Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi dan kutipan dari karya penulis lain, yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan, telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Mei 2011

Muhamad Syazali NIM G551080071

ABSTRACT

MUHAMAD SYAZALI. American Put Option Pricing by Monte Carlo Simulation. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI

An American option is an option that can be exercised at the strike price anytime before or on the date of expiration. In this thesis, Monte Carlo simulation for valuation of American option is presented. Monte Carlo simulation is one of the numerical methods used to determine the price of American options. The simulation provides several examples of initial stock price , rate of interest , exercise time , volatility_{, and strike priceK. The simulation study shows the} cost of the option c decreases when S increases, c decreases when rincreases, c increases whenTincreases,cincreases when_{increases, andcincreases whenK} increases.

RINGKASAN

MUHAMAD SYAZALI. Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI.

Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Aset tertentu dalam penelitian ini adalah saham. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsiputadalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date) dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes, namun untuk opsi Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik.

Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di sini mentransformasikan persamaan pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik. Berdasarkan hal tersebut, maka penelitian ini bertujuan menentukan harga opsiputAmerika dengan simulasi Monte Carlo.

Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan menentukan solusi numerik persamaan Black-Scholes yang merupakan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo. Untuk memperoleh output berupa harga opsi put Amerika, simulasi Monte Carlo tersebut diimplementasikan pada software Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab terlebih dahulu disusun kode programnya dengan menggunakan parameter-parameterinput, yaitu:

(harga saham awal), (harga eksekusi), (suku bunga), (volatilitas), (waktu jatuh tempo), ( banyaknya partisi untuk waktu) dan (banyaknya pengulangan). Dari hasil simulasi pada komputer dapat dilihat hubungan antara harga opsi put Amerika dengan parameter-parameter , , , , dan .

Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal berikut. Simulasi Monte Carlo dapat meramalkan harga saham yang akan terjadi. Metode monte Carlo baru digunakan jika penyelesaian secara analitik tidak ada. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi: semakin tinggi harga saham awal maka harga opsi semakin rendah, semakin tinggi suku bunga maka harga opsi semakin

rendah, semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi, semakin tinggi nilai volatilitas saham, maka harga opsi akan semakin tinggi, semakin tinggi harga eksekusi maka harga opsi akan semakin tinggi.

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitianm penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.

PENENTUAN HARGA OPSIPUTAMERIKA DENGAN SIMULASI MONTE CARLO

MUHAMAD SYAZALI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2011

HALAMAN PENGESAHAN

Judul Tesis : Penentuan Harga OpsiPutAmerika dengan Simulasi Monte Carlo Nama : Muhamad Syazali

NRP : G55080071

Progam Studi : Matematika Terapan

Menyetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S. Ir. Retno Budiarti, M.S.

Ketua Anggota

Mengetahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S. Dr. Ir.Dahrul Syah, M.Sc.Agr.

PRAKATA

Alhamdulillah, penulis panjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulisan tesis dengan judul “Penentuan Harga OpsiPutAmerika dengan Simulasi Monte Carlo”dapat diselesaikan. Tesis ini disusun sebagai salah syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S.

selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

2. Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji luar komisi yang telah banyak memberikan saran untuk penyempurnaan tesis ini.

3. Kedua orang tua (Prayitno dan Saiti), kakak dan adik tercinta (Edy Prasetyo, Rahmad Junaidi, Istihana, Rofiqul Umam dan Fajri Farid), keponakan tercinta (Zidan dan Zaki) serta keluarga besar atas doa, pengorbanan, semangat dan kasih sayang yang telah diberikan.

4. Ibu Susi, Bapak Bono, Mas Hery, Bapak Yono beserta staf Departemen Matematika.

5. Sahabat seperjuangan MAT 2008 : Mba Mia, Mba Mahmuda, dan Ro’fah atas segala bantuan dan motivasinya.

6. Rani Dwi Astuti yang telah memberikan semangat dan motivasi.

7. Teman-teman Al-Fath (Mas Erik, Mas Nono, Irfan, Aan, Ipung, Gonggo, Sigit) yang telah membantu penulis baik secara moril.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2011

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Muhamad Syazali. Penulis dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 21 November 1986 dari pasangan Bapak Prayitno dan Ibu Saiti. Penulis merupakan anak ke tiga dari enam bersaudara.

Pada tahun 2004 penulis lulus dari MAN 1 Bandar Lampung. Pendidikan Sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor dan lulus tahun 2008. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan jenjang Magister Sains di Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

DAFTAR ISI

Hal

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR GAMBAR... xiii

I. PENDAHULUAN... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 3

1.3 Manfaat Penelitian... 3

II. LANDASAN TEORI ... 4

2.1 Aset yang Mendasari ... 4

2.2 Nilai Opsi ... 4

2.3 Tipe Opsi... 5

2.4 Keuntungan Opsi... 6

2.5 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi ... 7

2.6 Persamaan Black-Scholes ... 8

2.7 Formulasi Harga Black-Scholes... 11

2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes ... 16

2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika... 17

2.10 Masalah Nilai Batas Bebas OpsiPutAmerika ... 18

2.11 Martingale ... 20

III. PENILAIAN OPSIPUTAMERIKA ... 21

3.1 Asumsi-Asumsi ... 21

3.2 Nilai Intrinsik OpsiPutAmerika... 21

3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai OpsiPutAmerika... 23

3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai OpsiPutAmerika ... 27

IV. SIMULASI MONTE CARLO ... 29

4.1 Sejarah ... 29

4.2 Gambaran Umum ... 31

V. IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN

OPSIPUTAMERIKA ... 35

5.1 Harga Saham ( ( ))... 35

5.2 Pembangkitan Nilai Intrinsik OpsiPutAmerika ... 38

5.3 Harga OpsiPutAmerika ... 40

5.4 Hedging dan Eksekusi ... 41

5.5 Algoritma dan Implementasi... 42

VI. HASIL SIMULASI... 45

6.1 Harga Opsi dalam Berbagai Kasus ... 45

6.2 Standar Deviasi... 51

VI. SIMPULAN DAN SARAN ... 54

VII. DAFTAR PUSTAKA... 56

DAFTAR TABEL

Hal

1. Distribusi permintaan sepatu per hari ... 32

2. Distribusi permintaan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif ... 33

3. Tag numberyang disusun berdasarkan FDK ... 33

4. Hasil kesimpulan permintaan ... 34

5. Harga opsi put Amerika dengan parameter = 100, = 0.06, = 0.4, = 0.5, dan = 100, serta harga saham yang bervariasi ... 45

6. Harga opsi putdengan parameter = 80, = 100, = 0.4, = 0.5, dan = 100, serta suku bunga yang bervariasi... 47

7. Harga opsiputdengan parameter = 80, = 100, = 0.4, = 0.01, dan = 100, serta waktu jatuh tempo yang bervariasi... 48

8. Harga opsiputdengan parameter = 80, = 100, = 0.06, = 0.5, dan = 100, serta nilai volatilitas saham( )yang bervariasi ... 49

9. Harga opsi putdengan parameter = 80, = 0.4, = 0.06, = 0.5, dan = 100, serta harga eksekusi( )yang bervariasi ... 50

DAFTAR GAMBAR

Hal

1. Nilai harga saham pada waktu ( ) . ... 37

2. Nilai intrinsik opsi pada waktu ( ( ))... 39

3. Bagan alur algoritma simulasi Monte Carlo ... 44

4. Hubungan harga opsi dengan harga saham awal ... 46

5. Hubungan harga opsi dengan suku bunga ... 47

6. Hubungan harga opsi dengan waktu jatuh tempo ... 48

7. Hubungan harga opsi dengan volatilitas saham ... 49

8. Hubungan antara harga opsi dengan harga eksekusi... 50

9. Nilai opsiputAmerika untuk = 80 di sepanjang interval waktu[0, ]... 52

DAFTAR LAMPIRAN

Hal

1. Penurunan Persamaan (2.8) ... 58

2. Penentuan rataan dan standar deviasi peubah ... 58

3. Penurunan Persamaan (2.26)... 59

4. Bukti Teorema 3.1... 60

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang.

Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan (financial market) yang terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market). Sekuritas pasar uang adalah obligasi dengan jatuh tempo sangat pendek. Sekuritas pasar uang biasanya sangat laku di pasar dan memiliki risiko yang relatife kecil. Jatuh tempo yang pendek dan risiko kredit yang kecil memastikan keuntungan atau kerugian modal yang minimal. Sekuritas tersebut dijual dalam denominasi yang besar tetapi dapat dibeli secara tidak langsung melalui reksa dana pasar uang. Sedangkan pasar modal meliputi sekuritas jangka panjang dan lebih berisiko. Sekuritas yang ada di pasar modal lebih beragam dibanding pasar uang. Oleh karena itu, pasar modal dibagi menjadi empat segmen: pasar obligasi jangka panjang, pasar saham, serta pasar instrumen derivatif untuk opsi dan kontrak berjangka.

Hull (2006) menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa produk derivatif antara lain kontrak berjangka (future contract), kontrakforward dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrakforwardmerupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa mendatang pada harga yang disepakati. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu.

Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk sekuritas turunan yang merupakan perangkat keuangan yang nilainya bergantung

kepada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu produk tersebut adalah kontrak opsi. Chicago Board Options Exchange merupakan bursa pertama di dunia yang memperdagangkan kontrak opsi pada tahun 1973. Di Indonesia, perdagangan opsi baru dilakukan di Bursa Efek Jakarta (BEJ) pada bulan Oktober 2004, yang sekarang bernama Bursa Efek Indonesia.

Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah disepakati (strike price,exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset.

Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date) dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus mengeluarkan biaya (premi) dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. Besarnya biaya ini disebut juga dengan nilai opsi.

Teori penentuan nilai opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan nilai opsi Eropa ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes. Pada tahun yang sama, Robert C. Merton mempublikasikan hasil karyanya yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes yaitu formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsiputEropa. Setelah itu, banyak peneliti lain yang berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian argumentasi terhadap penurunan PDP Black-Scholes. Dengan penyesuaian argumentasi ini, akan diperoleh model PDP Black-Scholes nilai opsi Amerika dalam bentuk ketaksamaan (Wilmottet al. 1993).

Dengan landasan yang diberikan para peneliti tersebut, muncul inovasi-inovasi penilaian tentang nilai opsi, salah satunya mengenai nilai opsi put Amerika. Dalam kontrak opsi putAmerika ada suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi dengan selang harga saham lainnya yang merupakan saat bagi investor sebaiknya menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang tersebut disebut nilai kritis untuk eksekusi opsi.

Pada opsi Amerika terdapat kebebasan waktu eksekusi, maka hingga saat ini belum terdapat solusi analitik. Penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik (Pauly 2004).

Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di sini mentransformasikan persamaan pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menentukan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo.

1.3 Manfaat Penelitian

Dengan simulasi Monte Carlo dapat diramalkan harga saham yang akan terjadi di masa akan datang sehingga dapat diketahui harga opsiputAmerika yang maksimal. Oleh karena itu investor dapat menentukan kira-kira kapan dia akan mengeksekusi opsi agar mendapatkan keuntungan yang maksimum.

BAB II

LANDASAN TEORI

Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. Hull (2006) memaparkan ada beberapa aset yang mendasari opsi. Lalu menerangkan pula tentang nilai opsi, tipe opsi, keuntungan opsi, dan faktor-faktor yang memengaruhi harga opsi. Seperti yang tertuliskan pada sub bab 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, dan 2.5 berikut ini.

2.1 Aset yang Mendasari

Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option), opsi berjangka (future option), dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah mata uang asing dengan kurs tertentu. Opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah kontrak berjangka, dan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Tulisan ini akan membahas tentang opsi saham.

2.2 Nilai Opsi

Nilai opsi terdiri dari nilai intrinsik opsi dan nilai waktu. Dimana, nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsicall, nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari pada harga eksekusi

(harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Untuk opsi put nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi pada waktu (ST) kurang dari harga

eksekusi (K).

Sedangkan nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuka.

2.3 Tipe Opsi

Terdapat dua tipe kontrak opsi, yaitu opsicalldan opsiput. Suatu opsicall memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Opsiputsendiri memberikan hak kepada pemegang opsi untuk untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsicalltersebut ada empat hal utama, yaitu :

 Harga aset yang mendasari yang akan dibeli.

 Jumlah aset yang mendasari yang akan dibeli.

 Harga eksekusi aset yang mendasari.

 Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebutexpiration date.

Pada kontrak opsiputempat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call.

Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo Tdan harga eksekusi adalah K, sertac=c(S,t) menyatakan harga opsicall Eropa pada saat t, dan p = p(S,t) menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t. Nilai intrinsik dari opsicall Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi yaitu c=maks(ST–K,0).

Jika ST >K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi

akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga ST yang

lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlahST–K. Jika ST=K opsi

call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST <K opsi call

dikatakan dalam keadaanout of the money.

Kondisi payoff dari opsiputEropa adalahp =maks (K – ST, 0). JikaST>

K, opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Opsi put akan dieksekusi pada saatST <K sehingga pemegang opsi memperoleh hasil

sebesar K – ST. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang

dikenal denganput-call-parity, dapat dinyatakan sebagai berikut :

+ = + ,

denganrmenyatakan suku bunga bebas risiko.

Apabila C = C(S,t) menyatakan harga opsi call Amerika dan P = P(S,t) menyatakan harga opsiputAmerika, makapayoffpada waktumaturityuntuk opsi calladalah :

= maks( – , 0), sedangkan untuk opsiput

= maks( – , 0). 2.4 Keuntungan Opsi

Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini :

 Menejemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.

 Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.

 Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsiputataucall. Apabila

diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsiput.

 Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.

2.5 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi

Harga Opsi sendiri dipengaruhi oleh berbagai faktor diantaranya adalah harga aset yang mendasari dan harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga bebas risiko.

 Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi

Jika suatu opsi call dieksekusi pada waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.

 Waktu Jatuh Tempo

Untuk opsi Amerika, dari kedua macam opsicallmaupun opsiputmenjadi lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin lama. Sementara tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call maupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi haknya.

 Volatilitas

Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa mendatang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu opsi.

 Suku Bunga Bebas Risiko

Suku bunga bebas risiko memengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan dan memengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan

mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.

2.6 Persamaan Black-Scholes

Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsicallEropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini :

 Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan μ _dan σ konstan;

 Tidak ada biaya transaksi dan pajak;

 Tidak ada pembayaran deviden pada saham;

 Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko;

 Short sellingdiijinkan;

 Suku bunga bebas risikoradalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.

Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah berikut :

Definisi 1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik = { ( ), ∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak. Untuk setiaptpada himpunan indeksH,X(t) adalah suatu peubah acak dant sering diinterpretasikan waktu.

[Ross 1996]

Definisi 2 (Gerak Brown)

Proses stokastik = { ( ), ∈ }disebut proses gerak Brown jika : 1. X(0) = 0.

2. Untuk 0 < t1 <t2< . . . < tnpeubah acak X(ti) – X(ti-1),i = 1, 2, 3, ..., n

3. Untuk setiapt> 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi σ2_t.

[Ross 1996]

Definisi 3 (Gerak Brown Geometris)

Jika { ( ), > 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik{ ( ), ≥ 0} yang didefinisikan ( ) = ( ) disebut gerak Brown Geometris.

[Ross 1996]

Definisi 4 (Proses Wiener)

Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1.

[Niwiga 2005]

Definisi 5 (Proses Wiener Umum)

Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut :

dX(t) =adt+bdW(t). (2.1)

adtdisebut komponen deterministik danbdW(t) menyatakan komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan

rataan dan standar deviasi dariX. [Hull 2006]

Definisi 6 (Proses Itô)

Proses Itô adalah proses Wiener umum dengana dan bmenyatakan suatu fungsi dari peubah acakXdan waktut. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut :

dX(t) =a(X(t),t)dt+b(X(t),t)dW(t). (2.2) [Hull 2006]

Lema Itô

Misalkan prosesX(t) memenuhi (2.2) dan fungsi ( ) = ( ( ), )adalah kontinu serta turunan ( ( ), ), ( ( ), ), ( ( ), ) kontinu, maka ( ) =

( ) = ( + + ) + ( ) (2.3) dengan

= , = , = , dan ( ) adalah proses Wiener sama seperti persamaan (2.2). mengikuti proses Itô, dengandrift rate

+ +1

2 danvariance rate

( ) .

[Hull 2006]

Definisi 8 (Model Harga Saham)

Jika S harga saham pada waktu t, μ _{adalah parameter konstan yang} menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ _{volatilitas harga} saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu :

( ) = ( ) + ( ) ( ). (2.4)

[Hull 2006] Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalnya ( ) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalnya ( )adalah harga saham pada waktu t.Mengingat proses Itô, perubahan ( )akan memiliki nilai harapan drif rate µ . Parameterµ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham danµ ( ) disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah ( ) ( ),dengan menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4).

Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan Lemma Itô untuk suatu fungsi ( , ), yaitu nilai opsi dengan harga sahamSpada waktut, sehingga diperoleh:

Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual saham. Misalnya π _{adalah nilai portofolio yang} dimaksud, maka

= − . (2.6)

Perubahan portofolio pada selang waktudtdidefinisikan sebagai

= − . (2.7)

Dengan menyubstitusikan (2.4) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh

= + . (2.8)

(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)

Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π _{pada saham} takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt _{dalam selang waktu dt,} dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu :

= + . (2.9)

Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan

− = +

+ + − = 0 (2.10)

Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton.

2.7 Formulasi Harga Black-Scholes

Hull (2006) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi callEropa, nilai harapan payoffdari opsicall pada saat jatuh tempo adalah

Didefinisikan ( )adalah fungsi kepekatan peluang dari , maka [maks( − , 0)] = ∫ (∞ − ) ( )

. (2.12)

Misalkan = ln , maka = , = − , dan = 0. Berdasarkan Lemma Itô diperoleh

= + 0 − + ( )

= − + ( ).

Oleh karena µ dan σ _{konstan maka} = ln _{mengikuti gerak Brown dengan} rataan − dan varian .

Berdasarkan (2.3), merupakan tingkat keuntungan (return) dari harga saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena = ln berubah dari 0 sampai dengan T dan = ln mengikuti gerak Brown, maka ln berdistribusi normal dengan rataan

− dan variansi .

Misalkan pada waktu = 0 nilai = ln dan pada waktu T nilai = ln , maka pada selang waktu = 0 sampai dengan T, (ln − ln ) adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh:

(ln − ln )~ − , √ ,

atau dapat dituliskanln berdistribusi normal dengan

ln ~ ln + − , √ .

Dengan demikianln , berdistribusi normal dengan rataan

= ln + − , (2.13)

dan standar deviasi

Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah dengan =

√ . (2.14)

Substitusimdari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh =

√ (ln − ln ) − √ − ,

maka peubah juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan denganℎ( ), yaitu

ℎ( ) = √

/ _{. (2.15)}

(Bukti berdasarkan Buchanan 2006 dapat dilihat pada Lampiran 2) Persamaan (2.14) diubah menjadi

= √ _{. (2.16)}

Perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut menjadi integral menurut , adalah sebagai berikut:

Jika =∞_{, maka} =∞_.

Jika = maka = √ sehingga =

√ .

Dengan menggunakan (2.15), (2.16), dan perubahan batas integral serta misalkan = √ , maka (2.12) menjadi:

[maks( − , 0)] = ( − )ℎ( )

∞

= ℎ( )

∞

− ℎ( )

∞

= 1

√2

/ ∞

− ℎ( )

∞

= 1

√2

( )/

∞

− ℎ( )

∞

= 1

√2

( ( ) )/

∞

− ℎ( )

= / 1 √2

( ( ) )/ ∞

− ℎ( )

∞

= / _{ℎ( − )}

∞

− ℎ( )

∞

sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan

[maks( − , 0)] = ∫∞ / _{ℎ( − )}

− ∫∞ ℎ( ) . (2.17) Jika ( ) didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal kumulatif, maka

∫∞ / _{ℎ( − )}

= / _{1 − [(ln − )/ − ]}

= / _{[(− ln + )/ + ] .}

Peubah pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku pertama di atas disubstitusi dengan (2.13) dan = √ , maka diperoleh

/ _{ℎ( − )} ∞

= / _{− ln + ln + −}

2 / √ + √

= / _{ln( / ) + − + √ / √}

= / _{ln( / ) + + / √}

= / _{( ),}

Dengan alasan yang serupa seperti di atas, maka

∫∞ ℎ( ) = 1 −

= . (2.18)

Dengan menyubstitusikanmdanspada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh

∫∞ ℎ( ) = − ln + ln + − / √

= ln( / ) + − / √

= ( ),

dengan = ln( / ) + − ̒ / √ , sehingga (2.12) menjadi

[maks( − , 0)] = / _{( ) − ( )}

= / ( ) − ( )

= ( ) − ( ). (2.19)

Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengancadalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai

= [maks( − , 0)]. (2.20)

Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsicall Eropa tanpa membayarkan deviden pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu

= ( ) − ( ), (2.21)

dan denganput-call-paritydiperoleh harga opsiputEropa

= (− ) − (− ),

dengan

= ln( / ) + + / √ dan

=

2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes

Berdasarkan Hull (2006) berikut ini akan ditunjukkan bahwa ( , )pada (2.21) merupakan solusi dari (2.10). yaitu akan dihasilkan + +

− = 0dengan menentukan turunan-turunan (2.21) terhadap dan serta peubah T diganti dengan − . Turunan terhadap S adalah

=( / ) √

√ = √ . (2.22)

Dari persamaan = − √ − , turunan terhadap dan berturut turut adalah

− = −

2√ − , dan

= − √ − ,

sehingga

= . (2.23)

Turunan parsial (2.21) terhadap adalah

= ′( ) − ( ) ( ) − ( ) ′( )

= ′( ) − ( ) ( ) − ′( )

= ′( ) − − ( ) ( )_{. (2.24)}

Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh = − ′( )

√ −

( ) _{( ), (2.25)}

dengan

′( ) = ′( ) ( )_{. (2.26)}

(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3) Turunan parsial (2.21) terhadap adalah

Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh

= ( ) + ′( ) − ′( )

= ( ) + ′( ) − ′( ) = ( ) _(2.28)

= ′( ) _{. (2.29)}

Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh = ′( )

√ . (2.30)

Peubah pada (2.10) diubah dengan maka menjadi

+ + − = 0. (2.31)

Substitusi (2.21), (2.25), (2.27), dan (2.30) ke dalam (2.31) didapat

+ + −

= − ′( )

√ −

( ) _{( ) + ( )}

+ ′( )

√ − [ ( ) −

( ) _{( )]}

= − ( ) + ( ) + − ′( )

√ + ′( ) √

+ − ( ) _{( ) +} ( ) _{( ) = 0.}

Sehingga terbukti bahwa + + − = 0.

2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika

Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah ( ) = ( ) + ( ) ( ). Seperti halnya pada penurunan persamaan Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi Amerika dan menjual sejumlah saham, maka diperoleh:

= − .

Dengan memilih = dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah menjadi

= + .

Pada persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return tak berisiko, agar tidak terjadi peluang arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh

pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga

≤ = − .

Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang darireturntanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:

+ ≤ − ,

atau

+ + − ≤ 0. (2.32)

Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut :

+ + − < 0 (2.33)

+ + − = 0. (2.34)

Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk menentukan nilai opsiputAmerika.

2.10 Masalah Nilai Batas Bebas OpsiPutAmerika Kondisi batas bawah untuk opsiputAmerika adalah

( , ) ≥ ( − ) , ∀( , ). (2.35)

Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika 0 = = − seseorang dapat membeli opsi put P, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar − − > 0.Oleh karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi putAmerika.

Misalkan ( ) menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan 0 < ( ) < . Jika ≤ ( ) maka opsi akan dieksekusi, namun jika ( ) < opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian (2.35) dapat dinyatakan dengan:

( , ) = − ; ≤ ( )

> ( − ) ; > ( ) (2.36)

Oleh karena ( ) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap ( , ) ini disebut masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem), sehingga ketika

< ( ) < nilai ( , ) = − , serta harus memenuhi (2.33) sehingga nilai opsiputAmerika memenuhi:

+ + − <0

( , ) = − . (2.37)

Pada saat ( ) < , nilai ( , ) > ( − ) , serta harus memenuhi (2.34), sehingga nilai opsiputAmerika memenuhi:

+ + − = 0

( , ) > ( − ) . (2.38)

Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi putAmerika adalah sebagai berikut:

Untuk < ( ) + + − <0

( , ) = − .

Untuk > ( )

ᶤ + + − = 0

( , ) > ( − ) . Syarat batas lim_lim → ( , ) = 0

→ ( , ) = dan

Syarat akhir ( ( ), ) = ( − ( )) . (2.39)

[Pauly 2004] Untuk harga saham menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi:

lim

→∞maks{0, − } = 0

Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat menuju tak hingga. Maka, nilai opsi putharus memenuhi:

lim

Kemudian jika = 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, − } akan bernilai . Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi putharus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsiputadalah:

(0, ) = .

2.11 Martingale

Misalkan proses stokastik ( ) dengan ∈[0, ] didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω , , ). Misalkan { ( ), ∈[0,∞ ]} menyatakan kumpulan informasi yang disebut filtrasi. Jika nilai ( ) termasuk dalam himpunan ( ) untuk ∀ ≥ 0, maka dapat dikatakan bahwa ( ) adalah ( ) − . Dengan kata lain, nilai ( ) akan diketahui dengan diberikan himpunan informasi

( ).

Definisi 9. (Martingale)

Proses stokastik{ ( ), ∈[0,∞ ]} dikatakanmartingaleyang berdasarkan filtrasi ( ) dan peluang , jika untuk∀ ≥ 0,

i. ( ) diketahui, dengan diberikan filtrasi ( ) ( ( ) adalah ( ) − ).

ii. | ( )| < ∞

iii. [ ( )] = [ ( )| ( )] = ( ) untuk∀ < , dengan peluang 1. [Neftci 2000]

BAB III

PENILAIAN OPSIPUTAMERIKA

Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi Amerika. Bentuk nilai intrinsik opsi put Amerika dibahas di bagian kedua. Kemudian di bagian ketiga akan disajikan formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika, dengan nilai batas atas dan batas bawah opsi put Amerika diberikan pada bagian keempat.

3.1 Asumsi-asumsi

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penilaian opsi putAmerika, antara lain:

1. Tingkat suku bunga bebas risiko dan bernilai konstan.

2. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko.

3. Model pasar sempurna, tidak ada biaya transaksi jual atau beli pada saham atau opsi.

4. Perubahan harga saham mengikuti model gerak Brown.

5. Sebaran harga saham adalah lognormal dan ragam adalah konstan. 6. Tidak ada pembayaran dividen atas saham.

3.2 Nilai Intrinsik OpsiPutAmerika

Opsi Amerika yang memiliki waktu jatuh tempo pada waktu , memiliki nilai opsi bukan hanya ditentukan pada saat waktu jatuh tempo seperti pada opsi Eropa. Karena dalam kontrak opsi Amerika terdapat keleluasaan dalam waktu mengeksekusi sehingga opsi dapat dieksekusi kapan saja sejak kontrak dibuat sampai dengan waktu jatuh tempo. Oleh karena hal ini, penentuan nilai opsi Amerika menjadi hal menarik yang hingga saat ini masih banyak diteliti oleh para peneliti terdahulu.

Seperti hal nya opsi Eropa, opsi Amerika pun memiliki keadaan-keadaan dimana investor mengalami kerugian dan mengalami keuntungan ataupun tidak mengalami kerugian dan keuntungan (dalam hal ini disebut impas). Dalam opsi putAmerika keadaan dimana opsi memberikan keuntungan jika segera dieksekusi disebut in the money. Keadaan opsi yang memberikan kerugian jika opsi segera dieksekusi disebut out the money. Sedangkan keadaan dimana opsi yang tidak memberikan keuntungan maupun kerugian disebutat the money.

Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo, nilai intrinsiknya disebut sebagai nilaipayoff.

Misalkan S adalah harga saham dan K merupakan harga eksekusi (strike price). Apabila < , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar

− , maka kontrak opsi put berada pada posisi in the money. Apabila = , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar nol, maka kontrak opsi put berada pada posisi at the money. Dan ketika > , tindakan eksekusi tidak memberikan keuntungan. Maka kontrak opsi put berada pada posisi out the money. Karena pada saat ≥ , tindakan eksekusi opsi put tidak memberikan keuntungan, maka untuk ≥ , didefinisikan nilai intrinsiknya opsi put adalah nol. Dengan demikian, untuk setiap ∈[0, ), nilai intrinsik opsiputdirumuskan sebagai:

= maks{0, − }. (3.1)

Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai ( , ), untuk

∈[0,∞) _dan ∈[0, ]_{, dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Hubungan} nilai opsiput ( , ) dengan nilai intrinsik terdiri dari tiga kemungkinan:

 Nilai opsi put Amerika ( , )memenuhi ketaksamaan:

( , ) < maks{0, − }. (3.2)

Jika investor membeli kontrak opsi tersebut dengan harga ( , ) dan kontrak opsi segera dieksekusi, maka investor akan memperoleh keuntungan bebas risiko sebesar = − − ( , ). Hal ini berarti bahwa terdapat peluang terjadinya tindakan arbitrase, maka kemungkinan pertama tidak berlaku.

 Nilai opsiputAmerika memenuhi persamaan:

Maka akan terdapat dua reaksi investor tidak tertarik untuk membeli opsi karena investasi yang impas atau investor tertarik untuk membeli opsi karena adanya harapan bahwa nilai pengembalian opsi (return) pada saat opsi dieksekusi akan meningkat. Untuk mengantisipasi kedua kemungkinan tersebut, maka investor pemegang kontrak opsi lebih memilih mengeksekusi opsinya. Dengan demikian, persamaan memberikan keadaan bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsiputAmerika.

 Nilai opsiputAmerika memenuhi ketaksamaan:

( , ) > maks{0, − }. (3.4)

Hal ini berarti bahwa tindakan eksekusi opsi akan merugikan karena nilai keuntungan opsi lebih kecil dari nilai kontrak opsinya. Akibatnya investor pemegang kontrak opsi lebih memilih untuk menjual kontrak opsi dengan harga

( , ) kepada pihak lain. Dengan demikian, ketaksamaan (3.4) menghasilkan aksi jual kontrak opsi.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa nilai opsi putAmerika harus memenuhi ketaksamaan:

( , ) ≥ maks{0, − }. (3.5)

3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai OpsiputAmerika.

Model nilai opsi put Amerika. Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai ( , ), untuk ∈[0,∞ ) dan ∈[0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Nilai opsi putAmerika ( , ) merupakan fungsi kontinu yang memetakan ( , ) ∈[0,∞ ) × [0, ], kebilangan real tak negatif. Karena nilai opsiputAmerika ( , ) kontinu dan berlaku persamaan (3.5), maka untuk setiap ∈[0, ) terdapat suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat investor mengeksekusi kontrak opsi dan selang harga saham lainnya yang merupakan saat investor menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang ini disebut dengan nilai kritis untuk eksekusi opsi. Misalkan nilai kritis dituliskan sebagai , untuk ∈[0, ) yang didefinisikan oleh:

= maks{ | ( , ) = − } (3.6)

≤ , ( , ) = − (3.7)

> , ( , ) > maks{0, − } (3.8)

Nilai kritis , ∈[0, ) berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga saham ( , ) ∈[0,∞ ) × [0, ] menjadi dua selang daerah bagian, yaitu daerah stopping ≡ [0, ] × [0, ], yang merupakan selang harga saham dengan waktu yang tepat untuk mengeksekusi opsi, karena untuk ∈[0, ] nilai opsiput ( , ) memenuhi persamaan (4.3) dan ketaksamaan + + − <0. jadi untuk ∈[0, ] , dengan ∈[0, ), maka nilai opsi put ( , ) harus memenuhi:

+ 1

2 + − < 0

( , ) = maks{0, − } (3.9)

Selang daerah berikutnya yaitu daerah kontinu ℓ ≡ ( ,∞ ) × [0, ], yang merupakan selang harga saham S yang tepat untuk menjual kontrak opsi kepada

pihak lain. Berdasarkan persamaan + + − =0 dan

persamaan (4.4) nilai opsi put ( , ) untuk ∈( ,∞ ) dan ∈[0, ) harus memenuhi:

+ 1

2 + − = 0

( , ) > maks{0, − }. (3.10)

Model nilai opsi put Eropa. Dengan diketahui konsep put-call parity pada maka nilai opsi putdapat juga ditentukan. Berdasarkan persamaan 2.10 dan persamaan 2.21, nilai opsi put Eropa dapat ditentukan sebagaimana dirumuskan pada Teorema berikut:

Teorema 3.1. Misalkan ( , ) adalah nilai opsi put tipe Eropa dengan harga eksekusi , tingkat suku bunga dan volatilitas harga saham , maka nilai opsi putdiberikan oleh:

( , ) = ( ) _{(− ) − (− )}

(3.11)

− ≡ ln( / ) − − 2 ( − ) √ −

− ≡ ln( / ) − + 2 ( − )

√ − ( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif.

[Carret al. 1992] (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)

Formulasi dekomposisi nilai opsiputAmerika.

Pada saat = 0, misalkan harga saham dinotasikan sebagai dan nilai kritis sebagai . Misalkan investor memiliki satu opsi put Amerika ketika harga saham berada di atas batas eksekusi ( > ). Pada daerah tersebut tindakan eksekusi tidak memberi keuntungan eksekusi, karena berdasarkan persamaan (3.8) nilai opsi lebih bernilai dari pengembalian eksekusi.

Dalam kontrak opsi put Amerika, nilai keuntungan opsi pada saat jatuh tempo = sama dengan nilaipayoff, yaitu:

( , ) = maks{0, − }. (3.12)

Nilai ekspektasi daripresent valueopsiputAmerika pada saat jatuh tempo merupakan bentuk dari nilai opsi put Eropa. Dengan demikian, untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika dapat dirumuskan dalam bentuk dekomposisi opsiputEropa dengan premi resiko seperti dalam teorema berikut:

Teorema 3.2.(Dekomposisi utama opsiputAmerika).

Untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika saat = 0 yang dinotasikan sebagai ( ,0) = terdiri dari nilai opsi put Eropa ( ,0) = dan nilai premi (opsi) untuk eksekusi dini (early exercise premium), :

= + (3.13)

dimana

= (− ) − (− )

dengan

=

√ (3.14)

− = _√ / (3.15)

− = /

√ ( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif:

( ) =

/

√ 2

[Carret al. 1992] (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5)

3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai OpsiPutAmerika

Syarat Batas.Untuk harga saham menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi:

lim

→ maks{0, − } = 0

Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat menuju tak hingga. Maka, nilai opsi putharus memenuhi:

lim

→ ( , ) = 0

Kemudian jika = 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, − } akan bernilai . Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi putharus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsiputadalah:

(0, ) =

Dalam kenyataannya seorang investor tidak mengetahui batas nilai saham yang tepat untuk mengeksekusi atau menjual opsi. Hal ini berarti Investor tidak mengetahui nilai batas pada persamaan (3.6). Karena posisi nilai ini tidak

diketahui secara pasti, maka nilai batas disebut sebagai nilai batas bebas. Nilai opsiput ( , ) harus merupakan fungsi kontinu, sehingga:

lim → ( , ) = − (3.16)

Dari persamaan (4.16) dapat diketahui bahwa ≥ , maka dari persamaan (4.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas atas bagi nilai opsi put

sebagai berikut:

= + ln( / ) − ( − / 2)

√

≤ + ∫ ( / ) _√ / (3.17)

Untuk memperoleh nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put , diperlukan waktu eksekusi (stoping time ) tak terbatas. Dengan stoping time

= ∞, akan diperoleh peluang harga saham yang cukup kecil (Merton, 1992). Definisikan merupakan harga saham yang memberikan eksekusi menjadi maksimal dengan keuntungan sebesar − , dengan memenuhi:

≤ ≤ ∞ (3.18)

Karena ≤ , maka nilai keuntungan memenuhi:

− ≥ − (3.19)

Keuntungan eksekusi − diperoleh jika ≤ dan keuntungan − diperoleh jika ≤ (karena stoping time = ∞). Maka dari (3.18), dapat diperoleh nilai batas:

≤ (3.20)

Dari persamaan (3.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsiput sebagai berikut:

= + ln( / ) − ( − / 2)

√

≤ + ln( / ) − ( − / 2)

Dengan demikian, nilai opsi put Amerika mempunyai nilai batas sebagai berikut:

+

ln − _{− 2}

√ ≥

≥ + ln( / ) − ( − / 2)

BAB IV

SIMULASI MONTE CARLO

Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya.

Karena algoritma ini memerlukan pengulangan (repetisi) dan penghitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya.

4.1 Sejarah

Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician,

Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis.

Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporationdan Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang.

Simulasi Monte Carlo dikenal dengan istilah sampling simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom yang merupakan nama kode dari simulasinuclear fission.Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak perubahan input dan risiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada (historical data) dan telah diketahui distribusi datanya.

Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan-bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.

Aplikasi metode Monte Carlo

 Grafis, terutama untukray tracing.

 Permodelan transportasi ringan dalam jaringan multi lapis / multi-layered tissues (MCML).

 Metode Monte Carlo dalam bidang finansial.

 Dalam riset peralatan semikonduktor, untuk memodelkan transportasi pembawa arus.

 Pemetaan genetik yang melibatkan ratusan penanda genetik dan analisis QTL.

4.2 Gambaran Umum

Simulasi Monte Carlo adalah pengambilan sampel dengan menggunakan bilangan-bilangan acak (random numbers) dilakukan dengan bantuan komputer. Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, dengan simulasi Monte Carlo seolah-olah dapat diperoleh data dari lapangan, atau dengan perkataan lain simulasi Monte Carlo meniru kondisi lapangan secara numerik.

Simulasi Monte Carlo merupakan alat rekayasa yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai persoalan rumit di dalam bidang probabilitas dan statistik. Meskipun demikian, simulasi Monte Carlo tidak memberikan hasil yang eksak, karena pada hakekatnya simulasi Monte Carlo adalah suatu metode pendekatan numerik. Seperti pada umumnya metode numerik, simulasi Monte Carlo membutuhkan banyak sekali iterasi dan usaha penghitungan, khususnya untuk masalah-masalah yang melibatkan peristiwa-peristiwa langka (very rare events). Oleh karena kelemahan-kelemahan tersebut, sebaiknya simulasi Monte Carlo baru digunakan bila metode analisis tidak tersedia atau metode pendekatan (misalnya pendekatan orde pertama dari fungsi variabel acak yang taklinear) tidak memadai. Simulasi Monte Carlo dari suatu proses stokastik adalah suatu prosedur untuk mendapatkan contoh acak terhadap hasil proses tersebut (Wong 2001).

Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengikutsertakan faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model stokastik. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini memiliki lima tahapan dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dan terdapat tiga batasan dasar dalam penggunaan metode ini.

Lima tahapan yang terdapat dalam simulasi Monte Carlo diantaranya: 1. membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting,

2. membangun distribusi kumulatif untuk tiap-tiap variabel di tahap pertama,

3. menentukan interval angka random, 4. membuat angka random,

5. membuat simulasi dari rangkaian percobaan. Sedangkan tiga batasan dasar simulasi Monte Carlo adalah:

1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya secara matematis dengan tuntas, maka hendaknya jangan menggunakan simulasi ini

2. Apabila sebagaian persoalan tersebut dapat diselesaikan secara analitis dengan baik, maka penyelesaiannya lebih baik dilakukan secara terpisah. Sebagian secara analitis dan sebagian lagi simulasi

3. Apabila mungkin dapat digunakan simulasi perbandingan

4.3 Ilustrasi Penggunaan Simulasi

Sebuah toko sepatu memperkirakan permintaan sepatu per harinya menurut pola distribusi sebagai berikut :

Tabel 1 Distribusi permintaan sepatu per hari Permintaan/hari Frekuensi

Permintaan

3 pasang 5

4 pasang 10

5 pasang 15

6 pasang 30

7 pasang 25

8 pasang 15

Dari data masa lalu yang sudah diperoleh tersebut. Pengusaha toko ini hendak memperkirakan pola permintaan untuk 10 hari bulan berikutnya. Berapa kira-kira permintaan yang muncul?

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas dapat diikuti prosedur atau langkah-langkah berikut ini;

2. Terlebih dahulu dibuat distribusi data empirisnya, yaitu : fungsi distribusi densitas, seperti pada Tabel 1 .

3. Distribusi permintaan ini diubah dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif (selanjutnya disebut FDK).

Tabel 2 Distribusi permintaan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif Permintaan/hari Distribusi Densitas FDK

3 pasang 0.05 0.05

4 pasang 0.1 0.15

5 pasang 0.15 0.3

6 pasang 0.3 0.6

7 pasang 0.25 0.85

8 pasang 0.15 1

Jumlah 1

4. Setiap permintaan tersebut, diberi angka penunjuk batasan (Tag Number/Pelabelan bilangan), disusun berdasarkan FDK distribusi permintaan

Tabel 3Tag numberyang disusun berdasarkan FDK Permintaan/hari Distribusi

Densitas

FDK Tag Number

3 pasang 0.05 0.05 0.00–0.05

4 pasang 0.1 0.15 0.06–0.15

5 pasang 0.15 0.3 0.15–0.30

6 pasang 0.3 0.6 0.31–0.60

7 pasang 0.25 0.85 0.60–0.85

5. Lakukan penarikan bilangan acak, dengan salah satu bentuk pembangkit bilangan-bilangan acak, misal diperoleh 10 bilangan acak sbb :

1. 0.5751 2. 0.1270 3. 0.7039 4. 0.3853 5. 0.9166 6. 0.2888 7. 0.9518 8. 0.7348 9. 0.1347 10. 0.9014 Dari bilangan-bilangan acak ini diambil dua angka dibelakang koma dan dicocokkan dengan tag number. Hasilnya adalah kesimpulan permintaan yang dibutuhkan. Berikut ini adalah tabel dari hasil kesimpulan permasalahan di atas

Tabel 4 Hasil kesimpulan permintaan Hari

Permintaan

Jumlah Pasangan

1 6 pasang

2 4 pasang

3 7 pasang

4 6 pasang

5 8 pasang

6 5 pasang

7 8 pasang

8 7 pasang

9 4 pasang

10 8 pasang

Dari langkah-langkah yang telah dilakukan di atas untuk menyelesaikan permasalahan maka seorang pengusaha toko sepatu dapat memperkirakan berapa banyak persediaan sepatu yang minimal harus dimiliki toko sepatunya. Dari Tabel 4 permintaan akan banyaknya sepatu untuk 10 minggu ke depan dapat diperkirakan.

BAB V

IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSIPUTAMERIKA

5.1 Harga Saham ( ( ))

Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa opsi Amerika dapat dieksekusi kapan saja saat dimulainya kontrak opsi hingga berakhirnya kontrak opsi misalkan saja [0, ], dengan adalah waktu. Untuk mengetahui kapan kira-kira waktu yang memungkinkan untuk mengeksekusi opsi sehingga investor mendapatkan keuntungan. Karena harga saham berubah sangat signifikan di setiap waktu dan selama kontrak opsi berlangsung, maka harga saham di sepanjang interval [0, ] berubah-ubah. Dengan Simulasi Monte Carlo perubahan harga saham di sepanjang interval[0, ]akan ditentukan.

Gagasan dasar dari simulasi Monte Carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang ingin disimulasikan.

Salah satu cara untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relatif untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah total observasi.

Untuk mencari nilai opsi put Amerika maka pertama kali yang akan disimulasikan adalah pembangkitan harga saham yang terjadi di sepanjang selang waktu [0, ]. Dengan mengasumsikan harga saham S mengikuti model Gerak Brown Geometrik memenuhi persamaan :

( ) = ( ) + ( ) ( ). (5.1)

dengan ( ) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan

( ) akan memiliki nilai harapandrif rate ( ). Parameter menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan ( ) disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah ( ) ( ), dengan menyatakan volatilitas harga saham.

( ) merupakan peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, dimana

( ) proses stokastik yang mengikuti gerak Brown (Hull 2006). Dengan demikian, perubahan harga saham tidak secara langsung dipengaruhi oleh ( ), tetapi oleh ( ).

Selanjutnya dari (5.1) dapat dicari harga saham ( ) dengan cara sebagai berikut:

Misalkan ( , ) = ln ( ) atau ( ) = ( )

= 0, = 1, = − 1.

Menurut lemma Itô

( , ) = + + 1

2 + ( )

= + ( + ( )) +

= ( + ( )) −

= + ( ) −

= − + ( )

atau dapat dinyatakan

( ) = − + ( ). (5.2)

Persamaan diferensial (5.1) mempunyai solusi

( ) − (0) = − 1

2 + ( )

( ) = (0) + − 1

2 + ( )

dimana (0) merupakan nilai awal dari ( ).

Dengan diketahuinya harga saham awal , maka dengan membangkitkan secara acak faktor pengganggu (Brownian noise) sehingga diperoleh solusi dari persamaan (5.1) untuk mendapatkan nilai adalah:

Selanjutnya jika dimisalkan harga eksekusi = 100. Berdasarkan hasil simulasi pembangkitan nilai saham di sepanjang interval waktu[0, ], maka untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal dapat diputuskan kapan opsi akan dieksekusi. Karena opsi yang akan dibahas adalah opsi put Amerika maka keadaan di mana opsi akan dieksekusi pada saat apabila ( ) < , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar − ( ), maka kontrak opsi put berada pada posisiin the money.Pada pembahasan selanjutnya akan dibangkitkan nilai intrinsik di sepanjang interval waktu[0, ].

5.2 Pembangkitan Nilai Intrinsik OpsiPutAmerika.

Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff. Karena sebelumnya telah diketahui harga saham di sepanjang interval [0, ], maka nilai intrinsik opsi di sepanjang interval[0, ]juga dapat ditentukan.

Dalam pengeksekusian opsi put Amerika yang dilakukan pada interval waktu [0, ] yang diperlukan adalah harga saham pada interval [0,T]. Misalkan nilai intrinsik opsi put Amerika didefinisikan sebagai proses = ( ( )) yang menggambarkan hasil eksekusi di seluruh periode, yaitu ( ) =

maks( – ( ),0). Karena harga saham di sepanjang interval[0, ]berbeda-beda maka nilai intrinsik opsiputpun di sepanjang interval pun berbeda-beda.

Dari hasil simulasi sebelumnya yang telah membangkitkan harga saham

( ) di sepanjang interval [0, ] maka akan dibangkitkan nilai intrinsik ( ) di sepanjang interval [0, ]. Dengan harga saham ( ) yang telah diperoleh sebelumnya maka nilai intrinsik ( ) = maks − ( ) di sepanjang interval waktu[0, ]yang digambarkan dalam Gambar 2 di bawah ini

5.3 Harga OpsiPutAmerika

Misalkan = ( ) adalah nilai opsiputAmerika. Tujuannya adalah untuk menghitung keuntungan berdasarkan asumsi bahwa waktu eksekusi berada dalam himpunan = { ,..., }, dengan = ∆ dan = . Diasumsikan bahwa waktu = 0.

Ditetapkan horizon waktu berhingga (finite tme horizon) > 0, dan misalkan terdapat dua proses stokastik ( ) dan , yang terdefinisi pada ruang probabilitas yang terfilter (filtered probability space)

(Ω ,ℱ,(ℱ) , ). Proses pertama adalah nilai kini dari suku bunga, dan proses kedua mendefinisikan jumlah yang harus dibayar kepada pemegang (holder) dari opsi Amerika pada saat opsi dieksekusi. Diasumsikan juga bahwa probabilitas adalah probabilitas penetapan harga opsi tersebut. Misal adalah waktu penghentian (stoping time), didefinisikan nilai awal dari opsi Amerika yaitu

∗_{= sup [ ], (5.5)}

Dengan ≡ exp − ∫ adalah nilai eksekusi yang terdiskon dari opsi tersebut. Untuk mencegah trivialitas. Diasumsikan bahwa ∗< ∞; serta untuk beberapa > 1, sup | | , dan lintasan dari Z adalah kontinu kanan. Dengan asumsi tersebut, prosessnell envelope

∗_{≡ sup [ |ℱ] (5.6)}

adalah supermatingale, sehingga mempunyai dekomposisi Doob-Meyer

∗₌ ∗₊ ∗₋ ∗_{, (5.7)}

dengan ∗adalah sebuah martingale yang bernilai 0 pada saat = 0, dan ∗ adalah suatu proses yang menaik dan terintegralkan (previsible integrable increasing process), juga bernilai 0 pada saat = 0.

Berikut ini adalah teorema yang digunakan dalam menentukan harga opsi Amerika dalam simulasi Monte Carlo;

Teorema 5.1

∗_{= inf}

∈ [sup ( − )], (5.8)

dengan adalah ruang dari martingale-martingale di mana sup | | ∈ , dan sedemikian sehingga = 0. Batas bawah terbesar (infimum) dicapai

dengan mengambil = ∗.

Teorema 5.1 tersebut memberikan petunjuk bagaimana mendapatkan metode penetapan harga opsi Amerika dengan memilih martingale yang sesuai, kemudian dengan simulasi mengevaluasi ekspektasi [sup ( − )]. Bukti dapat dilihat pada Rogers (2002).

5.4 Hedging dan Eksekusi

Berdasarkan Rogers (2002), misalkan telah diketahui sebelumnya martingale yang sesuai. Akan diintepretasikan dalam rangka perlindungan nilai (hedging). Dengan mempertahankan tetap, dan sebuah batas atas untuk ∗ yaitu rata-rata dari peubah acak

≡ sup ( − ). (5.9)

Misalkan ditetapkan ≡ ( |ℱ) untuk martingale tersebut tertutup dari sebelah kanan sebesar , sehingga ≡ . Misalkan martingale dianggap sebagai keuntungan dari proses perdagangan dari portofolio. Dengan demikian jika kekayaan awal portofolio adalah , maka kekayaan terdiskon pada waktu menjadi + . Persamaan (5.9) berakibat pertidaksamaan untuk setiap

∈[0, ]

≤ + .

Dengan ekspektasi bersyarat ℱ yang diberikan maka dapat dituliskan hubungan pertidaksamaan berikut

≤ [ − |ℱ ] + ( + ). (5.10)

Interpretasi dari (5.10) adalah terhadap nilai terdiskon, yang harus dibayarkan ke pemegang opsi jika dieksekusi pada waktu , akan mendapatkan lindung nilai dari nilai portofolio terdiskon.

5.5 Algoritma dan implementasi

Sekarang akan dikemukakan algoritma untuk menentukan harga dari opsi Amerika dengan metode yang sebelumnya telah dijelaskan. Misalkan telah dimiliki martingale yang dimaksud pada pembahasan 5.4 diatas. Berikut ini dinotasikan parameter-peremeter yang digunakan;

: banyak dari hari eksekusi yang mungkin : indeks hari

: banyakpathsampel : indeks sampel : harga eksekusi : horizon waktu

: tingkat suku bunga bebas resiko satu periode : harga saham awal

: harga saham pada waktu

: nilai intrinsik (payoff) opsi pada waktu : volatilitas saham

Algoritma

Langkah pertama adalah menentukan input untuk simulasi ini yakni menentukan harga saham awal , harga eksekusi , nilai suku bunga bebas resiko , volatilitas saham , dan waktu jatuh tempo . Selanjutnya membangkitkan himpunan tanggal < ≤ ≤ ...≤ = di mana opsi mungkin dieksekusi, yang diperoleh dengan membagi periode menjadi selang waktu. Ditentukan pula percobaan yang dilakukan akan diulang sebanyak n kali, dalam hal ini percobaan atau simulasi dilakukan berkali-kali.

Langkah kedua untuk mensimulasikan pembangkitan harga saham adalah membangkitkan Brownian noise di sepanjang interval [0, ]. Faktor penganggu dibangkitkan secara acak berdasarkan sebaran normal baku [0,1]. Setelah diperoleh Brownian noise di sepanjang interval [0, ], maka dengan menggunakan Persamaan (5.3) dapat dibangkitkan harga saham di sepanjang interval[0, ].

Langkah berikutnya setelah diperoleh output , yaitu harga saham di setiap himpunan selang waktu < ≤ ≤ ...≤ = . Selanjutnya dapat diperoleh nilai intrinsik di setiap titik waktu dalam himpunan selang waktu

< ≤ ≤ ...≤ = dengan cara = maks( − ). Selanjutnya

dibangkitan pula nilai martingale di sepanjang selang waktu itu juga. Proses ini diulang sebanyakn kali yang nantinya akan dicari nilai rata-rata nilai intrinsik

maksimum yang diperolah pada satu kali percobaan/simulasi.

Setelah diperoleh nilai intrinsik di sepanjang interval waktu [0, ], maka dimisalkan kembali adalah vektor berdimensi yang merekam nilai maksimum yang dicapai proses( − ) pada setiappath sample:

( ) = maks[ ( ) − ].

Untuk mencari nilai yang maksimum maka dilakukan langkah berikut. Pada waktu , untuk setiap path simulasi , bandingkan kuantitas( ( ) −

) dan ( ). Bila yang berikutnya lebih baik ketimbang nilai sebelumnya, simpan nilai( ( ) − ) ke dalam entri ( ). Bila ≤ , tingkatkan i satu unit lalu kembali ke langkah pencarian yang terbesar (maksimal). Selainnya kembalikan ( , ) = ∑ ( ) sebagai dugaan empiris dari nilai dugaan − . Pencarian nilai maksimum ini juga dilakukan sebanyak kali sehingga diperoleh nilai sebanyak pula untuk setiap harga saham awal yang berbeda.

Langkah terakhir adalah mencari nilai rata-rata dari setiap nilai maksimum yang didapat dari setiap percobaan, yang kemudian akan ditetapkan sebagai nilai opsiputAmerika. Standar deviasi dari hasil simulasi ini pun dapat diperoleh dari data nilai yang telah diperoleh di setiap percobaan/simulasi.

Dari langkah-langkah di atas maka dapat dibuat bagan alur untuk algoritma simulasi ini sebagai berikut.

Gambar 3 Bagan alur algoritma simulasi Monte Carlo. End

Next

Nilai yang maksimum If

>

Ya

Tidak

=

=

Start

Input Data : , , , , ,

Bangkitkan nilai ~ (0,1) Hitung nilai , , dan

= 0

For = 1 Hitung nilai

= 0

For = 1

= /

Output : harga opsiputAmerika

= +

BAB VI HASIL SIMULASI

Implementasi metode Monte Carlo untuk menentukan harga opsi put Amerika dilakukan dengan mengambil beberapa contoh kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati hubungan harga opsi dengan parameter-parameter yang menentukan harga opsi.

6.1 Harga Opsi dalam Berbagai Kasus

Dengan menggunakan metode Monte Carlo dengan nilai , , , , dan yang bervariasi akan diperlihatkan hubungan antara harga opsi put Amerika dengan harga saham, harga opsi putAmerika dengan suku bunga, harga opsi put Amerika dengan waktu jatuh tempo, harga opsi put Amerika dengan volatilitas saham, dan harga opsiputAmerika dengan harga eksekusi. Tabel 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 dan 5.5 berikut menyajikan harga opsiput Amerika dengan , , , , dan yang bervariasi.

Contoh kasus 1

Suatu kontrak opsi dengan waktu kontrak opsi enam bulan dilakukan ketika harga saham $ 80,00 dengan harga eksekusi $ 100,00, tingkat suku bunga sebesar 6%, dan volatilitas 40%. Untuk beberapa nilai , diperoleh harga opsi yang disajikan pada Tabel 5.

Tabel 5. Harga opsi put Amerika dengan parameter = 100, = 0.06,

= 0.4, = 0.5, dan = 100, serta harga saham yang bervariasi

Harga Saham Awal

($)

80 85 90 95 100 105 110 115 120

Harga Opsiput

Amerika ($) 18.60 15.10 12.09 9.65 7.74 6.37 5.45 4.66 3.92

Berdasarkan Tabel 5 tersebut diperoleh hubungan antara harga opsi dengan harga saham awal, yang dapat digambarkan oleh grafik pada Gambar 4.

Suku

Bunga (%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Harga Opsiput

Waktu jatuh

Tempo (tahun) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Harga Opsiput

Volatilitas

saham( ) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Harga Opsi

put

Amerika ($)

Harga

Eksekusi ($) 100 105 110 115 120 125 130 135 140

Harga Opsiput

Dari Gambar 8 dapat dilihat bahwa semakin tinggi harga eksekusi maka nilai akan semakin tinggi. Sesuai dengan Hull (2006) dari nilai opsi put tampak bahwa merupakan faktor dari suku yang bertanda positif. Sehingga semakin besar nilai

, maka semakin besar nilai suku yang bertanda positif. Akibatnya nilai opsi put akan semakin tinggi.

6.2 Standar Deviasi

Untuk melihat standar deviasi dari hasil simulasi ini dengan memasukkan parameter-parameter harga eksekusi = 100, tingkat suku bunga = 0.06, waktu jatuh tempo (dinyatakan dalam tahun) = 0.5, dan volatilitas dari proses yang mendasari = 0.4. Setelah dilakukan simulasi dengan mengulang simulasi sebanyak 100 kali, dan kemudian diambil nilai terbesar dari setiap simulasi maka untuk berbagai harga saham awal diperoleh nilai opsi put Amerika sebagai berikut;

Tabel 10. Nilai opsiputAmerika untuk beberapa harga saham awal Nilai Opsiput

Amerika ( )

Standar Deviasi

80 18.6084 2.1965

85 15.1015 2.3395

90 12.0988 2.4769

95 9.6585 2.5933

100 7.7482 2.6752

105 6.3740 2.6365

110 5.4512 2.4458

115 4.6606 2.2323

120 3.9216 2.0226

Data yang diperoleh dari Tabel 10 dapat diperoleh dengan parameter berikut: S0 = 80, K = 100, r = 0.06, T = 0.5, σ = 0.4. Kembali, standar deviasi

ditentukan dengan mengeksekusi fungsi sebanyak 100 kali dan menghitung statistik deskriptif atas hasil sample dari simulasi harga. Secara singkat, metode

Untuk melihat pergerakan harga opsi put di sepanjang interval dari sejak kontrak opsi dibuat hingga waktu jatuh tempo opsi dapat diketahui. Dengan memisalkan input parameter dengan nilaiS0= 80,K= 100,r= 0.06,T= 0.5,σ =

0.4, diperoleh hasil simulasi pergerakan harga opsi put Amerika seperti pada Gambar 9 di atas.

Dari persamaan (L5.2) diperoleh:

= + ( , )

+ ( , )

2 +

( , )

+ ( , ) ( )

= + ( , )

+ ( , )

2 − ( , ) +

( , )

(L5.4) Karena investor netral terhadap risiko, maka ekspektasi dari harga saham sama dengan tingkat suku bunga . Oleh karena itu, koefisien pada persamaan (L5.1) dapat diganti dengan . Dan ada probabilitas berukuran yang ekuivalen dengan sehingga:

= + (L5.5)

Dimana = − [( − )/ ] adalah Brownian motion yang didefinisikan pada(Ω , , ).

Seperti diketahui bahwa nilai opsi put Amerika ( , ) terbagi menjadi dua daerah, yaitu daerah kontinu dan daerahstopping, dengan nilaipayoffopsiput Amerika adalah = maks[0, − ]

Maka persamaan (L5.4) menjadi: {0, − }

= + 1{ }

( , )

+ 1{ }

( , )

2 − ( , )

+ ( , ) + 1{ }( − ) ( )

+ 1{ } ( − )

= + 1{ }

( , )

− 1{ } | + |

+ 1{ }

( , )

2 − ( , ) +

( , )

+ 1{ }|− ( − )|

(L5.7) dengan1 = 1 ; =_{0 ; =} ≤_> adalah fungsi indikasi.

Untuk daerah kontinu, nilai opsi put ( , ) memenuhi persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes (3.9). Akibatnya, untuk syarat 1{ } bernilai nol.

Maka persamaan (L5.7) menjadi:

{0, − } = − ∫ 1{ } + ∫ . (L5.8)

Misalkan ekspektasi dengan probabilitas , memenuhi:

[ ] = .

Maka termasuk martingale dengan [ ] = 0. Dengan demikian, ( , ) juga martingale dengan [ ( , )] = = 0 (Neftci 2000).

Nilai ekspektasi dari present value maks{0, − } merupakan nilai payoff opsiputEropa:

[ maks{0, − }] ≡

sehingga, persamaan (L5.8) menjadi:

≡ [ maks{0, − }] = − ∫ 1{ } (L5.9)

Untuk ≤ definisikan:

=

⟺ ≤

⟺ ≤ ln Untuk harga saham yang lognormal, maka:

= ( − / 2) , Dengan demikian persamaan (L5.9) menjadi:

[ maks{0, − }] = − 1{ }

= − 1

√ 2 exp

− ( − ( − / 2) ) 2

= − 1

√ 2

√

= − 1

√ 2 √ dengan memilih: = − − 1 2 √

= ln − −

1 2 √ maka diperoleh:

[ maks{0, − }] ≡ = − 1

= − ( )

sehingga dengan memisalkan:

= ( ) .

Maka akan diperoleh:

RINGKASAN

MUHAMAD SYAZALI. Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI.

Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Aset tertentu dalam penelitian ini adalah saham. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsiputadalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date) dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes, namun untuk opsi Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik.

Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di sini mentransformasikan persamaan pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik. Berdasarkan hal tersebut, maka penelitian ini bertujuan menentukan harga opsiputAmerika dengan simulasi Monte Carlo.

Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan menentukan solusi numerik persamaan Black-Scholes yang merupakan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo. Untuk memperoleh output berupa harga opsi put Amerika, simulasi Monte Carlo tersebut diimplementasikan pada software Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab terlebih dahulu disusun kode programnya dengan menggunakan parameter-parameterinput, yaitu:

(harga saham awal), (harga eksekusi), (suku bunga), (volatilitas), (waktu jatuh tempo), ( banyaknya partisi untuk waktu) dan (banyaknya pengulangan). Dari hasil simulasi pada komputer dapat dilihat hubungan antara harga opsi put Amerika dengan parameter-parameter , , , , dan .

Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal berikut. Simulasi Monte Carlo dapat meramalkan harga saham yang akan terjadi. Metode monte Carlo baru digunakan jika penyelesaian secara analitik tidak ada. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi: semakin tinggi harga saham awal maka harga opsi semakin rendah, semakin tinggi suku bunga maka harga opsi semakin

rendah, semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi, semakin tinggi nilai volatilitas saham, maka harga opsi akan semakin tinggi, semakin tinggi harga eksekusi maka harga opsi akan semakin tinggi.