7. SOAL SOAL PROGRAM LINEAR
17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR
EBTANAS2000
1. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
5x + y ≥ 10
2x + y ≤ 8
y ≥2
x = 2 Æ titik (2,0)
titk potong dengan sumbu y jika x = 0
y = 10 Æ titik (0,10)
daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut
dan di atas garis (I, II,III, V) ---(a)
2. B adalah persamaan garis 2x + y = 8
titik potong dengan sumbu x jika y=0
x = 4 Æ (4,0)
titik potong dengan sumbu y jika x = 0
y = 8 Æ (0,8)
daerah 2x + y ≤ 8 berada pada garis persamaan tersebut
dan di bawah garis (III, V) ….(b)
3. C adalah garis y = 2
daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b)
dari (a) , (b) dan (c) :
ditunjukkan oleh daerah
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V
jawab:
1. I
2.
3. I
II
II
III
III
III
V
V
IV
Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III
Jawabannya adalah C
SIPENMARU1985
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan
2x+y ≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat
digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai
berikut :
1. Terlihat pada gambar bahwa A adalah
persamaan garis 5x + y = 10
titik potong dengan sumbu x jika y = 0
.
www.matematika-sma.com - 1
Himpunan penyelesaiannya berada di atas persamaan garis
2x + y = 4 dan di bawah 3x + 4y = 12
Jawab :
2x+y ≥ 4 ;
2x + y = 4
titik potong dengan sumbu x , y = 0
x = 2 Æ (2,0)
titik potong dengan sumbu y, x = 0
y = 4 Æ (0,4)
3x + 4y ≤ 12
Jawabannya adalah E
UN2005 SMK
3. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan linear…
3x + 4y = 12
titik potong dengan sumbu x, y = 0
x = 4 Æ (4,0)
titik potong dengan sumbu y, x = 0
y=3 Æ (0,3)
gambar sbb:
A. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
B. x+2y ≥ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
C. x-2y ≥ 8, 3x-2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
D. x+2y ≤ 8, 3x-2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
E. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
www.matematika-sma.com - 2
Jawab :
persamaan garis melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah:
(0,a)
Persaman garis =
EBTANAS2001 SMK Teknologi
4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah
himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…
(b,0)
x
y
+
= 1 ⇔ ax + by = a.b
b
a
6x+4y = 24
⇔ 3x + 2y = 12
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka
3x + 2y ≤ 12 …(1)
persamaan garis melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah:
(0,a)
Persaman garis =
(b,0)
x
y
+
= 1 ⇔ ax + by = a.b
b
a
4x+8y = 32
⇔ x + 2y = 8
Jawab:
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka
x + 2y ≤ 8 ….(2)
Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y
maka x ≥ 0 dan y ≥ 0
….(3) dan (4)
sehingga daerah penyelesaiannya adalah:
(1), (2), (3) dan (4)
3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x ≥ 0, y ≥ 0
jawabannya adalah A
A. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
B. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
C. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
D. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
E. 3x + 5y ≥ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
1. persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0) adalah:
(0,a)
ax + by = a.b ⇒ 6x + 10y = 60
3x + 5y = 30
(b,0)
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka
3x + 5y ≤ 30 ….(1)
2. persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0) adalah:
(0,a)
(b,0)
ax + by = a.b ⇒ -4x + 2y = -8
-2x + y = -4
karena daerah arsiran di sebelah kiri maka persamaan
garisnya :
-2x + y ≥ -4 atau 2x – y ≤ 4 …(2)
www.matematika-sma.com - 3
jawab:
ingat untuk a < 0 dan b > 0
1. persamaan garis melalui titik (0,2) dan (-2,0) adalah:
-ax + by ≥ -ab
(b,0)
x
(0,-a)
(0,a)
(b,0)
ax + by = a.b ⇒ 2x - 2y = -4
x - y = -2
-ax + by ≤ -ab
karena daerah arsiran di sebelah kanan persamaan garis
maka
x – y ≥ -2 atau –x + y ≤ 2….(1)
y
untuk a > 0 dan b 0 dan b 0 dan b < 0
y
ax - by ≤ -ab
24
•
16
(-b,0)
www.matematika-sma.com - 6
24
…(c)
…(d)
36
•
48
Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik
yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari
posisi 2 titik ekstrim yang lain.
Buat tabel:
(0,32) ( 6,20) (24,8)
(48,0)
5x + 10y 320
230
200
240
Tentukan persamaan garis:
1. persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0)
( 0,a)
(b,0)
ax + by = ab
24x + 36y = 864 Æ : 6
4x + 6y = 144
2x + 3y = 72 … (1)
Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang
terkecil yaitu 200.
Jawabannya adalah D
UAN2006
9. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C
masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg.
2. persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0)
( 0,a)
(b,0)
ax + by = ab
32x + 16y = 512 Æ : 16
2x + y = 32 …..(2)
3. persamaan garis melalui titik (0,16) dan (48,0)
( 0,a)
(b,0)
ax + by = ab
16x + 48y = 768 Æ : 16
x + 3y = 48 …..(3)
Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg
bahan C
Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg
bahan C
Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah
roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan
maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut
adalah…
A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,-
titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2)
2x + 3y = 72
2x + y = 32
Jawab:
Buat persamaan :
Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb:
2x + y ≤ 160 …..(1)
x + 2y ≤ 110 …..(2)
x + 3y ≤ 150 ….(3)
2 y = 40 Æ y = 20
2x + 3y = 72
2x = 72 – 3y
2x = 72 – 3.20
x = 12/2 = 6 Æ titik b = (6,20)
buat sketsa grafiknya:
Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3)
2x + 3y = 72
x + 3y = 48
x
= 24
x + 3y = 48
3y = 48 - x
3y = 48 – 24
y = 24/3 = 8 Æ titik c = (24,8)
www.matematika-sma.com - 7
“Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah
himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim,
dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik
yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk
memudahkan penyelesaian”
Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari
tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50),
(80,0), titik A dan titik B
UN2007
10. Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk
mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya
tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya
parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar
Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan
tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka
hasiul maksimum tempat parkir itu adalah:
perpotongan (1) dan (2) Æ titik B
A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,-
2x + y = 160 |x1| ⇒ 2x + y = 160
x + 2y = 110 |x2| ⇒ 2x +4y = 220 -
Jawab:
Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu:
Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y
- 3y = -60
y = 20
4 x + 20 y ≤ 1760
x + 5y ≤ 440 …..(1)
2x + y = 160
2x
= 160 – 20
x = 140/2 = 70
x + y ≤ 200
titik B = (70,20)
….(2)
nilai maksimum 1000x + 2000y = ?
perpotongan (2) dan (3) Æ titik A
buat sketsa grafiknya:
x + 2y = 110
x + 3y = 150 - y = -40
y = 40
x + 2y = 110
x = 110 – 2.40
x = 30
(0,200)
Titik potong (A)
titik A = (30,40)
(0,88)
yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari :
30.000 x + 50.000 y
(200,0)
buat tabelnya:
30.000x+50.000y
(0,50)
2500.000
(30,40)
2900.000
(70,20)
3100.000
(80,0)
2400.000
(440,0)
Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu:
(0,88), (200,0) dan titik A
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000
Titik A adalah perpotongan dari dua grafik:
Jawabannya adalah D
x + 5y = 440
x + y = 200
4y = 240
y = 60
www.matematika-sma.com - 8
-
x + y = 200
x = 200 – y
= 200 – 60
= 140
titik A = (140, 60)
Buat tabel :
1000x + 2000y
(0,88)
176.000
(200,0)
200.000
(140,60)
260.000
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000
Jawabannya adalah C
www.matematika-sma.com - 9
EBTANAS2000
1. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
5x + y ≥ 10
2x + y ≤ 8
y ≥2
x = 2 Æ titik (2,0)
titk potong dengan sumbu y jika x = 0
y = 10 Æ titik (0,10)
daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut
dan di atas garis (I, II,III, V) ---(a)
2. B adalah persamaan garis 2x + y = 8
titik potong dengan sumbu x jika y=0
x = 4 Æ (4,0)
titik potong dengan sumbu y jika x = 0
y = 8 Æ (0,8)
daerah 2x + y ≤ 8 berada pada garis persamaan tersebut
dan di bawah garis (III, V) ….(b)
3. C adalah garis y = 2
daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b)
dari (a) , (b) dan (c) :
ditunjukkan oleh daerah
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V
jawab:
1. I
2.
3. I
II
II
III
III
III
V
V
IV
Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III
Jawabannya adalah C
SIPENMARU1985
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan
2x+y ≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat
digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai
berikut :
1. Terlihat pada gambar bahwa A adalah
persamaan garis 5x + y = 10
titik potong dengan sumbu x jika y = 0
.
www.matematika-sma.com - 1
Himpunan penyelesaiannya berada di atas persamaan garis
2x + y = 4 dan di bawah 3x + 4y = 12
Jawab :
2x+y ≥ 4 ;
2x + y = 4
titik potong dengan sumbu x , y = 0
x = 2 Æ (2,0)
titik potong dengan sumbu y, x = 0
y = 4 Æ (0,4)
3x + 4y ≤ 12
Jawabannya adalah E
UN2005 SMK
3. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan linear…
3x + 4y = 12
titik potong dengan sumbu x, y = 0
x = 4 Æ (4,0)
titik potong dengan sumbu y, x = 0
y=3 Æ (0,3)
gambar sbb:
A. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
B. x+2y ≥ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
C. x-2y ≥ 8, 3x-2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
D. x+2y ≤ 8, 3x-2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
E. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
www.matematika-sma.com - 2
Jawab :
persamaan garis melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah:
(0,a)
Persaman garis =
EBTANAS2001 SMK Teknologi
4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah
himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…
(b,0)
x
y
+
= 1 ⇔ ax + by = a.b
b
a
6x+4y = 24
⇔ 3x + 2y = 12
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka
3x + 2y ≤ 12 …(1)
persamaan garis melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah:
(0,a)
Persaman garis =
(b,0)
x
y
+
= 1 ⇔ ax + by = a.b
b
a
4x+8y = 32
⇔ x + 2y = 8
Jawab:
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka
x + 2y ≤ 8 ….(2)
Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y
maka x ≥ 0 dan y ≥ 0
….(3) dan (4)
sehingga daerah penyelesaiannya adalah:
(1), (2), (3) dan (4)
3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x ≥ 0, y ≥ 0
jawabannya adalah A
A. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
B. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
C. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
D. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
E. 3x + 5y ≥ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
1. persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0) adalah:
(0,a)
ax + by = a.b ⇒ 6x + 10y = 60
3x + 5y = 30
(b,0)
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka
3x + 5y ≤ 30 ….(1)
2. persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0) adalah:
(0,a)
(b,0)
ax + by = a.b ⇒ -4x + 2y = -8
-2x + y = -4
karena daerah arsiran di sebelah kiri maka persamaan
garisnya :
-2x + y ≥ -4 atau 2x – y ≤ 4 …(2)
www.matematika-sma.com - 3
jawab:
ingat untuk a < 0 dan b > 0
1. persamaan garis melalui titik (0,2) dan (-2,0) adalah:
-ax + by ≥ -ab
(b,0)
x
(0,-a)
(0,a)
(b,0)
ax + by = a.b ⇒ 2x - 2y = -4
x - y = -2
-ax + by ≤ -ab
karena daerah arsiran di sebelah kanan persamaan garis
maka
x – y ≥ -2 atau –x + y ≤ 2….(1)
y
untuk a > 0 dan b 0 dan b 0 dan b < 0
y
ax - by ≤ -ab
24
•
16
(-b,0)
www.matematika-sma.com - 6
24
…(c)
…(d)
36
•
48
Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik
yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari
posisi 2 titik ekstrim yang lain.
Buat tabel:
(0,32) ( 6,20) (24,8)
(48,0)
5x + 10y 320
230
200
240
Tentukan persamaan garis:
1. persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0)
( 0,a)
(b,0)
ax + by = ab
24x + 36y = 864 Æ : 6
4x + 6y = 144
2x + 3y = 72 … (1)
Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang
terkecil yaitu 200.
Jawabannya adalah D
UAN2006
9. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C
masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg.
2. persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0)
( 0,a)
(b,0)
ax + by = ab
32x + 16y = 512 Æ : 16
2x + y = 32 …..(2)
3. persamaan garis melalui titik (0,16) dan (48,0)
( 0,a)
(b,0)
ax + by = ab
16x + 48y = 768 Æ : 16
x + 3y = 48 …..(3)
Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg
bahan C
Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg
bahan C
Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah
roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan
maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut
adalah…
A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,-
titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2)
2x + 3y = 72
2x + y = 32
Jawab:
Buat persamaan :
Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb:
2x + y ≤ 160 …..(1)
x + 2y ≤ 110 …..(2)
x + 3y ≤ 150 ….(3)
2 y = 40 Æ y = 20
2x + 3y = 72
2x = 72 – 3y
2x = 72 – 3.20
x = 12/2 = 6 Æ titik b = (6,20)
buat sketsa grafiknya:
Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3)
2x + 3y = 72
x + 3y = 48
x
= 24
x + 3y = 48
3y = 48 - x
3y = 48 – 24
y = 24/3 = 8 Æ titik c = (24,8)
www.matematika-sma.com - 7
“Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah
himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim,
dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik
yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk
memudahkan penyelesaian”
Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari
tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50),
(80,0), titik A dan titik B
UN2007
10. Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk
mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya
tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya
parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar
Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan
tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka
hasiul maksimum tempat parkir itu adalah:
perpotongan (1) dan (2) Æ titik B
A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,-
2x + y = 160 |x1| ⇒ 2x + y = 160
x + 2y = 110 |x2| ⇒ 2x +4y = 220 -
Jawab:
Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu:
Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y
- 3y = -60
y = 20
4 x + 20 y ≤ 1760
x + 5y ≤ 440 …..(1)
2x + y = 160
2x
= 160 – 20
x = 140/2 = 70
x + y ≤ 200
titik B = (70,20)
….(2)
nilai maksimum 1000x + 2000y = ?
perpotongan (2) dan (3) Æ titik A
buat sketsa grafiknya:
x + 2y = 110
x + 3y = 150 - y = -40
y = 40
x + 2y = 110
x = 110 – 2.40
x = 30
(0,200)
Titik potong (A)
titik A = (30,40)
(0,88)
yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari :
30.000 x + 50.000 y
(200,0)
buat tabelnya:
30.000x+50.000y
(0,50)
2500.000
(30,40)
2900.000
(70,20)
3100.000
(80,0)
2400.000
(440,0)
Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu:
(0,88), (200,0) dan titik A
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000
Titik A adalah perpotongan dari dua grafik:
Jawabannya adalah D
x + 5y = 440
x + y = 200
4y = 240
y = 60
www.matematika-sma.com - 8
-
x + y = 200
x = 200 – y
= 200 – 60
= 140
titik A = (140, 60)
Buat tabel :
1000x + 2000y
(0,88)
176.000
(200,0)
200.000
(140,60)
260.000
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000
Jawabannya adalah C
www.matematika-sma.com - 9