Pendekatan Distribusi Binomial Berdasarkan Distribusi Normal
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Probabilitas (Peluang)
Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu
peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain
event). Probabilitas dinyatakan antara 0 (nol) sampai 1 (satu) atau dalam persentase.
Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan
probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. P(A) = 0,99 artinya
probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99 % dan probabilitas A tidak
terjadi adalah sebesar 1%.
Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan probabilitas, yaitu percobaan
(experiment), ruang sampel (sample space) dan kejadian (event).
Percobaan (experiment) adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau
proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 (dua) peristiwa tanpa
memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
Contoh :
Kegiatan melempar mata uang akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau
angka, kegiatan jual beli saham akan menghasilkan peristiwa membeli atau menjual,
perubahan harga-harga akan menghasilkan peristiwa inflasi atau deflasi, pertandingan
sepak bola akan menghasilkan peristiwa menang, kalah atau seri. Kegiatan-kegiatan
yang menimbulkan peristiwa tersebut dikenal sebagai percobaan.
Ruang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan
dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment). Jadi
Universitas Sumatera Utara
10
ruang sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya
suatu percobaan atau kegiatan.
Contoh :
Dari kegiatan diatas dapat diperoleh hasil sebagai berikut :
Tabel 2.1 Percobaan dan Hasil
Percobaan
Ruang Sampel
Melempar Mata Uang
{ Gambar , Angka }
Perdagangan Saham
{ Menjual, Membeli }
Perubahan harga
{ Inflasi, Deflasi }
Pertandingan Sepak Bola
{ Menang, Kalah, Seri}
Kejadian (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada
sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu
percobaan. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu hasil. Pada kegiatan
jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi
inflasi atau deflasi. Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan. Pada
pertandingan sepak bola juga hanya terjadi satu peristiwa, apakah klub sepak bola
tersebut menang, kalah atau seri. Tidak mungkin dalam suatu pertandingan sepak bola,
misalnya Persipura dan PSM, hasilnya adalah Persipura menang juga kalah. Peristiwa
yang mungkin adalah Persipura menang, Persipura kalah, atau seri. Urutan antara
percobaan, ruang sampel dan peristiwa yaitu:
Universitas Sumatera Utara
11
Tabel 2.2 Urutan Percobaan, Hasil, dan Peristiwa
Pertandingan sepak bola antara Persipura
Percobaan / Kegiatan
VS PSM di Stadion Mandala, Jayapura,
27 Februari 2010
Persipura Menang
Ruang Sampel
Persipura Kalah Seri,
Persipura tidak kalah dan menang
Kejadian / Peristiwa
Persipura Menang
Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya
subjektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalam
bidangnya secara subjektif.
Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu
diantaa 0 (nol) dan 1 (satu). Pernyataan ini dapat ditulis sebagai 0
P(A)
1, dimana
P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Jika suatu percobaan
dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama (equallylikely) dan
jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, maka
probabilitas kejadian A adalah : P(A) =
Contoh:
Didalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang diperiksa,
ternyata ada 12 buah barang yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan diambil secara
acak satu saja, berapa probabilitasnya bahwa barang yang diambil adalah barang yang
rusak.
Universitas Sumatera Utara
12
Dari soal diketahui bahwa:
N = 100 buah barang
n = 12 buah barang yang rusak
A = barang yang diambil secara acak
Jadi, probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :
P (A) =
P (A) =
= 0,12
Jika n = 0, berarti tidak ada barang yang rusak, P (A) =
= 0, kejadian ini disebut
impossible event (tidak mungkin terjadi). Tetapi jika n = N = 100, berarti semua barang
rusak, P (A) =
= 1, kejadian ini disebut sure event (pasti terjadi).
2.2 Operasi-Operasi dalam Kejadian
Ada beberapa operasi-operasi dalam kejadian yaitu: gabungan (union), irisan
(intersection), komplemen (complement), selisih dan kejadian majemuk
2.2.1 Gabungan (Union)
Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A
B, merupakan kejadian yang
mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanya.
A ∪ B = {x
:x
A atau x
B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan A ∪ B.
Universitas Sumatera Utara
13
Gambar 2.1 Gabungan
2.2.2 Irisan (Intersection)
Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang
elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B.
A ∩ B = {x : x
A atau x
B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan A ∩ B
Gambar 2.2 Irisan
2.2.3 Komplemen (Complament)
Komplemen dari kejadian A, dinyatakan dengan Ac, adalah kejadian dari elemenelemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A.
Universitas Sumatera Utara
14
Ac = {x : x
S, x
A}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan Ac.
Gambar 2.3 Komplemen
2.2.4 Selisih
Selisih kejadian B dari kejadian A dinyatakan dengan A – B adalah kejadian dari
elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
A - B = {x : x
A, x
B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan A - B.
Gambar 2.4 Selisih
Universitas Sumatera Utara
15
2.2.5 Kejadian Majemuk
1. Bila A and B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka :
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
3. Bila ada K kejadian yaitu A1, A2, …, Ai, …, Ak yang mutually exclusive dan
membentuk kejadian A, maka:
P A = P( A1 ∪ A2 ∪....∪ Ai ∪.... ∪ Ak )
( )=
( )
P(A) = 1
4. Bila A
dan B independent (bebas), maka :
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :
P(A ∩ B) = P(A)P(B | A)
P(A ∩ B) = P(B)P(A | B), dimana P(A)
0, P(B)
0.
2.3 Probabilitas Bersyarat
Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi
disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A|B).
P (A|B) =
(
)
( )
Universitas Sumatera Utara
16
Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketaui bahwa
kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B|A).
(
P(B|A) =
)
( )
Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh :
P(A | B)P(B) = P(A∩ B) = P(B | A)P(A)
(
P(A | B) =
)
( )
=
( | ) ( )
( )
Contoh:
Dari 900 nama, terdapat 500 orang pria dengan status 460 orang bekerja, sedangkan 40
orang lagi tidak bekerja, dan 400 orang wanita dengan status 140 orang bekerja
sedangkan 260 orang lagi tidak bekerja. Berapa probabilitas terpilihnya pria dengan
status telah bekerja?
A = pria terpilih
B = orang yang terpilih berstatus bekerja
=
P(B) =
P(B ∩ A) =
=
P(A | B) =
=
= 0,77
Dari perhitungan diatas maka diperoleh kemungkinan bahwa nama yang
terpilih adalah pria dengan status bekerja adalah sebesar 0,77 atau 77%.
Universitas Sumatera Utara
17
2.4 Titik Sampel
Titik sampel (sample point) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel.
Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi
kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga
dapat dilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n1
n2...nk cara.
Contoh:
Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali. Banyaknya titik sampel dalam ruang
sampel ?
Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) atau belakang (B)
Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B
Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B
Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2) (2) (2) = 8
2.4.1 Kombinasi (Combination)
Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk tanpa
memperhatikan urutan. Kombinasi berkaitan dengan penentuan banyaknya cara
memilih r obyek dari sejumlah n obyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi
merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan (n – r)
obyek sisanya. Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainan jika diambil sebanyak
r.
=
!
!(
)!
Contoh:
Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita Banyaknya panitia yang dibentuk yang
beranggotakan 2 pria dan 1 wanita?
Universitas Sumatera Utara
18
Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria =
Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita =
=
!
! !
=
=6
!
! !
=3
Banyaknya panitia yang dapat dibentuk = (6) (3) = 18
2.4.2 Permutasi (Permutation)
Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk yang
memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi n obyek berlainan adalah n! Banyaknya
permutasi n obyek berlainan bila diambil r sekaligus.
=
!
(
Banyaknya
)!
permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1 adalah jumlah obyek
jenis pertama, n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., nk jumlah obyek ke-k adalah:
!
!
! .
!
Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r sel bila masing-masing berisi n1 obyek pada
sel pertama, n2 obyek pada sel kedua, dan seterusnya adalah :
!
!
! .
!
dengan n1 +
n2 + ... + nr = n
2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit
Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak
masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut.
Sering di menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang
berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.
Universitas Sumatera Utara
19
Oleh karena itu perubah acak diskrit yang berkenaan dengan percobaan
tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat
dinyatakan dengan rumus yang sama.
Dalam banyak praktek yang sering di jumpai, hanya memerlukan beberapa
distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskrit.
2.5.1 Distribusi Seragam
Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya
mempunyai probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas
seragam diskrit.
Jika perubah acak X mendapat nilai x1 , x2 , , xk dengan probabilitas yang
sama, maka distribusi probabilitas diskrit diberikan oleh:
f ( x; k ) = ; untuk x = x1, x2, … , xk
Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam
tersebut bergantung pada parameter x
Gambar 2.5 Distribusi Seragam
Universitas Sumatera Utara
20
Rata-rata dan varians dari distribusi seragam diskrit adalah :
Untuk Rata-rata
=
Untuk Varians
=
(
)
Contoh:
Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel
S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata
dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6,
untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2.5.2 Distribusi Binomial
Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil
yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap
ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari
percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi proses
Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:
1. Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang.
2. Setiap eksperimen memiliki 2 (dua) kemungkinan hasil (outcomes), yakni
Sukses dan Gagal yang saling meniadakan (mutually axclusive).
3. Kemungkinan sukses ditunjukkan dengan simbol p, dan opini tetap (konstan)
dari eksperimen ke eksperimen. Kemungkinan gagal ditunjukkan oleh simbol
q.
Universitas Sumatera Utara
21
4. Eksperimen sebanyak n kali adalah bersifat bebas (independent), artinya hasil
setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.
Istilah sukses dan gagal merupakan istilah statistik dan tidak perlu disama-artikan
dengan istilah sehari-hari yang sering didengar mengingat dalam pengertian ini
kondisi cacat (defective items) hasil dari suatu proses produksi bisa dikatakan sebagai
kondisi sukses.
Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen
ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan 1-p.
f(x) = P(X=x) = b(x,n,p) =
=
!
!(
)!
Dengan: p = probabilitas sukses
q = 1-p
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan
Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata μ = np dan nilai simpangan
baku =
.
2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial
Untuk mencari rata-rata (μ ) digunakan Rumus :
( )
=
( + )n-1
= (1)n-1
=
Universitas Sumatera Utara
22
Jadi ekspektasi dari distribusi binomial adalah np.
2.5.4 Variansi Distribusi Binomial
( ) =[ 2] –( [ ])2
[ ]2 = n(n−1)p2(qn-2+(n−2)pqn-3+ +pn-2 )+np
= n(n−1)p2(q+p)n-2+np
= n(n−1)pn+np
maka,
Var ( )
=[ 2] –( [ ])2
= n(n−1)p2+np−
2
2
= np(1-p)
= npq
Jadi, varian dari distribusi binomial adalah npq
2.6 Distribusi Normal
Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi
Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng. Distribusi ini ditemukan
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X
yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan
matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter μ
(mean) dan σ
(simpangan baku). Dinyatakan n(x, μ , σ).
Universitas Sumatera Utara
23
Gambar 2.6 Kurva Normal
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata μ
dan simpangan baku σ
dinyatakan sebagai :
n( ;
; )
, untuk −∞ <
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Probabilitas (Peluang)
Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu
peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain
event). Probabilitas dinyatakan antara 0 (nol) sampai 1 (satu) atau dalam persentase.
Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan
probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. P(A) = 0,99 artinya
probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99 % dan probabilitas A tidak
terjadi adalah sebesar 1%.
Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan probabilitas, yaitu percobaan
(experiment), ruang sampel (sample space) dan kejadian (event).
Percobaan (experiment) adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau
proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 (dua) peristiwa tanpa
memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
Contoh :
Kegiatan melempar mata uang akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau
angka, kegiatan jual beli saham akan menghasilkan peristiwa membeli atau menjual,
perubahan harga-harga akan menghasilkan peristiwa inflasi atau deflasi, pertandingan
sepak bola akan menghasilkan peristiwa menang, kalah atau seri. Kegiatan-kegiatan
yang menimbulkan peristiwa tersebut dikenal sebagai percobaan.
Ruang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan
dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment). Jadi
Universitas Sumatera Utara
10
ruang sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya
suatu percobaan atau kegiatan.
Contoh :
Dari kegiatan diatas dapat diperoleh hasil sebagai berikut :
Tabel 2.1 Percobaan dan Hasil
Percobaan
Ruang Sampel
Melempar Mata Uang
{ Gambar , Angka }
Perdagangan Saham
{ Menjual, Membeli }
Perubahan harga
{ Inflasi, Deflasi }
Pertandingan Sepak Bola
{ Menang, Kalah, Seri}
Kejadian (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada
sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu
percobaan. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu hasil. Pada kegiatan
jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi
inflasi atau deflasi. Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan. Pada
pertandingan sepak bola juga hanya terjadi satu peristiwa, apakah klub sepak bola
tersebut menang, kalah atau seri. Tidak mungkin dalam suatu pertandingan sepak bola,
misalnya Persipura dan PSM, hasilnya adalah Persipura menang juga kalah. Peristiwa
yang mungkin adalah Persipura menang, Persipura kalah, atau seri. Urutan antara
percobaan, ruang sampel dan peristiwa yaitu:
Universitas Sumatera Utara
11
Tabel 2.2 Urutan Percobaan, Hasil, dan Peristiwa
Pertandingan sepak bola antara Persipura
Percobaan / Kegiatan
VS PSM di Stadion Mandala, Jayapura,
27 Februari 2010
Persipura Menang
Ruang Sampel
Persipura Kalah Seri,
Persipura tidak kalah dan menang
Kejadian / Peristiwa
Persipura Menang
Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya
subjektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalam
bidangnya secara subjektif.
Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu
diantaa 0 (nol) dan 1 (satu). Pernyataan ini dapat ditulis sebagai 0
P(A)
1, dimana
P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Jika suatu percobaan
dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama (equallylikely) dan
jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, maka
probabilitas kejadian A adalah : P(A) =
Contoh:
Didalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang diperiksa,
ternyata ada 12 buah barang yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan diambil secara
acak satu saja, berapa probabilitasnya bahwa barang yang diambil adalah barang yang
rusak.
Universitas Sumatera Utara
12
Dari soal diketahui bahwa:
N = 100 buah barang
n = 12 buah barang yang rusak
A = barang yang diambil secara acak
Jadi, probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :
P (A) =
P (A) =
= 0,12
Jika n = 0, berarti tidak ada barang yang rusak, P (A) =
= 0, kejadian ini disebut
impossible event (tidak mungkin terjadi). Tetapi jika n = N = 100, berarti semua barang
rusak, P (A) =
= 1, kejadian ini disebut sure event (pasti terjadi).
2.2 Operasi-Operasi dalam Kejadian
Ada beberapa operasi-operasi dalam kejadian yaitu: gabungan (union), irisan
(intersection), komplemen (complement), selisih dan kejadian majemuk
2.2.1 Gabungan (Union)
Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A
B, merupakan kejadian yang
mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanya.
A ∪ B = {x
:x
A atau x
B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan A ∪ B.
Universitas Sumatera Utara
13
Gambar 2.1 Gabungan
2.2.2 Irisan (Intersection)
Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang
elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B.
A ∩ B = {x : x
A atau x
B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan A ∩ B
Gambar 2.2 Irisan
2.2.3 Komplemen (Complament)
Komplemen dari kejadian A, dinyatakan dengan Ac, adalah kejadian dari elemenelemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A.
Universitas Sumatera Utara
14
Ac = {x : x
S, x
A}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan Ac.
Gambar 2.3 Komplemen
2.2.4 Selisih
Selisih kejadian B dari kejadian A dinyatakan dengan A – B adalah kejadian dari
elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
A - B = {x : x
A, x
B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan
himpunan A - B.
Gambar 2.4 Selisih
Universitas Sumatera Utara
15
2.2.5 Kejadian Majemuk
1. Bila A and B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka :
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
3. Bila ada K kejadian yaitu A1, A2, …, Ai, …, Ak yang mutually exclusive dan
membentuk kejadian A, maka:
P A = P( A1 ∪ A2 ∪....∪ Ai ∪.... ∪ Ak )
( )=
( )
P(A) = 1
4. Bila A
dan B independent (bebas), maka :
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :
P(A ∩ B) = P(A)P(B | A)
P(A ∩ B) = P(B)P(A | B), dimana P(A)
0, P(B)
0.
2.3 Probabilitas Bersyarat
Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi
disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A|B).
P (A|B) =
(
)
( )
Universitas Sumatera Utara
16
Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketaui bahwa
kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B|A).
(
P(B|A) =
)
( )
Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh :
P(A | B)P(B) = P(A∩ B) = P(B | A)P(A)
(
P(A | B) =
)
( )
=
( | ) ( )
( )
Contoh:
Dari 900 nama, terdapat 500 orang pria dengan status 460 orang bekerja, sedangkan 40
orang lagi tidak bekerja, dan 400 orang wanita dengan status 140 orang bekerja
sedangkan 260 orang lagi tidak bekerja. Berapa probabilitas terpilihnya pria dengan
status telah bekerja?
A = pria terpilih
B = orang yang terpilih berstatus bekerja
=
P(B) =
P(B ∩ A) =
=
P(A | B) =
=
= 0,77
Dari perhitungan diatas maka diperoleh kemungkinan bahwa nama yang
terpilih adalah pria dengan status bekerja adalah sebesar 0,77 atau 77%.
Universitas Sumatera Utara
17
2.4 Titik Sampel
Titik sampel (sample point) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel.
Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi
kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga
dapat dilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n1
n2...nk cara.
Contoh:
Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali. Banyaknya titik sampel dalam ruang
sampel ?
Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) atau belakang (B)
Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B
Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B
Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2) (2) (2) = 8
2.4.1 Kombinasi (Combination)
Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk tanpa
memperhatikan urutan. Kombinasi berkaitan dengan penentuan banyaknya cara
memilih r obyek dari sejumlah n obyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi
merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan (n – r)
obyek sisanya. Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainan jika diambil sebanyak
r.
=
!
!(
)!
Contoh:
Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita Banyaknya panitia yang dibentuk yang
beranggotakan 2 pria dan 1 wanita?
Universitas Sumatera Utara
18
Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria =
Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita =
=
!
! !
=
=6
!
! !
=3
Banyaknya panitia yang dapat dibentuk = (6) (3) = 18
2.4.2 Permutasi (Permutation)
Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk yang
memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi n obyek berlainan adalah n! Banyaknya
permutasi n obyek berlainan bila diambil r sekaligus.
=
!
(
Banyaknya
)!
permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1 adalah jumlah obyek
jenis pertama, n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., nk jumlah obyek ke-k adalah:
!
!
! .
!
Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r sel bila masing-masing berisi n1 obyek pada
sel pertama, n2 obyek pada sel kedua, dan seterusnya adalah :
!
!
! .
!
dengan n1 +
n2 + ... + nr = n
2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit
Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak
masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut.
Sering di menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang
berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.
Universitas Sumatera Utara
19
Oleh karena itu perubah acak diskrit yang berkenaan dengan percobaan
tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat
dinyatakan dengan rumus yang sama.
Dalam banyak praktek yang sering di jumpai, hanya memerlukan beberapa
distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskrit.
2.5.1 Distribusi Seragam
Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya
mempunyai probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas
seragam diskrit.
Jika perubah acak X mendapat nilai x1 , x2 , , xk dengan probabilitas yang
sama, maka distribusi probabilitas diskrit diberikan oleh:
f ( x; k ) = ; untuk x = x1, x2, … , xk
Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam
tersebut bergantung pada parameter x
Gambar 2.5 Distribusi Seragam
Universitas Sumatera Utara
20
Rata-rata dan varians dari distribusi seragam diskrit adalah :
Untuk Rata-rata
=
Untuk Varians
=
(
)
Contoh:
Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel
S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata
dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6,
untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2.5.2 Distribusi Binomial
Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil
yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap
ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari
percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi proses
Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:
1. Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang.
2. Setiap eksperimen memiliki 2 (dua) kemungkinan hasil (outcomes), yakni
Sukses dan Gagal yang saling meniadakan (mutually axclusive).
3. Kemungkinan sukses ditunjukkan dengan simbol p, dan opini tetap (konstan)
dari eksperimen ke eksperimen. Kemungkinan gagal ditunjukkan oleh simbol
q.
Universitas Sumatera Utara
21
4. Eksperimen sebanyak n kali adalah bersifat bebas (independent), artinya hasil
setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.
Istilah sukses dan gagal merupakan istilah statistik dan tidak perlu disama-artikan
dengan istilah sehari-hari yang sering didengar mengingat dalam pengertian ini
kondisi cacat (defective items) hasil dari suatu proses produksi bisa dikatakan sebagai
kondisi sukses.
Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen
ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan 1-p.
f(x) = P(X=x) = b(x,n,p) =
=
!
!(
)!
Dengan: p = probabilitas sukses
q = 1-p
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan
Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata μ = np dan nilai simpangan
baku =
.
2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial
Untuk mencari rata-rata (μ ) digunakan Rumus :
( )
=
( + )n-1
= (1)n-1
=
Universitas Sumatera Utara
22
Jadi ekspektasi dari distribusi binomial adalah np.
2.5.4 Variansi Distribusi Binomial
( ) =[ 2] –( [ ])2
[ ]2 = n(n−1)p2(qn-2+(n−2)pqn-3+ +pn-2 )+np
= n(n−1)p2(q+p)n-2+np
= n(n−1)pn+np
maka,
Var ( )
=[ 2] –( [ ])2
= n(n−1)p2+np−
2
2
= np(1-p)
= npq
Jadi, varian dari distribusi binomial adalah npq
2.6 Distribusi Normal
Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi
Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng. Distribusi ini ditemukan
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X
yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan
matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter μ
(mean) dan σ
(simpangan baku). Dinyatakan n(x, μ , σ).
Universitas Sumatera Utara
23
Gambar 2.6 Kurva Normal
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata μ
dan simpangan baku σ
dinyatakan sebagai :
n( ;
; )
, untuk −∞ <