Simulasi Antrian Dengan Menggunakan Metode Monte Carlo

(1)

SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE

MONTE CARLO

SKRIPSI

MAGDALENA

070803057

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(2)

SIMULASI ANTRIAN DENGAN METODE MONTE CARLO

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

MAGDALENA 070803057

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : SIMULASI ANTRIAN DENGAN

MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO

Kategori : SKRIPSI

Nama : MAGDALENA

Nomor Induk Mahasiswa : 070803057

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas :MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM (FMIPA)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing II Pembimbing I

Dra. Ester Sorta M. Nababan, M.Sc Prof.Dr.Drs. Herman Mawengkang NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19461128 197403 1 001

Diketahui/ Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Prof. Dr. Tulus, M.Si

NIP. 19620901 198803 1 002

(4)

PERNYATAAN

SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, 2011

MAGDALENA 070803057

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan yang Maha Esa, atas berkat dan rahmatNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan

judul ”SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE

CARLO ” untuk melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Drs. Herman Mawengkang selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Ester Sorta M. Nababan, M.Sc selaku Pembimbing II atas segala bimbingan, arahan, nasehat, saran, dan kesediaan meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan bantuan pengetahuan. Penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang membantu dalam penyelyesaian skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU yang membantu kelancaran studi penulis.

2. Bapak Drs. Liling Perangin-angin, M.Si selaku pembimbing akademik penulis. 3. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Sawaluddin, M.IT selaku komisi penguji atas saran dan masukan yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

4. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Matematika FMIPA USU atas segala ilmu dan bantuan yang diberikan kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

5. Pihak-pihak yang membantu dalam pengambilan data untuk menyelesaikan skripsi ini.

6. Ayahanda ML Tobing dan Ibunda L br Hutagalung tercinta yang telah memberikan nasehat, bimbingan, dukungan moril maupun materi kepada penulis.

7. Adik-adik (Dippos Anugerah Tobing, David Donni Tobing, Margarettha Tobing) atas segala doa dan dukungan yang telah diberikan kepada penulis. 8. Chandra Silaen, Didce C.L.T, Shandra Y.H, Veronika Tumanggor, Romanto

Sinurat, Kak Rini Hutagalung, Ka Nova, Frime Yanti dan teman-teman di Ayuke Dirta Kost atas semangat dan bantuan yang telah diberkan kepada penulis.

9. Melva Sihotang, Riris Sianturi, Siska F Malau, Jojor Parhusip (Mawar) atas dukungan dan perhatian yang diberikan kepada penulis.

10.Seluruh rekan-rekan Matematika angkatan 2007 yang tidak dapat ditulis satu per satu yang turut membantu dan memberikan semangat sehingga selesainya skripsi ini.

(6)

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam penulisan skripsi ini. Untuk itu penulis minta maaf kepada seluruh pembaca bila ada kesalahan serta penulis mengharapkan saran dan kritikan demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Medan, 2011 Penulis,

(7)

ABSTRAK

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak ditemukan masalah antrian. Secara ekonomis permasalahan antrian dapat menimbulkan kerugian yang besar. Penelitian ini dilakukan sebagai aplikasi dari pelajaran simulasi dan teori antrian. Tujuan dari tulisan ini adalah untuk mempelajari kinerja sistem dengan cara memodelkan simulasi antrian ganda dengan berbagai alternatif jumlah teller dengan menggunakan metode Monte Carlo. Teknik Monte Carlo menggunakan pemilihan angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi. Parameter sistem yang diukur adalah ekspektasi kecepatan pertibaan rata, ekspetasi kecepatan pelayanan rata-rata, peluang masa sibuk, peluang semua pelayanan mengangur atau tidak ada nasabah dalam sistem, ekspektasi panjang antrian, ekspektasi panjang antrian dalam sistem, waktu menunggu dalam antria, waktu menunggu dalam sistem.

(8)

QUEUE SIMULATION BY USING MONTE CARLO METHOD

ABSTRACT

In our daily life, we will find so many queue problem. Economically, queue can imply a huge loss. This research is to apply the studies of simulation and queue theory. The aim of this paper is to learn the performance of queue system by modeling multi queue simulation with some alternative amount of teller used Monte Carlo Method. Monte Carlo Method use selection number randomly from probability distribution to run simulation. System parameter measured is expectation of speed of mean arriving, expectation of speed of speed of mean service, opportunity of a period to business, probability of all out of job service or no customer in system, long expectation of queue, long expectation mark with lines in system, expectation time await in queue, expectation time await in system

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

Daftar Gambar xii

Bab 1 Pendahuluan

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 3

1.3Pembatasan Masalah 3

1.4Tujuan Penelitian 3

1.5Tinjauan Pustaka 6

1.6Kontribusi Penelitian 6

1.7Metodologi Penelitian 7

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Teori Antrian 8

2.2 Sistem Antrian 9

2.3 Displin Antrian 11

2.4 Struktur Antrian 12

2.5 Model-Model Antrian 14

2.6 Terminologi dan Notasi Antrian 15

2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan 17

2.7.1 Pola Kedatangan 17

2.7.2 Uji Kesesuaian Poisson 17

2.7.3 Pola Pelayanan 18

2.7.4 Uji Kesesuaian Eksponensial 19

2.8 Formula yang digunakan 19

2.9 Simulasi 20

2.10 Model-Model Simulasi 22

(10)

Bab 3 Pembahasan

3.1 Data Tingkat Kedatangan 26

3.2 Data Tingkat Pelayanan 26

3.3 Pembahasan 27

3.3.1 Harga-Harga Teoritis 27

3.3.2 Perhitungan Harga-Harga Karakteristik 27

3.3.3 Pengolahan Data 30

3.3.4 Pendugaan Distribusi Data 34

3.3.5 Simulasi 42

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 64

4.2 Saran 65

Daftar Pustaka 66

Lampiran

1. Lampiran 1 2. Lampiran 2 3. Lampiran 3 4. Lampiran 4 5. Lampiran 5 6. Lampiran 6

(11)

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

Tabel 3.1 Distribusi Frekuensi Kedatangan Nasabah 30 Tabel 3.2 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 1 31 Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 2 31 Tabel 3.4 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 3 32 Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 4 32 Tabel 3.6 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 5 33 Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 6 33 Tabel 3.8 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 7 34 Tabel 3.9 Perhitungan Data Tingkat Kedatangan Nasabah 35 Tabel 3.10 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 1 37 Tabel 3.11 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 2 37 Tabel 3.12 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 3 38 Tabel 3.13 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 4 38 Tabel 3.14 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 5 39 Tabel 3.15 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 6 39 Tabel 3.16 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 7 40

Tabel 3.17 Simulasi Kedatangan Nasabah 43

Tabel 3.18 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 1 43 Tabel 3.19 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 2 44 Tabel 3.20 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 3 44 Tabel 3.21 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 4 45 Tabel 3.22 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 5 45 Tabel 3.23 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 6 46 Tabel 3.24 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 7 46

Tabel 3.25 Simulasi Kedatangan Nasabah 47

Tabel 3.26 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 1 48 Tabel 3.27 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 2 48 Tabel 3.28 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 3 49 Tabel 3.29 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 4 49 Tabel 3.30 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 5 50 Tabel 3.31 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 6 50 Tabel 3.32 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 7 51

(12)

Tabel 3.33 Simulasi Kedatangan Nasabah 54 Tabel 3.34 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 1 54 Tabel 3.35 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 2 55 Tabel 3.36 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 3 55 Tabel 3.37 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 4 56 Tabel 3.38 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 5 56 Tabel 3.39 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 6 57

(13)

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

Gambar 2.4.1 Single Channel-Single Phase 12

Gambar 2.4.2 Single Channel-Multi Phase 13

Gambar 2.4.3 Multi Channel-Single Phase 13

Gambar 2.4.4 Multi Channel-Multi Phase 13

(14)

ABSTRAK

(15)

QUEUE SIMULATION BY USING MONTE CARLO METHOD

ABSTRACT

(16)

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak orang menunggu untuk mendapatkan sesuatu baik itu pelayanan maupun barang. Hal ini disebut juga antrian. Misalnya, menunggu untuk mendapatkan pelayanan dari dokter, menunggu untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu untuk pengisian bahan bakar, menunggu untuk mendapatkan pelayanan dari bank, dan lain-lain. Antrian tidak hanya dialami oleh manusia, tetapi antrian juga bisa terjadi pada barang seperti menunggu untuk dikemas, atau menunggu untuk berbagai tahapan produksi lainnya. Antrian yang terlalu panjang dapat membuat konsumen bosan untuk mengantri, terkadang dapat pula membuat konsumen keluar dari antrian dan tidak menunggu lagi. Namun sebaliknya jika tidak ada antrian maka dapat menyebabkan server menganggur, karena tidak ada konsumen yang akan dilayani.

Teori antrian pertama kali dikemukakan oleh A.K. Erlang, seorang ahli

matematika bangsa Demark pada tahun 1913 dalam bukunya “Solution of Some Problem in The Theory of Probability of Significancein Automatic Telephone Exchange”. Penggunaan istilah Sistem Antrian (Queueing System) dijumpai pertama kali pada tahun 1951 di dalam journal Royal Statistical Society, sedangkan masalah antrian itu sendiri sebenarnya sudah dijumpai sejak dulu. Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan antara lain adalah distribusi kedatangan, distribusi pelayanan, fasilitas pelayanan, disiplin pelayanan, ukuran dalam antrian, dan jumlah server. Dalam tingkat kedatangan dan pelayanan terdapat faktor ketidakpastian. Adanya faktor ketidakpastiaan yang berupa variabel random ini menyebabkan kita sulit menyelesaikan modelnya.

(17)

Simulasi dapat digunakan sebagai cara untuk menyelesaikan persoalan dengan variabel random. Simulasi adalah duplikasi atau abstraksi dari kehidupan nyata ke dalam model matematika. Banyak metode yang digunakan dalam simulasi. Metode Monte Carlo adalah teknik pemilihan angka random dari distribusi probabilitas untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Siagian (1987) menyatakan bahwa simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan acak (random). Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik. Metode Monte Carlo digunakan dalam proses antrian, dapat juga digunakan dalam persediaan dan proses produksi.

Dalam kesempatan ini aplikasi masalah antrian secara khusus akan dibahas

pada “Bank XXX”. Karena ada permasalahan antrian pada Bank XXX ini maka

diadakan penelitian secara sistematis untuk menganalisis masalah antrian tersebut sehingga tidak terjadi antrian yang terlalu panjang dan pihak yang melayani ataupun pasien yang dilayanani mendapatkan hasil yang terbaik.

Dari persoalan di atas, faktor ketidakpastian yang ada dalam masalah simulasi tidaklah mudah untuk menyelesaikan modelnya. Simulasi sangat cocok untuk mengamati sistem yang tidak pasti. Banyak metode yang digunakan dalam simulasi salah satunya adalah simulasi Monte Carlo. Teknik Monte Carlo menggunakan pemilihan angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi. Dalam simulasi antrian, pendekatan Monte Carlo ini digunakan untuk menghasilkan variabel input seperti waktu antar kedatangan, waktu pelayanan, dan variable input lainnya sesuai dengan distribusi yang diinginkan. Kesulitan menyelesaikan persoalan secara analitik disebabkan oleh

(18)

adanya komponen yang berupa variable random. Metode Monte Carlo ini bersifat statis artinya teknik ini tidak memperhatikan perubahan-perubahan nilai dari variabel-variabel yang ada jika terjadi di waktu yang berbeda. Hal ini yang melatarbelakangi penulis mengangkat permasalahan ini sebagai judul skripsi, yaitu

“SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO”.

1.2Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas adalah cara mensimulasikan model antrian dengan metode Monte Carlo sehingga diperoleh beberapa gambaran antrian yang dengan alternatif yang berbeda-beda.

1.3Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah dari permasalahan ini adalah :

1.1.Permasalahan ini hanya mencakup kedatangan, pelayanan, dan disiplin antrian. 1.2.Permasalahan ini menyangkut proses antrian nasabah yang datang ke bank

untuk melakukan transaksi yang berbeda-beda. 1.3.Model yang digunakan adalah model antrian ganda.

1.4Tinjauan Pustaka

Thomas J. Kakiay (2004) dalam bukunya yang berjudul “Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata” menjelaskan bahwa situasi menunggu merupakan bagian dari keadaan yang terjadi dalam rangkaian kegiatan operasional yang bersifat random dalam suatu fasilitas pelayanan. Tujuan sebenarnya dari teori antrian adalah meneliti kegiatan dari fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi random dari suatu sistem antrian yang terjadi.

(19)

Richard Bronson (1982) dalam bukunya yang berjudul “Teori dan Soal -soal Operation Researh” menyatakan bahwa suatu proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seseorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada pelanggan dan pemrosesan masalahnya.

Pangestu Subagyo (1983) dalam bukunya “Dasar-Dasar Operations

Research” menyatakan bahwa Didalam metode simulasi dicoba untuk menemukan model yang cocok untuk persoalan yang dihadapi. Perumusan persoalan dan pembuatan model ini dilakukan berdasarkan keadaan masalah yang dihadapi.

Suad Husnan (1982) dalam bukunya yang berjudul “Teori Antrian” menyatakan bahwa Salah satu cara yang tepat untuk mengatasi masalah antrian ini adalah dengan menggunakan metode simulasi keseluruhan masalah untuk merancang suatu percobaan yang akan menirukan semirip mungkin keadaan yang sebenarnya dan kemudian mengamati apa yang akan terjadi. Metode simulasi ini merupakan salah satu metode yang efektif untuk memecahkan masalah antrian jenis ini.

Simulasi didefinisikan sebagai salah satu cara untuk menghasilkan kondisi dari situasi dengan model untuk studi, menguji, atau training, dan lain-lain (Oxford Amercan Dictionary,1980).

Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik.

Arman Hakim (2007) dalam bukunya “Simulasi Bisnis” menyatakan bahwa Pendekatan Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan variable input dalam simulasi seperti waktu antar kedatangan, waktu proses, dan variable input

(20)

lain sesuai dengan disribusi yang diinginkan. Teknik ini menggunakan bilangan random yang berdistribusi uniform. Langkah-langkah yang digunakan dalam metode Monte carlo adalah sebagai berikut :

1. Lakukan observasi terhadap parameter yang dimodelkan. 2. Hitung frekuensi tiap-tiap nilai parameter.

3. Hitung distribusi frekuensi kumulatif dan distribusi probabilitas kumulatif. 4. Pasangkan nilai kelas dari tiap parameter dengan bilangan random dengan

range antara 0.000-0.999.

5. Tarik suatu bilangan random dengan menggunakan tabel random maupun microsotf excel.

6. Dapatkan nilai parameter yang sesuai dengan memasangkan bilangan random yang dihasilkan.

Sri Mulyono (2002) dalam bukunya yang berjudul “Riset Operasi”

menyatakan bahwa Dalam simulasi, variable random dinyatakan dalam distribusi probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model probabilistik. Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi probabilistik, namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik memilih angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi.

P. Siagian (1987) dalam bukunya “Penelitian Operational” menyatakan bahwa Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit empiris.

Levin, dkk (2002) menyatakan bahwa pada umumnya terdapat 5 langkah pokok yang diperlukan dalam menggunakan simulasi, yaitu :

1. Menentukan persoalan atau sistem yang hendak disimulasi. 2. Formulasikan model simulasi yang hendak digunakan.

3. Ujilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku dari sistem nyata, kemudian berlakukanlah model simulasi tersebut.

(21)

4. Rancang percobaan – percobaan simulasi. 5. Jalankan simulasi dan analisis data

Winda Nur Cahyo (2008) menyatakan bahwa Simulasi Monte Carlo adalah salah satu metode simulasi sederhana yang dapat dibangun secara cepat dengan hanya menggunakan spreadsheet (misalnya Microsoft Excel). Pembangunan model simulasi Monte Carlo didasarkan pada probabilitas yang diperoleh data historis sebuah kejadian dan frekuensinya, dimana:

dengan:

Pi : Probabilitas kejadian i fi : Frekuensi kejadian i

n : Jumlah frekuensi semua kejadian.

Tetapi dalam simulasi Monte Carlo, probabilitas juga dapat ditentukan dengan mengukur probabilitas sebuah kejadian terhadap suatu distribusi tertentu. Bilangan acak yang digunakan dalam simulasi Monte Carlo ini merupakan sebuah representasi dari situasi yang tidak pasti dalam sebuah sistem nyata.

1.6Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memodelkan simulasi antrian pada Bank XXX dengan metode Monte Carlo dan jika dimungkinkan akan dicari solusi penyelesaian agar lama waktu antri pasien dengan alternatif yang berbeda-beda seperti dengan atau tanpa menambah fasilitas maupun komponen penunjang lain secara signifikan.

(22)

1. Hasil penelitian ini diharapkan dapat mengurangi lama waktu mengantri yang terjadi dalam masalah antrian di kehidupan sehari-hari dengan menggunakan metode Monte Carlo.

2. Dapat menggunakan metode Monte Carlo dalam masalah lain selain masalah antrian.

3. Dapat menambah ilmu pengetahuan dan menjadi referensi yang berhubungan dengan masalah simulasi dan masalah antrian.

1.7.Meteodologi Penelitian

Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Studi literatur dan referensi, yaitu mempelajari buku-buku dan makalah-makalah dari pustaka yang berhubungan dengan antrian dan simulasi. 2. Pengambilan data antrian serta melakukan pemeriksaan ulang dikala terjadi

kesalahan dalam melakukan pengambilan data antrian pada Bank XXX. 3. Mengolah data berdasarkan kriteria-kriteria olah data pada metode simulasi

Monte Carlo serta menggambarkan beberapa alternatif antrian yang dapat diterapkan.

4. Menyimpulkan hasil olah data antrian dengan metode simulasi Monte Carlo serta dapat menentukan alternative antrian yang diterapkan dengan waktu menunggu yang paling minimum.

(23)

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Antrian

Antrian yang panjang sering kali kita temukan di bank saat nasabah mengantri di teller untuk melakukan transaksi, di klinik saat pasien mengantri untuk mendapatkan pelayanan, di airport saat para calon penumpang melakukan check-in, di super market saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil saat mobil antri untuk dicuci dan masih banyak contoh lainnya. Hal ini dapat menyebabkan konsumen berhenti untuk mengantri atau bahkan dapat meninggalkan sistem sehingga dapat mengakibatkan kehilangan konsumen atau kerugian bagi perusahaan.

Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu – waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987). Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Richard

(24)

Bronson (1982), proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seseorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada pelanggan dan pemroses masalahnya.

2.2 Sistem Antrian

Gross dan Haris (Gross, 2001) mengatakan bahwa sistem antrian adalah kedatangan pelanggan untuk mendapatkan pelayanan, menunggu untuk dilayani jika fasilitas pelayanan (server) masih sibuk, mendapatkan pelayanan dankemudian meninggalkan sistem setelah dilayani. Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut :

1. Sistem pelayanan komersial.

Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian, seperti restoran, kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket, dan sebagainya.

2. Sistem pelayanan bisnis-industri.

Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup sistem produksi, sistem material, handling, sistem pergudangan, dan sistem-sistem informasi komputer.

3. Sistem pelayanan transportasi. 4. Sistem pelayanan sosial

Sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-kantor dan perusahaan-perusahan lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan lain-lain (Subagyo, 2000).

Dalam sistem antrian terdapat beberapa komponen dasar proses antrian antara lain adalah:

(25)

1. Kedatangan.

Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain-lain. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang dilayani bisa terbatas (finite) dan tidak terbatas (infinite). pola kedatangan bisa teratur, dapat pula bersifat acak atau random. Menurut Levin, dkk (2002), variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak kontinu.

2. Pelayanan

Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap-tiap fasilitas pelayanan kadang-kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder,1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Dalam mekanisme pelayanan ini ada 3 aspek yang harus diperhatikan yaitu :

1. Tersedianya pelayanan

Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat. Misalnya dalam pertunjukan bioskop, loket penjualan karcis hanya dibuka pada waktu tertentu antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya, sehingga saat loket ditutup mekanisme pelayanan terrhenti dan petugas beristirahat.

(26)

2. Kapasitas pelayanan

Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah pelanggan yang tidak dapat dilayani secara bersama-sama. Kapasitas pelayan yang tidak selalu sama untuk setiap saat, ada yang tetap, tapi ada juga yang berubah-ubah. Karena itu, fasilitas pelayanan dapat memiliki satu atau lebih saluran. Fasilitas yang mempunyai satu saluran disebut saluran tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan fasilitas yang mempunyai lebih dari satu saluran disebut saluran ganda atau pelayanan ganda.

3. Lama pelayanan

Lama pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seseorang langganan atau satu satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti. Oleh karena itu, waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu untuk semua langgannan atau boleh juga berupa variabel acak. Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap sebagai varriabel acak yang terpancar secara bebas dan sama tidak tergantung pada waktu pertibaan.

3. Antrian

Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan (Mulyono, 1991).

2.3 Disiplin Antrian

Menurut Thomas J. Kakiay disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan kedatangan antara lain adalah :

1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.

(27)

Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket pembelian tiket kereta api..

2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk lanti yang sama, sistem bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.

3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.

4. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal ini mungkin disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu tempat praktek dokter, hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan potensial akan dilayani terlebih dahulu.

2.4. Struktur Antrian

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian :

1. Single Channel – Single Phase

Jalur antrian Server

Gambar 2.4.1 Single Channel – Single Phase

Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu fasilitas pelayanan. Contohnya adalah sebuah kantor pos yang hanya mempunyai satu loket pelayananan

(28)

dengan jalur satu antrian, supermarket yang hanya memiliki satu kasir sebagai tempat pembayaran, dan lain-lain.

2. Single Channel – Multi Phase

Jalur antrian Server Server Server Gambar 2.4.2 Single Channel – Multi Phase

Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini atau menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Sebagai contoh adalah : pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.

3. Multi Channel – Single Phase

Jalur antrian Server

Gambar 2.4.3 Multi Channel – Single Phase

Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Contohnya adalah antrian pada sebuah bank dengan beberapa teller, pembelian tiket atau karcis yang dilayani oleh beberapa loket, pembayaran dengan beberapa kasir, dan lain-lain.

4. Multi Channel – Multi Phase

(29)

Gambar 2.4.4 Multi Channel – Multi Phase

Sistem Multi Channel – Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih dari satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada model ini adalah : pada pelayanan yang dibarikan kepada pasien di rumah sakit dimulai dari pendaftarran, diagnose, tindakan medis, samppai pembayaran, registrasi ulang mahasiswa baru pada sebuah universitas, dan lain-lain.

2.5. Model-Model Antrian

Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi standar yang digunakan adalah sebagai berikut :

( a / b / c / d / e )

Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian : 1. a = distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu 2. b = distribusi waktu pelayanan

3. c = jumlah fasilitas pelayanan ( s = 1, 2, 3, …,

4. d = jumlah maksimum yang deperkenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan ditambah yang di garis tunggu).

5. e = ukuran pemanggil populasi atau sumber.

Notasi standar untuk simbol a dan b sebagai distribusu kedatangan dan distribusi waktu pelayanan mempunyai kode sebagai berikut :

1. M = Poisson ( Markovian ) untuk distribusi kedatangan atau waktu pelayanan. 2. D = interarrival atau service time konstan ( deterministic )

(30)

Contohnya adalah ( M/ D/ 5/ N/ artinya kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Jumlah konsumen dibatasi sebanyak N dan sumber populasi tidak terbatas. Model-model antrian secara umum antara lain adalah sebagai berikut :

1. Model ( M/ M/ 1/ /

Syarat-syarat dari model ini antara lain :

1. Jumlah kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson 2. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial

3. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS 4. Sumber populasi tidak terbatas

5. Jalur antriannya tunggal

6. Tingkat rata-rata kedatangan lebih kecil daripada tingkat rata-rata pelayanan 7. Panjang antrian tidak terbatas

2. Model ( M/ M/ S/ /

Pada model ini fasilitas pelayanan ( server ) bersifat ganda, rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil daripada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat pelayanan di tiap jalur. Syarat yang lain sama dengan model server tunggal. 3. Model ( M/ M/ 1/ /

Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, di mana panjang antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani. 4. Model ( M/ M/ 1/ /

Model ini hampir sama dengan model yang pertama haya saja sumber populasi dibatasi sebanyak N.

2.6 Terminologi dan Notasi Antrian

Terminologi yang biasa digunakan dalam sistem antrian adalah :

1. Keadaan sistem yaitu jumlah aktivitas pelayanan yang terjadi dalam melayani pelanggan dalam sistem.

2. Panjang antrian yaitu banyaknya satuan yang berada dalam sistem dikurangi dengan jumlah yang sedang dilayani.

(31)

Notasi yang digunakan adalah sebagai berikut :

n = Jumlah nasabah yang mengantri pada waktu t k = Jumlah satuan pelayanan

= Tingkat kedatangan µ = Tingkat pelayanan

= Tingkat kesibukan sistem

= Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem

= Peluang nasabah yang datang harus menunggu

= Ekspektasi panjang sistem L = Ekspektasi panjang antrian

= Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem W = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian

Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan adalah sebagai berikut :

1. Distribusi kedatangan, kedatangan individu atau berkelompok 2. Distribusi pelayanan, pelayanan individu atau berkelompok 3. Fasilitas pelayanan, berbentuk series, paralel, atau network station 4. Disiplin pelayanan, berbentuk FCFS, LCFS, SIRO atau PP

5. Ukuran dalam antrian, kedatangan bersifat tidak terbatas atau terbatas 6. Sumber pemanggil, bersifat terbatas atau tidak terbatas

2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan

2.7.1 Pola Kedatangan

Pola kedatangan suatu sistem antrian dapat dipresentasikan oleh waktu antar kedatangan yang merupakan suatu periode waktu antara dua kedatangan yang berturut-turut. Kedatangan dapat dipisahkan oleh interval kedatangan yang sama atau tidak sama probabilitasnya disebut kedatangan acak. Tingkat kedatangan yaitu jumlah pelanggan yang datang per satuan unit waktu.

(32)

Jika kedatangan bersifat acak, harus diketahui dahulu distribusi probabilitas kedatangannya.

Suatu proses kedatangan dalam suatu sistem antrian artinya menentukan distribusi probabilitas unntuk jumlah kedatangan untuk suatu periode waktu ( Winston ). Pada umumnya, suatu proses kedatangan terjadi secara acak dan independent terhadap proses kedatangan lainnya dan tidak dapat diprediksi kapan pelanggan akan datang. Dalam hal ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi yang cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson untuk suatu kedatangan x pada suatu periode waktu adalah sebagai berikut :

Dimana :

x = jumlah kedatangan per periode waktu

λ = rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu e = 2,71828

2.7.2 Uji Kesesuaian Poisson

Uji kesesuaian Poisson dilakukan dengan uji Chi Square ( yang didefinisikan sebagai berikut:

= data yang diuji mengikuti distribusi = data yang diuji tidak mengikuti distribusi

Statistik test didefinisikan sebagai berikut :

Dimana :

= frekuensi observasi ke-i

= frekueensi harapan ke-i

(33)

2.7.3 Pola Pelayanan

Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Waktu pelayanan dapat berupa waktu pelayanan konstan ataupun variabel acak yang telah diketahui probabilitasnya. Tingkat pelayanan adalah jumlah pelanggan yang dilayani per satuan waktu. Dengan asumsi channel selalu dalam keadaan sibuk sehingga tidak ada waktu idle yang dialami oleh channel itu.

Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan dengan fasilitas pelayanan yang lain biasanya tidak konstan. Distribusi probabilitas untuk waktu layanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas Eksponensial yang formulanya dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada suatu antrian. Persamaan distribusi Eksponensialnya adalah sebagai berikut :

Dimana :

x = ( nilai tengah )

= rata-rata yang didekati dengan e = 2,71828

2.7.4 Uji Kesesuaian Eksponensial

Uji kesesuaian Eksponensial dilakukan dengan uju Kolmogorov-Smirnov dengan cara sebagai berikut :

= data yang diuji mengikuti distribusi = data yang diuji tidak mengikuti distribusi

Statistik test didefinisikan sebagai berikut :

(34)

Dalam uji Kolmogorov-Smirnov suatu data dikatakan mengikuti distribusi jika

2.8 Formula yang Digunakan

Formula yang digunakan antara lain :

1. Tingkat kesibukan sistem

2. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengganggur (

3. Peluang nasabah yang datang harus menunggu untuk dilayani

4. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian

5. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

(35)

6. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

7. Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

Dengan : = tingkat kesibukan sistem

k = jumlah server yang ada

λ = rata-rata tingkat kedatangan µ = rata-rata tingkat pelayanan

2.9 Simulasi

Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata (Siagian, 1987). Menurut Hasan (2002), simulasi merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan mencontoh atau mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya pada keadaan yang sesungguhnya.

Simulasi adalah suatu teknik yang dapat digunakan untuk memformulasikan dan memecahkan model – model dari golongan yang luas. Golongan atau kelas ini

sangat luasnya sehingga dapat dikatakan , “ Jika semua cara yang lain gagal, cobalah

simulasi” (Schroeder, 1997). Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik.

Model analitik sangat berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain, yaitu :

1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya memberikan

(36)

penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya, penyelesaian persoalan program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu, atau hari demi hari.

2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian..

3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal – hal yang tidak pasti dan aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.

Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik. Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut :

1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.

2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model persediaan tidak perlu harus deterministik.

3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk menjawab pertanyaan : what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat dicoba untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.

4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri. 5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.

6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.

Model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan antara lain yaitu :

1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi termasuk solusi optimal.

(37)

2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu yang lama dibandingkan dengan model analitik.

3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang memuat ketidakpastian (Siagian, 1987).

2.10 Model-Model Simulasi

Model-model simulasi dapat diklasifikasikan dengan beberapa cara. Salah satu pengelompokannya adalah :

1. Model simulasi statis adalah representasi sistem pada waktu-waktu tertentu atau model yang digunakan untuk mempresentasikan sistem dimana waktu tidak mempunyai peranan. Contohnya simulasi Monte Carlo ( simulasi perilaku sistem fisika dan matematika).

Model simulasi dinamis adalah representasi sistem sepanjang pergantian waktu ke waktu. Contohnya sistem conveyor di pabrik .

2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak mengandung kimponen yang sifatnya probabilistik ( random ) dan output telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu dimasukkan.

Model simulasi stokastik adalah moel simulasi yang mengandung input-input probabilistik ( random ) dan output yang dihasilkan pun sifatnya random.

3. Model simulasi kontinu adalah model simulasi dimana state ( status ) dari sistem berubah secara kontinu karena berubahnya waktu ( change state variable ). Contohnya simulasi polpulasi penduduk.

Model simulasi diskrit adalah model suatu sistem dimana perubahan state terjadi pada satuan-satuan waktu yang diskrit sebagai hasil suatu kejadian ( event ) tertentu (discrete change state variables ). Contohnya simulasi antrian.

(38)

2.11 Simulasi Monte Carlo

Metode Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Penggunaan nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician, Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis.

Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporation Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang.

Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.

Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengandung faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model Monte Carlo. Dasar dari simulasi Monte Carlo

(39)

adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini terbagi dalam 5 tahapan:

1 Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting.

Gagasan dasar dari simulasi monte carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang mungkin ingin kita simulasikan. Salah satu cara umum untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relative untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah total observasi

Contoh: Waktu proses dari suatu stasiun kerja tertentu.

2 Membangun distribusi kemungkinan kumulatif untuk tiap‐tiap variabel di tahap pertama.

Konversi dari distribusi kemungkinan biasa, kumulatif dilakukan dengan menjumlahkan tiap angka kemungkinan dengan jumlah sebelumnya. Probabilitas kumulatif ini berguna untuk membantu menempatkan nilai random.

3 Menentukan interval angka random untuk tiap variabel

Setelah kita menentukan probabilitas kumulatif untuk tiap variabel yang termasuk dalam simulasi, kita harus menentukan batas angka yang mewakili tiap kemungkinan hasil. hal tersebut ditujukan pada interval angka random. Penentuan interval didasari oleh kemungkinan kumulatif

4 Membuat angka random

Untuk membuat angka random kita bisa menggunakan software Microsoft Excel dengan menggunakan perintah =rand(), lanjutkan sampai batas yang diinginkan. 5 Membuat simulasi dari rangkaian percobaan

(40)

Bab 3

PEMBAHASAN

3.1 Data Tingkat Kedatangan

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah nasabah yang datang untuk bertransaksi pada bank XXX ini. Karena bank ini hanya mempunyai data jumlah transaksi selama 1 tahun maka diasumsikan satu transaksi mewakili satu nasabah. Transaksi yang dilakukan antara lain penyeteron, penarikan, pengiriman uang, dan lain-lain. Secara lengkap data tingkat kedatangan disajikan dalam lampiran 1. Jumlah nasabah selama 1 tahun adalah 140556, 1 tahun ada 250 hari, 250 hari ada 8 jam kerja, 1 jam kerja ada 60 menit. Sehingga jumlah nasabah per menit nya dapat diperoleh

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa rata-rata

tingkat kedatangan adalah 1,171 nasabah per menit nya.

3.2 Data Tingkat Pelayanan

Jumlah teller yang ada pada bank XXX ini ada tujuh teller yang masing-masing teller terdiri dari satu orang petugas. Teller tersebut umumnya bekerja 5 hari satu minggu, tetapi dapat juga kurang atau lebih dari 5 hari karena terdapat hari libur atau 1 bulan lebih dari 4 minggu. Dalam hal ini diasumsikan juga satu transaksi mewakili satu nasabah, data tingkat pelayanan nasabah pada masing-masing teller secara lengkap disajikan pada lampiran 2.

(41)

Dari perhitungan diperoleh rata-rata tingkat pelayanan nasabah adalah 0,173 nasabah per menitnya. Dalam hal ini diasumsikan juga satu transaksi mewakili satu nasabah, data tingkat pelayanan nasabah pada masing-masing teller secara lengkap disajikan pada lampiran 2. Dari data diketahui bahwa 7 teller bekerja selama 1627 hari, 1 hari ada 8 jam kerja, 1 jam kerja ada 60 menit, sehingga diperoleh rata-rata tingkat kedatangan per menitnya adalah

Dari perhitungan diperoleh

rata-rata tingkat pelayanan nasabah adalah 0,173 nasabah per menitnya.

3.3 Pembahasan

3.3.1 Harga-Harga Teoritis.

Berdasarkan rumus-rumus antrian yang sesuai dengan kondisi tempat pengambilan data, yaitu sistem ganda maka harga karakteristik yang diperlukan adalah sebagai berikut :

= Tingkat kesibukan sistem

= Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem

= Peluang nasabah yang datang harus menunggu

= Ekspektasi panjang sistem L = Ekspektasi panjang antrian

= Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem W = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian

3.3.2 Perhitungan Harga-Harga Karakteristik

Perhitungan karakteristik dengan menggunakan rumus antrian model ganda : Berdasarkan data yang ada maka diketahui bahwa :

1. Rata-rata tingkat kedatangan

2. Rata-rata tingkat pelayanan

(42)

5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur

=

6. Peluang nasabah yang datang harus mengangur

7. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian

(43)

8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

3.3.3 Pengolahan Data

Dalam pengolahan data ini baik pada data tingkat kedatangan maupun data tingkat pelayanan dikelompokkan dahulu berdasarkan interval kelas dan frekuensinya seperi berikut :

1. Pengelompokan data tingkat kedatangan dengan distribusi frekuensi

Tabel 1 yang terdapat dalam lampiran 1 menginformasikan jumlah nasabah bank XXX dalam waktu 1 tahun. Data tersebut akan dikelompokkan dalam beberapa kelas

(44)

dan kemudian dihitung jumlah data yang masuk dalam setiap kelas atau disebut distribusi frekuensi seperti pada tabel 3.1 dibawah ini :

Tabel 3.1 Distribusi frekuensi dari antar kedatangan nasabah No Interval Kelas Frekuensi

1 357-414 10

2 415-472 43

3 473-530 50

4 531-588 56

5 589-646 37

6 647-704 37

7 705-762 8

8 763-820 4

9 821-878 5

Jumlah 250

2. Pengelompokan data tingkat pelayanan dengan distribusi frekuensi

Tabel yang terdapat dalam lampiran 2 menginformasikan jumlah nasabah bank XXX dalam waktu 1 tahun yang dilayani oleh masing-masing teller.

Tabel 3.2 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 1 No Interval Kelas Frekuensi

1 26-51 37

2 52-77 42

3 78-103 33

4 104-129 31

5 130-155 50

6 156-181 23

7 182-207 13

8 208-233 10

9 243-259 2

(45)

Tabel 3.3 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 2 No Interval Kelas Frekuensi

1 11-24 3

2 25-38 10

3 39-52 39

4 53-66 66

5 67-80 59

6 81-94 37

7 95-108 15

8 109-124 10

9 125-138 5

Jumlah 244

Tabel 3.4 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 3 No Interval Kelas Frekuensi

1 13-33 10

2 34-54 35

3 55-75 57

4 76-96 69

5 97-117 41

6 118-138 5

7 139-159 3

8 160-180 0

9 181-201 1

(46)

Tabel 3.5 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 4 No Interval Kelas Frekuensi

1 3-23 2

2 24-44 23

3 45-65 60

4 66-86 47

5 87-107 38

6 108-128 32

7 129-149 22

8 150-170 11

9 171-191 4

Jumlah 239

Tabel 3.6 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 5 No Interval Kelas Frekuensi

1 8-29 16

2 30-51 53

3 52-73 36

4 74-95 39

5 96-117 35

6 118-139 41

7 140-161 11

8 162-183 4

9 184-205 3

(47)

Tabel 3.7 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 6 No Interval Kelas Frekuensi

1 13-32 13

2 33-52 52

3 53-72 42

4 73-92 42

5 93-112 39

6 113-132 24

7 133-152 13

8 153-172 4

9 173-192 4

Jumlah 233

Tabel 3.8 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 7 No Interval Kelas Frekuensi

1 10-26 6

2 27-43 25

3 44-60 63

4 61-77 54

5 78-94 30

6 95-111 21

7 112-128 10

8 129-145 5

9 146-162 2

(48)

3.3.4 Pendugaan Distribusi Data

Untuk mengetahui distribusi data, maka akan dilakukan pendugaan distribusi. Dilakukan pendugaan bahwa data tingkat kedatangan nasabah adalah berdistribusi poisson dan data tingkat pelayananan adalah berdistribusi eksponensial.

1. Pengujian Distribusi Tingkat Kedatangan

Untuk melakukan pengecekan akan kebenaran dengan distribusi data maka dilakukan uji distribusi. Karena data tingkat kedatangan diduga berdistribusi poisson maka proses perhitungan yang dilakukan adalah sesuai aturan pada distribusi poisson. Jika ditentukan nilai maka perhitungan diulang dan nilai yang lebih kecil tersebut akan ditambahkan dengan nilai yang lebih besar terdekatnya.

Tabel 3.9 Perhitungan data tingkat kedatangan nasabah

No Frekuensi ( ) P(X=x)

1 10 1 10 0.3630 90.75 71.85

2 43 2 86 0.2126 53.15 1.94

3 50 3 150 0.083 20.75 41.23

4 56 4 224 0.0242 6.05 412.38

5 37 5 185 0.00569 1.4225 889.8

6 37 6 222 0.00111 0.2775 4859.6

7 8 7 56 0.000186 0.0465 1360.39

8 4 8 32 0.000027 0.00675 2362.37

9 5 9 45 0.0000035 0.00088 28399.1

n= 250 1010

No Frekuensi ( ) P(X=x)

1 10 1 10 0.3630 90.75 71.85

2 43 2 86 0.2126 53.15 1.94

3 50 3 150 0.083 20.75 41.23

4 147 4 588 0.0242 6.05 3283.79

(49)

2. Uji Distribusi Kedatangan

Dari tabel 3.9 dapat dihitung rata-rata adalah sebagai berikut :

Akan dilakukan goodness of fit test terhadap data tersebut yang ditunjukkan sebagai berikut :

: hasil pengamatan mengikuti distribusi probabilitas Poisson : hasil pengamatan tidak mengikuti distribusi probabilitas Poisson

Dari tabel 3.9 diperoleh nilai = 7.08 dan berdasarkan tabel Chi-Square

dengan derajat kebebasan adalah (α,m-1) dengan m adalah banyak kelas yang memenuhi dengan α = 0.05 diperoleh nilai . Jadi dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan bahwa = 7.08

sehingga diterima. Dengan penerimaan proses kedatangan dengan rata-rata 1.171 nasabah per menit adalah berdistribusi Poisson.

3. Pengujian Data Tingkat Pelayanan Nasabah

Untuk melakukan pengecekan akan kebenaran dugaan distribusi data maka dilakukan uji distribusi. Karena data tingkat pelayanan diduga berdistribusi eksponensial, maka proses perhitungan akan dilakukan sesuai aturan distribusi eksponensial. Proses perhitungan tersebut dapat dilihat pada tabel-tabel berikut:

(50)

Tabel 3.10 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 1

No Interval F(x) S(x)

1 26-51 37 38.5 1424.5 37 0.292 0.154 0.138

2 52-77 42 64.5 2709 79 0.439 0.329 0.11

3 78-103 33 90.5 2986.5 112 0.555 0.465 0.09

4 104-129 31 116.5 3611.5 143 0.648 0.594 0.054

5 130-155 50 142.5 7125 193 0.72 0.801 0.081

6 156-181 23 168.5 3875.5 216 0.779 0.896 0.097 7 182-207 13 194.5 2528.5 229 0.825 0.95 0.125 8 208-233 10 220.5 2205 239 0.861 0.992 0.131

9 234-295 2 246.5 493 241 0.889 1 0.111

241 26958.5

Tabel 3.11 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 2

No Interval F(x) S(x)

1 11-24 3 17.5 52.5 3 0.222 0.012 0.21

2 25-38 10 31.5 315 13 0.364 0.053 0.311

3 39-52 39 45.5 1774.5 52 0.479 0.213 0.266

4 53-66 66 59.5 3927 118 0.574 0.484 0.09

5 67-80 59 73.5 4336.5 177 0.652 0.725 0.073

6 81-94 37 87.5 3237.5 214 0.715 0.877 0.162

7 95-108 15 101.5 1522.5 229 0.767 0.939 0.172

8 109-124 10 115.5 1155 239 0.809 0.979 0.17

9 125-138 5 129.5 647.5 244 0.844 1 0.156

(51)

Tabel 3.12 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 3

No Interval F(x) S(x)

1 13-33 10 23 230 10 0.257 0.045 0.212

2 34-54 35 44 1540 45 0.433 0.204 0.229

3 55-75 57 65 3705 102 0.568 0.462 0.106

4 76-96 69 86 5934 171 0.67 0.774 0.104

5 97-117 41 107 4387 212 0.749 0.959 0.21

6 118-138 5 128 640 217 0.808 0.982 0.174

7 139-159 3 149 447 220 0.854 0.996 0.142

8 160-180 0 170 0 220 0.888 0.996 0.108

9 181-201 1 191 191 221 0.915 1 0.085

17074

Tabel 3.13 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 4

No Interval F(x) S(x)

1 3-23 2 13 26 2 0.139 0.008 0.131

2 24-44 23 34 782 25 0.325 0.105 0.22

3 45-65 60 55 3300 85 0.469 0.356 0.113

4 66-86 47 76 3572 132 0.584 0.552 0.032

5 87-107 38 97 3686 170 0.673 0.711 0.038

6 108-128 32 118 3776 202 0.744 0.845 0.101

7 129-149 22 139 3058 224 0.799 0.937 0.138

8 150-170 11 160 1760 235 0.842 0.983 0.141

9 171-191 4 181 724 239 0.876 1 0.124

(52)

Tabel 3.14 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 5

No Interval F(x) S(x)

1 8-29 16 18.5 296 16 0.199 0.067 0.132

2 30-51 53 40.5 2146.5 69 0.385 0.289 0.096

3 52-73 36 62.5 2250 105 0.526 0.441 0.085

4 74-95 39 84.5 3295.5 144 0.637 0.605 0.032

5 96-117 35 106.5 3727.5 179 0.721 0.752 0.031 6 118-139 41 128.5 5268.5 220 0.786 0.924 0.138 7 140-161 11 150.5 1655.5 131 0.836 0.971 0.135

8 162-183 4 172.5 690 235 0.874 0.987 0.113

9 184-205 3 194.5 583.5 238 0.903 1 0.097

238 19913

Tabel 3.15 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 6

No Interval F(x) S(x)

1 13-32 13 22.5 292.5 13 0.245 0.056 0.189

2 33-52 52 42.5 2210 65 0.411 0.279 0.132

3 53-72 42 62.5 2625 107 0.541 0.459 0.082

4 73-92 42 82.5 3464 149 0.643 0.639 0.004

5 93-112 39 _102.5 3997.5 188 0.721 0.807 0.086 6 113-132 24 122.5 2940 212 0.783 0.909 0.126 7 133-152 13 142.5 1852.5 225 0.831 0.966 0.135

8 153-172 4 162.5 650 229 0.868 0.983 0.115

9 173-192 4 182.5 730 233 0.897 1 0.103

(53)

Tabel 3.16 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 7

No Interval F(x) S(x)

1 10-26 6 18 108 6 0.227 0.028 0.199

2 27-43 25 35 875 31 0.394 0.144 0.25

3 44-60 63 52 3276 94 0.525 0.435 0.009

4 61-77 54 69 3726 148 0.628 0.685 0.57

5 78-94 30 86 2580 178 0.708 0.824 0.116

6 95-111 21 103 2163 199 0.771 0.921 0.15

7 112-128 10 120 1200 209 0.821 0.968 0.147

8 129-145 5 137 685 214 0.859 0.99 0.131

9 146-162 2 154 308 216 0.889 1 0.11

216 14921

4. Uji Distribusi Pelayanan

Dari tabel-tabel diatas dapat dihitung rata-rata pelayanan pelayanan adalah sebagai berikut :

1. Rata-rata pelayanan pada teller 1

Dengan = 0.138

2. Rata-rata pelayanan pada teller 2

(54)

3. Rata-rata pelayanan pada teller 3

Dengan = 0.229

4. Rata-rata pelayanan pada teller 4

Dengan = 0.22

5. Rata-rata pelayanan pada teller 5

Dengan = 0.138

6. Rata-rata pelayanan pada teller 6

Dengan = 0.189

7. Rata-rata pelayanan pada teller 7

(55)

Dengan = 0.25

Selanjutnya nilai yang telah dihitung akan dibandingkan nilai pada tabel Kolmogrov Smirnov dengan :

= data yang diuji mengikuti distribusi Eksponensial = data yang diuji tidak mengikuti distribusi Eksponensial

Dari tabel Kolmogrov Smirnov dengan Karena nilai sehingga diterima. Hal ini menunjukkan bahwa tingkat pelayanan nasabah pada bank XXX ini berdistribusi Eksponensial.

3.3.5 Simulasi

Simulasi yang akan dilakukan adalah simulasi berdasarkan pengerjaan data dari Microsoft Excell 2007, dengan menggunakan hasil data selama 1 tahun yang diambil dari bank XXX. Simulasi yang dilakukan adalah simulasi dengan 7 teller seperti dalam kehidupan nyata, simulasi dengan 6 teller yaitu jika 1 teller dikurangi, dan simulasi dengan 8 teller yaitu jika 1 teller ditambahi. Simulasi ini akan membandingkan keadaan sistem yang ada dengan sistem yang dibuat sendiri. Pada simulasi ini akan digunakan teknik Monte Carlo dengan memilih angka random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi.

(56)

Tabel 3.17 Simulasi tingkat kedatangan nasabah

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

385.5 10 10 0.040 0.000-0.039

443.5 43 53 0.212 0.040-0.211

501.5 50 103 0.412 0.212-0.411

559.5 56 159 0.636 0.412-0.635

617.5 37 196 0.784 0.636-0.783

675.5 37 233 0.932 0.784-0.931

733.5 8 241 0.964 0.932-0.963

791.5 4 245 0.980 0.964-0.979

849.5 5 250 1 0.980-1

Tabel 3.18 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

38.5 37 37 0.154 0.000-0.153

64.5 42 79 0.329 0.154-0.328

90.5 33 112 0.465 0.329-0.464

116.5 31 143 0.594 0.465-0.593

142.5 50 193 0.801 0.594-0.800

168.5 23 216 0.896 0.801-0.895

194.5 13 229 0.95 0.896-0.949

220.5 10 239 0.992 0.950-0.991

(57)

Tabel 3.19 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 2

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

17.5 3 3 0.012 0.000-0.011

31.5 10 13 0.053 0.012-0.052

45.5 39 52 0.213 0.053-0.212

59.5 66 118 0.484 0.213-0.483

73.5 59 177 0.725 0.484-0.724

87.5 37 214 0.877 0.725-0.876

101.5 15 229 0.939 0.877-0.938

115.5 10 239 0.979 0.939-0.978

129.5 5 244 1 0.979-1

Tabel 3.20 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 3

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

23 10 10 0.045 0.000-0.044

44 35 45 0.204 0.045-0.203

65 57 102 0.462 0.204-0.461

86 69 171 0.774 0.462-0.773

107 41 212 0.959 0.774-0.958

128 5 217 0.982 0.959-0.981

149 3 220 0.996 0.982-0.995

170 0 220 0.996 0.996-0.996

(58)

Tabel 3.21 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 4

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

13 2 2 0.008 0.000-0.007

34 23 25 0.105 0.008-0.104

55 60 85 0.356 0.105-0.355

76 47 132 0.552 0.356-0.551

97 38 170 0.711 0.552-0.710

118 32 202 0.845 0.711-0.844

139 22 224 0.937 0.845-0.936

160 11 235 0.983 0.937-0.982

181 4 239 1 0.983-1

Tabel 3.22 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 5

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

18.5 16 16 0.067 0.000-0.066

40.5 53 69 0.289 0.067-0.288

62.5 36 105 0.441 0.289-0.440

84.5 39 144 0.605 0.441-0.604

106.5 35 179 0.752 0.605-0.751

128.5 41 220 0.924 0.752-0.923

150.5 11 131 0.971 0.924-0.970

172.5 4 235 0.987 0.971-0.986

(59)

Tabel 3.23 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 6

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

22.5 13 13 0.056 0.000-0.055

42.5 52 65 0.279 0.056-0.278

62.5 42 107 0.459 0.279-0.458

82.5 42 149 0.639 0.459-0.638

102.5 39 188 0.807 0.639-0.806

122.5 24 212 0.909 0.807-0.908

142.5 13 225 0.966 0.909-0.965

162.5 4 229 0.983 0.966-0.982

182.5 4 233 1 0.983-1

Tabel 3.24 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 7

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

Probabilitas Kumulatif

Range Random

18 6 6 0.028 0.000-0.027

35 25 31 0.144 0.028-0.143

52 63 94 0.435 0.144-0.434

69 54 148 0.685 0.435-0.684

86 30 178 0.824 0.685-0.823

103 21 199 0.921 0.824-0.920

120 10 209 0.968 0.921-0.967

137 5 214 0.99 0.968-0.989

154 2 216 1 0.990-1

Setelah mendapatkan range bilangan random dengan menggunakan teknik Monte Carlo, maka akan disusun simulasi dengan 7 teller, 6 teller, maupun 8 teller yang hasilnya adalah sebagai berikut :

(60)

1. Hasil simulasi 7 teller

Tabel 3.25 Simulasi tingkat kedatangan :

385.5 3 1156.5

443.5 43 19070.5

501.5 45 22567.5

559.5 65 36367.5

617.5 43 26552.5

675.5 35 23642.5

733.5 7 5134.5

791.5 2 1583

849.5 7 5946.5

Jumlah 250 142021

Tabel 3.26 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1

38.5 31 1193.5

64.5 55 3547.5

90.5 29 2624.5

116.5 30 3495

142.5 51 7267.5

168.5 24 4044

194.5 9 1750.5

220.5 9 1984.5

246.5 3 739.5

(61)

Tabel 3.27 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 2

17.5 2 35

31.5 9 283.5

45.5 30 1365

59.5 57 3391.5

73.5 72 5292

87.5 41 3587.5

101.5 14 1421

115.5 12 1386

129.5 7 906.5

Jumlah 244 17668

Tabel 3.28 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 3

23 8 184

44 30 1320

65 64 4160

86 69 5934

107 39 4173

128 6 768

149 3 447

170 0 0

191 2 382

(62)

Tabel 3.29 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 4

13 3 39

34 23 782

55 67 3685

76 40 3040

97 41 3977

118 19 2242

139 27 3753

160 13 2080

181 6 1086

Jumlah 239 20684

Tabel 3.30 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 5

18.5 2 37

40.5 54 2187

62.5 39 2437.5

84.5 44 3718

106.5 37 3940.5

128.5 43 5525.5

150.5 13 1956.5

172.5 3 517.5

194.5 3 583.5

(63)

Tabel 3.31 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 6

22.5 12 270

42.5 42 1785

62.5 55 3437.5

82.5 47 3877.5

102.5 29 2972.5

122.5 30 3675

142.5 14 1995

162.5 3 487.5

182.5 1 182.5

Jumlah 233 18682.5

Tabel 3.32 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 7

18 6 108

35 26 910

52 53 2756

69 60 4140

86 42 3612

103 13 1339

120 11 1320

137 2 274

154 3 462

Jumlah 216 14921

Dari hasil simulasi yang dilakukan dengan jumlah 7 teller maka diperoleh hasilnya adalah sebagai berikut :

(64)

1. Rata-rata tingkat kedatangan

2. Rata-rata tingkat pelayanan

3. Jumlah teller (k) = 7 4.

5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur

=

6. Peluang nasabah yang datang harus menunggu

(65)

8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

(66)

2. Hasil simulasi 6 teller

Tabel 3.33 Simulasi tingkat kedatangan :

385.5 9 3469.5

443.5 39 17296.5

501.5 54 27081

559.5 67 37486.5

617.5 29 17907.5

675.5 33 22291.5

733.5 9 6601.5

791.5 5 3957.5

849.5 5 4247.5

Jumlah 250 140339

Tabel 3.34 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1

38.5 32 1232

64.5 40 2580

90.5 31 2805.5

116.5 33 3844.5

142.5 42 5985

168.5 26 4381

194.5 17 3306.5

220.5 16 3528

246.5 4 986

(67)

Tabel 3.35 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 2

17.5 3 52.5

31.5 10 315

45.5 43 1956.5

59.5 68 4046

73.5 60 4410

87.5 35 3062.5

101.5 14 1421

115.5 6 693

129.5 5 647.5

Jumlah 244 16604

Tabel 3.36 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 3

23 4 92

44 43 1892

65 48 3120

86 70 6020

107 43 4601

128 4 512

149 8 1192

170 0 0

191 1 191

(68)

Tabel 3.37 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 4

13 1 13

34 27 918

55 62 3410

76 53 4028

97 33 3201

118 27 3186

139 24 3336

160 7 1120

181 5 905

Jumlah 239 20117

Tabel 3.38 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 5

18.5 6 111

40.5 55 2227.5

62.5 36 2250

84.5 38 3211

106.5 34 3621

128.5 43 5525.5

150.5 18 2709

172.5 4 690

194.5 4 778

(69)

Tabel 3.39 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 6

22.5 14 315

42.5 56 2380

62.5 38 2375

82.5 43 3547.5

102.5 28 2870

122.5 33 4042.5

142.5 10 1425

162.5 4 650

182.5 7 1277.5

Jumlah 233 18882.5

Dari hasil simulasi yang dilakukan dengan jumlah 6 teller maka diperoleh hasilnya adalah sebagai berikut :

1. Rata-rata tingkat kedatangan

2. Rata-rata tingkat pelayanan

3. Jumlah teller (k) = 6 4.

5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur

(70)

=

6. Peluang nasabah yang datang harus menunggu

7. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian

8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

(71)

10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

3. Hasil simulasi untuk 8 teller

Dari hasil simulasi yang dilakukan dengan jumlah 8 teller maka diperoleh hasilnya adalah sebagai berikut :

1. Rata-rata tingkat kedatangan

2. Rata-rata tingkat pelayanan

3. Jumlah teller (k) = 8 4.

5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur

(72)

6. Peluang nasabah yang datang harus menunggu

7. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian

8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

(1)

6. Peluang nasabah yang datang harus menunggu

7. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian

8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

(2)

10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

Tabel 3.40 Rangkuman hasil pengolahan data

Hasil Analisis

Hasil Simulasi 6

Teller

Hasil Simulasi 7

Teller

Hasil Simulasi 8

Teller

1.171 1.17 1.18 1.171

µ 0.173 0.2 0.175 0.165

0.967 0.975 0.963 0.887

0.0002 0.0004 0.00026 0.00018

22.89 34.74 23.34 5.222

L 29.659 40.59 30.083 12.318

19.547 26.69 19.78 4.459

(3)

Gambar 3.1 Grafik Hasil Rangkuman Pengolahan Data

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa hasil analisis 7 teller dengan menggunakan rumus dan hasil simulasi 7 teller dengan menggunakan teknik Monte Carlo merupakan dua grafik yang hampir berimpit. Hal ini menunjukkan bahwa perhitungan hasil analisis dan hasil simulasi tidak terdapat perbedaan yang signifikan, artinya simulasi yang dilakukan sudah cukup baik karena sudah dapat menggambarkan bagaimana keadaan pada kehidupan nyatanya.

Dari grafik di atas juga dapat dilihat bahwa grafik hasil simulasi 6 teller berada di atas grafik hasil simulasi 7 teller dan grafik hasil simulasi 8 teller berada di bawah grafik hasil simulasi 7 teller. Hasil simulasi 8 teller lebih efisien terhadap waktu daripada hasil simulasi 6 teller. Hasil simulasi ini sudah cukup menggambarkan keadaan nyata bila pada bank tersebut dilakukan pengurangan maupun penambahan teller. Dapat dilihat jika pada bank tersebut dilakukan penambahan 1 teller lagi, maka dapat mengurangi waktu tunggu nasabah, mempercepat transaksi teller, sehingga dapat melayani nasabah yang lebih banyak sehingga dapat memberikan keuntungan pada bank tersebut. Akan tetapi penting pula diperhitungkan biaya yang diperlukan untuk melakukan penambahan teller sehingga jika dilakukan pun penambahan teller tidak merugikan bank tersebut.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0 2 4 6 8 10

Hasil Analisis

Hasil Simulasi 6 Teller Hasil Simulasi 7 Teller Hasil Simulasi 8 Teller

(4)

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan yang telah disajikan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Dari pengolahan data dapat disimpulkan bahwa perhitungan hasil analisis dengan 7 teller dan hasil simulasi 7 teller dengan menggunakan teknik Monte Carlo tidak terdapat perbedaan yang signifikan, artinya simulasi yang dilakukan sudah cukup baik karena sudah dapat menggambarkan keadaan pada kehidupan nyatanya yaitu tingkat kedatangan, tingkat pelayanan, waktu menunggu antrian maupun sistem.

2. Hasil simulasi 8 teller lebih efisien terhadap waktu daripada hasil simulasi 6 teller. Hasil simulasi ini sudah cukup menggambarkan keadaan nyata bila pada bank tersebut dilakukan pengurangan maupun penambahan teller maka dapat mengurangi waktu tunggu nasabah.

3. Dengan menggunakan simulasi dapat digambarkan berbagai alternatif jumlah teller, seperti pada pembahasan dapat digambarkan dengan 3 alternatif yaitu 6 teller, 7 teller, 8 teller. Sehingga dapat dipilih jumlah teller yang waktu tunggu nasabah paling minimum yaitu 8 teller.

(5)

4.2 Saran

Saran-saran yang diberikan antara lain :

1. Dapat melakukan simulasi dengan teknik Monte Carlo dengan berbagai alternatif selain alternatif yang telah diuraikan pada pembahasan, misalnya alternative dengan 5 teller.

2. Dapat mempertimbangkan biaya jika akan dilakukan penambahan teller sehingga dapat diperoleh waktu tunggu yang paling minimum dan biaya yang minimum pula.

3. Dapat menggunakan metode simulasi Monte Carlo ini dalam permasalahan lain, selain masalah antrian misalnya pada permasalahan persediaan.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Aminudin, 2005. “ Prinsip-Prinsip Riset Operasi”. Erlangga : Jakarta. Bronson, Richard, 1991. “Teori dan Soal-Soal Operation Reasearch”. Edisi

Pertama Cetakan Kedua. Erlangga : Jakarta.

Cahyo, Winda Nur. 2008. “Pendekatan simulasi monte carlo untuk pemilihan alternative dengan decision tree pada nilai outcome yang probabilistik. hal.13.

Husnan, Suad, 1982.”Teori Antrian”. BPFE : Yogkarta.

Kakiay, Thomas J, 2004. “Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata.” Andi : Yogyakarta.

Mulyono, Sri, 2002. “Riset Operasi”. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia: Jakarta.

Nasution, Arman Hakim dan Imam Baihaqi. 2007. “Simulasi Bisnis”. Penerbit Andi : Surabaya.

Riyanto, Muhammad Zaki. 2005. Simulasi antrian klinik dan implementasinya menggunakan GPSS. hal. 1-14

Siagian, P, 1987. “Penelitian Operasional Teori dan Praktek”. Universitas Indonesia-PRESS : Jakarta.

Subagyo, Pangestu. 1983. “Dasar-Dasar Operations Research”. Edisi 2. BPFE : Yogyakarta.

Sudjana. 2005. “Metode Statistika”. Penerbit TARSITO : Bandung.

Suryono, Hassan. 2005. “Statistik Pedoman, Teori, dan Aplikasi”. UNS Press : Surakarta.

Supriana, Tavi. 2010. “Statistika Nonparametrik”. USU Press : Medan. Thomas L.Saaty. 1961. “Element Of Queueing Theory With Application”.

McGraw-Hill Book Company : New York.

W. J. Conover. 1999. “Practical Nonparametric Statistic.” Third Edition. Acid-Free Paper : United State of America.

Simulasi Antrian Dengan Menggunakan Metode Monte Carlo