NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI

NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
1.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 0o
Jika titik P( x, y) menuju A(r ,0) , maka  = 0, maka x  r dan y  0 , sehingga
y
0
Y
sin α   sin 0   0
B(0,r)
r
r
x
r
cos α   cos 0   1
P(x,y)
r
r
r
y

0
C(r,0)
 y
tan α   tan 0   0
X
r
x
O
x
A(r,0)
r
x
cot α   cot 0   TD (Tidak Didefinisikan)
0
y
r
r
sec α   sec 0   1
D(0,r)
r

x
r
r
Gambar 1
csc α   csc 0   TD (Tidak Didefinisikan)
0
y

2.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 90o
Jika titik P( x, y) menuju B(0, r ) , maka  = 90o, maka x  0 dan y  r , sehingga
y
r
Y
sin α   sin 90   1
B(0,r)
r
r
0

x
cos α   cos 90   0
P(x,y)
r
r
r
y
r
C(r,0)
 y
tan α   tan 90   TD (Tidak Didefinisikan)
X
x
0
O
x
A(r,0)
0
x
cot α   cot 90   0

r
y
r
r
sec α   sec 90   TD (Tidak Didefinisikan)
D(0,r)
0
x
r
r
Gambar 2
csc α   csc 90   1
r
y

3.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 180o
Jika titik P( x, y) menuju C (r ,0) , maka  = 180o, maka x  r dan y  0 , sehingga

y
0
 sin 180   0
r
r
P(x,y)
r
x
 1
cos α   cos180 
r
r
y
0
C(r,0) y
0
tan α   tan 180 
r
x
r

x
 TD (Tidak Didefinisikan)
cot α   cot180 
0
y
r
r
 1
sec α   sec180 
r
x
r
r
csc α   csc180   TD (Tidak Didefinisikan)
0
y

Y

sin α 

1 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

B(0,r)
r


X

x O

A(r,0)

D(0,r)
Gambar 3

4.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 270o
Jika titik P( x, y) menuju D(0,r ) , maka  = 270o, maka x  0 dan y  r , sehingga

y
r
 1
 sin 270 
r
r
x
0
cos α   cos 270   0
r
r
y
r
 TD (Tidak Didefinisikan)
tan α   tan 270 
0
x
0
x

0
cot α   cot 270 
r
y

Y

sin α 

B(0,r)

y

x

X

O

A(r,0)

r

P(x,y)

r
r
sec α   sec 270   TD (Tidak Didefinisikan)
0
x
r
r
 1
csc α   csc 270 
r
y

5.



C(r,0)

D(0,r)
Gambar 4

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 360o
Jika titik P( x, y) menuju A(0, r ) , maka  = 360o, maka x  r dan y  0 , sehingga
Y
y
0
sin α   sin 360   0
B(0,r)
r
r

cos α 
tan α 

cot α 

sec α 

csc α 

6.

r
x
 cos 360   1
r
r
y
0
 tan 360   0
r
x
r
x
 cot 360   TD (Tidak Didefinisikan)
0
y
r
r
 sec 360   1
r
x
r
r
 csc 360   TD (Tidak Didefinisikan)
0
y

C(r,0)



O

A(r,0)

X

r
P(x,y)
D(0,r)
Gambar 5

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 30o dan 60o
Definisi:
Jika sudut-sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku besarnya adalah 30o dan 60o, maka
perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa)
adalah 1 : 3 : 2 . Sebaliknya, Jika perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku
terpanjang, dan sisi miring dalam suatu segitiga siku-siku adalah 1 : 3 : 2 , maka sudut-sudut
dihadapan sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa) berturut-turut
B
adalah 30o, 60o, dan 90o.

sin 30 
cos 30 

tan 30 

1
2

cot 30 

3
 3
1

3 1

3
2 2

sec 30 

2

1

csc 30 

3



1
3
3

3



30o

2
3
3

2

2
1

60o
A

2 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

C
1
Gambar 6

3

3 1

3
2 2
1
c os 60 
2
3
tan 60 
 3
1

sin 60 

7.

cot 60 

1

sec 60 

2
1
2

csc 60 

3

3



1
3
3



2
3
3

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 45o
Definisi:
Jika kedua sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku masing-masing besarnya sama dengan 45o,
maka perbandingan (rasio) sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) adalah 1 : 1 : 2 .
Sebaliknya:
Jika perbandingan (rasio) kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) dalam suatu segitiga sikusiku adalah 1 : 1 : 2 , maka sudut-sudut dihadapan kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa)
berturut-turut adalah 45o, 45o, dan 90o.

2 1

2
2
2
2 1
cos 45 

2
2
2
1
tan 45   1
1
1
cot 45   1
1
2
sec 45 
 2
1
2
csc 45 
 2
1

B

sin 45 

45o
2

1
45o
A

1

C

Gambar 7

8. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 15o dan 75o
1.

Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75o
Menggunakan Pertolongan Geometri
Alternatif 1:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di C, dengan A  60 dan B  30 .
2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, segitiga ABD sama kaki.
Akibatnya BAD  BDA  15 .

3 . Sehingga CD  2  3 .

3. Ambillah AC = 1, maka AB = BD = 2, dan BC =
Menurut Pythagoras:



AD  AC 2  CD 2  12  2  3





2

 84 3

 

8 p
8 p
, dengan p  8 2  4 3

2
2

84
84
 6 2

2
2
Dengan demikian,
Perhatikan ACD siku-siku di C.


3 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

2

 4 (harus bilangan rasional)

sin 15 

AC
1
1


AD
6 2 4

 6  2


CD
2 3
1


6 2
AD
6 2 4
AC
1

2 3
tan15 
CD 2  3

cos15 


15o









2 3
1
CD
6 2


AD
6 2 4
AC
1
1
cos 75 


6 2
AD
6 2 4
sin 75 

D

B
30o
75o

CD 2  3
15

2 3
AC
1
Alternatif 2:
60o
1. Buatlah  ACD siku-siku sama kaki, D  90 dan AD = CD.
A
C
2. Buatlah BCD siku-siku di D, DBC  30 dan BCD  60 .
Gambar 8
3. Perpanjang AC dan tarik garis tegak lurus dari titik B, sehingga memotong perpanjangan garis AC di
E, sehingga EBC  15 dan BCE  75 .
4. Ambillah AD = 1, maka
o

tan 75 

Perhatikan ADC , CD = AD = 1, dan AC =

2.

E

Perhatikan BDC , BD  3 dan BC  2 .
C

Sehingga AB  1  3 .
Perhatikan BEA siku-siku sama kaki,
dengan E  90 dan AE  BE .

1 3



45o



45o
A



















30o
B

D
Gambar 9





60o
15o



1
BE 


6 2
2
2
2
AE  AC  CE  BE
1
2  CE 
6 2
2
1
CE 
6 2
2
Dengan demikian,
Perhatikan BCE siku-siku di E:
1
6 2
1
CE 2
6 2
sin 15 


2
4
BC
1
6 2
1
BE 2
6 2
cos15 


2
4
BC
1
6 2
CE 2
tan15 

2 3
BE 1
6 2
2
1
6 2
1
BE 2
6 2
sin 75 


2
4
BC
AB

75o













4 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014











1
6 2
1
CE 2
6 2
cos 75 


2
4
BC
1
6 2
BE 2
tan 75 

2 3
CE 1
6 2
2
Alternatif 3:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, B  90 dan AB = BC.
2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, DAB  30 dan ADB  60 .
3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya
DAC  15 dan ADE  75 .
4. Ambillah AB  BC  3 , maka





Perhatikan ABC : AC = 3 2 .
Perhatikan ABD : BD  3 dan AD  2 3 .
Sehingga CD  BC  BD  3  3 .
Perhatikan DEC siku-siku sama kaki, E  90 , dengan CE  DE .

CE  DE 

CD
2



3 3
2

AE  AC  CE  3 2 





1
3 2 6
2





 

1
1
3 2 6  3 2 6
2
2



Dengan demikian,
Perhatikan ADE siku-siku di E:
C
1
3 2 6
1
DE 2
6 2
sin 15 


45o
4
AD
2 3
E
1
3 2 6
45o
1
AE 2
6 2
cos15 


4
AD
2 3
75o
D
1
o
60
3 2 6
DE 2
tan15 

2 3
AE 1
15o
3 2 6
2
30o
1
3 2 6
A
B
1
AE 2
6 2
sin 75 


4
AD
Gambar 10
2 3
1
3 2 6
1
DE 2
6 2
cos 75 


4
AD
2 3
1
3 2 6
AE 2
tan 75 

2 3
DE 1
3 2 6
2
Alternatif 4:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, A  60 dan C  30 .
2. Buatlah segitiga ABD siku-siku sama kaki, B  90 dan AB  BD .











































5 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

3.

Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya
DAC  15 dan ADE  75 .
C
4. Ambillah AB  1 , maka
Perhatikan ABC : AC  2 dan BC  3 .
30o

Perhatikan ABD : BD  1 dan AD  2 .

Sehingga CD  BC  BD  3  1 .
Perhatikan DEC siku-siku di E.
E
60o
CD 1
DE 

3 1
2
2
D
75o
1
1
CE  DE 3 
3 1  3  3  3
45o
2
2
1
1
AE  AC  CE  2  3  3  1  3
2
2
15o
Dengan demikian,
Perhatikan ADE siku-siku di E:
45o
1
3 1
B
A
1
DE 2
6 2
sin 15 


Gambar 11
4
AD
2
1
1 3
1
AE 2
6 2
cos15 


4
AD
2
1
3 1
DE 2
tan15 

2 3
AE 1
1 3
2
1
1 3
1
AE 2
6 2
sin 75 


4
AD
2
1
3 1
1
DE 2
6 2
cos 75 


4
AD
2
1
1 3
AE 2

tan 75 
2 3
DE 1
3 1
2
Alternatif 5:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, B  C  75 , A  30 dan AB = AC.
2. Tarik garis tegak lurus dari titik B, ke sisi AC sehingga memotongnya di D. Akibatnya
DBC  15 dan BCD  75 .
3. Ambillah AB  AC  2 , maka








































 



















Perhatikan ABD : BD  1 dan AD  3 .
Sehingga CD  AC  AD  2  3 .
Perhatikan BCD siku-siku di D.
Menurut Pythagoras:



BC  BD 2  CD 2  12  2  3



2

 84 3

6 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014



 

8 p
8 p
, karena p  8 2  4 3

2
2

2

 4 (harus bilangan rasional)

84
84
 6 2

2
2
Dengan demikian,
Perhatikan BCD siku-siku di D:


A





2 3
1
CD
6 2


BC
6 2 4
BD
1
1
cos15 


6 2
BC
6 2 4

sin 15 



CD 2  3

2 3
BD
1
BD
1
1
sin 75 


6 2
BC
6 2 4

30o



tan 15 









D
CD
2 3
1
60o


6 2
o
75
15o
BC
6 2 4
C
B
BD
1
tan 75 

2 3
CD 2  3
Gambar 12
Alternatif 6:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, A  60 dan C  30 .
2. Buatlah garis bagi CD. Akibatnya BCD  15 dan BDC  75 .

cos 75 

3. Ambillah AC  2 , maka AB  1 dan BC  3
4. Menentukan panjang CD menggunakan Dalil Garis Bagi:

C

DA : DB  CA : CB  2 : 3
DA 3  2DB
1
AD 3
2
AB  1
AD  BD  1
1
AD  AD 3  1
2
BD 

15o 15o

2  3AD  2
2

42 3
2 3
1
1
BD  AD 3 
3 42 3 2 3 3
2
2
AD 





CD 2  AC  BC  AD  DB



60o



75o
D

A

B

Gambar 13







CD2  2  3  4  2 3  2 3  3  2 3  8 3  12  12  6 3  24  12 3

 

CD  24  12 3  2 6  3 3 , karena p  6 2  3 3





2

 63
1
6  3 
 2 3 2  6 3 2  6
 2


2
2
2 


7 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

 3 (harus bilangan rasional)

Menentukan panjang CD dengan menggumakan Dalil Pythagoras:
Perhatikan BCD siku-siku di B, dengan BC  3 dan BD  2 3  3

CD 2  BC 2  BD 2

CD 2 

 3   2
2



2

3  3  24  12 3

CD  24  12 3 



8 p
8 p
, karena p  24 2  12 3

2
2



2

 12 (harus bilangan rasional)

24  12
24  12
3 2  6

2
2
Dengan demikian,
Perhatikan BCD siku-siku di B:




6 2



6 2

sin 15 

2 3 3 1
BD


CD 3 2  6 4

cos15 

3
1
BC


CD 3 2  6 4

tan 15 

BD 2 3  3

2 3
BC
3

sin 75 

3
1
BC


CD 3 2  6 4

cos 75 

2 3 3 1
BD


CD 3 2  6 4





6 2



6 2






3
BD

2 3
BC 2 3  3
Alternatif 7:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, A  60 dan C  30 .
2. Bagilah sudut A menjadi 4 bagian yang sama besar.
Akibatnya BCD  DAE  EAF  FAC  15 , BAD  75 , dan BEA  60 .
tan 75 

3. Ambillah AC  2 , maka AB  1 dan BC  3
4. Perhatikan segitiga BEA siku-siku di B, dengan
BEA  60 , BAE  30 , dan AB  1
1
2
dan AE 
BE 
3
3

BD : DE  AB : AE  1 :
2
3

C
30o

2
3

F

BD  DE

BE 

E

1
o

3

BD  DE 
BD 

2
3

15 o
15
15o
15o

1
3

BD 

1
3

8 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

A

D

75o
B

Gambar 14





BD 2  3  1
BD  2  3
Perhatikan ABD siku-siku di B, dengan BD  2  3 dan AB  1



AD  AB2  BD2  12  2  3




2

 84 3

 

8 p
8 p
, karena p  8 2  4 3

2
2

2

 4 (bilangan rasional)

84
84
 6 2

2
2
Dengan demikian,
Perhatikan ABD siku-siku di B:










BD
2 3
1


6 2
AD
6 2 4
AB
1
1
cos15 


6 2
AD
6 2 4

sin 15 

BD 2  3

2 3
AB
1
AB
1
1
sin 75 


6 2
AD
6 2 4
tan 15 









2 3
1
BD
6 2


AD
6 2 4
AB
1
tan 75 

2 3
BD 2  3

cos 75 

2. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75o
Menggunakan Pertolongan Geometri Aturan Kosinus atau Aturan Sinus, dan Sudut
Berelasi.
Alternatif 1:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan A  B  75 , C  30 , dan AC  BC .
2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D. Akibatnya AD  BD .
3. Ambillah AC  BC  1 .
C
Menurut Aturan Kosinus:

AB 2  AC 2  BC 2  2 AC  BC cos C
15o15o

AB 2  12  12  2  1  1  cos 30  2  3

AB  2  3



2 p
2 p
, dengan p  2 2 

2
2



 3

2

 1 (rasional)



2 1
2 1 1

6 2

2
2
2
1
1
AD  BD  AB 
6 2
2
4
4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan DAC  75 ,






75o
A

75o
D
Gambar 15

9 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

B

ACD  15 , AC  1 , dan AD 

1
4



6 2



Menurut Pythagoras:

1
CD  AC 2  AD 2  12  
4

 6  2 

2



1
2 3
2

1 8 p
8  p 
, karena karena p  2 2 
 

2
2
2 



1  2 1
2  1  1

 

2 2
2  4
Dengan demikian,
Perhatikan ACD siku-siku di B:
1
6 2
1
AD 4
sin 15 


1
4
AC
1
6 2
1
CD 4
cos15 


1
4
AC
1
6 2
AD 4
tan15 

2
CD 1
6 2
4
1
6 2
1
CD 4
sin 75 


1
4
AC
1
6 2
1
AD 4
cos 75 


1
4
AC
1
6 2
CD 4

tan 75 
2
AD 1
6 2
4



























6 2

 3

2

 1 (harus bilangan rasional)



 6  2
 6  2



3

6 2



 6  2
3

Alternatif 2:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan A  B  15 , C  150 , dan AC  BC .
2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D, sehingga AD  BD .
3. Ambillah AC  BC  1 .
Menurut Aturan Kosinus:
AB 2  AC 2  BC 2  2 AC  BC cos C

AB 2  12  12  2  1  1  cos150

AB 2  2  3
AB  2  3 



8 p
8 p
, karena p  2 2 

2
2

2 1
2 1 1


2
2
2



6 2



10 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

 3

2

 1 (harus bilangan rasional)





1
1
AB 
6 2
2
4
4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan DAC  15 ,
1
6 2
ACD  75 , AC  1 , dan AD 
4
Menurut Pythagoras:
AD  BD 



CD  AC  AD
2

2

1
 1 
4
2







2

1

2 3
6 2 
2


1 8 p
8  p 
, karena karena p  2 2 
 


2
2
2 

 3

2

 1 (harus bilangan rasional)

A
1  2 1
2  1  1


6
2
 

2 2
2  4
Dengan demikian,
15o
Perhatikan ACD siku-siku di B:
1
6 2
1
CD 4
6 2
sin 15 


1
4
AC
1
6 2
1
AD 4
6 2
cos15 


1
4
AC
75o
D
C
1
6 2
75o
CD 4
tan15 

2 3
AD 1
6 2
4
1
6 2
1
AD 4
6 2
sin 75 


1
4
AC
1
15o
6 2
1
CD 4
6 2
cos 75 


1
4
AC
1
6 2
B
AD 4

tan 75 
2 3
CD 1
6 2
Gambar 16
4
Alternatif 3:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, B  90 dan AB = BC.
2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, DAB  30 dan ADB  60 . Sehingga DAC  15 dan
ADC  120 .
3. Ambillah AB  BC  3 , maka

















































Perhatikan ABC : AC = 3 2 .
Perhatikan ABD : BD  3 dan AD  2 3 .
Sehingga CD  BC  BD  3  3 .
Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .

11 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

cos DAC 

AC 2  AD 2  CD 2
2 AC  AD

C

3 2   2 3   3  3 
cos15 
2

2

2

45o

23 2  2 3





18  12  12  6 3

120o

12 6

D

3 3

60o

2 6
1

6 2
4





15o
30o

Menggunakan Aturan Sinus.

A

B

Menurut Aturan Sinus dalam ADC .
CD
AD

sin DAC sin ACD

Gambar 17

3 3
2 3

sin 15 sin 45

sin 15 

3 3
2 3

sin 45 

3 3
2 3



1
1
2 
4
2



6 2



Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.
AB  AC 2  BC 2  4 2 



6 2



2

 84 3

 



8 p
8 p
, karena p  8 2  4 3

2
2



84
84
 6 2

2
2



2

 4 (harus bilangan rasional)
R



sin 15 

PQ
6 2 1


PR
4
4

tan 15 

PQ
6 2
2 3

QR
6 2

sin 75 

QR
6 2 1


PR
4
4



6 2

cos 75 

PQ
6 2 1


PR
4
4



6 2

6 2

15o
4



6 2

75o



Q

P

Gambar 18
QR
6 2
tan 75 
2 3

PQ
6 2
1
6  2 , kita dapat menentukan perbandingan fungsi
Setelah diperoleh cos15 
4





trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoran dan sudut berelasi.
sin 2 x  1  cos 2 x

1
sin 2 15  1  cos 2 15  1  
4





2





2 3
1

6  2  1 2  3 
4
4


12 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

2 3 1
2 3

2
4
1 2 p
2  p 
, dengan p  2 2  3
 


2
2
2 
1  2 1
2  1  1

6 2
 

2 2
2  4
1
6 2
sin 15 4
tan15 

2 3
cos15 1
6 2
4
1
1
sin 15 
6  2  sin90  75 
6 2
4
4
1
cos 75 
6 2
4
1
1
6  2  cos90  75 
6 2
cos15 
4
4
1
sin 75 
6 2
4
tan 15  2  3  tan90  75  2  3
sin 15 

 









 1 (harus bilangan rasional)












2















cot 75  2  3
1
tan 75 
2 3
2 3
C

Alternatif 4:
1. Buatlah ABC siku-siku di B, A  60 dan C  30 .
2. Buatlah ABD siku-siku sama kaki, B  90 dan AB  BD .
Sehingga DAC  15 dan ADC  135 .
3. Ambillah AB  1 , maka

30o

Perhatikan ABC : AC = 2 dan BC  3 .
Perhatikan ABD : AB  BD  1 dan AD  2 .

135o

Sehingga CD  BC  BD  3  1 .
Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .

cos DAC 

cos15 

45o

AC 2  AD 2  CD 2
2 AC  AD

22 

 2    3  1
2

2

2 2 2
22 3 1

6 2

4
4 2





D

15o

4242 3
4 2



45o

Kita juga dapat menggunakan Aturan Sinus sebagai berikut.
Menurut Aturan Sinus dalam ADC .
CD
AD

sin DAC sin ACD

3 1
2

sin 15 sin 30

13 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

B

A
Gambar 19

3 1

sin 15 

2

sin 30 

3 1 1 1
 
2 4
2



6 2



Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.
PQ  PR 2  QR 2  4 2 



6 2



2

 84 3

 

2 p
2 p
, denan p  8 2  4 3

2
2
84
84
 6 2


2
2
PQ
6 2 1
sin 15 


6 2
PR
4
4
PQ
6 2
tan 15 
2 3

QR
6 2




2

 4 (harus bilangan rasional)
R











15o
4

6 2

6 2 1

6 2
4
4
75o
6 2 1

6 2
Q
P
4
4
6 2
Gambar 20
2 3
6 2
1
6  2 , kita dapat menentukan perbandingan fungsi
Setelah ditemukan cos15 
4
QR

PR
PQ
cos 75 

PR
QR
tan 75 

PQ

sin 75 





trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoras dan sudut berelasi.
sin 2 x  1  cos 2 x

1
sin 2 15  1  cos 2 15  1  
4







2



2 3
1

6  2  1 2  3 
4
4


2 3 1

2 3
2
4
1 2 p
2  p 
 

, dengan p  2 2  3
2
2
2 
1  2 1
2  1  1

6 2
 

2 2
2  4
1
6 2
sin 15 4
tan15 

2 3
cos15 1
6 2
4
1
1
sin 15 
6  2  sin90  75 
6 2
4
4
1
6 2
cos 75 
4
1
1
cos15 
6  2  cos90  75 
6 2
4
4
sin 15 

 






















14 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014









2

 1 (harus bilangan rasional)



1
6 2
4
tan 15  2  3  tan90  75  2  3
sin 75 



cot 75  2  3
1
tan 75 
2 3
2 3

3. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75o
Menggunakan Pertolongan Perbandingan Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
dan Sudut Rangkap
1. Menentukan sin 15
Alternatif 1:
sin 15  sin45  30  sin 45 cos 30  cos 45 sin 30 

1
1
1
1 1
2
3
2 
2
2
2
2 4

Alternatif 2:
sin 15  sin60  45  sin 60 cos 45  cos 60 sin 45 

1
1
1 1
1
3
2 
2 
2
2
2 2
4

Alternatif 3:
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x  1  2 sin 2 x  sin x 

1  cos 30

sin 15 
2

1

1  cos 2 x
, x sudut lancip
2

3
2  1 2 3
2
2

1 2 p
2  p 
 

, denan p  2 2 
2
2
2 


2 1
2 1 1


2
2
2



6 2

 3



Alternatif 4:
x 15
6x  90
2x  90  4x
sin 2 x  sin90  4 x 
sin 2x  cos 4x
sin 2 x  1  2 sin 2 2 x
2 sin 2 2 x  sin 2 x  1  0

1 1 8 1 3

, dengan ( sin 2x  0 )
4
4
1
sin 2 x 
2
4 sin x cos x  1

sin 2 x 

4 sin x 1  sin 2 x  1





16 sin 2 x 1  sin 2 x  1

15 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

2

 1 (hrus bilangan rasional)



6 2





6 2



16 sin 4 x  16 sin 2 x  1  0

sin 2 x 

16  256  64 16  8 3 2  3


, dengan sin x  0
32
32
4

sin 2 x 

2 3
2 3
(diterima) atau sin 2 x 
(ditolak)
4
4

sin x 

2 3 1

2 3
2
4

1 2 p
2  p 
, karena p  2 2 
 

2
2
2 
1  2 1
2  1  1

 

2 2
2  4
1
6 2
 sin15 
4
2. Menentukan cos15





6 2

 3

2

 1 (bilangan rasional)





Alternatif 1:
cos15  cos45  30  cos 45 cos 30  sin 45 sin 30 



1
4



6 2



1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2

Alternatif 2:
cos15  cos60  45  cos 60 cos 45  sin 60 sin 45 



1
4



6 2



1 1
1
1

2
3
2
2 2
2
2

Alternatif 3:
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x  2 cos2 x  1  cos x 

cos15 

1  cos 30

2

1

1  cos 2 x
, x sudut lancip
2

3
2  1 2 3
2
2

1 2 p
2  p 
 

, karena p  2 2 
2
2
2 


2 1
2 1 1


2
2
2



6 2



Alternatif 4:
x 15
6x  90
2x  90  4x
cos 2 x  cos90  4 x 
cos 2x  sin 4x

16 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

 3

2

 1 (harus bilangan rasional)

cos 2x  2 sin 2x cos 2x , dengan cos 2x  0
2 sin 2x  1
2 sin 2x  1  0
4 sin x cos x  1  0
4 cos x 1  cos2 x  1





16 cos2 x 1  cos2 x  1
16 cos 4 x  16 cos 2 x  1  0

cos 2 x 

16  256  64 16  8 3 2  3


, dengan cos x  0
32
32
4

cos 2 x 

2 3
2 3
(ditolak) atau cos2 x 
(diterima)
4
4

cos x 

2 3 1

2 3
2
4

1 2 p
2  p 
 

, karena p  2 2 

2
2
2 
1  2 1
2  1  1

 

2 2
2  4
1
6 2
 cos15 
4
3. Menentukan tan15





6 2

 3

2

 1 (bilangan rasional)





Alternatif 1:
1
3
tan 45  tan 30
3 3
3
tan 15  tan 45  30 
2 3


1
1  tan 45 tan 30
3

3
1  1
3
3
1

Alternatif 2:
tan 15  tan 60  45 

tan 60  tan 45
3 1
3 1
2 3


1  tan 60 tan 45 1  3  1
3 1

Alternatif 3:
tan

x
1  cos x

2
1  cos x

1
3
2 3
1  cos 30
2


tan15 

1
1  cos 30
2

3
3
1
2
1

Alternatif 4:
tan 2 x 

2 tan x
1  tan 2 x

tan 2 x  tan 2 x tan 2 x  2 tan x
tan 2 x tan 2 x  2 tan x  tan 2 x  0

17 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

2  3 

2

43

2 3

tan x 

 2  4  4 tan 2 2 x  1  1  tan 2 2 x

2 tan 2 x
tan 2 x

Karena x sudut lancip, maka tan x 

 1  1  tan 2 2 x
tan 2 x

 1 

 1  1  
2
 1  1  tan 30
 3

tan15 
1
tan 30
3

2



2
3
3
2 3
1

1

3

Alternatif 5:
x 15
6x  90
2x  90  4x
tan 2 x  tan 90  4 x 
tan 2x  cot 4x
tan 2x tan 4x  1
 2 tan 2 x 
tan 2 x
 1
 1  tan 2 2 x 
2 tan 2 2 x  1  tan 2 2 x
3 tan 2 2 x  1, dengan tan 2x  0
1
tan 2 x 
3

2 tan x
1

2
1  tan x
3

2 3 tan x  1  tan 2 x
tan 2 x  2 3 tan x  1  0
tan x 

 2 3  12  4  2 3  4
  3  2 , dengan tan x  0

2
2

tan x  2  3 (ditolak) atau tan x  2  3 (diterima)

 tan 15  2  3
4. Menentukan sin 75
Alternatif 1:
sin 75  sin45  30  sin 45 cos 30  cos 45 sin 30 

1
1
1
1 1
2
3
2 
2
2
2
2 4

Alternatif 2:
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x  1  2 sin 2 x  sin x 

sin 75 

1  cos150

2

1

1  cos 2 x
, x sudut lancip
2

3
2  1 2 3
2
2

18 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014



6 2



1 2 p
2  p 
, karena p  2 2 
 

2
2
2 
2 1
2 1 1


2
2
2
5. Menentukan cos 75




6 2

 3

2

 1 (hrus bilangan rasional)



Alternatif 1:
cos 75  cos45  30  cos 45 cos 30  sin 45 sin 30 

1
1
1
1 1
2
3
2 
2
2
2
2 4



Alternatif 2:
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x  2 cos2 x  1

1  cos 2 x
, x sudut lancip
2

cos x 

1  cos150

2

cos 75 

1

3
2  1 2 3
2
2

1 2 p
2  p 
, karena p  2 2 
 

2
2
2 
2 1
2 1 1


2
2
2
6. Menentukan tan 75




6 2

 3

2

 1 (harus bilangan rasional)



Alternatif 1:
tan 45  tan 30
tan 75  tan 45  30 

1  tan 45 tan 30

1
3
3 3
3
2 3

1
1  1
3 3 3
3
1

Alternatif 2:
tan

x
1  cos x

2
1  cos x

1
3
2 3
1  cos150
2


tan 75 

1
1  cos150
2

3
3
1
2
1

2  3 

2

43

Alternatif 3:
tan 2 x 

2 tan x
1  tan 2 x

tan 2 x  tan 2 x tan 2 x  2 tan x
tan 2 x tan 2 x  2 tan x  tan 2 x  0

tan x 

 2  4  4 tan 2 2 x  1  1  tan 2 2 x

2 tan 2 x
tan 2 x

Karena 2x sudut tumpul, maka tan x 
19 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

 1  1  tan 2 2 x
tan 2 x

2 3

6 2



 1 

 1  1   
2
3
 1  1  tan 150


tan 75 
1
tan150

3

2



1


2
3
3
2 3
1
3

9. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 22,5o dan 67,5o
1.

Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 22,5o dan 67,5o
Menggunakan Pertolongan Geometri
Alternatif 1:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, C  90 dan AC  BC .
2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, ABD sama kaki.
Akibatnya BAD  BDA  22,5 .

D

3. Ambillah AC = BC = 1, maka AB = 2 dan CD  1  2 .
Perhatikan segitiga ACD siku-siku di C.
Menurut Pythagoras:





2

AD  AC 2  CD 2  12  1  2

 42 2

B

Dengan demikian,
Perhatikan ACD siku-siku di C.

22,5

1

42 2 1

2 2
2
8

45o

o

45o

42 2

AC
1
1


sin 22,5 


AD
42 2 42 2
42 2
42 2



22,5o

A

C
Gambar 21

3 2 2 42 2
12  6 2  8 2  8 1
1 2
3 2 2
CD



2 2



2
8
AD
42 2 42 2
42 2
42 2
AC
1

 2 1
tan 22,5 
CD 1  2
1
1 2
CD

2 2
sin 67,5 

AD
42 2 2

cos 22,5 

cos 67,5 

1
1
AC
2 2


AD
42 2 2

CD 1  2

1 2
AC
1
Alternatif 2:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, A  45 , B  C  67,5 , dan AC  AB .
2. Tarik garis tegak lurus dari titik B ke sisi AC dan memotongnya di titik D. Sehingga ABD  45 ,
DBC  22,5 , dan BCD  67,5 .
tan 67,5 

3. Ambillah AB  AC  2 , maka AD  BD  1 . Sehingga CD  2  1 .
Menurut Pythagoras:

BC  BD 2  CD 2  12 





2 1

2

 42 2

Dengan demikian,
Perhatikan BCD siku-siku di D.

20 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014