PERSAMAAN EKSAK

PERSAMAAN EKSAK
Oleh Dessy Irmawati

METODE IDENTIFIKASI
• Bentuk umum persamaan diferensial biasa
orde pertama
dy
 f ( x, y )
dx

• Dalam beberapa kasus fungsi f(x,y) di sebelah
kanan persamaan dapat dituliskan
M ( x, y )
f ( x, y )  
N ( x, y )
dy
M ( x, y )

dx
N ( x, y )
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0

Definisi Persamaan Eksak
• Persamaan diferensial
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
(1)
disebut persamaan eksak jika ada fungsi
kontinyu u(x,y)
du = M(x,y) dx + N(x,y) dy
(2)
Pertanyaan:
1. Bagaimana mengetahui persamaan pertama
adalah eksak?

2. Bagaimana menentukan fungsi kontinyu
u(x,y)?
Teorema (kondisi persamaan eksak)
Persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Adalah eksak jika dan hanya jika
M N


y
x

• Buktikan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Kemudian
apakah ada fungsi kontinyu u(x,y) dengan
persaman diferensial
u
u
du 
dx  dy
x
y

• Bandingkan dengan persamaan (2)
u
u
 M dan
N
x
y

• Persamaan diturunkan terhadap y dan x, maka
 2u M
 2u N


dan
yx y
xy x
• u(x,y) kontinyu jika
2
2
u
u

yx xy
• Maka didapatkan

M N


y
x

• Sebaliknya jika

M N

y
x

• Maka dapat ditunjukkan bahwa ada fungsi
u(x,y) seperti berikut:
u
u
 M ( x, y) dan
 N ( x, y)
x
y

• Integralkan u x terhadap x dengan menganggap

y tetap.

u( x, y)   M ( x, y)dx   ( y)

• Dimana (y) adalah fungsi y. Untuk membangun
fakta tersebut, maka diferensialkan persamaan
tersebut terhadaap y,

u 
  M ( x, y)dx   '( y)
y y

• Dengan penyamakan persamaan u x maka

 ' ( y)  N ( x, y)   M ( x, y)dx
y

• Dengan menganggap bahwa diferensial parsial
terhadap x dan y, maka


 ' ( y )  

  N ( x, y )   M ( x, y )dx 
x
x 
y


N   

   M ( x, y )dx 
x x  y


N   


   M ( x, y )dx 
x y  x


N M


x y
0

Contoh 1
(a) (2x  3y )dx  (6xy  2y)dy  0
2

 x
y
3
(b)   3x dx  1 
y
x





dy  0

2
(c) (1  cos x)dy  y sin2x dx  0
3

(d) x lnx dy  y dx  0

Jawab
(a) M = 2x + 3y2
maka

M
 6y
y

dan

N = 6xy + 2y
N

 6y
x

M N

persamaan tersebut adalah eksak
y
x

Contoh 2
• Temukan nilai k yang membuat persamaan
menjadi eksak
 y 2 ky 
 2y 1 
(a) 2  3 dx  
 2 dy  0
x 
 x x 
x
(b)(2 x  y sin xy  ky4 )dx  ( x sin xy  20 xy 3 )dy  0

kx
(c)(1  e )dx  e (1  )dy  0
y
x

y

x

y

Penyelesaian
2

2y 1
 2
N 
x x
N 2 y 2
 2  3

x x
x

y
ky
M 2 3
x
x
dan
M 2 y k
 2  3
x
x
y
jika persamaan dianggap eksak maka
M N
adalah 2 y  k  2 y  2

2
3
2
3
x
x
x
x
y
x
k=2

(a)

Penyelesaian persamaan Eksak
1. Bentuk persamaan Mdx + Ndy = 0, uji ke
eksakannya.
u
u
N
2. Tuliskan  M dan
yu
x
3. Integralkan persamaan terhadap x
x

u   Mdx   ( y)

4. Diferensialkan persamaan di atas terhadap y,
dan samakan hasilnya dengan persamaan u
y

5. Tuliskan peyelesaian dalam bentuk u(x,y) = A
di mana A adalah konstanta
6. Jika ada kondisi awal, maka subtitusikan ke
dalam persamaan umum untuk mendapatkan
nilai A

Contoh 3
Selesaikan persamaan berikut:
1. (6x2 – 10xy +3y2) dx + (-5x2 + 6xy – 3y2) dy=0
2. e y  cos( x  y)  2x 2xdx   xe  y  cos( x  y) 1  0