APLIKASI METODE MONTE CARLO PADA PENENTUAN HARGA OPSI EROPA.
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
APLIKASI METODE MONTE CARLO PADA PENENTUAN HARGA OPSI EROPA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Konsentrasi Statistika
Oleh
Fika Dara Nurina Firdaus 0900046
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
(2)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
APLIKASI METODE MONTE CARLO
PADA PENENTUAN HARGA OPSI EROPA
Oleh
Fika Dara Nurina Firdaus
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Fika Dara Nurina Firdaus 2013 Universitas Pendidikan Indonesia
Juni 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
(3)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
FIKA DARA NURINA FIRDAUS
APLIKASI METODE MONTE CARLO PADA PENENTUAN HARGA OPSI EROPA
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING:
Pembimbing I:
Fitriani Agustina, S.Si., M.Si. NIP. 198108142005012001
Pembimbing II
Khusnul Novianingsih, S.Si., M.Si. NIP. 197711282008122001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003
(4)
i FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
ABSTRAK
Opsi Eropa merupakan kontrak perdagangan aset yang hanya mengizinkan
holder untuk melakukan exercise (pembelian atau penjualan aset pokok) kepada writer pada saat waktu jatuh tempo. Metode Monte Carlo merupakan metode
yang memanfaatkan strong law of large number dalam melakukan perhitungan. Metode Monte Carlo menggunakan rata-rata dari kemungkinan-kemungkinan harga opsi Eropa untuk menaksir harga opsi Eropa. Terdapat lima parameter yang mempengaruhi harga opsi Eropa, yaitu harga saham awal, strike price, waktu jatuh tempo, volatilitas, serta suku bunga bebas risiko. Pada opsi call Eropa, peningkatan nilai parameter harga saham awal, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga bebas risiko akan menyebabkan harga opsi semakin meningkat. Sebaliknya, apabila strike price semakin meningkat, maka harga opsi call Eropa akan semakin menurun. Pada opsi put Eropa, peningkatan nilai parameter strike
price, lama waktu jatuh tempo, dan volatilitas akan menyebabkan harga opsi
semakin meningkat. Sebaliknya, apabila harga saham awal dan suku bunga bebas risiko meningkat maka harga opsi put Eropa akan semakin menurun. Keakuratan serta kecepatan metode Monte Carlo dalam menentukan harga opsi Eropa akan semakin baik, apabila jumlah partisi waktu yang digunakan semakin banyak. Kata Kunci: Saham, Opsi Eropa, Metode Monte Carlo
(5)
ii FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
ABSTRACT
European option is a selling asset contract that can be exercised (buying or selling asset) only at the end of the life. Monte Carlo method is a method which use a strong law of large number. Monte Carlo method use mean from the possibilities European option price to estimate the price of European option. There are five parameters that effect the European option price, stock price at time 0, strike price, expiration date, volatility, and risk free interest rate. In the European call option, an increase parameter value of stock price at time 0, expiration date, volatility, and risk-free interest rates will cause the price of the option increases. Conversely, if the strike price increases, the price of the European call option will decrease. In the European put option, an increase parameter value of the strike price, expiration date, and volatility will cause the price of the option increases. Conversely, if the initial stock price and the risk-free interest rate increases, the price of the European put option will decrease. If more number of time partitions are used, the accuracy and speed of Monte Carlo methods in determining the price of European option are better.
(6)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
iv DAFTAR ISI
Halaman LEMBAR PENGESAHAN
LEMBAR PERNYATAAN
ABSTRAK ... i
KATA PENGANTAR ... iii
UCAPAN TERIMA KASIH ... iv
DAFTAR ISI ... v
DAFTAR TABEL ... vii
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... x
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penulisan ... 4
1.4 Batasan Masalah ... 4
1.5 Manfaat Penulisan ... 4
1.6 Sistematika Penulisan ... 5
BAB II KAJIAN PUSTAKA ... 6
2.1 Pasar Modal ... 6
2.2 Saham ... 6
2.3 Variabel Acak dan Proses Stokastik ... 8
2.4 Proses Markov dan Proses Stokastik dengan Waktu Kontinu ... 9
2.5 Model Harga Saham ... 13
2.6 Opsi ... 18
2.7 Opsi Eropa ... 20
(7)
v
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
2.9 Strong Law of Large Number dan Teorema Limit Pusat ... 27
Halaman BAB III METODE MONTE CARLO ... 29
3.1 Metode Monte Carlo ... 29
3.2 Pemodelan Harga Saham untuk Metode Monte Carlo ... 29
3.3 Penentuan Harga Opsi Eropa dengan Metode Monte Carlo ... 33
3.4 Rekursif Backward ... 33
3.5 Algoritma Penentuan Harga Opsi Eropa dengan Metode Monte Carlo ... 36
BAB IV HASIL NUMERIK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO ... 38
4.1 Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Monte Carlo ... 39
4.2 Pengaruh Parameter-Parameter pada Metode Monte Carlo dalam Menentukan Harga Opsi Eropa ... 42
4.3 Kecepatan dan Keakuratan Metode Monte Carlo dalam Menentukan Harga Opsi Eropa ... 58
BAB V PENUTUP ... 66
5.1 Kesimpulan ... 66
5.2 Saran ... 67
DAFTAR PUSTAKA ... 68
LAMPIRAN ... 70
(8)
vi
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.1. Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 43
4.2. Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 44
4.3. Pengaruh Strike Price terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 46
4.4. Pengaruh Strike Price terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 48
4.5. Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 49
4.6. Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 51
4.7. Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 52
4.8. Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 54
4.9. Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 55
4.10. Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 57
4.11. Pengaruh Jumlah Partisi Waktu terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 59
(9)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
2.1. Ilustrasi Definisi Variabel Acak ... 8
2.2. Diagram Fungsi Payoff dari Opsi Call Eropa dengan Strike Price � ... 21
2.3. Diagram Fungsi Payoff dari Opsi Put Eropa dengan Strike Price � ... 23
3.1. Ilustrasi Penentuan Harga Saham Saat Berdasarkan Harga Saham Sebelumnya ... 32
3.2. Ilustrasi Penentuan Harga Saham Saat Partisi-Partisi Waktu Berdasarkan Harga Saham Awal ... 32
3.3. Ilustrasi Rekursif Backward ... 34
3.4. Flow Chart Algoritma Metode Monte Carlo ... 37
4.1. Kemungkinan Pergerakan Harga Saham untuk Opsi Call Eropa ... 39
4.2. Kemungkinan Pergerakan Harga Saham untuk Opsi Put Eropa ... 40
4.3. Grafik Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 44
4.4. Grafik Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 46
4.5. Grafik Pengaruh Strike Price terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 47
4.6. Grafik Pengaruh Strike Price terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 49
4.7. Grafik Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 50
4.8. Grafik Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 52
4.9. Grafik Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 53
4.10. Grafik Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 55
4.11. Grafik Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 56
4.12. Grafik Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 58
4.13. Grafik Pengaruh Jumlah Partisi Waktu terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 61
4.14. Grafik Pengaruh Jumlah Partisi Waktu terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 63
(10)
viii
Gambar Halaman
4.15. Grafik Perubahan Nilai Error pada Penentuan Harga Opsi Call Eropa ... 64 4.16. Grafik Perubahan Nilai Error pada Penentuan Harga Opsi Put Eropa ... 65
(11)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
A ... 71
A.1 Distribusi dari ∆� ... 71
A.2 Distribusi dari �( )− �(0) ... 71
A.3 Proses Pengintegralan �� =�.�� ... 72
A.4 Distribusi dari ∆� ... 73
A.5 Distribusi dari � − �(0) ... 73
B ... 76
B.1 Penentuan Distribusi dari ∆ ... 76
B.2 Pembuktian Lemma Itô ... 76
B.3 Penentuan Distribusi dari ln −ln 0 ... 79
B.4 Penentuan Rata-Rata dan Varians dari ... 81
C ... 84
C.1 Persamaan Diferensial Black-Scholes-Merton ... 84
C.2 Perumusan Harga Opsi Call Eropa dan Opsi Put Eropa ... 85
D ... 91
D.1 Pembuktian Strong Law of Large Numbers ... 91
D.2 Pembuktian Teorema Limit Pusat ... 93
E ... 96
E.1 Ilustrasi Kontruksi Jalur Pergerakan Harga Saham ... 96
E.2 Perhitungan Simpangan Baku untuk Opsi Eropa ... 97
F ... 99
F.1 Program Penentuan Harga Opsi Call Eropa ... 99
(12)
x
Lampiran Halaman
G ... 103 G.1 Perhitungan Volatilitas Tahunan ... 103 G.2 Tabel Harga Saham Berdasarkan Harga Saham Awal
untuk Opsi Call Eropa ... 106 G.3 Tabel Penentuan Harga Saham Berdasarkan Harga Saham Awal
(13)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam pasar modal, terdapat berbagai aset pokok yang dapat diperjualbelikan, diantaranya adalah mata uang, sepaket saham, dan komoditas. Seiring dengan berkembangnya transaksi jual-beli aset, investor menginginkan suatu instrumen finansial yang dapat meminimalisasi adanya risiko kerugian. Karena itu, muncul produk derivatif yaitu instrumen finansial yang nilainya bergantung pada nilai aset pokok yang mendasarinya (underlying aset). Selain untuk meminimalisasi adanya risiko kerugian, produk derivatif juga sebenarnya berguna untuk meningkatkan keuntungan. Produk derivatif yang telah dikenal luas adalah future contract, forward contract, dan opsi. Dibandingkan future contract dan forward contract, opsi merupakan instrumen finansial yang mengizinkan pertaruhan mengenai adanya peningkatan atau penurunan harga aset yang mendasarinya (underlying aset).
Opsi merupakan kontrak antara writer (pembuat opsi) dengan holder (pembeli opsi) mengenai perdagangan suatu aset pada waktu tertentu di masa yang akan datang. Opsi memberikan hak kepada holder untuk membeli atau menjual aset kepada writer dan writer berkewajiban menyediakan aset atau membeli aset ketika holder akan menggunakan haknya.
Pada penentuan kontrak opsi dilakukan kesepakatan mengenai batas waktu berlakunya opsi dan harga aset yang diperjualbelikan. Batas waktu berlakunya opsi dinamakan dengan waktu jatuh tempo (expiration date/maturity
time) yang dinotasikan dengan �. Saat waktu jatuh tempo (� = �), hak holder telah kadaluarsa dan setelah hari tersebut (� > �) opsi tidak lagi berharga. Harga aset yang disepakati writer dan holder dinamakan dengan strike price dan dinotasikan dengan K. Dalam opsi terdapat istilah exercise yaitu pembelian atau penjualan saham berdasarkan kontrak yang telah disepakati.
(14)
2
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Berdasarkan jenisnya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu opsi call (opsi beli) dan opsi put (opsi jual). Opsi call memberikan hak kepada holder untuk membeli aset pokok dengan harga yang telah disepakati � pada waktu jatuh tempo �. Opsi put memberikan hak kepada holder untuk menjual aset pokok dengan harga yang telah disepakati � pada waktu jatuh tempo �.
Berdasarkan waktu exercise-nya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa merupakan opsi yang hanya mengizinkan
holder untuk melakukan exercise pada saat waktu jatuh tempo (� = �), sedangkan opsi Amerika merupakan opsi yang mengizinkan holder untuk melakukan exercise kapanpun, sebelum atau pada saat waktu jatuh tempo (0 <��).
Dalam penentuan kontrak opsi, writer memiliki suatu risiko kerugian berupa penjualan saham dengan harga yang lebih rendah atau pembelian saham dengan harga yang lebih tinggi kepada holder. Karena itu, diperlukan kompensasi atas kerugian yang akan diderita oleh writer berupa harga opsi. Namun, holder juga memiliki risiko kerugian berupa pembelian opsi, yang memiliki kemungkinan untuk tidak dilakukan exercise hingga waktu jatuh tempo berakhir. Karena itu, harga opsi perlu ditentukan secara tepat untuk meminimalkan kerugian yang mungkin diderita oleh writer dan holder.
Harga opsi bergantung pada jangka waktu berlakunya opsi serta harga aset yang mendasarinya. Saat ini banyak metode yang digunakan untuk menentukan harga opsi. Metode-metode tersebut akan terus berkembang untuk membantu investor dalam mengambil keputusan dalam transaksi jual-beli opsi. Metode penentuan harga opsi secara umum dapat dibedakan menjadi dua, yaitu metode analitik dan metode numerik. Metode analitik merupakan suatu metode yang menghasilkan nilai yang eksak, sedangkan metode numerik merupakan suatu metode yang menghasilkan nilai aproksimasi/pendekatan sehingga akan terdapat
error/galat didalamnya.
Metode analitik yang populer dalam penentuan harga opsi adalah penentuan harga opsi menggunakan model Black-Scholes-Merton. Persamaan
(15)
3
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
differensial parsial berdasarkan tingkah laku lognormal dari aset. Ketika harga opsi yang eksak tidak dapat dicari, maka dapat digunakan metode numerik untuk mencari pendekatan dari harga opsi tersebut.
Metode numerik yang telah dikenal secara luas adalah metode Lattice, metode beda hingga (finite difference method), dan metode Monte Carlo. Metode
Lattice terdiri atas metode binomial, metode trinomial, dan metode multinomial,
sedangkan metode beda hingga dibedakan menjadi metode beda hingga implisit, metode beda hingga eksplisit, dan metode beda hingga Crank-Nicolson. Metode
Monte Carlo merupakan metode numerik yang menggunakan rata-rata pay-off
opsi dalam suatu keadaan risiko netral untuk menaksir harga opsi. Perhitungan taksiran harga opsi dalam keadaan risiko netral dilakukan melalui suatu pengambilan sampel acak yang kemudian akan didiskontokan pada suku bunga bebas risiko. (Hull, 2003:419).
Metode Monte Carlo merupakan metode yang mudah diterapkan dalam menentukan harga opsi Eropa. Namun, dengan kemudahan penggunaannya, metode Monte Carlo dapat memberikan suatu interval kepercayaan yang dapat digunakan untuk mengetahui kualitas nilai pendekatan harga opsi Eropa yang telah dihitung. Oleh karena itu, dalam skripsi ini penulis tertarik untuk mengkaji mengenai penentuan harga opsi menggunakan metode Monte Carlo khususnya untuk opsi Eropa.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan harga opsi Eropa dengan menggunakan metode Monte
Carlo?
2. Bagaimana pengaruh parameter-parameter pada metode Monte Carlo terhadap harga opsi Eropa?
3. Bagaimana kecepatan dan keakuratan pengunaan metode Monte Carlo dalam menentukan harga opsi Eropa?
(16)
4
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
1.3 Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui cara menentukan harga opsi Eropa dengan menggunakan metode
Monte Carlo.
2. Mengetahui pengaruh parameter-parameter pada metode Monte Carlo terhadap harga opsi Eropa.
3. Menganalisis kecepatan dan keakuratan pengunaan metode Monte Carlo dalam menentukan harga opsi Eropa.
1.4 Batasan Masalah
Batasan-batasan dalam skripsi ini, antara lain: 1. Opsi yang diperhatikan adalah opsi Eropa.
2. Aset pokok yang diperhatikan adalah saham.
3. Saham yang digunakan diasumsikan tanpa pembayaran dividen.
1.5 Manfaat Penulisan 1.5.1 Manfaat Teoritis
Manfaat penulisan skripsi ini secara teoritis adalah menambah wawasan keilmuan matematika keuangan mengenai model pergerakan harga saham serta memahami mengenai penentuan harga opsi khususnya opsi Eropa dengan menggunakan metode Monte Carlo.
1.5.2 Manfaat Praktis
Dengan adanya pembahasan penentuan harga opsi Eropa menggunakan metode Monte Carlo, diharapkan para praktisi atau investor yang akan melakukan transaksi jual-beli opsi dapat menentukan metode yang lebih sesuai untuk menentukan harga opsi Eropa sehingga dapat memprediksi keuntungan yang didapat secara lebih akurat.
(17)
5
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
1.6 Sistematika Penulisan
Adapun sistematika penulisan pada skripsi ini adalah sebagai berikut: BAB I Pendahuluan
Mengemukakan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
BAB II Landasan Teori
Mengemukakan mengenai model harga saham, penjelasan mengenai opsi, opsi Eropa, dan teori-teori lain yang mendukung penjelasan pada BAB III.
BAB III Metode Monte Carlo
Menjelaskan mengenai langkah-langkah penentuan harga opsi dengan menggunakan metode Monte Carlo beserta algoritmanya.
BAB IV Hasil Numerik Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Monte Carlo
Berisi penentuan harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo, pengaruh parameter-parameter metode Monte Carlo terhadap harga opsi Eropa, serta analisis kecepatan dan keakuratan metode Monte
Carlo dalam menentukan harga opsi Eropa.
BAB V Penutup
Berisi rangkuman keseluruhan hasil pembahasan dalam bentuk kesimpulan dan saran.
(18)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
29 BAB III
METODE MONTE CARLO
3.1 Metode Monte Carlo
Metode Monte Carlo pertama kali ditemukan oleh Enrico Fermi pada tahun 1930-an. Metode ini diawali dengan adanya penelitian mengenai pemeriksaan radiasi dan jarak terhadap beberapa material yang akan dilewati oleh neutron. Karena data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk menyelesaikan permasalahan, maka dibuatlah sebuah model komputasi oleh John Von Neumann dan Stanislaw Ulam. Dalam metode Monte Carlo dilakukan proses pengulangan dan pengacakan. Pada tahun 1977, Boyle memperkenalkan penggunaan metode Monte Carlo dalam menentukan harga opsi.
Pada dasarnya, metode Monte Carlo merupakan metode yang memberikan segala kemungkinan nilai dari suatu variabel. Metode Monte Carlo merupakan metode yang memanfaatkan strong law of large number dalam melakukan perhitungan, artinya semakin banyak variabel acak yang digunakan akan semakin baik pula pendekatan nilai eksaknya. Metode Monte Carlo menggunakan rata-rata sebagai penaksir nilai eksaknya. Keuntungan metode
Monte Carlo adalah dapat dengan mudah diaplikasikan untuk menyelesaikan
persoalan-persoalan rumit serta dapat menghasilkan suatu selang kepercayaan untuk memeriksa keakuratan estimasi yang dilakukan.
3.2 Pemodelan Harga Saham untuk Metode Monte Carlo
Penentuan harga opsi dalam metode Monte Carlo dipengaruhi oleh harga saham dalam keadaan risiko netral (�=�). Dalam penggunaan metode Monte
Carlo, harga saham yang digunakan adalah harga saham yang mengikuti model geometric Brownian motion. Model geometric Brownian motion dalam keadaan
risiko netral adalah sebagai berikut:
(19)
30
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Untuk melakukan simulasi jalur pergerakan harga saham , persamaan (3.1) dapat dipandang sebagai notasi limit dari ∆ . Berdasarkan persamaan (2.13), persamaan (3.1) dapat dinyatakan sebagai limit dari persamaan berikut:
∆ =�. .∆�+�. .�. ∆� (3.2)
dimana ∆� merupakan panjang interval yang pendek, yang merupakan hasil bagi dari waktu berlaku opsi ( ) menjadi buah interval. Dalam persamaan (3.2), ∆ dapat dipandang sebagai perubahan harga saham dari waktu � hingga �+∆� dan menyatakan harga saham pada waktu �. Jadi, persamaan (3.2) dapat dinyatakan sebagai berikut:
�+∆� − � =� � ∆�+� � .�. ∆� (3.3) dengan � berdistribusi normal baku �~ (0,1) . Berdasarkan persamaan (3.3), harga saham pada waktu ∆� dapat dihitung berdasarkan harga saham awal, harga saham pada waktu 2∆� dapat dihitung berdasarkan harga saham pada waktu ∆�, dan seterusnya. Sehingga, untuk mendapatkan harga saham pada waktu dibutuhkan suatu kontruksi jalur dari buah sampel acak yang berdistribusi normal baku (ilustrasi dapat dilihat pada lampiran E.1).
Namun pada kenyataannya, simulasi pergerakan harga saham akan memberikan hasil yang lebih akurat apabila menggunakan nilai lognormal (ln) dari harga saham (Hull, 2009:420). Berdasarkan sifat lognormal (persamaan (2.19)), pergerakan lognormal dari harga saham dalam keadaan risiko netral dapat dinyatakan sebagai berikut:
ln = � −� 2
2 �+� � (3.4)
Berdasarkan persamaan (2.20), persamaan (3.4) merupakan notasi limit dari persamaan berikut:
∆ ln = � −� 2
2 ∆�+�� ∆� (3.5) dengan ∆� sangat kecil dan �~ (0,1). Dalam persamaan (3.5), ∆ ln dapat dipandang sebagai perubahan nilai lognormal dari harga saham pada waktu � hingga �+∆�. Sehingga persamaan (3.5) dapat dinyatakan sebagai berikut:
(20)
31
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
ln �+∆� −ln � = � −� 2
2 ∆�+�� ∆� (3.6) Dari persamaan (3.6) akan diperoleh persamaan berikut:
�+∆� = � . exp � −� 2
2 ∆�+�� ∆� (3.7) Persamaan (3.7) menyatakan bahwa apabila harga saham pada suatu waktu (�) telah diketahui maka harga saham pada waktu berikutnya (�+∆�) dapat ditentukan. Sehingga, penentuan harga saham dilakukan berdasarkan harga saham sebelumnya. Pada persamaan (3.7), harga saham pada waktu � dapat dinyatakan sebagai harga saham ke- dan harga saham pada waktu �+∆� dapat dinyatakan sebagai harga saham ke- + 1, dengan = 0, 1, 2,…. Sehingga persamaan (3.7) dapat dinyatakan pula sebagai:
�+1 = � . exp � −� 2
2 ∆�+�� ∆� ; = 0, 1, 2,… (3.8) Selain melakukan perhitungan harga saham berdasarkan harga saham sebelumnya, perhitungan harga saham juga dapat dilakukan berdasarkan harga saham awal. Untuk melakukan perhitungan harga saham pada waktu T berdasarkan harga saham awal, pada persamaan (3.6) substitusikan � = 0 dan ∆�= . Sehingga berdasarkan persamaan (3.6) akan diperoleh persamaan berikut:
ln −ln 0 = � −� 2
2 +�� (3.9)
Dari persamaan (3.9) akan diperoleh persamaan berikut: = 0. exp � −
�2
2 +�� (3.10) Persamaan (3.8) menyatakan bahwa harga saham saat ini dipengaruhi oleh harga saham sebelumnya. Apabila waktu pergerakan harga saham dipartisi menjadi buah ∆� = , untuk mendapatkan harga saham pada waktu diperlukan perhitungan harga saham sebanyak N buah. Perhitungan yang perlu dilakukan adalah perhitungan ∆� berdasarkan (0), perhitungan 2.∆� berdasarkan (∆�), hingga
(21)
32
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
perhitungan = ( .∆�) berdasarkan −1 .∆� . Ilustrasi untuk penentuan harga saham pada saat T berdasarkan harga saham sebelumnya untuk metode Monte Carlo dapat dilihat pada gambar berikut ini:
Bangkitkan nilai variabel yang berdistribusi normal baku
�1 �2 … � −1 �
Gunakan persamaan (3.7) untuk menghitung
harga saham
(0) (∆�) (2.∆�) … (( −1)∆�) .∆� = ( ) Tentukan harga saham pada setiap penambahan waktu sebesar ∆�
Gambar 3.1.
Ilustrasi Penentuan Harga Saham Saat Berdasarkan Harga Saham Sebelumnya Selain berdasarkan harga saham sebelumnya, penentuan harga saham untuk metode Monte Carlo dapat juga dilakukan menggunakan persamaan (3.10). Apabila dilakukan partisi waktu sebanyak buah pergerakan harga saham pada partisi-partisi waktunya serta pada waktu dapat dihitung menggunakan harga saham awal. Ilustrasi pergerakan harga saham pada partisi waktu serta pada waktu
berdasarkan harga saham awal dapat dilihat pada gambar berikut ini: Bangkitkan nilai variabel yang berdistribusi normal baku
�1 �2 … � −1 �
Gunakan persamaan (3.10) untuk menghitung
harga saham
(0) (∆�) (2.∆�) … (( −1)∆�) .∆� = ( )
Tentukan harga saham pada setiap penambahan waktu sebesar ∆� Gambar 3.2.
Ilustrasi Penentuan Harga Saham Saat Partisi-Partisi Waktu Berdasarkan Harga Saham Awal
(22)
33
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
3.3 Penentuan Harga Opsi Eropa dengan Metode Monte Carlo
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, pay-off opsi call Eropa dan pay-off opsi put Eropa dapat ditentukan melalui persamaan berikut ini:
� = maks − �, 0 dan �= maks � − , 0 .
Karena metode Monte Carlo menggunakan rata-rata untuk menaksir nilai eksaknya, maka diperlukan data pay-off opsi Eropa. Data pay-off opsi Eropa tersebut didapatkan dengan melakukan pengambilan sampel secara acak dan menghitung harga saham pada saat ( ). Setelah melakukan perhitungan
pay-off opsi Eropa untuk semua kemungkinan harga saham pada waktu , dilakukan
perhitungan rata-rata dari data pay-off opsi Eropa. Apabila pengambilan sampel secara acak dilakukan sebanyak buah, � menyatakan pay-off dari opsi call Eropa dan � menyatakan pay-off opsi put Eropa yang diperoleh berdasarkan kemungkinan harga saham pada waktu , maka taksiran dari pay-off opsi call Eropa dan opsi put Eropa adalah sebagai berikut:
1. Opsi call Eropa
� = 1 � =1
; = 1, 2, 3,… (3.11) 2. Opsi put Eropa
� = 1 � =1
; = 1, 2, 3,… (3.12) Berdasarkan strong law of large number, kedua taksiran pay-off akan konvergen pada pay-off opsi Eropa. Persamaan (3.11) dan persamaan (3.12) merupakan taksiran harga opsi Eropa pada waktu .
3.4 Rekursif Backward
Pada penentuan harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo, harga opsi yang didapatkan merupakan harga opsi Eropa pada waktu jatuh tempo (�= ). Oleh karena itu, untuk mengetahui taksiran harga opsi Eropa pada saat ini (� = 0) perlu dilakukan rekursif backward. Rekursif backward merupakan
(23)
34
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
suatu prosedur perhitungan harga opsi pada waktu � = 0 yang dilakukan berdasarkan harga opsi pada waktu �= .
Pada asumsi keadaan risiko netral, apabila suatu investasi yang berkembang berdasarkan continue compounded interest rate, �, maka nilai investasinya akan bertambah sebesar �� sepanjang waktu �. Sebaliknya, apabila pada waktu �, suatu investasi telah berkembang berdasarkan continue
compounded interest rate,�, maka pada waktu 0 nilai investasinya akan berkurang sebesar −��. Sehingga, pay-off pada waktu − ∆� dapat dihitung berdasarkan pay-off pada waktu yang dikalikan dengan −�∆� dengan � merupakan suku bunga bebas risiko dan ∆� merupakan periode waktunya. Begitu pula dengan pay-off pada waktu −2∆�, pay-off −2∆� dapat dihitung berdasarkan pay-off pada waktu − ∆� yang dikalikan dengan −�∆�. Pada akhirnya, akan diperoleh harga opsi pada waktu � = 0. Ilustrasi perhitungan
pay-off dengan rekursif backward dengan periode waktu ∆�= adalah Waktu
0 ∆� 2∆� … ( −1)∆� .∆�=
Pay-off
�0 �1 =�∆� �2 =�2∆� … � −1= � −∆� � =� …
Kalikan −�∆� Kalikan −�∆� Kalikan −�∆� Gambar 3.3.
Ilustrasi Rekursif Backward
Selain menggunakan perhitungan rekursif backward berdasarkan N buah partisi waktu ∆�= , rekursif backward juga dapat dihitung secara langsung untuk pay-off pada waktu � = 0. Untuk mendapatkan pay-off pada waktu � = 0, dilakukan perhitungan berdasarkan pay-off pada waktu yang dikalikan dengan
−� dimana � merupakan suku bunga bebas risiko dan merupakan periode
(24)
35
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
pada saat �= 0 adalah sebagai berikut (perhitungan standar error dapat dilihat pada lampiran E.2):
1. Opsi call Eropa
� 0 = −� . 1
� =1
; = 1, 2, 3,… (3.13) dengan standar error dari harga opsi call adalah
−� � (3.14)
2. Opsi put Eropa
� 0 = −� . 1
� =1
; = 1, 2, 3,… (3.15) dengan standar error dari harga opsi put adalah
−� � � (3.16)
Karena standar error dari estimasi harga opsi telah diketahui, maka dapat dibuat suatu interval kepercayaan untuk harga opsi. Interval kepercayaan (1− �)% untuk harga opsi adalah:
1. Opsi call Eropa � 0− 1
2(1−�)%
−� � � < �< �
0 + 1 2(1−�)%
−� � �
dengan
� � = 1−1 � − � 2
=1
dan � = 1 � =1
2. Opsi put Eropa � 0− 1
2(1−�)%
−� � � < �< �
0+ 1 2(1−�)%
−� � �
dengan
� � =
1
−1 � − � 2
=1
dan � = 1 � =1
(25)
36
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
3.5 Algoritma Penentuan Harga Opsi Eropa dengan Metode Monte Carlo
Dalam menentukan harga opsi Eropa, terdapat beberapa variabel yang nilainya perlu diketahui dan ditentukan pada saat pembuatan opsi (t=0). Variabel yang perlu diketahui nilai-nilainya terlebih dahulu adalah harga saham awal ( 0),
strike price � , batas waktu jatuh tempo opsi ( ), volatilitas (�), suku bunga bebas resiko (�), jumlah pembangkitan data ( ), serta jumlah partisi waktu ( ). Langkah-langkah penentuan harga opsi Eropa dengan menggunakan metode
Monte Carlo adalah sebagai berikut:
1. Tentukan buah sampel acak dari variabel yang berdistribusi normal baku. 2. Tentukan data harga saham yang dibangkitkan menggunakan persamaan
(3.10).
3. Tentukan pay-off opsi berdasarkan harga saham pada waktu T (�).
4. Ulangi langkah 1 hingga 4 hingga terdapat buah pay-off opsi Eropa dan buah harga saham.
5. Hitung taksiran harga opsi Eropa dengan cara menghitung rata-rata dari buah pay-off opsi Eropa (� ).
6. Lakukan rekursif backward hingga mendapatkan harga opsi pada waktu 0 (� 0). Dari langkah-langkah di atas dapat dibuat suatu flow chart untuk algoritma metode Monte Carlo, yaitu sebagai berikut:
(26)
37
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Gambar 3.4.
Flow Chart Algoritma Metode Monte Carlo
� 0 = −� .� Output:
0,�, ,�,�, , Masukan Data:
Untuk i=1 hingga
Bangkitkan data � ~ (0,1)
Hitung
Hitung � Untuk j=1 hingga
j selanjutnya
i selanjutnya Jumlah=Jumlah+�
Jumlah=0
(27)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
66 BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Langkah-langkah penentuan harga opsi Eropa menggunakan metode
Monte Carlo adalah melakukan pengambilan nilai-nilai variabel acak yang
berdistribusi normal baku yang akan digunakan untuk menentukan kemungkinan-kemungkinan harga saham. Setelah itu, dilakukan perhitungan nilai pay-off opsi Eropa berdasarkan kemungkinan harga saham tersebut. Kemudian, dilakukan perhitungan nilai rata-rata dari nilai-nilai pay-off yang telah dihitung. Taksiran harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo didapatkan setelah dilakukan proses rekursif backward terhadap nilai rata-rata pay-off.
Harga opsi Eropa dipengaruhi oleh lima buah parameter, yaitu harga saham awal ( 0), strike price (�), waktu jatuh tempo ( ), volatilitas (�), dan
suku bunga bebas risiko (�). Pengaruh parameter-parameter tersebut terhadap opsi Eropa adalah sebagai berikut:
1. Harga saham awal ( 0)
Apabila harga saham awal semakin meningkat, maka harga opsi call Eropa akan semakin meningkat. Sebaliknya, pada opsi put Eropa, harga opsi put Eropa semakin menurun apabila harga saham awal semakin meningkat.
2. Strike price (�)
Apabila strike price semakin meningkat maka harga opsi call Eropa semakin menurun. Sebaliknya, harga opsi put Eropa akan semakin meningkat apabila
strike price semakin meningkat.
3. Waktu jatuh tempo
Apabila waktu jatuh tempo semakin lama, maka harga opsi call dan put Eropa akan semakin meningkat.
4. Volatilitas (�)
Apabila volatilitas semakin besar, maka harga opsi call dan put Eropa cenderung akan semakin meningkat.
(28)
67
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
5. Suku bunga bebas risiko (�)
Apabila suku bunga bebas risiko semakin meningkat maka harga opsi call Eropa akan semakin meningkat. Sebaliknya, pada opsi put Eropa, harga opsi
put Eropa semakin menurun apabila suku bunga bebas risiko semakin
meningkat.
Untuk melihat kecepatan metode Monte Carlo dalam penentuan harga opsi Eropa, dilakukan pengamatan pengaruh pengubahan jumlah partisi waktu terhadap harga opsi Eropa. Semakin banyak jumlah partisi waktu yang digunakan, maka harga opsi Eropa metode Monte Carlo akan semakin mendekati harga opsi model Black-Scholes. Sedangkan, untuk melihat keakuratan penentuan harga opsi Eropa menggunakan metode Monte Carlo dilakukan pengamatan terhadap nilai
error berdasarkan perubahan partisi waktu. Semakin banyak jumlah partisi waktu
yang digunakan, maka akan error yang dihasilkan cenderung akan semakin kecil.
5.2 Saran
Untuk menghasilkan nilai pendekatan yang sangat akurat, penentuan harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo memerlukan jumlah partisi waktu dan pembangkitan data yang cukup besar. Penggunaan jumlah partisi waktu dan pembangkitan data yang cukup besar akan memerlukan waktu komputasi yang cukup lama. Sebagai kajian lebih lanjut, proses penentuan harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo dapat dilanjutkan dengan prosedur reduksi variansi untuk mengefisienkan waktu komputasi. Sebagai kajian lain, pengambilan sampel acak dalam langkah penentuan harga opsi dapat pula dilakukan dengan metode
Bootstrap. Selain itu, dapat pula dikembangkan suatu kajian mengenai
penggunaan metode Monte Carlo dalam menentukan harga opsi Amerika, Asia, dan jenis opsi lainnya.
(29)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
68
DAFTAR PUSTAKA
Bursa Efek Indonesia. Pengantar Pasar Modal. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/informasi/bagiinvestor/pengantarpasarmodal.aspx [12 Maret 2013].
Bursa Efek Indonesia. Derivatif. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/ produkdanlayanan/derivatif.aspx [25 Maret 2013].
Bursa Efek Indonesia. Saham. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/ informasi/bagiinvestor/saham.aspx [12 Maret 2013].
Glasserman, P. (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer.
Herrhyanto, N. dan Gantini, T. (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.
Higham, J.D. (2004). An Introduction to Financial Option Valuation. New York: Cambridge University Press.
Hull, J.C. (2009). Options, Futures, and Other Derivatives Seventh Edition. Canada: Pearson Education, Inc.
Ismail, H. (2008). Implementasi Metode Least-Square Monte Carlo dalam
Mengaproksimasi Nilai Opsi Put Amerika. [Online]. Tersedia: http://lontar.ui.ac.id/opac/ui/template.jsp?inner=daftartipekoleksi.jsp?id=10 2 [4 Maret 2013].
Jäckel, P. (2002). Monte Carlo Methods in Finance. Chichester: Wiley.
Lu, B. (2011). Monte Carlo Simulations and Option Pricing. [Online]. Tersedia: http://www.math.psu.edu/mazzucat/undergrad/bingqianMonteCarlo.pdf [4 Februari 2013].
Monalia, P. (2008). Suatu Kajian Implementasi Metode Runge-Kutta PDS pada
Model Harga Saham. [Online]. Tersedia: ttp://lontar.ui.ac.id/opac/ui/
template.jsp?inner=daftartipekoleksi.jsp?id=102 [4 Maret 2013].
Muniroh, W.S. (2008). Simulasi Monte Carlo Dalam Menentukan Nilai Opsi
Saham. [Online]. Tersedia: http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/
04510017-wiwik-shofiyatul-muniroh.pdf [12 Maret 2013].
Richardson, M. (2009). Numerical Methods for Option Pricing. [Online]. Tersedia: http://people.maths.ox.ac.uk/richardsonm/OptionPricing.pdf [4 Februari 2013].
(30)
69
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Ross, S.M. (1996). Stochastic Processes Second Edition. Canada: John Willey & Sons Inc.
Seydel, R.U. (2009). Tools for Computational Finance Fourth Edition. Berlin: Springer.
Shahbandarzadeh. H., Salimifard, K., dan Moghdani, R. (2013). Application of
Monte Carlo Simulation in the Assessment of European Call Options.
Iranian Journal of Management Studies (IJMS) [Online], Vol 6 (1), 20 halaman. Tersedia: http://www.ijms.ir/pg/08/IJMS06101.pdf [17 Maret 2013].
Syazali, M. (2011). Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte
Carlo. [Online]. Tersedia: http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/
50540 [3 Maret 2013].
Wilmott, P., Howison, S., and Dewynne, J. (1995). The Mathematics of Financial
(1)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
3.5 Algoritma Penentuan Harga Opsi Eropa dengan Metode Monte Carlo
Dalam menentukan harga opsi Eropa, terdapat beberapa variabel yang nilainya perlu diketahui dan ditentukan pada saat pembuatan opsi (t=0). Variabel yang perlu diketahui nilai-nilainya terlebih dahulu adalah harga saham awal ( 0), strike price � , batas waktu jatuh tempo opsi ( ), volatilitas (�), suku bunga bebas resiko (�), jumlah pembangkitan data ( ), serta jumlah partisi waktu ( ). Langkah-langkah penentuan harga opsi Eropa dengan menggunakan metode Monte Carlo adalah sebagai berikut:
1. Tentukan buah sampel acak dari variabel yang berdistribusi normal baku. 2. Tentukan data harga saham yang dibangkitkan menggunakan persamaan
(3.10).
3. Tentukan pay-off opsi berdasarkan harga saham pada waktu T (�).
4. Ulangi langkah 1 hingga 4 hingga terdapat buah pay-off opsi Eropa dan buah harga saham.
5. Hitung taksiran harga opsi Eropa dengan cara menghitung rata-rata dari buah pay-off opsi Eropa (� ).
6. Lakukan rekursif backward hingga mendapatkan harga opsi pada waktu 0 (� 0). Dari langkah-langkah di atas dapat dibuat suatu flow chart untuk algoritma metode Monte Carlo, yaitu sebagai berikut:
(2)
37
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Gambar 3.4.
Flow Chart Algoritma Metode Monte Carlo � 0 = −� .�
Output:
0,�, ,�,�, , Masukan Data:
Untuk i=1 hingga
Bangkitkan data
� ~ (0,1)
Hitung
Hitung � Untuk j=1 hingga
j selanjutnya
i selanjutnya Jumlah=Jumlah+�
Jumlah=0
(3)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
66 BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Langkah-langkah penentuan harga opsi Eropa menggunakan metode Monte Carlo adalah melakukan pengambilan nilai-nilai variabel acak yang berdistribusi normal baku yang akan digunakan untuk menentukan kemungkinan-kemungkinan harga saham. Setelah itu, dilakukan perhitungan nilai pay-off opsi Eropa berdasarkan kemungkinan harga saham tersebut. Kemudian, dilakukan perhitungan nilai rata-rata dari nilai-nilai pay-off yang telah dihitung. Taksiran harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo didapatkan setelah dilakukan proses rekursif backward terhadap nilai rata-rata pay-off.
Harga opsi Eropa dipengaruhi oleh lima buah parameter, yaitu harga saham awal ( 0), strike price (�), waktu jatuh tempo ( ), volatilitas (�), dan
suku bunga bebas risiko (�). Pengaruh parameter-parameter tersebut terhadap opsi Eropa adalah sebagai berikut:
1. Harga saham awal ( 0)
Apabila harga saham awal semakin meningkat, maka harga opsi call Eropa akan semakin meningkat. Sebaliknya, pada opsi put Eropa, harga opsi put Eropa semakin menurun apabila harga saham awal semakin meningkat.
2. Strike price (�)
Apabila strike price semakin meningkat maka harga opsi call Eropa semakin menurun. Sebaliknya, harga opsi put Eropa akan semakin meningkat apabila strike price semakin meningkat.
3. Waktu jatuh tempo
Apabila waktu jatuh tempo semakin lama, maka harga opsi call dan put Eropa akan semakin meningkat.
4. Volatilitas (�)
Apabila volatilitas semakin besar, maka harga opsi call dan put Eropa cenderung akan semakin meningkat.
(4)
67
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
5. Suku bunga bebas risiko (�)
Apabila suku bunga bebas risiko semakin meningkat maka harga opsi call Eropa akan semakin meningkat. Sebaliknya, pada opsi put Eropa, harga opsi put Eropa semakin menurun apabila suku bunga bebas risiko semakin meningkat.
Untuk melihat kecepatan metode Monte Carlo dalam penentuan harga opsi Eropa, dilakukan pengamatan pengaruh pengubahan jumlah partisi waktu terhadap harga opsi Eropa. Semakin banyak jumlah partisi waktu yang digunakan, maka harga opsi Eropa metode Monte Carlo akan semakin mendekati harga opsi model Black-Scholes. Sedangkan, untuk melihat keakuratan penentuan harga opsi Eropa menggunakan metode Monte Carlo dilakukan pengamatan terhadap nilai error berdasarkan perubahan partisi waktu. Semakin banyak jumlah partisi waktu yang digunakan, maka akan error yang dihasilkan cenderung akan semakin kecil.
5.2 Saran
Untuk menghasilkan nilai pendekatan yang sangat akurat, penentuan harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo memerlukan jumlah partisi waktu dan pembangkitan data yang cukup besar. Penggunaan jumlah partisi waktu dan pembangkitan data yang cukup besar akan memerlukan waktu komputasi yang cukup lama. Sebagai kajian lebih lanjut, proses penentuan harga opsi Eropa dengan metode Monte Carlo dapat dilanjutkan dengan prosedur reduksi variansi untuk mengefisienkan waktu komputasi. Sebagai kajian lain, pengambilan sampel acak dalam langkah penentuan harga opsi dapat pula dilakukan dengan metode Bootstrap. Selain itu, dapat pula dikembangkan suatu kajian mengenai penggunaan metode Monte Carlo dalam menentukan harga opsi Amerika, Asia, dan jenis opsi lainnya.
(5)
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
68
DAFTAR PUSTAKA
Bursa Efek Indonesia. Pengantar Pasar Modal. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/informasi/bagiinvestor/pengantarpasarmodal.aspx [12 Maret 2013].
Bursa Efek Indonesia. Derivatif. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/ produkdanlayanan/derivatif.aspx [25 Maret 2013].
Bursa Efek Indonesia. Saham. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/ informasi/bagiinvestor/saham.aspx [12 Maret 2013].
Glasserman, P. (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer.
Herrhyanto, N. dan Gantini, T. (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.
Higham, J.D. (2004). An Introduction to Financial Option Valuation. New York: Cambridge University Press.
Hull, J.C. (2009). Options, Futures, and Other Derivatives Seventh Edition. Canada: Pearson Education, Inc.
Ismail, H. (2008). Implementasi Metode Least-Square Monte Carlo dalam Mengaproksimasi Nilai Opsi Put Amerika. [Online]. Tersedia: http://lontar.ui.ac.id/opac/ui/template.jsp?inner=daftartipekoleksi.jsp?id=10 2 [4 Maret 2013].
Jäckel, P. (2002). Monte Carlo Methods in Finance. Chichester: Wiley.
Lu, B. (2011). Monte Carlo Simulations and Option Pricing. [Online]. Tersedia: http://www.math.psu.edu/mazzucat/undergrad/bingqianMonteCarlo.pdf [4 Februari 2013].
Monalia, P. (2008). Suatu Kajian Implementasi Metode Runge-Kutta PDS pada Model Harga Saham. [Online]. Tersedia: ttp://lontar.ui.ac.id/opac/ui/ template.jsp?inner=daftartipekoleksi.jsp?id=102 [4 Maret 2013].
Muniroh, W.S. (2008). Simulasi Monte Carlo Dalam Menentukan Nilai Opsi Saham. [Online]. Tersedia: http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/ 04510017-wiwik-shofiyatul-muniroh.pdf [12 Maret 2013].
Richardson, M. (2009). Numerical Methods for Option Pricing. [Online]. Tersedia: http://people.maths.ox.ac.uk/richardsonm/OptionPricing.pdf [4 Februari 2013].
(6)
69
FIKA DARA NURINA FIRDAUS, 2013
Aplikasi Metode Monte Carlo Pada Penentuan harga Opsi Eropa Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Ross, S.M. (1996). Stochastic Processes Second Edition. Canada: John Willey & Sons Inc.
Seydel, R.U. (2009). Tools for Computational Finance Fourth Edition. Berlin: Springer.
Shahbandarzadeh. H., Salimifard, K., dan Moghdani, R. (2013). Application of Monte Carlo Simulation in the Assessment of European Call Options. Iranian Journal of Management Studies (IJMS) [Online], Vol 6 (1), 20 halaman. Tersedia: http://www.ijms.ir/pg/08/IJMS06101.pdf [17 Maret 2013].
Syazali, M. (2011). Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo. [Online]. Tersedia: http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/ 50540 [3 Maret 2013].
Wilmott, P., Howison, S., and Dewynne, J. (1995). The Mathematics of Financial Derivatives. New York: Cambridge University Press.