Beberapa Penurunan Metode Integrasi Nume
Beberapa Penurunan l\4etode Integrasi Numerik:
Aturan Simpson n
M, Imran
mimran@unri.ac.id
Laboratorium Matematika Terapan J urusan lViatematika
Fakultas Matematika dan llmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293)
Ringkasan
We discussed some derivations of Simpson rule formulas that are not commonly discussed in
numerical analysis texts. The derivation involved a Lagrange interpolating polynomial, and a
quadratic polynomial analytically and a combination of trapezoidal rule and uridpoint rule, and
a combination trapezoidal rule analytically and numerically. All the derivations ended up with
the same formula of Simpson rule.
Keywords:
Si,mpson
rule, Lagrange polgnomial, mid,point rule, trapezo,idal
,rute
Ringkasan
Artikel ini membahas beberapa cara penurunan metode integrasi numerik, aturan Simpson, yang
sering tidak di sajikan di buku-buku teks metode numerik. Penurunan meliputi penggunaan
interpolasi polynomial Lagrange, polynomial kuadratik, kombinasi aturan trapesium dan titik
tengah secara analitik dan numerik, kombinasi aturan trapesium secara anlitik dan numerik.
Secara umum semua penurunan menemukan formula aturan Simpson yang sama.
Keywords: Aturan Simpson, polinomial Lagrange, aturan ti,tik tengah, aturan
1
trapes,ium
Pendahuluan
Diberikan sebuah fungsi.f yang terdefinisi pada interval berhingga [a,b]. Selanjutnya kita tertarik
untuk mengevaluasi integral tentu
1b
J*
l{r)a",
(1)
/
dengau asumsi bahwa dapat diintegralkan. Beberapa alasan mengharuskan digunakannya integrasi secara numerik untuk mengaproksimasi (1). integrasi secara numerik, yang dikenal juga dengan
quadrature, merupakan suatu materi yang dibahas pada mata kuliah metode/analisa numerik, yang
merupakan mata kuliah wajib di semua jurusan matematika. Secara rinci penyajian integrasi numerik sering dimulai dengan aturan trapesium kemudian dilanjutkan dengan aturan Simpson.
Untuk mengaproksimasi integral (1), diaproksimasi /(r) dengan garis lurus yang menghubungkan
titik (a,/(o))
dengan (6,/(b)),
f(r)=
W(r-e)+f(a).
Dengan mengintegrallian garis lurus ini dari o ke b diperoleh aturan trapesium
f,o
,tdo*:ffff@)
+ /(b)) :'.rR.
*Presented at SEMiRATA BKS PTN Wilayah
Barat, held at the Syiah Kuala University, Bancla Aceh, 4-5 l\4ei
2009
Bila diaproksimasi
diperoleh aturan
/(r)
dengan fungsi konstan
titik tengah
rb
1""
f((a+b)12),
kemudian diintegralkan
dari ake
b
ttdo": (b - dr(ry) :: MR
Dalam penyajian aturan Simpson, yang merupakan salah satu Newton-Cotes formula, disajikan
dengan menggunakan polinomial Lagrange berorde dua dengan panjang selang yang sama, pr(*),
untuk mengaproksimasi/(r) pada [a,b] . Misalkan'c: (a+b)lz,dan h:b-a, maka
fu r@)o*
Ja
: [,' (ffir@)
J
+S*ffi
rk) +
ffi$t@))dr
(z)
Dengan menghitung integral diruas kanan diperoleh aturan Simpson
l.o
rtdn*: f (rt,t + 4r(ry)+
(3)
/(b))
Teknis penyajian di seperti ini dapat dilihat pada Atkinson(1989), Burden dan Faires (1993), Conte
and de Boor (1980), Fliedman dan Kandel (1993), Gerald dan Wheatly (1994), Hildebrand (1987),
Hoffman (2001), Isaacson dan Keller (1994), James et. all. (1993), Kahaner et. all. (1989), Kincaid
dan Cheney (1991), Kiusalaas (2000), Maron dan Lopez (1991), Mathew dan Fink (1999), Moursund (1967), Nakamura (1993), Patel (1994), Phillips dan Taylor (1996), Quarteroni et. all. (2000),
Ralston dan Rabinowitz (1978), Rice (1993), scheid (1968), Steward (1996), Stoer dan Bulirsch (1980), Suli dan Mayer (2003), dan Young dan Gregory (1988) [1, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,
17, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 26, 29,30, 31, 33, 34, 36, 37, 3gl.
Pada artikel ini disajikan beberapa teknis penurunan metode Simpson selain dari menggunakan
interpolasi Lagrange sebagaimana (2). Dalam penyajian notasi yang sarna disetiap bagian boleh
jadi uiempunyai arti yang berbeda pada bagian lain.
2
Penurunan Alternatif Aturan Simpson
2.L
Penurunan Aturan Simpson: Metode Bobot Taktentu
Untuk menurunkan aturan Simpson dalam mengaproksimasi f f lr)d,r dengan metode bobot taktentu [2,9, 15, 16, 19,34,38], akan ditentulian bobot tus,,ru1 dan tr2 sedemikian hingga
l*o
f tdo*
:
wo!{a)
*
*; (#)
+ wrygl
(4)
eksaks untuk sebarang polinomial yang berorde dua aiau iebih kecil dari dua. Dengan memisalkan
h: b-o dan mensubsitusikan f
ke (4), diperoleh
(")
:1, f(r) : (n- *),
f
("): (r_ $),
,".rru berturut_turut
h:wo*wr*wz
-hlt_rro *
u:
ys k2
G: 4*o *
Penyelesaian dari sistem
ir,
7z
T*''
ini adalah
tuo
: h4hwt=T
6'
WZ:
h,
;0
Dengan demikian diperoleh aturan Simpson
l,o
,tdo*: f (rr,,l + 4r (#)+
/(o))
(5)
2,2
Penurunan Aturan Simpson: Ekspansi Taylor
Ide penurunan formula aturan Simpson ini berasal dari referensi [32], Andaikan
/
memenuhi hipotesa
teoremaTaylorpada [o,b]. Misalkan *:
(o+b)12,h:b -a, dan untuk sebarangr e [a,b],
el
Aturan Simpson n
M, Imran
mimran@unri.ac.id
Laboratorium Matematika Terapan J urusan lViatematika
Fakultas Matematika dan llmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293)
Ringkasan
We discussed some derivations of Simpson rule formulas that are not commonly discussed in
numerical analysis texts. The derivation involved a Lagrange interpolating polynomial, and a
quadratic polynomial analytically and a combination of trapezoidal rule and uridpoint rule, and
a combination trapezoidal rule analytically and numerically. All the derivations ended up with
the same formula of Simpson rule.
Keywords:
Si,mpson
rule, Lagrange polgnomial, mid,point rule, trapezo,idal
,rute
Ringkasan
Artikel ini membahas beberapa cara penurunan metode integrasi numerik, aturan Simpson, yang
sering tidak di sajikan di buku-buku teks metode numerik. Penurunan meliputi penggunaan
interpolasi polynomial Lagrange, polynomial kuadratik, kombinasi aturan trapesium dan titik
tengah secara analitik dan numerik, kombinasi aturan trapesium secara anlitik dan numerik.
Secara umum semua penurunan menemukan formula aturan Simpson yang sama.
Keywords: Aturan Simpson, polinomial Lagrange, aturan ti,tik tengah, aturan
1
trapes,ium
Pendahuluan
Diberikan sebuah fungsi.f yang terdefinisi pada interval berhingga [a,b]. Selanjutnya kita tertarik
untuk mengevaluasi integral tentu
1b
J*
l{r)a",
(1)
/
dengau asumsi bahwa dapat diintegralkan. Beberapa alasan mengharuskan digunakannya integrasi secara numerik untuk mengaproksimasi (1). integrasi secara numerik, yang dikenal juga dengan
quadrature, merupakan suatu materi yang dibahas pada mata kuliah metode/analisa numerik, yang
merupakan mata kuliah wajib di semua jurusan matematika. Secara rinci penyajian integrasi numerik sering dimulai dengan aturan trapesium kemudian dilanjutkan dengan aturan Simpson.
Untuk mengaproksimasi integral (1), diaproksimasi /(r) dengan garis lurus yang menghubungkan
titik (a,/(o))
dengan (6,/(b)),
f(r)=
W(r-e)+f(a).
Dengan mengintegrallian garis lurus ini dari o ke b diperoleh aturan trapesium
f,o
,tdo*:ffff@)
+ /(b)) :'.rR.
*Presented at SEMiRATA BKS PTN Wilayah
Barat, held at the Syiah Kuala University, Bancla Aceh, 4-5 l\4ei
2009
Bila diaproksimasi
diperoleh aturan
/(r)
dengan fungsi konstan
titik tengah
rb
1""
f((a+b)12),
kemudian diintegralkan
dari ake
b
ttdo": (b - dr(ry) :: MR
Dalam penyajian aturan Simpson, yang merupakan salah satu Newton-Cotes formula, disajikan
dengan menggunakan polinomial Lagrange berorde dua dengan panjang selang yang sama, pr(*),
untuk mengaproksimasi/(r) pada [a,b] . Misalkan'c: (a+b)lz,dan h:b-a, maka
fu r@)o*
Ja
: [,' (ffir@)
J
+S*ffi
rk) +
ffi$t@))dr
(z)
Dengan menghitung integral diruas kanan diperoleh aturan Simpson
l.o
rtdn*: f (rt,t + 4r(ry)+
(3)
/(b))
Teknis penyajian di seperti ini dapat dilihat pada Atkinson(1989), Burden dan Faires (1993), Conte
and de Boor (1980), Fliedman dan Kandel (1993), Gerald dan Wheatly (1994), Hildebrand (1987),
Hoffman (2001), Isaacson dan Keller (1994), James et. all. (1993), Kahaner et. all. (1989), Kincaid
dan Cheney (1991), Kiusalaas (2000), Maron dan Lopez (1991), Mathew dan Fink (1999), Moursund (1967), Nakamura (1993), Patel (1994), Phillips dan Taylor (1996), Quarteroni et. all. (2000),
Ralston dan Rabinowitz (1978), Rice (1993), scheid (1968), Steward (1996), Stoer dan Bulirsch (1980), Suli dan Mayer (2003), dan Young dan Gregory (1988) [1, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,
17, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 26, 29,30, 31, 33, 34, 36, 37, 3gl.
Pada artikel ini disajikan beberapa teknis penurunan metode Simpson selain dari menggunakan
interpolasi Lagrange sebagaimana (2). Dalam penyajian notasi yang sarna disetiap bagian boleh
jadi uiempunyai arti yang berbeda pada bagian lain.
2
Penurunan Alternatif Aturan Simpson
2.L
Penurunan Aturan Simpson: Metode Bobot Taktentu
Untuk menurunkan aturan Simpson dalam mengaproksimasi f f lr)d,r dengan metode bobot taktentu [2,9, 15, 16, 19,34,38], akan ditentulian bobot tus,,ru1 dan tr2 sedemikian hingga
l*o
f tdo*
:
wo!{a)
*
*; (#)
+ wrygl
(4)
eksaks untuk sebarang polinomial yang berorde dua aiau iebih kecil dari dua. Dengan memisalkan
h: b-o dan mensubsitusikan f
ke (4), diperoleh
(")
:1, f(r) : (n- *),
f
("): (r_ $),
,".rru berturut_turut
h:wo*wr*wz
-hlt_rro *
u:
ys k2
G: 4*o *
Penyelesaian dari sistem
ir,
7z
T*''
ini adalah
tuo
: h4hwt=T
6'
WZ:
h,
;0
Dengan demikian diperoleh aturan Simpson
l,o
,tdo*: f (rr,,l + 4r (#)+
/(o))
(5)
2,2
Penurunan Aturan Simpson: Ekspansi Taylor
Ide penurunan formula aturan Simpson ini berasal dari referensi [32], Andaikan
/
memenuhi hipotesa
teoremaTaylorpada [o,b]. Misalkan *:
(o+b)12,h:b -a, dan untuk sebarangr e [a,b],
el