Analisis Sistem Antrian dan Simulasi Pelayanan Pengambilan Dana Pensiun Menggunakan Metode Monte Carlo di PT. Pos Indonesia Kota Lhokseumawe
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Teori Antrian
Suatu antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah yang memerlukan layanan dari
satu atau lebih fasilitas pelayanan. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh
kebutuhan akan layanan melebihi kapasitas fasilitas pelayanan yang ada, sehingga
nasabah tidak segera mendapatkan pelayanan. Teori antrian merupakan suatu
studi matematikal dari gejala garis tunggu tersebut (Siagian, 1987).
Fenomena antrian sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari,
diantaranya mobil-mobil yang mengantri pada tempat pencucian mobil,
penumpang yang mengantri untuk pembelian karcis, nasabah bank yang
menunggu giliran untuk melakukan transaksi perbankan, pasien yang menunggu
di rumah sakit untuk mendapatkan pelayanan kesehatan, dan masih banyak lagi.
Dalam banyak hal, untuk mengurangi panjang antrian yang terjadi atau mencegah
terjadinya antrian dapat dilakukan dengan penambahan fasilitas pelayanan. Akan
tetapi, terkadang penambahan fasilitas pelayanan ini dapat mengurangi
keuntungan. Namun, jika antrian terlalu panjang akan mengakibatkan hilangnya
pelanggan atau nasabah.
Situasi menunggu merupakan suatu bagian dari keadaan yang terjadi
dalam rangkaian kegiatan operasional yang bersifat random dalam suatu fasilitas
pelayanan. Pelanggan datang ke tempat itu dengan waktu yang acak, tidak teratur
dan tidak dapat segera dilayani sehingga mereka harus menunggu cukup lama.
Dengan mempelajari teori antrian maka penyedia fasilitas pelayanan dapat
mengusahakan agar dapat melayani pelanggannya dengan baik dan tanpa harus
menunggu terlalu lama (Kakiay, 2004).
Universitas Sumatera Utara
7
2.2
Sistem Antrian
Sistem antrian merupakan suatu himpunan pelanggan, fasilitas pelayanan, dan
suatu aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pelayanan yang akan
didapatkannya. Sedangkan keadaan sistem merujuk pada jumlah pelanggan yang
berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Populasi
antrian adalah jumlah pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan pada
fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004).
Pelanggan tiba dengan laju tetap ataupun tidak tetap untuk memperoleh
pelayanan pada fasilitas pelayanan yang tersedia. Bila pelanggan yang tiba dapat
masuk ke dalam fasilitas pelayanan, maka hal itu akan segera dilakukan. Tetapi
jika harus menunggu, maka mereka akan membentuk suatu barisan antrian hingga
tiba waktunya untuk dilayani. Para pelanggan tersebut akan dilayani dengan laju
yang tetap ataupun tidak tetap. Setelah selesai, maka pelanggan pun akan keluar
dari sistem antrian (Siagian, 1987).
Sistem antrian dapat dibagi atas dua komponen, yaitu:
1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang membutuhkan
pelayanan (pembeli, nasabah, pasien dan lain-lain).
2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (loket
bioskop dan penjual karcis, bank dan teller, dan lain-lain).
2.3
Elemen Dasar Model Antrian
Faktor penting dalam suatu sistem antrian adalah pelanggan dan fasilitas
pelayanan, di mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan
untuk mendapatkan pelayanan. Elemen dasar dari suatu model antrian adalah
sebagai berikut (Aminuddin, 2005):
1. Sifat pemanggilan populasi
2. Sifat fasilitas pelayanan
3. Struktur-struktur antrian dasar
Universitas Sumatera Utara
8
2.3.1 Sifat Pemanggilan Populasi
Bagian dari sistem antrian ini mempunyai tiga sifat yang akan diuraikan
1. Besar kecilnya pemanggilan populasi, pemanggilan populasi ini bisa terbatas
bisa pula tidak terbatas.
2. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi, sifat kedatangan pada fasilitas
pelayanan bisa dalam beberapa pola tertentu ataupun secara acak. Bila
kedatangan secara acak, maka harus diketahui probabilitas melalui waktu
antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan
acak paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tenntu saja tidak
semua kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih
dahulu sebelum kita menggunakannya.
3. Tingkah laku pemanggilan populasi
Ada 3 istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk menggambarkan
tingkah laku pemanggilan populasi:
a. Tidak mengikuti (renege), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian
dan kemudian meninggalkannya
b. Menolak (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung
c. Merebut (bulk), menunjukkan kondisi dimana kedatangan terjadi secara
bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut
menyorobot ke depan.
2.3.2 Sifat Fasilitas Pelayanan
Dalam membahas sifat dari fasilitas pelayanan, kita berfokus pada tiga hal:
1. Tatanan fisik sistem antrian, diukur berdasarkan jumlah saluran atau sumber
pelayanan. Bila terdapat satu saluran pelayanan maka dikatakan sistem saluran
tunggal. Sistem saluran majemuk mempunyai sumber pelayanan lebih dari
satu yang beroperasi secara bersamaan.
2. Disiplin antrian, berkaitan pada subyek pemanggilan populasi yang menerima
pelayanan. Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani,
Universitas Sumatera Utara
9
atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para
pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut
urutan kedatangan antara lain adalah (Kakiay, 2004) :
a. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana
pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket
pembelian tiket kereta api.
b. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana
pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk lanti yang sama, sistem
bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun
dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.
c. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service
(RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi
tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya,
pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.
d. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada
pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan
pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun
mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal
ini mungkin disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang
memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu
tempat praktek dokter, hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan
potensial akan dilayani terlebih dahulu.
3. Distribusi probabilitas yang sesuai untuk menggambarkan waktu pelayanan,
yang waktu pelayanan tersebut bisa saja konstan maupun acak. Apabila waktu
pelayanan didistribusikan secara acak, kita harus mendapatkan distribusi
probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya
jika waktu pelayanannya acak, maka analisis antrian menggunakan distribusi
probabilitas eksponensial. Ini bisa dilakukan dengan membandingkan sampel
waktu pelayanan yang sebenarnya dengan waktu pelayanan yang diharapkan
berdasarkan rumus eksponensial.
Universitas Sumatera Utara
10
2.3.3 Struktur-struktur Antrian Dasar
Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas pelayanan
(server) secara parallel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain pihak
jumlah tahapan (phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang harus
dilalui sampai pelayanan selesai atau lengkap.
Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi 4 struktur dasar
fasilitas pelayanan:
1. Single Channel–Single Phase
Contoh untuk single channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang
hanya mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian.
Gambar 2.1 Single Channel–Single Phase
2. Single Channel–Multi Phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien
berobat ke rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar dulu di loket
pendaftaran, kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh perawat
di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter.
Gambar 2.2 Single Channel–Multi Phase
3. Multi Channel–Single Phase
Contoh untuk multi channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang
menyediakan beberapa loket pelayanan untuk melayani pelanggan yang
datang dengan satu jalur antrian.
Universitas Sumatera Utara
11
Gambar 2.3 Multi Channel–Single Phase
4. Multi Channel–Multi Phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien
berobat ke rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar dulu di loket
pendaftaran, kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh salah
satu perawat yang berada di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri
untuk dirawat oleh dokter yang terdiri dari beberapa orang sehingga dapat
melayani beberapa pasien secara bersamaan.
Gambar 2.4 Multi Channel–Multi Phase
2.4
Notasi Antrian
Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari masingmasing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi itu
dituliskan (Sri Mulyono, 2002):
[a/b/c/d/e/f]
Notasi Kendall dasar adalah: [ a / b / c ]
Keterangan:
a : distribusi kedatangan
b : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan,
untuk a dan b, notasi standar ini dapat diganti dengan kode-kode yang
sebenarnya dari distribusi-distribusi yang terjadi, diantaranya (Kakiay, 2004):
M menunjukkan Poisson
Ek menunjukkan Erlang
Universitas Sumatera Utara
12
D berarti deterministik atau konstan
G berarti general atau umum dari service time atau keberangkatan
GI berarti general atau umum yang independen dari proses kedatangan
c : banyaknya pelayanan paralel
d : disiplin antrian (GD: general discipline), seperti FCFS, LCFS, prioritas, dan
random
e : jumlah maksimum pengantri dalam sistem (antri dan dilayani)
f : jumlah sumber kedatangan
Sebagai ilustrasi, perhatikan notasi berikut:
(M/D/5/FCFS/N/∞)
Notasi tersebut berarti kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan
konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Disiplin antrian yang berlaku
adalah pelanggan yang pertama datang yang pertama dilayani, jumlah konsumen
terbatas sebanyak N, dan sumber populasi tak terbatas.
2.5
Model Antrian
Model-model antrian secara umum antara lain adalah sebagai berikut:
1. Model (M /M/1/GD/∞/∞).
Syarat-syarat dari model ini antara lain:
a. Jumlah kedatangan setiap satuan waktu mengikuti distribusi poisson.
b. Waktu pelayanan berdistribusi ekponensial.
c. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS.
d. Sumber populasi tidak terbatas.
e. Jalur antriannya tunggal.
f. Tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari pada rata-rata pelayanan.
g. Panjang antrian tidak terbatas.
2. Model (M/M/c/GD/∞/∞).
Pada model ini fasilitas pelayanan (server) bersifat ganda, rata-rata tingkat
kedatangan lebih kecil dari pada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat
pelayanan di semua jalur.syarat yang lain sama dengan model server tunggal.
Universitas Sumatera Utara
13
3. Model (M/M/1/GD/N/∞).
Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, dimana panjang
antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah
maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.
4. Model (M/M/1/GD/∞/N).
Model ini hampir sama dengan model yang pertama hanya saja sumber
populasi dibatasi sebanyak N.
Selain model-model umum di atas, terdapat beberapa model antrian lain,
diantaranya:
1. Model (M/G/1/GD/∞/∞)
Model (M/G/1/GD/∞/∞) atau disebut juga dengan formula Pollazck –
Khintchine sering disingkat dengan (P-K) adalah suatu formula dimana akan
diperoleh pada situasi pelayanan tunggal yang memenuhi tiga asumsi berikut
(Kakiay, 2004):
a. Kedatangan Poisson dengan rata-rata kedatangan λ.
b. Distribusi waktu pelayanan umum atau general dengan Rata-rata rata-rata
pelayanan = dan varian var (t).
c. Keadaan steady state dimana = < 1
dimana: λ = Tingkat kedatangan rata-rata pelanggan
µ = Tingkat pelayanan rata-rata pelanggan
c = Jumlah fasilitas pelayanan
ρ = Tingkat kesibukan sistem
2. Model (M/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (M/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan jumlah failitas
pelayanan lebih dari satu atatu ganda, distribusi kedatangan Poisson dan
distribusi pelayannan general/umum.
Universitas Sumatera Utara
14
3. Model (G/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (G/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan pola kedatangan
berdistribusi general atau umum dan pola pelayanan juga berdistribusi general
atau umum dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak c pelayanan. Disiplin
antrian yang digunakan pada model ini adalah umum yaitu FCFS (First Come
First Served), kapasitas maksimum dalam sistem adalah tak terbatas yang
memiliki sumber pemanggilan juga tak terbatas.
Ukuran kinerja sistem pada model general ini mengikuti ukuran kinerja
pada model M/M/c, yaitu sebagai berikut:
1. Probabilitas fasilitas pelayanan menganggur ( ) adalah:
=
1
∑
!
1
+
1
!
1 −
2.1
2. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu (
) dalam antrian adalah:
/ /
=
− 1! −
2.2
Akan tetapi, untuk perhitungan rata-rata jumlah pelanggan yang
menunggu dalam antrian untuk model ini adalah sebagai berikut (Sugito dan
Marissa, 2009):
=
/ /
+ ( )
2.3
2
dengan
=
1
2.4
1
′ = 2.5
3. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu dalam sistem ( ) adalah:
=
+ 2.6
Universitas Sumatera Utara
15
4. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian (
) adalah:
=
2.7
5. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam sistem ( ) adalah:
1
=
+ 2.8
6. Probabilitas pelanggan harus menunggu untuk dilayani ( ) adalah:
=
2.9
! 1 −
λ
2.6
Pola Kedatangan dan Pola Pelayanan
2.6.1 Pola Kedatangan Pelanggan
Pola kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar
kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada
suatu fasilitas pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan
yang berada dalam sistem ataupun tidak bergantung pada keadaan sistem tersebut.
Bila pola kedatangan ini tidak disebut secara khusus, maka dianggap
bahwa pelanggan tiba satu per satu. Asumsinya adalah kedatangan pelanggan
mengikuti suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi
probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi Poisson, di mana kedatangan
bersifat bebas, tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya.
Asumsi distribusi Poisson menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya
acak dan mempunyai rata-rata kedatangan sebesar (Kakiay, 2004).
Dalam proses ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi
yang cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson
untuk suatu kedatangan x pada suatu periode waktu tertentu adalah sebagai berikut
(Taylor, 2001):
Universitas Sumatera Utara
16
=
2.10
!
dimana:
x = jumlah kedatangan per periode waktu
= rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu
e = 2,71828
x! = faktorial dari suatu nilai x, yaitu x! = x(x-1)(x-2)…(2)(1)
2.6.2 Pola Pelayanan Pelanggan
Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan
untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Pelayanan dapat dilakukan
dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai
satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan (server).
Pada suatu fasilitas pelayanan, pelanggan akan masuk dalam suatu tempat
pelayanan dan menerima pelayanan secara tuntas dari server. Bila tidak
disebutkan secara khusus, maka pada bentuk pelayanan ini dianggap bahwa satu
pelayanan dapat melayani secara tuntas satu pelanggan (Kakiay, 2004).
Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan yang satu dengan fasilitas
pelayanan yang lain biasanya tidak konstan. Proses pelayanan pada umumnya
menggunakan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas untuk waktu
layanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas eksponensial yang formulanya
dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada
suatu antrian. Persamaan distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:
= . 2.11
Dimana:
= (nilai tengah)
µ= rata-rata waktu pelayanan
e = 2,71828
Universitas Sumatera Utara
17
2.6.3 Uji Kesesuaian Distribusi
Uji kesesuaian distribusi dilakukan dengan uji Chi Square χ yang didefinisikan
sebagai berikut:
H = data yang diuji mengikuti distribusi
H = data yang diuji tidak mengikuti distribusi
Statistik tes didefinisikan sebagai berikut:
χ
=
−
2.12
dimana:
O = frekuensi observasi ke-i
E = frekueensi Rata-rata ke-i
Dalam uji Chi Square, data observasi mengikuti distribusi saat χ ≤
χ .
2.7
Simulasi
Model matematika merupakan model yang saat ini sangat berkembang. Sesuai
dengan prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan model matematika, maka
terdapat dua jenis penelitian operasional ilmu pengetahuan manajemen, yaitu
model analitik dan model simulasi. Beberapa contoh model analitik diantaranya
adalah model pengambilan keputusan, model jaringan kerja, model persediaan,
model transportasi, dan masih banyak lagi. Akan tetapi, model simulasi ternyata
lebih banyak digunakan karena lebih luwes dan menyeluruh.
Pengertian umum mengenai simulasi ialah suatu metodologi untuk
melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata.
Sedangkan ide dasarnya ialah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru
sistem nyata guna mempelajari dan memahami sifat-sifat, tingkah laku (perangai),
dan karakter operasinya. Oleh karena itu, simulasi terutama sekali berkenaan
dengan percobaan untuk menaksir tingkah laku dari sistem nyata untuk maksud
perancangan sistem atau pengubahan tingkah laku sistem (Siagian, 1987).
Universitas Sumatera Utara
18
Model analitik sangat kuat dan berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan
tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain yaitu:
1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan
masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya memberikan
penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan
optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa
lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya, penyelesaian persoalan
program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan
prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu,
atau hari demi hari.
2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem
nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk
membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian.
3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal–hal yang tidak pasti dan
aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.
Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model
simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik.
Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut:
1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.
2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan
asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model persediaan
tidak perlu harus deterministik.
3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk
menjawab pertanyaan: what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat dicoba
untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.
4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.
5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.
Universitas Sumatera Utara
19
6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang
langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.
Meskipun memiliki beberapa keunggulan dibandingkan model analitik,
tetapi model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan, diantaranya sebagai
berikut:
1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi
tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi
termasuk solusi optimal.
2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu
yang lama dibandingkan dengan model analitik.
3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang
memuat ketidakpastian.
Model simulasi lebih jauh dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa
bentuk, yaitu sebagai model simulasi statik atau dinamik, model simulasi
deterministik atau stokastik, dan model simulasi diskrit atau kontinu.
1. Model simulasi statik dikenal juga dengan nama Simulasi Monte Carlo yang
merepresentasikan sebuah sistem pada suatu waktu tertentu. Sebagai contoh,
ingin disimulasikan jumlah pelanggan yang membeli suatu produk di sebuah
toko berdasarkan data historis, kemudian dibangkitkan bilangan random untuk
menunjukkan jumlah pelanggan yang dibangkitkan sesuai posisi interval
distribusinya. Model simulasi dinamik adalah representasi sistem sepanjang
pergantian waktu ke waktu, contohnya adalah simulasi pelayanan pada sebuah
bank dalam rentang jam kerja tertentu.
2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak mengandung
komponen yang sifatnya probabilistik (random) dan output telah dapat
ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu dimasukkan.
Sebagai contoh simulasi ini adalah simulasi kedatangan pasien seorang dokter
praktek yang telah diatur jadwal pelayanannya. Model simulasi stokastik
adalah model simulasi yang memiliki satu atau beberapa input berupa variabel
Universitas Sumatera Utara
20
random dan akan menghasilkan output yang random pula. Simulasi layanan
teller bank adalah salah satu contoh model simulasi stokastik.
3. Model simulasi diskrit adalah model simulasi yang status variabelnya berubah
secara diskrit pada satu waktu tertentu. Contohnya, simulasi antrian, dimana
jumlah pelanggan yang menunggu/antri berubah secara diskrit dari waktu ke
waktu. Model simulasi kontinu adalah model simulasi yang status variabel
berubah secara kontinu dari waktu ke waktu. Simulasi permukaan air
bendungan adalah contoh simulasi kontinu.
2.8
Simulasi Monte Carlo
Penggunanaan variabel random dalam simulasi dinyatakan dalam
distribusi probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model
probabilistik. Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi
probabilistik, namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik
memilih angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan
simulasi (Sri Mulyono, 2002).
Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk
kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan
acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte
Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit
empiris (Siagian, 1987).
Simulasi Monte Carlo adalah tipe simulasi probabilistik untuk mencari
penyelesaian masalah dengan sampling dari proses random. Simulasi Monte Carlo
mengizinkan manajer untuk menentukan beberapa kebijakan yang menyangkut
kondisi organisasi. Metode simulasi Monte Carlo merupakan sebuah teknik
simulasi yang menggunakan unsur acak di saat terdapat peluang. Dasar simulasi
Monte Carlo adalah percobaan pada unsur peluang (bersifat probabilistik) dengan
menggunakan pengambilan sampel secara acak (Saiful et al, 2013).
Universitas Sumatera Utara
21
Xu (2012) menggunakan metode Monte Carlo untuk melakukan simulasi
antrian pada bank, lalu memanfaatkan hasil simulasi tersebut untuk mengevaluasi
kinerja dari model M/M/c/∞. Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa
metode Monte Carlo dapat menyelesaikan model antrian M/M/c/∞ lebih akurat
dan efektif. Penerapan metode Monte Carlo pada pelayanan teller bank dengan
kedatangan berdistribusi Poisson dan pelayanan berdistribusi Eksponensial juga
dilakukan oleh Magdalena (2011). Pada penelitian ini, penulis akan membahas
mengenai simulasi dengan metode Monte Carlo pada pelayanan pengambilan
dana pensiun di PT. Pos Indonesia Kota Lhokseumawe yang model antriannya
berupa G/G/c/FCFS/∞/∞.
Teknik simulasi Monte Carlo terbagi atas lima langkah sederhana yaitu
sebagai berikut:
1. Menetapkan sebuah distribusi probabilitas bagi variabel penting.
Ide dasar simulasi Monte Carlo adalah untuk membangkitkan nilai untuk
variabel pada model yang sedang diuji. Dalam sistem dunia nyata,
sebagian besar variabel memiliki probabilitas alami. Diantaranya adalah:
permintaan persediaan, waktu tenggang pesanan untuk tiba, waktu diantara
mesin rusak, waktu diantara kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas
pelayanan, waktu pelayanan, waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan
aktivitas proyek, dan jumlah karyawan yang tidak hadir setiap hari.
Sebuah cara untuk menetapkan distribusi probabilitas bagi variabel
tertentu adalah dengan menguji hasil histories. Distribusi probabilitas
dapat ditemukan, atau frekuensi relatif, untuk setiap output variabel yang
mungkin dengan cara membagi jumlah pengamatan dengan jumlah
pengamatan total.
2. Membuat distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel.
Untuk mengubah distribusi probabilitas biasa menjadi sebuah distribusi
probabilitas kumulatif (cumulative probability distribution) merupakan
pekerjaan yang mudah.
Universitas Sumatera Utara
22
3. Menetapkan sebuah interval angka acak bagi setiap variabel.
Setelah distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel yang
digunakan dalam simulasi sudah diterapkan, maka diberikan serangkaian
angka yang mewakili setiap nilai atau output yang mungkin. Angka ini
disebut sebagai interval angka acak (random-number interval). Pada
dasarnya, angka acak (random number) merupakan serangkaian digit yang
telah terpilih oleh sebuah proses yang teracak secara sempurna, yakni
sebuah proses di mana setiap angka acak memiliki peluang yang sama
untuk bisa terpilih.
4. Membangkitkan angka acak.
Angka acak dapat dihasilkan dengan dua cara. Jika persoalan yang
dihadapi besar dan proses yang sedang diteliti melibatkan banyak
percobaan
simulasi,
maka
digunakan
program
komputer
untuk
membangkitkan angka acak. Jika simulasi dilakukan dengan perhitungan
tangan, angka acak dapat diambil dari sebuah tabel angka acak.
5. Mensimulasikan serangkaian percobaan.
Hasil dari eksperimen dapat disimulasikan secara sederhana dengan
memilih angka acak dari tabel angka acak.
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1
Teori Antrian
Suatu antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah yang memerlukan layanan dari
satu atau lebih fasilitas pelayanan. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh
kebutuhan akan layanan melebihi kapasitas fasilitas pelayanan yang ada, sehingga
nasabah tidak segera mendapatkan pelayanan. Teori antrian merupakan suatu
studi matematikal dari gejala garis tunggu tersebut (Siagian, 1987).
Fenomena antrian sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari,
diantaranya mobil-mobil yang mengantri pada tempat pencucian mobil,
penumpang yang mengantri untuk pembelian karcis, nasabah bank yang
menunggu giliran untuk melakukan transaksi perbankan, pasien yang menunggu
di rumah sakit untuk mendapatkan pelayanan kesehatan, dan masih banyak lagi.
Dalam banyak hal, untuk mengurangi panjang antrian yang terjadi atau mencegah
terjadinya antrian dapat dilakukan dengan penambahan fasilitas pelayanan. Akan
tetapi, terkadang penambahan fasilitas pelayanan ini dapat mengurangi
keuntungan. Namun, jika antrian terlalu panjang akan mengakibatkan hilangnya
pelanggan atau nasabah.
Situasi menunggu merupakan suatu bagian dari keadaan yang terjadi
dalam rangkaian kegiatan operasional yang bersifat random dalam suatu fasilitas
pelayanan. Pelanggan datang ke tempat itu dengan waktu yang acak, tidak teratur
dan tidak dapat segera dilayani sehingga mereka harus menunggu cukup lama.
Dengan mempelajari teori antrian maka penyedia fasilitas pelayanan dapat
mengusahakan agar dapat melayani pelanggannya dengan baik dan tanpa harus
menunggu terlalu lama (Kakiay, 2004).
Universitas Sumatera Utara
7
2.2
Sistem Antrian
Sistem antrian merupakan suatu himpunan pelanggan, fasilitas pelayanan, dan
suatu aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pelayanan yang akan
didapatkannya. Sedangkan keadaan sistem merujuk pada jumlah pelanggan yang
berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Populasi
antrian adalah jumlah pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan pada
fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004).
Pelanggan tiba dengan laju tetap ataupun tidak tetap untuk memperoleh
pelayanan pada fasilitas pelayanan yang tersedia. Bila pelanggan yang tiba dapat
masuk ke dalam fasilitas pelayanan, maka hal itu akan segera dilakukan. Tetapi
jika harus menunggu, maka mereka akan membentuk suatu barisan antrian hingga
tiba waktunya untuk dilayani. Para pelanggan tersebut akan dilayani dengan laju
yang tetap ataupun tidak tetap. Setelah selesai, maka pelanggan pun akan keluar
dari sistem antrian (Siagian, 1987).
Sistem antrian dapat dibagi atas dua komponen, yaitu:
1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang membutuhkan
pelayanan (pembeli, nasabah, pasien dan lain-lain).
2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (loket
bioskop dan penjual karcis, bank dan teller, dan lain-lain).
2.3
Elemen Dasar Model Antrian
Faktor penting dalam suatu sistem antrian adalah pelanggan dan fasilitas
pelayanan, di mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan
untuk mendapatkan pelayanan. Elemen dasar dari suatu model antrian adalah
sebagai berikut (Aminuddin, 2005):
1. Sifat pemanggilan populasi
2. Sifat fasilitas pelayanan
3. Struktur-struktur antrian dasar
Universitas Sumatera Utara
8
2.3.1 Sifat Pemanggilan Populasi
Bagian dari sistem antrian ini mempunyai tiga sifat yang akan diuraikan
1. Besar kecilnya pemanggilan populasi, pemanggilan populasi ini bisa terbatas
bisa pula tidak terbatas.
2. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi, sifat kedatangan pada fasilitas
pelayanan bisa dalam beberapa pola tertentu ataupun secara acak. Bila
kedatangan secara acak, maka harus diketahui probabilitas melalui waktu
antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan
acak paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tenntu saja tidak
semua kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih
dahulu sebelum kita menggunakannya.
3. Tingkah laku pemanggilan populasi
Ada 3 istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk menggambarkan
tingkah laku pemanggilan populasi:
a. Tidak mengikuti (renege), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian
dan kemudian meninggalkannya
b. Menolak (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung
c. Merebut (bulk), menunjukkan kondisi dimana kedatangan terjadi secara
bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut
menyorobot ke depan.
2.3.2 Sifat Fasilitas Pelayanan
Dalam membahas sifat dari fasilitas pelayanan, kita berfokus pada tiga hal:
1. Tatanan fisik sistem antrian, diukur berdasarkan jumlah saluran atau sumber
pelayanan. Bila terdapat satu saluran pelayanan maka dikatakan sistem saluran
tunggal. Sistem saluran majemuk mempunyai sumber pelayanan lebih dari
satu yang beroperasi secara bersamaan.
2. Disiplin antrian, berkaitan pada subyek pemanggilan populasi yang menerima
pelayanan. Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani,
Universitas Sumatera Utara
9
atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para
pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut
urutan kedatangan antara lain adalah (Kakiay, 2004) :
a. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana
pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket
pembelian tiket kereta api.
b. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana
pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk lanti yang sama, sistem
bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun
dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.
c. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service
(RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi
tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya,
pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.
d. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada
pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan
pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun
mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal
ini mungkin disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang
memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu
tempat praktek dokter, hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan
potensial akan dilayani terlebih dahulu.
3. Distribusi probabilitas yang sesuai untuk menggambarkan waktu pelayanan,
yang waktu pelayanan tersebut bisa saja konstan maupun acak. Apabila waktu
pelayanan didistribusikan secara acak, kita harus mendapatkan distribusi
probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya
jika waktu pelayanannya acak, maka analisis antrian menggunakan distribusi
probabilitas eksponensial. Ini bisa dilakukan dengan membandingkan sampel
waktu pelayanan yang sebenarnya dengan waktu pelayanan yang diharapkan
berdasarkan rumus eksponensial.
Universitas Sumatera Utara
10
2.3.3 Struktur-struktur Antrian Dasar
Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas pelayanan
(server) secara parallel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain pihak
jumlah tahapan (phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang harus
dilalui sampai pelayanan selesai atau lengkap.
Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi 4 struktur dasar
fasilitas pelayanan:
1. Single Channel–Single Phase
Contoh untuk single channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang
hanya mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian.
Gambar 2.1 Single Channel–Single Phase
2. Single Channel–Multi Phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien
berobat ke rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar dulu di loket
pendaftaran, kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh perawat
di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter.
Gambar 2.2 Single Channel–Multi Phase
3. Multi Channel–Single Phase
Contoh untuk multi channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang
menyediakan beberapa loket pelayanan untuk melayani pelanggan yang
datang dengan satu jalur antrian.
Universitas Sumatera Utara
11
Gambar 2.3 Multi Channel–Single Phase
4. Multi Channel–Multi Phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien
berobat ke rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar dulu di loket
pendaftaran, kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh salah
satu perawat yang berada di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri
untuk dirawat oleh dokter yang terdiri dari beberapa orang sehingga dapat
melayani beberapa pasien secara bersamaan.
Gambar 2.4 Multi Channel–Multi Phase
2.4
Notasi Antrian
Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari masingmasing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi itu
dituliskan (Sri Mulyono, 2002):
[a/b/c/d/e/f]
Notasi Kendall dasar adalah: [ a / b / c ]
Keterangan:
a : distribusi kedatangan
b : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan,
untuk a dan b, notasi standar ini dapat diganti dengan kode-kode yang
sebenarnya dari distribusi-distribusi yang terjadi, diantaranya (Kakiay, 2004):
M menunjukkan Poisson
Ek menunjukkan Erlang
Universitas Sumatera Utara
12
D berarti deterministik atau konstan
G berarti general atau umum dari service time atau keberangkatan
GI berarti general atau umum yang independen dari proses kedatangan
c : banyaknya pelayanan paralel
d : disiplin antrian (GD: general discipline), seperti FCFS, LCFS, prioritas, dan
random
e : jumlah maksimum pengantri dalam sistem (antri dan dilayani)
f : jumlah sumber kedatangan
Sebagai ilustrasi, perhatikan notasi berikut:
(M/D/5/FCFS/N/∞)
Notasi tersebut berarti kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan
konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Disiplin antrian yang berlaku
adalah pelanggan yang pertama datang yang pertama dilayani, jumlah konsumen
terbatas sebanyak N, dan sumber populasi tak terbatas.
2.5
Model Antrian
Model-model antrian secara umum antara lain adalah sebagai berikut:
1. Model (M /M/1/GD/∞/∞).
Syarat-syarat dari model ini antara lain:
a. Jumlah kedatangan setiap satuan waktu mengikuti distribusi poisson.
b. Waktu pelayanan berdistribusi ekponensial.
c. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS.
d. Sumber populasi tidak terbatas.
e. Jalur antriannya tunggal.
f. Tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari pada rata-rata pelayanan.
g. Panjang antrian tidak terbatas.
2. Model (M/M/c/GD/∞/∞).
Pada model ini fasilitas pelayanan (server) bersifat ganda, rata-rata tingkat
kedatangan lebih kecil dari pada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat
pelayanan di semua jalur.syarat yang lain sama dengan model server tunggal.
Universitas Sumatera Utara
13
3. Model (M/M/1/GD/N/∞).
Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, dimana panjang
antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah
maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.
4. Model (M/M/1/GD/∞/N).
Model ini hampir sama dengan model yang pertama hanya saja sumber
populasi dibatasi sebanyak N.
Selain model-model umum di atas, terdapat beberapa model antrian lain,
diantaranya:
1. Model (M/G/1/GD/∞/∞)
Model (M/G/1/GD/∞/∞) atau disebut juga dengan formula Pollazck –
Khintchine sering disingkat dengan (P-K) adalah suatu formula dimana akan
diperoleh pada situasi pelayanan tunggal yang memenuhi tiga asumsi berikut
(Kakiay, 2004):
a. Kedatangan Poisson dengan rata-rata kedatangan λ.
b. Distribusi waktu pelayanan umum atau general dengan Rata-rata rata-rata
pelayanan = dan varian var (t).
c. Keadaan steady state dimana = < 1
dimana: λ = Tingkat kedatangan rata-rata pelanggan
µ = Tingkat pelayanan rata-rata pelanggan
c = Jumlah fasilitas pelayanan
ρ = Tingkat kesibukan sistem
2. Model (M/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (M/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan jumlah failitas
pelayanan lebih dari satu atatu ganda, distribusi kedatangan Poisson dan
distribusi pelayannan general/umum.
Universitas Sumatera Utara
14
3. Model (G/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (G/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan pola kedatangan
berdistribusi general atau umum dan pola pelayanan juga berdistribusi general
atau umum dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak c pelayanan. Disiplin
antrian yang digunakan pada model ini adalah umum yaitu FCFS (First Come
First Served), kapasitas maksimum dalam sistem adalah tak terbatas yang
memiliki sumber pemanggilan juga tak terbatas.
Ukuran kinerja sistem pada model general ini mengikuti ukuran kinerja
pada model M/M/c, yaitu sebagai berikut:
1. Probabilitas fasilitas pelayanan menganggur ( ) adalah:
=
1
∑
!
1
+
1
!
1 −
2.1
2. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu (
) dalam antrian adalah:
/ /
=
− 1! −
2.2
Akan tetapi, untuk perhitungan rata-rata jumlah pelanggan yang
menunggu dalam antrian untuk model ini adalah sebagai berikut (Sugito dan
Marissa, 2009):
=
/ /
+ ( )
2.3
2
dengan
=
1
2.4
1
′ = 2.5
3. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu dalam sistem ( ) adalah:
=
+ 2.6
Universitas Sumatera Utara
15
4. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian (
) adalah:
=
2.7
5. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam sistem ( ) adalah:
1
=
+ 2.8
6. Probabilitas pelanggan harus menunggu untuk dilayani ( ) adalah:
=
2.9
! 1 −
λ
2.6
Pola Kedatangan dan Pola Pelayanan
2.6.1 Pola Kedatangan Pelanggan
Pola kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar
kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada
suatu fasilitas pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan
yang berada dalam sistem ataupun tidak bergantung pada keadaan sistem tersebut.
Bila pola kedatangan ini tidak disebut secara khusus, maka dianggap
bahwa pelanggan tiba satu per satu. Asumsinya adalah kedatangan pelanggan
mengikuti suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi
probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi Poisson, di mana kedatangan
bersifat bebas, tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya.
Asumsi distribusi Poisson menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya
acak dan mempunyai rata-rata kedatangan sebesar (Kakiay, 2004).
Dalam proses ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi
yang cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson
untuk suatu kedatangan x pada suatu periode waktu tertentu adalah sebagai berikut
(Taylor, 2001):
Universitas Sumatera Utara
16
=
2.10
!
dimana:
x = jumlah kedatangan per periode waktu
= rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu
e = 2,71828
x! = faktorial dari suatu nilai x, yaitu x! = x(x-1)(x-2)…(2)(1)
2.6.2 Pola Pelayanan Pelanggan
Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan
untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Pelayanan dapat dilakukan
dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai
satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan (server).
Pada suatu fasilitas pelayanan, pelanggan akan masuk dalam suatu tempat
pelayanan dan menerima pelayanan secara tuntas dari server. Bila tidak
disebutkan secara khusus, maka pada bentuk pelayanan ini dianggap bahwa satu
pelayanan dapat melayani secara tuntas satu pelanggan (Kakiay, 2004).
Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan yang satu dengan fasilitas
pelayanan yang lain biasanya tidak konstan. Proses pelayanan pada umumnya
menggunakan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas untuk waktu
layanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas eksponensial yang formulanya
dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada
suatu antrian. Persamaan distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:
= . 2.11
Dimana:
= (nilai tengah)
µ= rata-rata waktu pelayanan
e = 2,71828
Universitas Sumatera Utara
17
2.6.3 Uji Kesesuaian Distribusi
Uji kesesuaian distribusi dilakukan dengan uji Chi Square χ yang didefinisikan
sebagai berikut:
H = data yang diuji mengikuti distribusi
H = data yang diuji tidak mengikuti distribusi
Statistik tes didefinisikan sebagai berikut:
χ
=
−
2.12
dimana:
O = frekuensi observasi ke-i
E = frekueensi Rata-rata ke-i
Dalam uji Chi Square, data observasi mengikuti distribusi saat χ ≤
χ .
2.7
Simulasi
Model matematika merupakan model yang saat ini sangat berkembang. Sesuai
dengan prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan model matematika, maka
terdapat dua jenis penelitian operasional ilmu pengetahuan manajemen, yaitu
model analitik dan model simulasi. Beberapa contoh model analitik diantaranya
adalah model pengambilan keputusan, model jaringan kerja, model persediaan,
model transportasi, dan masih banyak lagi. Akan tetapi, model simulasi ternyata
lebih banyak digunakan karena lebih luwes dan menyeluruh.
Pengertian umum mengenai simulasi ialah suatu metodologi untuk
melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata.
Sedangkan ide dasarnya ialah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru
sistem nyata guna mempelajari dan memahami sifat-sifat, tingkah laku (perangai),
dan karakter operasinya. Oleh karena itu, simulasi terutama sekali berkenaan
dengan percobaan untuk menaksir tingkah laku dari sistem nyata untuk maksud
perancangan sistem atau pengubahan tingkah laku sistem (Siagian, 1987).
Universitas Sumatera Utara
18
Model analitik sangat kuat dan berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan
tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain yaitu:
1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan
masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya memberikan
penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan
optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa
lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya, penyelesaian persoalan
program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan
prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu,
atau hari demi hari.
2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem
nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk
membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian.
3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal–hal yang tidak pasti dan
aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.
Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model
simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik.
Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut:
1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.
2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan
asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model persediaan
tidak perlu harus deterministik.
3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk
menjawab pertanyaan: what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat dicoba
untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.
4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.
5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.
Universitas Sumatera Utara
19
6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang
langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.
Meskipun memiliki beberapa keunggulan dibandingkan model analitik,
tetapi model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan, diantaranya sebagai
berikut:
1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi
tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi
termasuk solusi optimal.
2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu
yang lama dibandingkan dengan model analitik.
3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang
memuat ketidakpastian.
Model simulasi lebih jauh dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa
bentuk, yaitu sebagai model simulasi statik atau dinamik, model simulasi
deterministik atau stokastik, dan model simulasi diskrit atau kontinu.
1. Model simulasi statik dikenal juga dengan nama Simulasi Monte Carlo yang
merepresentasikan sebuah sistem pada suatu waktu tertentu. Sebagai contoh,
ingin disimulasikan jumlah pelanggan yang membeli suatu produk di sebuah
toko berdasarkan data historis, kemudian dibangkitkan bilangan random untuk
menunjukkan jumlah pelanggan yang dibangkitkan sesuai posisi interval
distribusinya. Model simulasi dinamik adalah representasi sistem sepanjang
pergantian waktu ke waktu, contohnya adalah simulasi pelayanan pada sebuah
bank dalam rentang jam kerja tertentu.
2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak mengandung
komponen yang sifatnya probabilistik (random) dan output telah dapat
ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu dimasukkan.
Sebagai contoh simulasi ini adalah simulasi kedatangan pasien seorang dokter
praktek yang telah diatur jadwal pelayanannya. Model simulasi stokastik
adalah model simulasi yang memiliki satu atau beberapa input berupa variabel
Universitas Sumatera Utara
20
random dan akan menghasilkan output yang random pula. Simulasi layanan
teller bank adalah salah satu contoh model simulasi stokastik.
3. Model simulasi diskrit adalah model simulasi yang status variabelnya berubah
secara diskrit pada satu waktu tertentu. Contohnya, simulasi antrian, dimana
jumlah pelanggan yang menunggu/antri berubah secara diskrit dari waktu ke
waktu. Model simulasi kontinu adalah model simulasi yang status variabel
berubah secara kontinu dari waktu ke waktu. Simulasi permukaan air
bendungan adalah contoh simulasi kontinu.
2.8
Simulasi Monte Carlo
Penggunanaan variabel random dalam simulasi dinyatakan dalam
distribusi probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model
probabilistik. Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi
probabilistik, namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik
memilih angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan
simulasi (Sri Mulyono, 2002).
Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk
kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan
acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte
Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit
empiris (Siagian, 1987).
Simulasi Monte Carlo adalah tipe simulasi probabilistik untuk mencari
penyelesaian masalah dengan sampling dari proses random. Simulasi Monte Carlo
mengizinkan manajer untuk menentukan beberapa kebijakan yang menyangkut
kondisi organisasi. Metode simulasi Monte Carlo merupakan sebuah teknik
simulasi yang menggunakan unsur acak di saat terdapat peluang. Dasar simulasi
Monte Carlo adalah percobaan pada unsur peluang (bersifat probabilistik) dengan
menggunakan pengambilan sampel secara acak (Saiful et al, 2013).
Universitas Sumatera Utara
21
Xu (2012) menggunakan metode Monte Carlo untuk melakukan simulasi
antrian pada bank, lalu memanfaatkan hasil simulasi tersebut untuk mengevaluasi
kinerja dari model M/M/c/∞. Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa
metode Monte Carlo dapat menyelesaikan model antrian M/M/c/∞ lebih akurat
dan efektif. Penerapan metode Monte Carlo pada pelayanan teller bank dengan
kedatangan berdistribusi Poisson dan pelayanan berdistribusi Eksponensial juga
dilakukan oleh Magdalena (2011). Pada penelitian ini, penulis akan membahas
mengenai simulasi dengan metode Monte Carlo pada pelayanan pengambilan
dana pensiun di PT. Pos Indonesia Kota Lhokseumawe yang model antriannya
berupa G/G/c/FCFS/∞/∞.
Teknik simulasi Monte Carlo terbagi atas lima langkah sederhana yaitu
sebagai berikut:
1. Menetapkan sebuah distribusi probabilitas bagi variabel penting.
Ide dasar simulasi Monte Carlo adalah untuk membangkitkan nilai untuk
variabel pada model yang sedang diuji. Dalam sistem dunia nyata,
sebagian besar variabel memiliki probabilitas alami. Diantaranya adalah:
permintaan persediaan, waktu tenggang pesanan untuk tiba, waktu diantara
mesin rusak, waktu diantara kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas
pelayanan, waktu pelayanan, waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan
aktivitas proyek, dan jumlah karyawan yang tidak hadir setiap hari.
Sebuah cara untuk menetapkan distribusi probabilitas bagi variabel
tertentu adalah dengan menguji hasil histories. Distribusi probabilitas
dapat ditemukan, atau frekuensi relatif, untuk setiap output variabel yang
mungkin dengan cara membagi jumlah pengamatan dengan jumlah
pengamatan total.
2. Membuat distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel.
Untuk mengubah distribusi probabilitas biasa menjadi sebuah distribusi
probabilitas kumulatif (cumulative probability distribution) merupakan
pekerjaan yang mudah.
Universitas Sumatera Utara
22
3. Menetapkan sebuah interval angka acak bagi setiap variabel.
Setelah distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel yang
digunakan dalam simulasi sudah diterapkan, maka diberikan serangkaian
angka yang mewakili setiap nilai atau output yang mungkin. Angka ini
disebut sebagai interval angka acak (random-number interval). Pada
dasarnya, angka acak (random number) merupakan serangkaian digit yang
telah terpilih oleh sebuah proses yang teracak secara sempurna, yakni
sebuah proses di mana setiap angka acak memiliki peluang yang sama
untuk bisa terpilih.
4. Membangkitkan angka acak.
Angka acak dapat dihasilkan dengan dua cara. Jika persoalan yang
dihadapi besar dan proses yang sedang diteliti melibatkan banyak
percobaan
simulasi,
maka
digunakan
program
komputer
untuk
membangkitkan angka acak. Jika simulasi dilakukan dengan perhitungan
tangan, angka acak dapat diambil dari sebuah tabel angka acak.
5. Mensimulasikan serangkaian percobaan.
Hasil dari eksperimen dapat disimulasikan secara sederhana dengan
memilih angka acak dari tabel angka acak.
Universitas Sumatera Utara