Kajian Tentang Pendekatan Distribusi Binomial Oleh Distribusi Normal

(1)

KAJIAN TENTANG

PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

SKRIPSI

RIDWAN NASUTION 060823034

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2010

(2)

KAJIAN TENTANG

PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RIDWAN NASUTION 060823034

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2010

(3)

PERSETUJUAN

Judul

:

KAJIAN

TENTANG

PENDEKATAN

DISTRIBUSI

BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: RIDWAN NASUTION

Nim

: 060823034

Program Studi

: SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di

Medan, Juli 2010

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si

Dra. Rahmawati Pane, M.Si

NIP : 19500321 198003 1 001

NIP : 19560219 198503 2 001

Diketahui / Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua

Dr. Saib Suwilo, M.Sc

(4)

PERNYATAAN

KAJIAN TENTANG

PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI

NORMAL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2010

Ridwan Nasution 060823034

(5)

PENGHARGAAN

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT dengan limpahan dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dra. Rahmawati Pane, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah diberikan kepada penulis agar penulis menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU, rekan-rekan kuliah pada program ekstensi matematika stambuk 2006. Akhirnya tidak terlupakan kepada kedua orang tua tercinta, yaitu ayah saya Sarfawi Nasution dan mama saya Hj.Fatimah Hanum Lubis, S.Pd, serta kakak saya Reni Deviyanti Nasution, S.Pd dan adik saya Laila Syahra Nasution yang tersayang yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan tanpa henti. Terima kasih untuk doa dan dukungannya. Semoga Allah melindungi kita semua.

(6)

ABSTRAK

Proses Bernoulli adalah suatu proses yang berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang mungkin yang mana kejadian itu saling asing dan juga independent satu sama lain, yang biasa dinotasikan dengan kejadian sukses dan gagal. Jika nilai n cukup besar, proses Bernoulli akan mendekati distribusi normal , dengan menggunakan rumus :

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

Dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal diharapkan bisa lebih praktis dan lebih efisien. Disamping itu rumus distribusi normal terkadang lebih praktis digunakan pada penjumlahan yang rumit, tentu saja dengan simpangan yang relatif kecil. Diharapkan untuk masalah distribusi binomial bisa diatasi dengan menggunakan pendekatan normal, dan hasil yang diperoleh tidak jauh berbeda dengan distribusi aslinya. Atau dengan kata lain simpangan yang diakibatkan pendekatan normal ini relatif kecil.

(7)

ABSTRAC

Bernoulli process is a process that took place n times and each experiment took place in the same manner and condition. For each experiment there were only two (two) events where the incident may be foreign to each other and also independent of each other, which is usually denoted with the incidence of success and failure. If the value of n is large enough, the Bernoulli process approaches a normal distribution, using the formula:

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

By using the binomial distribution approaches the normal distribution is expected to be more practical and more efficient. Besides the normal distribution formula is sometimes more practical to use the sum of the complex, of course with a relatively small deviation. Expected for the binomial distribution problem can be solved using the normal approximation, and the results obtained are not much different from the original distribution. Or in other words, the deflection caused by the normal approach is relatively small.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstrac vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Permasalahan 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat penelitian 3

BAB 2 LANDASAN TEORI 4

2.1 Probabilitas 4

2.2 Operasi-Operasi dalam Kejadian 7

2.2.1 Gabungan (Union) 7

2.2.2 Irisan (Intersection) 8

2.2.3 Komplemen (Complement) 8

2.2.4 Selisih 9

2.2.5 Kejadian Majemuk 9

2.3 Probabilitas Bersyarat 10

2.4 Titik Sampel 11

2.4.1 Kombinasi (Combination) 11

2.4.2 Permutasi (Permutation) 12

2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit 13

2.5.1 Distribusi Seragam 13

2.5.2 Distribusi Binomial 14

2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial 15

2.5.4 Variansi Distribusi Binomial 16

2.6 Distribusi Normal 17

2.6.1 Nilai Harapan Variabel Acak Normal 18

2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal 20

(9)

2.6.4 Sifat-Sifat Normal Standard 22 2.7 Menghampiri Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal 24

BAB 3 PEMBAHASAN 26

3.1 Pendekatan Distribusi Binomial dengan menggunakan

Distribusi Normal 26

3.2 Sifat Distribusi Binomial 27

3.3 Teorema-Teorema Pendukung 29

3.3.1 Teorema Limit Pusat ( Central Limit Theorem) 29

3.3.2 Teorema De Moivre-Laplace 30

3.4 Teknik Perhitungan Pendekatan Distribusi Binomial oleh

Distribusi Normal 31

3.5 Contoh Kasus 33

3.6 Simpangan Akibat Pendekatan 36

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 38

4.1 Kesimpulan 38

4.2 Saran 39

DAFTAR PUSTAKA 40

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Percobaan dan Hasil 5

Tabel 2.2 Urutan Percobaan, Hasil dan Peristiwa 6

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Gabungan 7

Gambar 2.2 Irisan 8

Gambar 2.3 Komplemen 8

Gambar 2.4 Selisih 9

Gambar 2.5 Distribusi Seragam 14

Gambar 2.6 Kurva Normal 17

Gambar 2.7 Luas Daerah P(a<x<b) = Luas Daerah Diarsir 18 Gambar 2.8 Distribusi Kurva Normal dengan µ Sama dan

σ

Berbeda 23 Gambar 2.9 Distribusi Kurva Normal dengan µ Berbeda dan

σ

Sama 23 Gambar 2.10 Distribusi Kurva Normal dengan µ dan σ Berbeda 24 Gambar 3.1 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki > 0,5 34 Gambar 3.2 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki < 0,5 35 Gambar 3.3 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki = 0,5 35 Gambar 3.4 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki Antara 0,4 dan 0,5 36

(12)

ABSTRAK

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

(13)

ABSTRAC

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705). Proses Bernoulli adalah suatu proses dengan ciri-ciri eksperimen berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang mungkin terjadi, dimana 2 (dua) kejadian tersebut adalah saling asing dan juga independen satu sama lain. Biasanya 2 (dua) kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan kejadian gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q, dan p+q=1. Dari proses tersebut, yang kita definisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses, yang dilambangkan dengan x.

Jika n cukup besar ( n 30 ) dan nilai dari np 5 dan n(1 - p) 5, maka kita bisa menggunakan distribusi normal untuk mendekati distribusi binomial. Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata = np dan nilai simpangan baku = npq. Ini diperoleh dari variabel rendom diskrit, dimana nilai dari rata-rata dicari dengan rumus:

) ( )

(

X P X X

i i

(15)

E(X) = Nilai harapan X atau rata-rata X X = Kejadian X

P(X) = Peluang kejadian X

Dan nilai varians di cari dengan rumus:

[

( )

]

. ( )

) (

X P X E X X

i i

− =

Dengan :

V(X) = Varians X X = Kejadian X

E(X) = Nilai harapan X atau rata-rata X P(X) = Peluang kejadian X

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas

yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku atau disebut juga distribusi Z adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata

nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Secara umum suatu distribusi normal dapat mempunyai sembarang nilai tengah , dan sembarang simpangan baku .

Rumus distribusi normal standard :

σ µ

− = X

Dengan :

Z = normal standard X = variabel random

= rata - rata = simpangan baku

(16)

Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistik, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

1.2 Permasalahan

Masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah bagaimana proses pelaksanaan pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal, dan sejauh mana simpangan yang ditimbulkan akibat dari dilakukannya pendekatan oleh distribusi normal, jika dibandingkan dengan hasil perhitungan dari distribusi aslinya (distribusi binomial).

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui proses pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal dan untuk mengetahui penyimpangan yang diakibatkan dari pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal.

1.4 Manfaat Penelitian

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Bila percobaan dilakukan n kali dengan n ∞ maka akan sedikit sulit menghitungnya dengan distribusi binomial, bentuk distribusi normal akan membantu dalam analisis yang lebih lanjut.

(17)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas

Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain event). Probabilitas dinyatakan antara 0 (nol) sampai 1 (satu) atau dalam persentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. P(A) = 0,99 artinya probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99 % dan probabilitas A tidak terjadi adalah sebesar 1%.

Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan probabilitas, yaitu percobaan (experiment), ruang sampel (sample space) dan kejadian (event).

Percobaan (experiment) adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 (dua) peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Contoh :

Kegiatan melempar mata uang akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka, kegiatan jual beli saham akan menghasilkan peristiwa membeli atau menjual, perubahan harga-harga akan menghasilkan peristiwa inflasi atau deflasi, pertandingan sepak bola akan menghasilkan peristiwa menang, kalah atau seri. Kegiatan-kegiatan yang menimbulkan peristiwa tersebut dikenal sebagai percobaan.

(18)

Ruang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment). Jadi ruang sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan.

Contoh :

Dari kegiatan diatas dapat diperoleh hasil sebagai berikut :

Tabel 2.1 Percobaan dan Hasil

Percobaan Ruang Sampel

Melempar Mata Uang

{ Gambar , Angka } Perdagangan Saham

{ Menjual, Membeli ) Perubahan harga

{ Inflasi, Deflasi } Pertandingan Sepak Bola

{ Menang, Kalah, Seri}

Kejadian (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu percobaan. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu hasil. Pada kegiatan jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi inflasi atau deflasi. Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan. Pada pertandingan sepak bola juga hanya terjadi satu peristiwa, apakah klub sepak bola tersebut menang, kalah atau seri. Tidak mungkin dalam suatu pertandingan sepak bola, misalnya Persipura dan PSM, hasilnya adalah Persipura menang juga kalah. Peristiwa yang mungkin adalah Persipura menang, Persipura kalah, atau seri. Urutan antara percobaan, ruang sampel dan peristiwa yaitu:

(19)

Tabel 2.2 Urutan Percobaan, Hasil dan Peristiwa

Percobaan / Kegiatan Pertandingan sepak bola antara Persipura VS PSM di Stadion Mandala, Jayapura, 27 Februari 2010

Ruang Sampel

Persipura Menang Persipura Kalah

Seri, Persipura tidak kalah dan menang Kejadian / Peristiwa Persipura Menang

Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya subyektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalam bidangnya secara subyektif.

Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu diantaa 0 (nol) dan 1 (satu). Pernyataan ini dapat ditulis sebagai 0≤ P(A)≤1, dimana P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama (equally likely) dan jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, makaprobabilitas kejadian A adalah :

N n A P( )= Contoh:

Didalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang diperiksa, ternyata ada 12 buah barang yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan diambil secara acak satu saja, berapa probabilitasnya bahwa barang yang diambil adalah barang yang rusak.

Dari soal diketahui bahwa: N = 100 buah barang

n = 12 buah barang yang rusak A = barang yang diambil secara acak

Jadi, probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :

N n A P( )=

(20)

12 , 0 100

12 )

(A = =

Jika n = 0, berarti tidak ada barang yang rusak, ( )= 0 =0

N A

P , kejadian ini disebut impossible event (tidak mungkin terjadi). Tetapi jika n = N = 100, berarti

semua barang rusak, 1

100 100 )

(A = =

P , kejadian ini disebut sure event (pasti terjadi).

2.2 Operasi-Operasi dalam Kejadian

Ada beberapa operasi-operasi dalam kejadian yaitu: gabungan (union), irisan (intersection), komplemen (complement), selisih dan kejadian majemuk

2.2.1 Gabungan (Union)

Gabungan dua kejadian Adan B, dinyatakan dengan A∪B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yangtermasuk Aatau Batau keduanya.

A∪ = {x : x ∈ A atau x ∈ B}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan A∪B.

Gambar 2.1 Gabungan

(21)

2.2.2 Irisan (Intersection)

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B.

= ∩B

A {x : x∈A dan x∈B}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan A∩B.

Gambar 2.2 Irisan

2.2.3 Komplemen (Complament)

Komplemen dari kejadian A, dinyatakan dengan Ac, adalah kejadian dari elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A.

{

x x S x A

}

Ac = : ∈ , ∉

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan Ac.

Gambar 2.3 Komplemen

A B

(22)

2.2.4 Selisih

Selisih kejadian B dari kejadian A dinyatakan dengan A – B adalah kejadian dari elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

{

x x A x B

}

A− = : ∈ , ∉

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan A - B.

Gambar 2.4 selisih

2.2.5 Kejadian Majemuk

1. Bila A and B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka : P(A∪B)=P(A)+P(B)

2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

3. Bila ada K kejadian yaitu A1, A2, …, Ai, …, Ak yang mutually exclusive dan membentuk kejadian A, maka:

P(A)=P(A₁∪A₂∪...∪A_i ∪...∪A_k) ( ) ( )

1 =

i i

A P A

P(A)=1

(23)

4. Bila A dan B independent (bebas), maka : P(A∩B)=P(A)P(B)

5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka : P(A∩B)=P(A)P(B| A)

P(A∩B)=P(B)P(A|B), dimana P(A)≠0,P(B)≠0.

2.3 Probabilitas Bersyarat

Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A|B).

) ( ) ( ) | ( B P B A P B A

P = ∩

Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketaui bahwa kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B|A).

) ( ) ( ) | ( A P B A P A B

P = ∩

Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh : ) ( ) | ( ) ( ) ( ) |

(A B P B P A B P B A P A

P = ∩ =

) ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( B P A P A B P B P B A P B A

P = ∩ =

Contoh:

Dari 900 nama, terdapat 500 orang pria dengan status 460 orang bekerja, sedangkan 40 orang lagi tidak bekerja, dan 400 orang wanita dengan status 140 orang bekerja sedangkan 260 orang lagi tidak bekerja. Berapa probabilitas terpilihnya pria dengan status telah bekerja?

(24)

A = pria terpilih

B = orang yang terpilih berstatus bekerja

3 2 900 600 )

(B = =

45 23 900 460 )

(B∩A = =

30 23 3 2

45 23 ) |

(A B = =

Dari perhitungan diatas maka diperoleh kemungkinan bahwa nama yang terpilih adalah pria dengan status bekerja adalah sebesar 0,77 atau 77%.

2.4 Titik Sampel

Titik sampel (sample point) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n1n2...nk cara.

Contoh:

Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali. Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel ?

Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) atau belakang (B) Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B

Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2) (2) (2) = 8

2.4.1 Kombinasi (Combination)

Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi berkaitan dengan penentuan banyaknya cara

(25)

memilih r obyek dari sejumlah n obyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan (n – r) obyek sisanya. Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainan jika diambil sebanyak

(

)

! !

r n r

n C_rn

− =

Contoh:

Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita Banyaknya panitia yang dibentuk yang beranggotakan 2 pria dan 1 wanita?

Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria = 6 ! 2 ! 2

! 4

2 = =

Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita = 3 ! 2 ! 1

! 3

1 = =

Banyaknya panitia yang dapat dibentuk = (6) (3) = 18

2.4.2 Permutasi (Permutation)

Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk yang memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi n obyek berlainan adalah n! Banyaknya permutasi n obyek berlainan bila diambil r sekaligus.

(

)

r n

n P_rn

−

= Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1 adalah jumlah obyek jenis pertama, n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., nk jumlah obyek ke-k adalah:

! !... !

1 n nk

n n

Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r sel bila masing-masing berisi n1 obyek pada sel pertama, n2 obyek pada sel kedua, dan seterusnya adalah :

! !... !

1 n nr

n n

(26)

2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit

Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut. Sering di menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.

Oleh karena itu perubah acak diskrit yang berkenaan dengan percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama.

Dalam banyak praktek yang sering di jumpai, hanya memerlukan beberapa distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskrit.

2.5.1 Distribusi Seragam

Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskrit.

Jika perubah acak X mendapat nilaix₁,x₂, ,x_kdengan probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskrit diberikan oleh:

; 1 ) ; (

k k x

f = untuk x = x1, x2, … , xk

Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x

(27)

X1 X2 X3 XK Gambar 2.5 Distribusi Seragam

Rata-rata dan varians dari distribusi seragam diskrit adalah :

k x

i i

= 1

(

)

k x

i i

− = 1

µ σ

Contoh:

Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

2.5.2 Distribusi Binomial

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang

2. Tiap-tiap eksperimen memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu eksperimen ke eksperimen berikutnya.

(28)

Jadi proses Bernoulli adalah suatu proses dengan ciri-ciri eksperimen berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang mungkin terjadi, dimana 2 (dua) kejadian tersebut adalah saling asing dan juga independent satu sama lain. Biasanya 2 (dua) kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan kejadian gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas

gagal dilambangkan dengan q, dan p+q=1. Dari proses tersebut, yang di definisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses, yang dilambangkan dengan x. Untuk distribusi Binomial semacam itu, bisa dihitung probabilitas x sukses akan muncul dalam n percobaan tersebut dengan rumus :

x n x x n x n

x p q

x n x n q p C p n x P x

F − −

− = = = )! ( ! ! ) , ; ( ) ( Dengan:

x = munculnya sukses yang ingin di hitung n = jumlah eksperimen

p = probabilitas sukses dalam tiap eksperimen q = probabilitas gagal dalam tiap eksperimen = 1 – p n-x = jumlah gagal dalam n eksperimen

Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata = np dan nilai simpangan baku = npq.

2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial

E(X) = = − = = n x x n x n x q p x n x F 0 0 ) (

= n x

n x q x n x n X − = − x 0 p )! ( ! ! .

= n x

n x q x n x n X − = − x 1 p )! ( ! ! .

= n x

n x q x n x n − = − − x 1 p )! ( )! 1 ( !

(29)

= n.p x 1( 1) 1 p )! 1 ( 1 ( )! 1 ( )! 1 ( −− − = − − − −

− n x

n x q x n x n

y = x-1 x = 1 => y = 0 x = n => y = n – 1

= n.p n y

n y q y n y

n −−

−

= − −

− y 1

1 0 p )! 1 ( ! )! 1 (

= n.p (p + q)n -1 = n.p(1)n -1 = np

2.5.4 Variansi Distribusi Binomial

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2 E [X2] =

= − = + − = n x x n x n x q p x n x x x x F x 0 0 2 } ) 1 ( { ) ( = = − − n x x n x q p x n x x 0 ) 1 ( + = − n x x n x q p x n x 0

= 2 2

2 1 .

2 n p qn− + 3 3 3

2 .

3 n p qn− + …+ n(n-1)pn + np = n(n-1)p2 (qn-2 + (n-2) pqn-3 +…+ pn-2) + np

= n(n-1)p2 (q + p)n-2 + np = n(n-1)p2 + np

Jadi,

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2 = n(n-1)p2 + np – n2p2 = np (1-p)

(30)

2.6 Distribusi Normal

Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich Gauss (1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan

matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter µ (mean) dan

σ (simpangan baku). Dinyatakan n(x,µ,σ)

Gabar 2.6 Kurva Normal

Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata µ dan simpangan baku

σ

dinyatakan sebagai :

) )( 2 1 (

2 1 )

, ;

( σ

πσ σ

− −

e x

n untuk −∞< x<∞

Dengan :

µ = mean

σ

= simpangan baku

π = 3,14159… e = 2, 71828…

Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb: =

≤

≤ )

(a x b

dx x f( )

-4 -2 0 2 4

(31)

= e dx x b a 2 ) ( 2 1 2 2

1 _σµ

πσ

− −

Gambar 2.7 Luas Derah P(a < x < b) = Luas Daerah Diarsir

2.6.1 Nilai Harapan Variabel Acak Normal

E [X]

=

∞

∞ −

dx x xf( )

=

x e dx

x ₎2

( 2 1

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ −

=

xe dx

x ₎2

( 2 1

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ −

σ µ_x x

z= −

;

σz+µ_x = x

;

dz dx

;

dx=σdz

=

σz µ_x e z σdz

π σ 2 2 1 ) ( 2

1 ∞ −

∞ −

=

z _x e z dz

2 2 1 ) ( 2

1 ∞ −

∞ −

+µ σ π

=

ze z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π σ

+

x e z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π µ

-4 -2 0 2 4

0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 x d n o rm (x )

(32)

Untuk

ze z dz 2 2 1 2 − ∞ ∞ − π σ

=

( ) 2 ₀ 2 1 0 2

1 2 2

dz ze dz

ze z z

∞ − ∞ − − + π σ 2 2 1 z

y= ; dy=zdz ;

z dy dz=

=

( ) 2 0 0 dy e dy

e y y

∞ − ∞ − − + π σ

untuk ze z dz

∞ − 0 2 1 2

=

z dy ze o y ∞ −

₌

dy e y ∞ − 0

=

[ ]

₋ ∞ 0 y e

dimana lim − =0

∞ →

y e ; maka 0

0 = ∞ − dy e y

akibatnya ze z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π

₌

) 0 0 ( 2π + σ

=

Untuk

x e z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π µ

=

( ) 2 0 2 1 0 2

1 2 2

dz e dz

e z z

x ∞ − ∞ − − + π µ y z z y 2 2 1 2 = → = z dy dz zdz

dy= → =

=

( ) 2 ₀ 0 z dy e z dy

e y y

x ∞ − ∞ − − + π µ

=

) 2 1 2 1 ( 2 0 2 1 0 2 1 dy e y dy e

y y y

x ∞ − − − ∞ − − + π µ

=

) 2 2 2 2 ( 2 π π π µ +

₌

Sehingga :

E [X]

=

ze z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π σ

+

x e z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π µ

E [X]

=

0+µ_x

(33)

2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2 E [x2]

=

x e dx

x ₎2

( 2 1 2

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ −

=

x e dx

x ₎2

( 2 1 2

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ − x x _z x

z σ µ

σ µ + → − = dz dx dx dz σ

σ → =

= 1

=

σz µ_x e z σdz

π σ 2 2 1 2 ) ( 2

1 ∞ −

∞ −

=

z z _x _x e z dz

2 2 1 2 2 ) 2 ( 2

1 ∞ −

∞ −

+ σ µ µ

σ π

=

z e z dz

2 1 2

1 ∞ −

∞ −

+

z e dz

z x 2 2 1 2 2

1 ∞ −

∞ −

µ σ

+

e dz

z x 2 2 1 2 2

1 ∞ −

∞ −

µ π

=

z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

+

x z e z dz

2 1

2 ∞ −

∞ −

π σµ

+

x e z dz

2 2 1 2 2 − ∞ ∞ − π µ

=

z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

+

π µ 2 ( 2 2 x

=

z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

+

Untuk z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

=

( ) 2 2 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 dz e z dz e

z z − z

∞ − ∞ − + π σ y z z y 2 2 1 2 = → = y dy z dy dz zdz dy 2 = = → =

(34)

z e z dz 2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

=

) 2 2 2 2 ( 2 0 0 2 ∞ − ∞ − − ₊ y dy ye y dy

ye y y

π σ

=

) 2 2 2 2 ( 2 2 1 0 2 1 0 2 dy e y dy e

y y −y

∞ − ∞ − + π σ

=

)) 2 1 ( 2 1 2 ) 2 1 ( 2 1 2 ( 2 2 Γ + Γ π σ

=

) 2 2 2 2 ( 2 2 π π π σ +

=

Sehingga : E [X2]

=

σ2+µ_X2

Maka :

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2

=

σ2 +µ_X2

-

µ_x2

=

2.6.3 Distribusi Normal Standard

Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata dan simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat di permudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standard.

Distribusi normal standard adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata (µ) = 0 dan simpangan baku (σ) = 1. Bentuk fungsinya adalah :

2 2 1 2 1 )

(Z e z

f = −

(35)

Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standard di gunakan nilai Z (standard units). Bentuk rumusnya adalah:

σ µ

− = X

Dengan:

Z = Skor Z atau nilai normal baku

X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran

µ = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi

σ = Standart deviasi suatu distribusi

Nilai Z (standard units) adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variabel random (X) dari rata-rata (µ) dihitung dalam satuan simpangan baku (σ).

2.6.4 Sifat-Sifat Normal Standard

Sifat-sifat penting dalam distribusi normal standard yaitu: 1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

2) Bentuknya simetrik terhadap x = µ

3) Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ

4) Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x di mulai dari x = µ+3σ

ke kanan dan x = µ−3σ ke kiri

5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

Untuk tiap pasang µ dan σ , sifat-sifat di atas selalu di penuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

(36)

Gambar 2.8 Distribusi Kurva Normal dengan µ Sama dan σσσσ Berbeda

Pada Gambar 2.8 menunjukkan bentuk distribusi dan kurva normal dengan nilai tengah sama dan standart deviasi yang berbeda. Kurva normal demikian mempunyai µ = Md = Mo yang sama, namun mempunyai σ yang berbeda. Semakin besar σ , maka kurva semakin pendek dan semakin tinggi nilai σ , maka semakin runcing. Oleh sebab itu, σ yang tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya (µ). Sebaliknya apabila σ semakin rendah, maka nilai semakin mengelompok pada nilai tengahnya, sehingga parameter nilai tengah menjadi indikator yang baik bagi ukuran populasi.

Gambar 2.9 Distribusi Kurva Normal dengan µ Berbeda dan σ Sama

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

(37)

Pada Gambar 2.9 menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama, mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama.

Gambar 2.10 Distribusi Kurva Normal dengan µµµµ dan σσσσ Berbeda

Pada Gambar 2.10 menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan µ berbeda dan σ berbeda. Kurva yang demikian mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai setandart deviasi yang berbeda. Kurva demikian relatif banyak terjadi, karena antar-populasi terdapat perbedaan kemampuan, disamping itu di dalam setiap populasi juga terdapat perbedaan, atau setiap populasi juga mempunyai keragaman yang berbeda.

2.7 Menghampiri Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal

Sebagaimana distribusi poisson sebagai penghampir distribusi binomial, maka distribusi binomial dapat juga dihampiri dengan distribusi normal. Penghampiran ini atas dasar teori asimtotik, yaitu dengan mengandaikan banyak pengamatan n dan p tetap. Atas dasar perandaian ini maka : px p n x

x n x

n x

X P x

f − −

− = =

= (1 )

) ! ( !

! )

( ) (

(38)

Pendekatan distribusi normal ini dapat di gunakan untuk pendekatan distribusi binomial, dengan memenuhi beberapa syarat, yaitu :

a. Jumlah pengamatan relatif besar (n 30), dan nilai dari np 5 dan n(1-p) 5, dimana n = jumlah data dan p adalah probabilitas sukses.

b. Memenuhi syarat binomial yaitu mempunyai peristiwa hanya 2 (dua), antara percobaan bersifat independent, probabilitas sukses dan gagal sama untuk semua percobaan dan data merupakan hasil perhitungan.

c. Rumus nilai normal untuk mendekati binomial adalah :

npq np X

Z = −

d. Faktor korelasi diperlukan dari binomial yang acak diskrit menjadi normal yang kontinu dengan menambah atau mengurang 0,5 terhadap nilai X.

(39)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Pendekatan Distribusi Binomial dengan Menggunakan Distribusi Normal

Dalam melakukan proses pengendalian kualitas, penting untuk melakukan pendekatan suatu distribusi probabilitas dengan distribusi probabilitas yang lain. Proses pendekatan akan berguna pada saat nilai tabel dari suatu distribusi tak ada. Dengan pendekatan distribusi yang lain akan didapatkan nilainya dengan tabel. Selain itu pendekatan distribusi dilakukan jika penggunaan distribusi aslinya tidak praktis.

Meskipun distribusi Poisson dapat di gunakan untuk mendekati distribusi binomial, terutama dalam kasus-kasus dimana n sangat besar, sedangkan p sangat kecil. Sebagai penggantinya kita dapat menggunakan distribusi normal untuk mendekati distribusi binomial apabila n bertambah besar. Umumnya jika µ=np>5, kita akan dapat menggunakan distribusi normal.

Dengan melakukan proses standarisasi peta kendali p berarti dilakukan pendekatan distribusi Binomial yang merupakan distribusi asli probabilitas cacat dengan menggunakan distribusi Normal.

Karena distribusi Binomial merupakan distribusi yang diskrit, dan distribusi Normal merupakan distribusi yang kontinu, maka perlu ditambahkan faktor koreksi kontinuitas (continuity correction), yaitu sebesar 0.5. Jika n bernilai besar, maka pendekatan distribusi Binomial dengan distribusi Normal dapat dilakukan dengan

(40)

Beberapa hal yang perlu dilakukan adalah dengan mengubah atau membakukan distribusi normal dalam bentuk distribusi normal standard yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z. Rumus nilai Z adalah :

σ µ

− = X

Dengan:

Z = Skor Z atau nilai normal standard

X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran

µ = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi

σ = Standart deviasi suatu distribusi

Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal menurut Lind (2002) diperlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi yaitu : hanya terdapat dua peristiwa, peristiwa tersebut bersifat independent, besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan dan data merupakan hasil penghitungan.

Apabila sudah memenuhi syarat binomial, maka kita menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,05. Faktor koreksi ini diperlukan untuk mentransformasi dari binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu.

3.2 Sifat Distribusi Binomial

1. Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang

2. Tiap-tiap eksperimen memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu eksperimen ke eksperimen berikutnya.

(41)

4. Tiap eksperimen bebas dengan eksperimen lainnya.

Banyaknya X yang sukses dalam n- eksperimen Bernoulli disebut “peubah acak binomial”, dan distribusi dari peubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu eksperimen, maka distribusi peubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya eksperimen (n).

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu. Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini dinyatakan sebagai

( )

n_x Karena pembagian tersebut saling terpisah (bebas) maka probabilitasnya adalah

( )

n x n x

x p q

− _.

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka distribusi probabilitas peubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n- eksperimen bebas adalah :

( )

n x n x

x x n x n

x p q C p q

p n x P x

f( )= ( ; , )= − = − dengan x = 1,2,3,...,n Adapun sifat-sifat dari distribusi binomial ini adalah:

1. Nilai rata-rata (µ) dari distribusi binomial yaitu banyaknya eksperimen dikalikan dengan banyaknya sukses atau dengan kata lain µ = E (X) = np. 2. Nilai dari varians (σ2) untuk distribusi binomial adalah banyaknya eksperimen

dikalikan dengan banyaknya sukses dan banyaknya gagal atau dengan kata lain

σ = E (X - µ)2 = npq.

3. Nilai dari Simpangan baku (σ ) untuk distribusi binomial adalah akar dari varians atau dengan kata lain σ = npq.

(42)

3.3 Teorema-Teorema Pendukung

Dalam proses untuk mendekatkan distribusi binomial dengan menggunakan distribusi normal, maka diperlukan teorema-teorema pendukung yang terkait.

3.3.1 Teorema Limit Pusat ( Central Limit Theorem)

Teorema limit pusat menyatakan bahwa nilai tengah suatu sampel yang terdiri dari n buah nilai variabel random yang menyebar secara tidak normal, akan tetapi menyebar secara identik (dengan perkataan lain x1, x2, ..., xn memiliki fungsi kepadatan yang sama) serta bebas terhadap sesamanya, penyebarannya akan mendekati sebaran normal dengan pertambahan besarnya nilai n, jadi juga dengan bertambahnya ukuran sampel.

Jika x1, x2, ..., xn adalah n variabel random independent dengan distribusi yang identik dan memiliki mean µ dan varians σ2. Jumlahnya dinyatakan sebagai berikut: X = x1 + x2 + ... + xn

Karena mean dari jumlah adalah jumlah semua mean dan varian dari jumlah adalah jumlah semua varian, untuk variabel random independent, maka :

E (X) = nµ Var (X) = n 2

Untuk setiap variabel random, mengurangi mean dan membaginya dengan standart deviasi akan menghasilkan variabel random dengan mean 0 dan varian 1. maka variabel random :

) (

X Var

X E X

Z = − =

σ µ

n n X −

Kemudian dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan n, maka :

n X Z

σ µ

− =

(43)

Dengan :

n X n

x x

X ₌ 1+ 2+...+ n ₌ _{adalah nilai rata-rata X}

Central Limit Theorem, jika x1, x2, ..., xn adalah n variabel random independent dengan distribusi yang identik, dengan mean µ dan varian σ2. Dilambangkan dengan X dan X adalah jumlah dari rata-rata dari variabel random ini. Sejalan dengan bertambahnya n, distribusi :

Z =

σ µ

n n X −

n X

σ µ

−

cenderung mendekati normal standard.

Dengan bantuan Central Limit Theorem ini, dalam prakteknya untuk masalah jumlah dan rata-rata variabel random, distribusi normal akan memberikan perkiraan yang cukup tepat mengenai distribusi yang sebenarnya.

Apapun distribusi dari sekelompok variabel random, selama variannya bersifat finit, jumlah atau rata-rata dari sejumlah besar variabel tersebut akan berupa variabel random dengan distribusi mendekati normal. Namun rata-rata variabel random dengan distribusi seragam yang independent dalam jumlah cukup besar, akan memiliki distribusi mendekati normal pula.

Bila nilai n makin besar, maka akan mendekati normal standard. Bentuk fungsi densitas probabilitas untuk n variabel random independent dari distribusi Chi-squere dengan derajat kebebasan 1. Validitas Central Limit Theorem tidak terbatas hanya untuk jumlah variabel random kontinu, juga bisa berlaku untuk variabel random diskrit.

3.3.2 Teorema De Moivre-Laplace

Misalkan x1, x2, ..., xn suatu barisan variabel random, Sn menyatakan banyaknya sukses dalam suatu eksperimen binomial dengan n kali percobaan, masing-masing

(44)

dengan probabilitas sukses p, 0<p<1. Misalkan Zn, n = 1, 2, ... barisan variabel random dengan :

npq np S

Z n

−

= ,

Dan misalkan z suatu tetapan. Maka, bila n menuju ke takberhingga, P(Zn > z) mendekati luas pada distribusi normal standard di sebelah kanan z.

Atau dengan pernyataan lain teorema De Moivre-Laplace menyatakan bahwa : Jika Sn banyaknya sukses dalam n percobaan Bernoulli dan p adalah probabilitas sukses dan

npq np S

Z n

−

= , maka :

dt e z

Z P z F

z t n

∞ −

−

→ >

= 2

) (

)

( , dimana n .

Teorema De Moivre-Laplace merupakan suatu bentuk dari teorema limit pusat yang cukup umum. Teorema ini membicarakan limit distribusi jumlah variabel random, dan limit distribusinya biasanya normal. Pentingnya teorema ini ialah bahwa dengan menggunakannya, dapat di hitung pendekatan peluang untuk jumlah variabel random dengan menggunakan distribusi normal tanpa perlu tahu distribusi jumlah variabel random dengan tepat.

3.4 Teknik Perhitungan Pendekatan Distribusi Binomial oleh Distribusi Normal

Oleh karena distribusi binomial adalah distribusi untuk variabel random diskrit yang mana probabilitasnya berupa ordinat. Sedangkan distribusi normal merupakan distribusi untuk variabel random kontinu yang mana probabilitasnya berupa area (luasan), maka perlu diadakan penyesuaian (perubahan) dari ordinat menjadi luas. (panjang dikalikan lebar). Penyesuaian ini dilakukan sebagai berikut :

Misalkan X berdistribusi B(n,p), maka P(X=x) merupakan ordinat pada absis x. Tinggi ordinat sebagai nilai probabilitas dalam distribusi binomial, diambil sebagai panjang dan lebarnya diambil 1 unit. Jadi seolah-olah dibentuk persegi panjang

(45)

berpusat pada x, dengan panjang setinggi nilai ordinat dan lebarnya adalah 1 unit (panjang interval x – 0,5 sampai dengan x + 0,5), sehingga didapatkan probabilitas yang asli (probabilitas diskrit = ordinat) sama dengan luas persegi panjang tersebut.

Dengan memperhatikan proses pendekatan dari distribusi binomial ke distribusi normal yang telah dibahas di atas, maka perhitungan pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

Jika X ~ B(n,p), maka untuk keperluan penghitungan P(X=x) dengan menggunakan distribusi normal adalah sebagai berikut:

P(X = x) = P (x – 0,5 < X < x + 0,5)

= − − < − < + −

npq np x

npq np X npq

np x

P ( 0,5) ( 0,5)

= − − < < + −

npq np x

Z npq

np x

P ( 0,5) ( 0,5)

Dengan Z ~ N(0,1)

P (X x) = ≥ − −

npq np x

P ( 0,5)

P (X x) = ≤ + −

npq np x

P ( 0,5)

P (x1 < X < x2) = P (x1 – 0,5 < X < x2 + 0,5)

= − − < − < + −

npq np x

npq np X npq

np x

P ( 1 0,5) ( 2 0,5)

= − − < < + −

npq np x

Z npq

np x

(46)

3.5 Contoh Kasus

Dari data kelahiran bayi menurut jenis kelamin di RS. Bunda Zahara Medan, selama bulan Januari – Juni 2007 diperoleh data seperti tabel di bawah ini:

Tabel 3.1 Tabel Kelahiran Bayi Menurut Jenis Kelamin

Bulan Laki-laki Perempuan Jumlah

Januari 34 orang 43 orang 77 orang

Februari 48 orang 25 orang 73 orang

Maret 39 orang 46 orang 85 orang

April 26 orang 42 orang 68 orang

Mei 47 orang 49 orang 96 orang

Juni 32 orang 37 orang 69 orang

Jumlah 226 orang 242 orang 468 orang

Dari data jenis kelamin bayi yang lahir diatas, dapat di peroleh hasil sebagai berikut : Banyak bayi lahir = 468 orang, yang terdiri dari :

Jenis kelamin laki-laki = 226 orang Jenis kelamin perempuan = 242 orang Dari data sampel ini dapat dihitung misalnya :

a. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5 b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5 c. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5

d. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5

Penyelesaian :

Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya bayi laki-laki yang lahir.

n = 468 orang, p = peluang kelahiran bayi laki-laki = 468 226

= 0,4829, q = 1-0,4829 = 0,5171

npq

(47)

a. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,5 berarti : X = (0,5) . (468) = 234, Sehingga :

Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5 adalah: P (X > 234) = ( ( 0,5) )

npq np x

P > − −

= )

8103 , 10

226 ) 5 , 0 234 (

(Z > − −

= P (Z > 0,69) = 0,5 - 0,2549 = 0,2451

Jadi probabilitas banyaknya bayi laki-laki lebih dari 234 orang adalah 0,2451.

Gambar 3.1 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki > 0,5

b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5 P (X > 234) = ( ( 0,5) )

npq np x

P < + −

= )

8103 , 10

226 ) 5 , 0 234 (

(Z < + −

= P (Z < 0,78) = 0,5 + 0,2823 = 0,7823

Jadi, probabilitas banyaknya bayi laki-laki kurang dari 234 adalah 0,7823.

-4 -2 0 2 4

(48)

Gambar 3.2 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki < 0,5

c. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5 P ( X = 234 ) =

(

−

)

− < <

(

)

−

npq np x

Z npq

np x

P 0,5 0,5

(

−

)

− < <

(

)

− 8103 , 10

226 5 , 0 234 8103

, 10

226 5 , 0 234

Z P

= P ( 0,69 < Z < 0,78 ) = 0,2823 – 0,2549 = 0,0274

Jadi probabilitas banyaknya bayi laki-laki sama dengan 234 adalah 0,0274

Gambar 3.3 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki = 0,5

-4 -2 0 2 4

)

-4 -2 0 2 4

(49)

d. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,4 berarti : X = (0,4) . (468) = 187, sehingga :

Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5 adalah : P ( 187 < X < 234 ) =

(

−

)

− < <

(

)

−

npq np x

Z npq

np x

P 0,5 0,5

(

−

)

− < <

(

)

− 8103 , 10

226 5 , 0 234 8103

, 10

226 5 , 0 187

Z P

= P ( -3,65 < Z < 0,69) = 0,4999 + 0,2549 = 0,7548

Jadi brobabilitas banyaknya bayi laki-laki antara 187 dan 234 adalah 0,7548.

Gambar 3.4 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki antara 0,4 dan 0,5

3.6 Simpangan Akibat Pendekatan

Untuk melihat besarnya simpangan yang terjadi akibat pendekatan, akan diperlihatkan hasil perhitungan simpangan yang terjadi untuk setiap variabel random X (banyaknya sukses) dalam distribusi binomial dengan parameter n dan p, untuk pendekatan suku tunggal binomial maupun pendekatan binomial kumulatif. Dalam perhitungan ini digunakan program microsoft excel.

Tabel Distribusi Binomial (Terlampir) di peroleh dengan jalan menjalankan program untuk setiap parameter n dan p yang telah diketahui secara berulang-ulang.

-4 -2 0 2 4

(50)

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5 dengan menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,2437. Sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,2451. Itu berarti simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,2451 – 0,2437 = 0,0014

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5 dengan menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,7842. Sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,7823. Itu berarti simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,7842 – 0,7823 = 0,0019.

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5 dengan menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,0280. Sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,0274. Itu berarti simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,0280 – 0,0274 = 0,0006.

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5 dengan menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,7541. Sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,7548. Itu berarti simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,7548 – 0,7541 = 0,0007.

(51)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian bab-bab sebelumnya, maka dapatlah dibuat kesimpulan sebagai berikut : 1. Pada distribusi binomial dengan parameter n dan p, dengan rumus :

x n x x

n x n

x p q

x n x

n q

p C p n x P x

f − −

− = =

)! ( !

! )

, ; ( ) (

Dapat didekati dengan distribusi normal, dengan rumus :

) )( 2 1 (

2 1 )

( σ

πσ

− −

e x

f untuk −∞<x<∞

2. Simpangan terbesar yang terjadi dalam pendekatan akan semakin besar jika jarak p semakin jauh terhadap 0,5 dan atau n semakin kecil.

3. Pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal kurang baik dilakukan untuk kondisi p yang berjarak jauh terhadap 0,5 dan n yang kecil.

4. Khusus untuk data kelahiran bayi, disini dapat diperoleh hasil taksiran dengan interval yang relatif pendek (relatif baik), hal ini disebabkan karena dalam data tersebut ukuran sampelnya cukup besar yaitu n = 468. Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5, diperoleh distribusi binomialnya adalah sebesar 0,2437, sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,2451. Sehingga simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,2451 – 0,2437 = 0,0014. Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5, diperoleh distribusi binomialnya adalah sebesar 0,7842, sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,7823. Sehingga simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,7842 – 0,7823 = 0,0019. Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi

(52)

laki-laki = 0,5, diperoleh distribusi binomialnya adalah sebesar 0,0280, sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,0274. Sehingga simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,0280 – 0,0274 = 0,0006. Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5, diperoleh distribusi binomialnya adalah sebesar 0,7541, sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,7548. Sehingga simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,7548 – 0,7541 = 0,0007.

4.2 Saran

Saran yang dianggap perlu untuk dikemukakan sehubungan dengan kesimpulan, yaitu: 1. Dalam menentukan ukuran sampel yang akan digunakan dalam pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal, sebaiknya dipenuhi kondisi bahwa jika p semakin jauh dari 0,5 maka ukuran sampel yang diperoleh harus semakin besar. Atau dengan perkataan lain simpangan pendekatan yang diinginkan sebaiknya dijadikan salah satu faktor penentu dalam menentukan besarnya ukuran sampel.

2. Untuk melihat besarnya simpangan yang di akibatkan dari pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal, sebaiknya di buat tabel yang lebih lengkap lagi.

(53)

DAFTAR PUSTAKA

Adiningsih, Sri. 1993. Statistik. Yogyakarta: BPFE.

Boediono dan Koster, W. 2004. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. Bandung: Remaja Rosdakarya.

Hakim, Abdul. 2002. Statistik Induktif untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Ekonisia.

Jong Jek Siang. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Andi.

Noer, Ahmad. 2004. Statistik Deskriptif dan Probabilita. Yogyakarta: BPFE. Sarwoko. 2007. Statistik Inferensi untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Andi. Suharyadi dan Purwanto. 2003. Statistika untuk Ekonomi dan keuangan Modren.

Bandung: Salemba Empat.

Supranto, J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi. Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

Surjadi, P.A. 1980. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: ITB. Triola, M. F. 2003. Essentials of Statistics. New York: Pearson-Addison Wesley.

(54)

LAMPIRAN

TABEL DISTRIBUSI BINOMIAL P

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif

46 4.82429E-72 5.45786E-72

47 4.04512E-71 4.5909E-71

48 3.31325E-70 3.77234E-70

49 2.6521E-69 3.02934E-69

50 2.07547E-68 2.37841E-68

51 1.58857E-67 1.82641E-67

52 1.18966E-66 1.3723E-66

53 8.7201E-66 1.00924E-65

54 6.25833E-65 7.26757E-65

55 4.39925E-64 5.12601E-64

56 3.02987E-63 3.54247E-63

57 2.04517E-62 2.39941E-62

58 1.3534E-61 1.59334E-61

59 8.78293E-61 1.03763E-60

60 5.59106E-60 6.62869E-60

61 3.49226E-59 4.15513E-59

62 2.14088E-58 2.55639E-58

63 1.28843E-57 1.54407E-57

64 7.6141E-57 9.15817E-57

65 4.41946E-56 5.33528E-56

66 2.52007E-55 3.0536E-55

67 1.41204E-54 1.7174E-54

68 7.77615E-54 9.49355E-54

69 4.20977E-53 5.15913E-53

70 2.24087E-52 2.75678E-52

71 1.17307E-51 1.44875E-51

72 6.04038E-51 7.48912E-51

73 3.05998E-50 3.8089E-50

74 1.52534E-49 1.90623E-49

75 7.48315E-49 9.38939E-49

76 3.61365E-48 4.55259E-48

77 1.718E-47 2.17326E-47

78 8.04246E-47 1.02157E-46

79 3.70774E-46 4.72931E-46

80 1.68365E-45 2.15658E-45

81 7.53149E-45 9.68807E-45

82 3.31941E-44 4.28822E-44

83 1.44163E-43 1.87045E-43

84 6.17045E-43 8.0409E-43

85 2.60323E-42 3.40731E-42

86 1.08267E-41 1.4234E-41

87 4.43937E-41 5.86277E-41

88 1.79493E-40 2.3812E-40

89 7.15686E-40 9.53807E-40

90 2.81451E-39 3.76831E-39

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif

1 3.9211E-132 3.9301E-132

2 8.5503E-130 8.5896E-130

3 1.2403E-127 1.2489E-127

4 1.3465E-125 1.359E-125

5 1.1669E-123 1.1805E-123

6 8.4091E-122 8.5271E-122

7 5.1829E-120 5.2682E-120

8 2.7891E-118 2.8418E-118

9 1.3313E-116 1.3597E-116

10 5.7064E-115 5.8424E-115

11 2.2188E-113 2.2772E-113

12 7.891E-112 8.1188E-112

13 2.5849E-110 2.6661E-110

14 7.8452E-109 8.1118E-109

15 2.2174E-107 2.2986E-107

16 5.8629E-106 6.0928E-106

17 1.4557E-104 1.5167E-104

18 3.4062E-103 3.5579E-103

19 7.5338E-102 7.8896E-102

20 1.5795E-100 1.6584E-100

21 3.1467E-99 3.3125E-99

22 5.97064E-98 6.3019E-98

23 1.08121E-96 1.14423E-96

24 1.87216E-95 1.98658E-95

25 3.10504E-94 3.3037E-94

26 4.94061E-93 5.27098E-93

27 7.55305E-92 8.08014E-92

28 1.11093E-90 1.19173E-90

29 1.57406E-89 1.69324E-89

30 2.15104E-88 2.32036E-88

31 2.8382E-87 3.07024E-87

32 3.61958E-86 3.9266E-86

33 4.46594E-85 4.8586E-85

34 5.33588E-84 5.82174E-84

35 6.17889E-83 6.76106E-83

36 6.9403E-82 7.61641E-82

37 7.56734E-81 8.32898E-81

38 8.01529E-80 8.84819E-80

39 8.25289E-79 9.13771E-79

40 8.26582E-78 9.17959E-78

41 8.05802E-77 8.97598E-77

42 7.6505E-76 8.5481E-76

43 7.07805E-75 7.93286E-75

44 6.38458E-74 7.17787E-74

(1)

LAMPIRAN

TABEL DISTRIBUSI BINOMIAL

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif 46 4.82429E-72 5.45786E-72 47 4.04512E-71 4.5909E-71 48 3.31325E-70 3.77234E-70 49 2.6521E-69 3.02934E-69 50 2.07547E-68 2.37841E-68 51 1.58857E-67 1.82641E-67 52 1.18966E-66 1.3723E-66 53 8.7201E-66 1.00924E-65 54 6.25833E-65 7.26757E-65 55 4.39925E-64 5.12601E-64 56 3.02987E-63 3.54247E-63 57 2.04517E-62 2.39941E-62 58 1.3534E-61 1.59334E-61 59 8.78293E-61 1.03763E-60 60 5.59106E-60 6.62869E-60 61 3.49226E-59 4.15513E-59 62 2.14088E-58 2.55639E-58 63 1.28843E-57 1.54407E-57 64 7.6141E-57 9.15817E-57 65 4.41946E-56 5.33528E-56 66 2.52007E-55 3.0536E-55 67 1.41204E-54 1.7174E-54 68 7.77615E-54 9.49355E-54 69 4.20977E-53 5.15913E-53 70 2.24087E-52 2.75678E-52 71 1.17307E-51 1.44875E-51 72 6.04038E-51 7.48912E-51 73 3.05998E-50 3.8089E-50 74 1.52534E-49 1.90623E-49 75 7.48315E-49 9.38939E-49 76 3.61365E-48 4.55259E-48 77 1.718E-47 2.17326E-47 78 8.04246E-47 1.02157E-46 79 3.70774E-46 4.72931E-46 80 1.68365E-45 2.15658E-45 81 7.53149E-45 9.68807E-45 82 3.31941E-44 4.28822E-44 83 1.44163E-43 1.87045E-43 84 6.17045E-43 8.0409E-43 85 2.60323E-42 3.40731E-42 86 1.08267E-41 1.4234E-41 87 4.43937E-41 5.86277E-41 88 1.79493E-40 2.3812E-40 89 7.15686E-40 9.53807E-40 90 2.81451E-39 3.76831E-39 P

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif 1 3.9211E-132 3.9301E-132 2 8.5503E-130 8.5896E-130 3 1.2403E-127 1.2489E-127 4 1.3465E-125 1.359E-125 5 1.1669E-123 1.1805E-123 6 8.4091E-122 8.5271E-122 7 5.1829E-120 5.2682E-120 8 2.7891E-118 2.8418E-118 9 1.3313E-116 1.3597E-116 10 5.7064E-115 5.8424E-115 11 2.2188E-113 2.2772E-113 12 7.891E-112 8.1188E-112 13 2.5849E-110 2.6661E-110 14 7.8452E-109 8.1118E-109 15 2.2174E-107 2.2986E-107 16 5.8629E-106 6.0928E-106 17 1.4557E-104 1.5167E-104 18 3.4062E-103 3.5579E-103 19 7.5338E-102 7.8896E-102 20 1.5795E-100 1.6584E-100 21 3.1467E-99 3.3125E-99 22 5.97064E-98 6.3019E-98 23 1.08121E-96 1.14423E-96 24 1.87216E-95 1.98658E-95 25 3.10504E-94 3.3037E-94 26 4.94061E-93 5.27098E-93 27 7.55305E-92 8.08014E-92 28 1.11093E-90 1.19173E-90 29 1.57406E-89 1.69324E-89 30 2.15104E-88 2.32036E-88 31 2.8382E-87 3.07024E-87 32 3.61958E-86 3.9266E-86 33 4.46594E-85 4.8586E-85 34 5.33588E-84 5.82174E-84 35 6.17889E-83 6.76106E-83 36 6.9403E-82 7.61641E-82 37 7.56734E-81 8.32898E-81 38 8.01529E-80 8.84819E-80 39 8.25289E-79 9.13771E-79 40 8.26582E-78 9.17959E-78 41 8.05802E-77 8.97598E-77 42 7.6505E-76 8.5481E-76 43 7.07805E-75 7.93286E-75 44 6.38458E-74 7.17787E-74 45 5.61783E-73 6.33562E-73

(2)

P Tunggal Kumulatif 136 1.03669E-17 1.83138E-17 137 2.3461E-17 4.17749E-17 138 5.25507E-17 9.43256E-17 139 1.16509E-16 2.10835E-16 140 2.55688E-16 4.66523E-16 141 5.55455E-16 1.02198E-15 142 1.19451E-15 2.21649E-15 143 2.54305E-15 4.75954E-15 144 5.35992E-15 1.01195E-14 145 1.11845E-14 2.1304E-14 146 2.31074E-14 4.44114E-14 147 4.72685E-14 9.16798E-14 148 9.57409E-14 1.87421E-13 149 1.92019E-13 3.7944E-13 150 3.81352E-13 7.60792E-13 151 7.49996E-13 1.51079E-12 152 1.46069E-12 2.97148E-12 153 2.81732E-12 5.78879E-12 154 5.38156E-12 1.11704E-11 155 1.0181E-11 2.13513E-11 156 1.90762E-11 4.04275E-11 157 3.54021E-11 7.58296E-11 158 6.50751E-11 1.40905E-10 159 1.18485E-10 2.59389E-10 160 2.13689E-10 4.73079E-10 161 3.8176E-10 8.54839E-10 162 6.75611E-10 1.53045E-09 163 1.18444E-09 2.71489E-09 164 2.05708E-09 4.77197E-09 165 3.53935E-09 8.31133E-09 166 6.03311E-09 1.43444E-08 167 1.01886E-08 2.4533E-08 168 1.70472E-08 4.15803E-08 169 2.826E-08 6.98402E-08 170 4.64169E-08 1.16257E-07 171 7.55404E-08 1.91798E-07 172 1.21812E-07 3.1361E-07 173 1.94634E-07 5.08243E-07 174 3.08158E-07 8.16402E-07 175 4.83466E-07 1.29987E-06 176 7.51629E-07 2.0515E-06 177 1.15797E-06 3.20946E-06 178 1.76787E-06 4.97733E-06 179 2.67472E-06 7.65206E-06 180 4.01039E-06 1.16624E-05 P Tunggal Kumulatif

91 1.09178E-38 1.46861E-38 92 4.17803E-38 5.64664E-38 93 1.57746E-37 2.14213E-37 94 5.87686E-37 8.01898E-37 95 2.16061E-36 2.9625E-36 96 7.83964E-36 1.08021E-35 97 2.80769E-35 3.88791E-35 98 9.92614E-35 1.3814E-34 99 3.46441E-34 4.84582E-34 100 1.19382E-33 1.6784E-33 101 4.06207E-33 5.74047E-33 102 1.36489E-32 1.93893E-32 103 4.52921E-32 6.46815E-32 104 1.48445E-31 2.13126E-31 105 4.80573E-31 6.937E-31 106 1.53689E-30 2.23059E-30 107 4.85569E-30 7.08628E-30 108 1.51571E-29 2.22434E-29 109 4.67493E-29 6.89927E-29 110 1.42482E-28 2.11475E-28 111 4.29143E-28 6.40618E-28 112 1.27742E-27 1.91804E-27 113 3.75828E-27 5.67633E-27 114 1.09294E-26 1.66057E-26 115 3.14184E-26 4.80241E-26 116 8.9286E-26 1.3731E-25 117 2.50855E-25 3.88165E-25 118 6.96836E-25 1.085E-24 119 1.91397E-24 2.99897E-24 120 5.1983E-24 8.19726E-24 121 1.39617E-23 2.21589E-23 122 3.70843E-23 5.92432E-23 123 9.7419E-23 1.56662E-22 124 2.53118E-22 4.09781E-22 125 6.50511E-22 1.06029E-21 126 1.65372E-21 2.71401E-21 127 4.15878E-21 6.87279E-21 128 1.03465E-20 1.72193E-20 129 2.54663E-20 4.26855E-20 130 6.2016E-20 1.04702E-19 131 1.49428E-19 2.5413E-19 132 3.56263E-19 6.10393E-19 133 8.40506E-19 1.4509E-18 134 1.96229E-18 3.41319E-18 135 4.53377E-18 7.94696E-18

(3)

LAMPIRAN

TABEL DISTRIBUSI BINOMIAL

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif 226 0.03688406 0.518755112 227 0.036720695 0.555475807 228 0.036247308 0.591723115 229 0.035475962 0.627199077 230 0.034426028 0.661625105 231 0.033123374 0.694748479 232 0.031599309 0.726347788 233 0.029889341 0.756237129 234 0.028031802 0.784268931 235 0.026066437 0.810335368 236 0.024033015 0.834368383 237 0.021970026 0.856338409 238 0.01991353 0.876251939 239 0.017896202 0.894148141 240 0.015946588 0.910094729 241 0.014088613 0.924183342 242 0.012341314 0.936524656 243 0.010718802 0.947243458 244 0.009230423 0.95647388 245 0.007881088 0.964354969 246 0.006671732 0.971026701 247 0.005599862 0.976626563 248 0.004660157 0.98128672 249 0.003845091 0.985131811 250 0.003145526 0.988277337 251 0.002551284 0.990828621 252 0.002051638 0.992880258 253 0.001635749 0.994516007 254 0.001293016 0.995809023 255 0.001013352 0.996822375 256 0.000787377 0.997609751 257 0.000606552 0.998216303 258 0.000463248 0.998679551 259 0.000350764 0.999030315 260 0.000263312 0.999293628 261 0.000195964 0.999489592 262 0.000144587 0.999634179 263 0.00010576 0.999739939 264 7.66929E-05 0.999816632 265 5.51343E-05 0.999871766 266 3.92934E-05 0.999911059 267 2.77614E-05 0.999938821 268 1.9444E-05 0.999958265 269 1.35004E-05 0.999971765 270 9.29219E-06 0.999981058 P

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif 181 5.95914E-06 1.76216E-05 182 8.77559E-06 2.63972E-05 183 1.28078E-05 3.9205E-05 184 1.85261E-05 5.77311E-05 185 2.65591E-05 8.42902E-05 186 3.77372E-05 0.000122027 187 5.31446E-05 0.000175172 188 7.41806E-05 0.000249353 189 0.000102629 0.000351981 190 0.000140735 0.000492717 191 0.000191292 0.000684009 192 0.000257726 0.000941735 193 0.000344185 0.00128592 194 0.000455624 0.001741544 195 0.000597867 0.002339411 196 0.000777668 0.003117079 197 0.001002719 0.004119798 198 0.00128164 0.005401438 199 0.001623901 0.007025339 200 0.002039691 0.00906503 201 0.00253972 0.01160475 202 0.003134934 0.014739684 203 0.00383616 0.018575844 204 0.004653664 0.023229508 205 0.005596645 0.028826153 206 0.00667266 0.035498813 207 0.007887014 0.043385826 208 0.009242138 0.052627964 209 0.01073698 0.063364944 210 0.012366457 0.075731401 211 0.014120992 0.089852394 212 0.015986196 0.10583859 213 0.017942716 0.123781305 214 0.019966284 0.14374759 215 0.022028005 0.165775595 216 0.024094871 0.189870466 217 0.026130522 0.216000988 218 0.028096225 0.244097213 219 0.029952049 0.274049262 220 0.031658175 0.305707437 221 0.0331763 0.338883737 222 0.034471057 0.373354794 223 0.035511377 0.40886617 224 0.036271728 0.445137898 225 0.036733154 0.481871052

(4)

P Tunggal Kumulatif 316 1.95396E-17 1 317 8.74947E-18 1 318 3.87984E-18 1 319 1.70372E-18 1 320 7.40826E-19 1 321 3.18974E-19 1 322 1.35988E-19 1 323 5.74028E-20 1 324 2.39905E-20 1 325 9.9266E-21 1 326 4.06632E-21 1 327 1.64902E-21 1 328 6.61992E-22 1 329 2.63068E-22 1 330 1.03479E-22 1 331 4.02888E-23 1 332 1.55257E-23 1 333 5.92144E-24 1 334 2.2351E-24 1 335 8.3491E-25 1 336 3.08628E-25 1 337 1.12892E-25 1 338 4.08601E-26 1 339 1.46327E-26 1 340 5.18464E-27 1 341 1.81743E-27 1 342 6.30256E-28 1 343 2.1621E-28 1 344 7.33687E-29 1 345 2.46261E-29 1 346 8.17537E-30 1 347 2.68423E-30 1 348 8.71584E-31 1 349 2.79864E-31 1 350 8.88606E-32 1 351 2.78976E-32 1 352 8.6595E-33 1 353 2.65741E-33 1 354 8.06187E-34 1 355 2.41766E-34 1 356 7.16649E-35 1 357 2.09961E-35 1 358 6.07941E-36 1 359 1.73957E-36 1 360 4.91868E-37 1 P Tunggal Kumulatif

271 6.34011E-06 0.999987398 272 4.28822E-06 0.999991686 273 2.8751E-06 0.999994561 274 1.91082E-06 0.999996472 275 1.25884E-06 0.999997731 276 8.22057E-07 0.999998553 277 5.32116E-07 0.999999085 278 3.41411E-07 0.999999426 279 2.17125E-07 0.999999643 280 1.36866E-07 0.99999978 281 8.55126E-08 0.999999866 282 5.29548E-08 0.999999919 283 3.25023E-08 0.999999951 284 1.9772E-08 0.999999971 285 1.19208E-08 0.999999983 286 7.12318E-09 0.99999999 287 4.21838E-09 0.999999994 288 2.4758E-09 0.999999997 289 1.44003E-09 0.999999998 290 8.30061E-10 0.999999999 291 4.74154E-10 0.999999999 292 2.68406E-10 1 293 1.50564E-10 1 294 8.36939E-11 1 295 4.61003E-11 1 296 2.51617E-11 1 297 1.3608E-11 1 298 7.29219E-12 1 299 3.87185E-12 1 300 2.03688E-12 1 301 1.06168E-12 1 302 5.48257E-13 1

303 2.805E-13 1

304 1.42176E-13 1 305 7.13924E-14 1 306 3.55141E-14 1 307 1.75009E-14 1 308 8.54315E-15 1 309 4.13107E-15 1 310 1.9787E-15 1 311 9.38771E-16 1 312 4.41151E-16 1 313 2.05329E-16 1 314 9.46531E-17 1 315 4.32143E-17 1

(5)

LAMPIRAN

TABEL DISTRIBUSI BINOMIAL

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif 406 1.28183E-68 1 407 1.82352E-69 1 408 2.54602E-70 1 409 3.48797E-71 1 410 4.68731E-72 1 411 6.17722E-73 1 412 7.98092E-74 1 413 1.01059E-74 1 414 1.25377E-75 1 415 1.52352E-76 1 416 1.81264E-77 1 417 2.11087E-78 1 418 2.40513E-79 1 419 2.68026E-80 1 420 2.92016E-81 1 421 3.1092E-82 1 422 3.23383E-83 1 423 3.2841E-84 1 424 3.25496E-85 1 425 3.14697E-86 1 426 2.96643E-87 1 427 2.72482E-88 1 428 2.43759E-89 1 429 2.12249E-90 1 430 1.79773E-91 1 431 1.48018E-92 1 432 1.1839E-93 1 433 9.19204E-95 1 434 6.92266E-96 1 435 5.05295E-97 1 436 3.57154E-98 1 437 2.4423E-99 1 438 1.6143E-100 1 439 1.0302E-101 1 440 6.3408E-103 1 441 3.7596E-104 1 442 2.1447E-105 1 443 1.1755E-106 1 444 6.1811E-108 1 445 3.1131E-109 1 446 1.4992E-110 1 447 6.8908E-112 1 448 3.0164E-113 1 449 1.2548E-114 1 450 4.9475E-116 1 P

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif 361 1.37419E-37 1 362 3.7932E-38 1 363 1.0344E-38 1 364 2.7865E-39 1 365 7.4145E-40 1 366 1.94859E-40 1 367 5.05752E-41 1 368 1.29626E-41 1 369 3.28057E-42 1 370 8.19721E-43 1 371 2.02209E-43 1 372 4.92393E-44 1 373 1.18347E-44 1 374 2.80732E-45 1 375 6.5716E-46 1 376 1.51792E-46 1 377 3.45922E-47 1 378 7.77697E-48 1 379 1.72463E-48 1 380 3.77212E-49 1 381 8.13628E-50 1 382 1.73047E-50 1 383 3.62866E-51 1 384 7.50096E-52 1 385 1.52833E-52 1 386 3.06896E-53 1 387 6.07264E-54 1 388 1.1839E-54 1 389 2.27372E-55 1 390 4.30112E-56 1 391 8.01276E-57 1 392 1.46984E-57 1 393 2.65444E-58 1 394 4.71868E-59 1 395 8.2554E-60 1 396 1.42118E-60 1 397 2.40698E-61 1 398 4.00988E-62 1 399 6.5696E-63 1 400 1.0583E-63 1 401 1.67594E-64 1 402 2.60849E-65 1 403 3.98943E-66 1 404 5.99412E-67 1 405 8.84572E-68 1

(6)

P Tunggal Kumulatif 451 1.844E-117 1 452 6.4767E-119 1 453 2.1363E-120 1 454 6.5914E-122 1 455 1.894E-123 1 456 5.0424E-125 1 457 1.2365E-126 1 458 2.7733E-128 1 459 5.6424E-130 1 460 1.0309E-131 1 461 1.6707E-133 1 462 2.364E-135 1 463 2.8609E-137 1 464 2.8789E-139 1 465 2.3127E-141 1 466 1.3904E-143 1 467 5.5608E-146 1 468 1.1096E-148 1