09 Identitas Trigonometri

PERBANDINGAN DAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
E. Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri adalah bentuk persamaan trigonometri yang menghubungkan
suatu perbandingan trigonometri dengan perbandingan trigonometri yang lainnya.
Dalam hal ini terdapat identitas trigonometri dasar yang sudah pernah dibahas pada
materi sebelumnya, yaitu :
(1) cosec α =

1
sin 

(2) sec α =

1
cos 

(3) cotan α =

1
tan 

Disamping itu terdapat pula identitas-identitas dasar yang lain, yang didapat dari proses
sebagai berikut:
Pada segitiga siku-siku di samping berlaku :
y
r
x
cos α =
r
y
tan α =
x

sin α =
r

y



x
Menurut teorema Pythagoras, berlaku:
x2 + y2 = r2
(kedua ruas dibagi dengan r2 )
x2
r2

+

y2
r2

r2

=

r2

x
y

r + r = 1
 
 
2

2

cos2 x + sin 2 x = 1 ……………………………………………………………………. (1)

Jika kedua ruas dibagi cos2 x diperoleh :

cos 2 x
cos 2 x

+

sin 2 x
cos 2 x

=

1
cos 2 x

1 + tan2 x = sec 2 x …………………. (2)
Jika kedua ruas dibagi sin 2 x diperoleh :

cos 2 x
2

sin x

+

sin 2 x
2

sin x

=

1
sin 2 x

cot 2 x + 1 = csc 2 x …………………. (3)

Sedangkan dari rumus perbandingan tangens diperoleh :

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

1

y
(pembilang dan penyebut dibagi r)
x
y/r
tan x =
x/r
sin x
………………………………………………………………………….. (4)

tan x =
cos x

tan x =

Selain identitas dasar di atas, identitas-identitas yang lain dapat dikembangkan dengan
memanfaatkan rumus identitas dasar tersebut.
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Buktikanlah bahwa 3 + 5sin2  = 8 – 5cos2 
Jawab
Ruas kiri = 3 + 5sin2 
= 3 + 5(1 – cos2  )
= 3 + 5 – 5cos2 
= 8 – 5cos2 
= Ruas kanan

02. Buktikanlah bahwa sec2  – sin2  .sec2  = 1
Jawab
Ruas kiri = sec2  – sin2  .sec2 
= sec2  (1 – sin2  )

= sec2  . cos2 
1
. cos2 
=
2
cos 
= 1
= Ruas kanan
1  sin 
cos 
=
03. Buktikanlah bahwa
cos 
1  sin 
Jawab
1  sin 
Ruas kiri =
cos 
 1  sin    1  sin  
= 

.

 cos    1  sin  
=

=

1  sin 2 
cos  (1  sin  )

cos 2 
cos  (1  sin  )

cos 
1  sin 
= Ruas kanan

=

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

2

04. Buktikanlah bahwa tan  – cot  =

1  2 cos2 
sin  cos 

Jawab
Ruas kiri = tan  – cot 
sin 
cos 
–
=
cos 
sin 
=
=
=

sin 2   cos 2 
sin  . cos 

1  cos 2   cos 2 
sin  . cos 
1  2 cos2 
sin  cos 

= Ruas kanan
05. Buktikanlah bahwa
Jawab
Ruas kiri =

=

=

=

tan 

1  tan2 

=

sin  cos 

cos2   sin 2 

tan 

1  tan2 
sin 
cos 

1

sin 2 

cos 2 
sin 
cos

cos 2 



sin 2 

cos 2  cos 2 
sin 
cos 

cos 2   sin 2 
cos 2 

=
=

sin  . cos 2 

cos .(cos2   sin 2  )

sin  . cos

cos 2   sin 2 

= Ruas kanan

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

3

06. Buktikanlah bahwa
Jawab
Ruas kiri =

=

=

=

=

=
=

tan  1
sec   csc 
=
tan  1
sec   css

sec   csc 
sec   css

1
1

sin 
cos 
1
1

cos 
sin 
sin   cos 
sin  . cos 
sin   cos 
sin  . cos 
sin   cos
sin   cos
sin 
cos 

cos 
cos 
cos 
sin 

cos 
cos 
tan  1
tan  1
Ruas kanan

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

4