 , 11 2 ,...

:
bedanya
bedanya
bedanya
bedanya

b
b
b
b

=
=
=
=

...
...
...
...

.

Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = U 1 = a dan beda = b, maka :

U n  a + (n – 1) b

U n : suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih

b = U n  U n 1

Contoh 1 : Tentukan beda dari :
a) 1,5,9
Jawab :

b) 10, 8

1
,7,...
2

a) ………….
b) ………….

Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !
Jawab :

……………

Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !
Jawab :

…………..

Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !
Jawab :

…………….

Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui
Jawab :

U 5  21 dan U 10  41 . Tentukan U 15 !

…………….

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-2-

LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a) 3.5.7,...
c) 20,17,14,...
b) 1, 1

1
,2,...
2

d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...

2. Tentukan suku yang diminta !
a) 4,10,16,... suku ke-25
b) 20 3 , 18 3 , 16 3 ,... suku ke-40
3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :
a) b = 4, U 6  21 , a = ...
b) a = -5, U 20  33 , b = ...

U n  19 , n = ...
d) U 4 1 , U 7  8 , a = ... , b = ...
c) a = 9, b = -2,

e) U 3 7

1

, U 6 15 , U 10 ...
2

4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280,
maka tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !
6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung
Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak
diperhitungkan !

1.2DERET ARITMETIKA
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret
aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika

S n U1  U 2  U 3  .......  U n  1  U n
S n  a  (a  b)  (a  2b)  ..........  (U n  2b)  (U n  b)  U n
S n U n  (U n  b)  (U n  2b)  .......  ( a  2b)  ( a  b)  a
+

2 S n ( a  U n )  ( a  U n )  (a  U n )  ........  (a  U n )  ( a  U n )  ( a  U n )
2 S n  n( a  U n )
1
S n  n( a  U n )
2

, karena

1
S n  n[2a  (n  1)b]
2

U n  a  ( n  1)b , maka :

S n : jumlah n suku pertama

U n  S n  S n 1
Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !
a) 1+3+5+...sampai 50 suku
b) 2+5+8+...+272

Jawab :

a) ……………..
b) …………….

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-3-

Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192
Jawab :

……………

Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis
dibagi 5 !
Jawab :

Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = S1 =……..
Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 =

S 2 = ……
Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = S1 - S 2 =
……..

Contoh 4: Tentukan U10 jika Sn  n 2
Jawab :

…………

LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku
b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku
c) -7-3+1+ ... + 53
d) 25+21+17 + ... + 1
2. Tentukan x jika ;
a) 1+3+5+ ... + x = 441
b) 1+5+9+ ... + x = 561

3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :

a) a = 2, S22  737 , b ...
b) b=5, U10

 46, S15 ...
c) U 4  9 ,U 7 18, S10 ...
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis
dibagi 3
5. Tentukan

U 8 jika Sn  n 2  2n

6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola
pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6

2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)
2.1 BARISAN GEOMETRI
Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku
sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-4-

Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...
Jawab : …………..
Suku ke-n barisan geometri

Jika suku pertama

u1  a dan rasio = r, maka :

U n  ar n  1

r

Dimana

Un
U n 1

Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....
Jawab : …………….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...
Jawab : ………………
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U 3  4 dan U 5 16 . Tentukan U 8 !
Jawab : ……………….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya
27, tentukan ketiga bilangan itu !
Jawab :

Misal ketiga bilangan itu

x
x
, x, xr maka .x.xr  27 
r
r

x3  27 

x 3

3
 3  3 r 13 x r  3r 2  10r  3 0  (3r  1)(r  3) 0
r
1
Jadi
r
 bilangannya 9, 3, 1
3
r 3  bilangannya 1, 3, 9
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !
Jawab : ……………..
LATIHAN SOAL
1.

Tentukan suku yang diminta dari barisan :
a) 1,3,9,..... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8
c) 16,8,4, ... suku ke-10

2.

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :
a)

1 1
, ,1,....
4 2

b) 2 ,2 2 ,4 ,....
3.

Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :
a) a  4 ,U 4  32 ,U 6 ...

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-5-

1
3

b) b  ,U 5  3, a ...
c) U 3  8,U 6  64 ,U 5 ...
d)

U 3 1,U 5  25,U 2 ...

4.

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216,
tentukan ketiga bilangan itu !

5.

Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !

6.

Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri
membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !

2.2 DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret
geometri.
Jumlah n suku pertama deret geometri

S n  a  ar  ar 2  ..............  ar n  3  ar n  2  ar n  1
2

3

rS n  ar  ar  ar  .............  ar

n 2

 ar

n 1

 ar

x

r

n

-

S n  rS n  a  ar

Sn 

n

a (1  r n ) a (r n  1)

, r 1
1 r
r1

dimana

U n  Sn  Sn  1

Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....
Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243
Jawab : ………………

Contoh 3: Tentukan n jika

1  2  2 2 ....2 n  255

Jawab : ………………
LATIHAN SOAL
1.

Tentukan jumlah dari :
a)

1 1
  1.... S10 ...
4 2

b) 36+18+9+.... S6 ...
c)

2  2  2 2 ... S8 ...

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-6-

2.

Tentukan jumlah dari :
a) 1/3+1+3=....+81
b) 32+16+8+....+1/8

3.

Tentukan n jika :
a) 3  32  33 ...3n
b)

4.

 363
2  2 2  2 3 ...2 n  1 1022

Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a) U1  50,U 3  200, S5 ...
b)

a 1, r  3, Sn  29524 , n ...
5
6

c) S8 15 , r 
5.

1
, a ...
2

Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun
jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !

2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Sn 

a (1  r n )
a
rn


1 r
1 r 1 r

Untuk

n 

maka :

Lim
a
rn
(

)
n   1 r 1 r
Untuk –1 < r < 1 maka :
S 

S 

a
0

sehingga
1 r 1 r

S 

a
1 r

syarat –1 < r < 1

Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r <
1

Contoh 1: Hitung 1 

1 1
  ....
2 4

Jawab : ………………
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)
Jawab : ……………….
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama
dengan 9, maka tentukan rasionya !
Jawab : …………………….
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah jumlahnya dari :
a. 32+16+8+….
b. 125+5+1+….
c. 12+8+16/3+….
d. 1/2+1/3+2/9+….

e. 0,1+0,01+0,001+….
f. 8+2+1/2+….
g. 1+1+1+….
h. 2  2  1  ....

2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a. r = -2/5, S  15 maka a = ….

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-7-

1
maka S  ….
8
1
c. U 2 9, U 7 
maka S  ….
27
9
1
d. U1  U 3  , U 5  maka S  ….
2
8
b. a = 2, U 3 

3.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula.
Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti

4.
maka

Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm,
tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan

hingga
tak terhingga jumlahya.

3. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan
digunakan
notasi
sigma
yang
dilambangkan
dengan
" 
x
"
dimana I sebagai
indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan xi adalag rumus sigma
sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.
b

i

i


a

b

x

dibaca “sigma dari xi untuk harga i dari a sampai b”.

1

i a

5

Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari

 (2k  1)
k 1

5

 (2k  1)

Jawab :

= …………………

= …………

k 1

Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28
Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus
sigma sifatnya tidak unik.
k

k c

n 0

n c

 xn  xn  c
5

Contoh 3 : Ubahlah

 (4k  3) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !
k 0

Jawab :

5

57

12

k 0

k 7

k 7

 (4k  3)  4(k  7)  3  (4k  25)

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-8-

LATIHAN SOAL
1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :
7

a.

 (5k 

4)

k 1
7

b.

i

2

i 3
10

c.

 ( 1)

ki

3k

k 1
6

d.

n

n2
n 0
n

e.

 2x

k

k 1

2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
a. 2  5  8  ......  74
b.  1  5  9  ......  41
c. 10  17  26  ......  101
3 4
21
d . 2    ...... 
2 3
20
e. 1  2  4  .......  256
f . 2  4  6  .........  56
g .  1  4  9  .........  144
3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5
8

a.

 (3k 

4)

k 0

b.

10

 (10 

2n)

n 3

c.

10

2

x

x 7

d.

n

i 1

i2
i 0

4. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam
matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.
Misalkan Pn suatu pernyataan dan n  Asli sedemikian sehingga :
1. Pn benar untuk n = 1
2. Misal

Pk

benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga

menyebabkan Pk 1 benar pula, maka Pn benar untuk n  Asli.
Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak
yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.

n
2

Contoh 1 : Buktikan 1  2  3  .....  n  (n  1) dengan menggunakan induksi matematika !

Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 =

1
(1  1) benar.
2

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-9-

k
2

Misal untuk sembarang n = k maka 1  2  3  .....  k  (k  1) benar.
Sehingga untuk n = k+1 :

k
k
2(k  1) k  1
1  2  3  ......  k  (k  1)  (k  1)  (k  1)  (k  1) 

( k  2) benar.
2
2
2
2
n
Jadi 1  2  3  .....  n  (n  1) benar untuk n  Asli.
2
LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !

1.

2  4  6  .....  2n  n( n  1)

2. 1  3  5  .......  ( 2n  1)  n 2
n(5n  1)
2
4. 10  8  6  .....  (12  2n) 11n  n 2

3.

5.
6.

2  7  12  .......  (5n  3) 

5
25  20  15  .......  (30  5n)  n(11  n)
2
2
3
n
n
2  2  2  ........  2  2 2  1





2

7.

2 faktor dari n  n

8.

3 faktor dari n 3  n  3

9. 8 faktor dari 32 n  7

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika