Soal soal GeoAanalitikRuang

Oleh: Murdanu, M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

1. Diberikan titik A(4,3,2) dan B( 2,3,2). Carilah persamaan vektor suatu garis yang: (a) melalui O dan A; (b) melalui B dan sejajar dengan OA ; (c) melalui A dan sejajar dengan OB ; (d) melalui A dan B.

2. Diberikan titik A(0,1,2), B(3,0,0), C( 1, 2, 1): (a) Carilah persamaan vektor garis-garis yang memuat sisi-sisi ABC; (b) Carilah persamaan vektor garis yang melalui A dan sejajar dengan BC ;

(c) Carilah persamaan vektor garis yang melalui B dan sejajar dengan CA ; (d) Carilah persamaan

vektor garis yang melalui C dan sejajar dengan AB .

3. Diberikan titik-titik A( 1,0,0), B(5, 1,9), dan C(9, 5,15) dan garis g dengan persamaan:

3 1

2 6

2 3 z

y x

g . Selidikilah: apakah A, B, C g ?

4. Gambar berikut merupakan visualisasi dari sebuah limas beraturan T.ABCD. AB = OT = 4 sp.

5. Carilah persamaan vektor dari bidang-bidang yang melalui titik-titik: (a) O(0,0,0), A(2, 3,4), B( 5, 2,1); (b) D(3,0,0), E(0,2,0), F(0,05); (c) G(0,0,4), H(1, 2,4), I(3,1,4). Apakah keistimewaan bidang-GHT ?

6. Carilah persamaan vektor dari bidang yang melalui A(3, 4,2), dan memuat vektor-vektor:

0 2 1 b dan 1

3 2

a .

7. Carilah persamaan vektor dari bidang yang: (a) melalui garis-garis

1 2 1 3

2 0 z y x

g dan

1 2 1 2

1 4 z

y x

h ; (b) melalui titik (3, 2,1) dan memuat garis

1 5 2 3

1 2 z

y x

k .

z

y

x T

A B

C

D O

(a) Jika P merupakan titik tengah TB , carilah

persamaan vektor garis OP ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang

memuat TD !

(c) Kemukakan pendapatmu tentang OP dan

TD !

(d) Jika Q, R, dan S berturut-turut titik-titik tengah dari AB,AD, dan DT , carilah

persamaan vektor dari PQ dan RS !

(e) Kemukakan pendapatmu tentang

RS dan PQ

8. Lukiskan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki ukuran rusuk 4 sp., sedemikian, sehingga D=O (pusat sistem koordinat siku-siku), sumbu-x memuat DA , sumbu-y memuat DC , dan sumbu-z

memuat DH . Carilah persamaan vektor dari: (a) bidang-sisi- ABFE dan bidang-sisi-EFGH; (b)

bidang-diagonal-ABGH dan bidang-diagonal-ACGE; (c) bidang-AFH dan bidang BEG. 9. Selidikilah! Apakah titik-titik A(4, 2, 2) dan B( 7,4,4) terletak pada bidang:

0 2 2 0

1 1 1

0 0 z y x

?

10. Selidikilah! Apakah titik-titik A( 1,3, 1), B(0,0, 2), C(2,0,1), dan D(5, 3,5) terletak pada satu bidang? 11. Selidikilah! Apakah garis-garis:

4 0 2 3

0 0 z y x

g ,

2 2 5 0

4 0 z y x

h ,

1 2 1 0

0 2 z y x

k , sejajar dengan bidang

1 0 2 0

2 1 0

1 2 z y x

?

12. Tunjukkanlah bahwa garis

1 1 2 7

1 2 z

y x

g terletak pada bidang

2 0 1 3

1 0 z

y x

!

13. Selidikilah! Apakah garis-garis

3 2 6 z

y x

m dan

2 0 3 0

2 0 z y x

n menembus

bidang

4 1 0 2

1 3 1

2 0 z

y x

? Apabila kedua garis tersebut menembus bidang tersebut, carilah koordinat-koordinat titik tembusnya!

14. Carilah koordinat-koordinat titik tembus sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z dengan bidang

0 3 2 5

0 2 0

6 2 z

y x

!

15. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH. Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari

EH , GH , BC ,

AB . Ukuran rusuk kubus tersebut 2a sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku

untuk kondisi tersebut. (a) Carilah persamaan vektor dari bidang- yang melalui P, Q, R, dan S; (b) Carilah koordinat-koordinat titik potong bidang- dengan AE dan CG . (c) K AE BE .

16. Vektor-vektor 3 2 1 3 2 1 b b b b dan a a a

a adalah vektor arah sebuah bidang- , dan

vektor-vektor 3 2 1 3 2 1 d d d d dan c c c

c adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- . Rumuskanlah ciri

kesejajaran antara bidang- dan bidang- dengan menggunakan determinan.

17. Selidikilah! Apakah pasangan-pasangan bidang berikut sejajar ataukah berpotongan: (a) 1 2 3 2 1 0 1 5 4 z y x dan 0 1 2 1 0 1 5 3 4 z y x ; (b) 2 3 2 1 6 0 5 7 0 z y x dan 0 3 2 1 0 4 0 5 8 z y x ; (c) 3 5 2 1 1 0 3 2 4 z y x dan 0 2 2 1 3 2 z y x . 18. Tunjukkanlah bahwa bidang-bidang berikut berimpit:

4 3 0 2 3 1 2 4 0 z y x dan 2 0 1 0 3 2 0 1 1 z y x !

19. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. . Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB, EH , AD, BC . Tunjukkanlah bahwa: (a) BH bidang PDE ;

(b) PQ bidang RSH ; (c) bidang-DGQ bidang-ASF.

20. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang-bidang

2 1 0 0 0 1 z y x dan 0 2 1 2 0 1 0 2 0 z y x !

21. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakang perpotongan antara bidang

1 2 1 0 2 3 0 6 3 z y x

dengan bidang-bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ.

22. Diberikan titik-titik A(3,0,1), B(5,1,1), dan C(4, 1, 1). (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A, B, dan C; (b) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui titik P(5,2,0) dan sejajar dengan bidang- ; (c) Carilah persamaan vektor garis-garis yang merupakan perpotongan antara bidang-XOZ dan bidang- , bidang-XOZ dan bidang- ; (d) Tunjukkan kedua garis tersebut saling sejajar.

23. Diketahui bidang- melalui garis-garis:

0 1 0 0

0 8 z y x h dan 0 1 0 4

0 0 z y x

g , dan

bidang- melalui titik-titik O(0,0,0), A(6,0,3), dan B(0,3,2). Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang- !

24. Bidang- memuat garis

2 0 1 1

2 0 z y x

k dan garis-garis yang sejejar dengan sumbu-z.

Carilah persamaan vektor bidang- dan persamaan vektor garis potong yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang XOY.

25. Hitunglah cosinus dari sudut antara pasangan-pasangan garis berikut: (a)

0 4 3

2 0 1

z y x h dan 3 2

2 0

2 3 0

z y x

g ;

(b)

2 5 3 3

1 2 z

y x n dan 1 2 4 1

0 0 z y x

m .

26. Garis k melalui titik-titik A( 5,8,5) dan B(5, 7,0); garis j melalui titik-titik C( 9, 7,0) dan D(6,2,3). (a) Apakah kedua garis tersebut berpotongan? (b) Apabila kedua garis tersebut: (1) Tentukanlah m (j,k); (2) Carilah koordinat dari E = j k.

27. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 2 sp. P adalah titik tengah AB dan CF

BG

Q . Pilihlah sebuah sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Hitunglah

cosinus dari: (1) m (DF,DP); (2) m (DF,DG); (3) m (DF,EC); (b) Buktikan bahwa DF

menyilang tegaklurus, masing-masing dengan BE, BG , EG .

28. Carilah persamaan vektor garis-garis yang melalui titik (3,2,0), sejajar dengan bidang-XOZ, dan membentuk sudut berukuran ₄1 _{dengan garis}

1 2 2 0

2 1 z y x

k .

29. Diketahui sebuah garis

1 3 2 4

0 0 z y x

g dan bidang

1 1 1 2

0 1 0

1 2 z

y x

. (a) Selidikilah! Apakah g bidang- ?; (b) Bidang- sumbu-z = A, A h, dan h bidang- . Carilah persamaan vektor dari garis h!; (c) Jelaskan hubungan antara g dan h !

30. Diketahui bidang- bidang- dan garis g. Buktikanlah: g g .

31. Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A(3,1,0) dan tegaklurus dengan garis

4 3 2 5

2 0 z

y x

32. (a) Carilah persamaan vektor garis m yang melalui titik B(0,3,7) dan memotong tegaklurus garis

2 1 1 2

3 0 z

y x

n ;

(b) Tentukanlah koordinat S = m n;

(c) Tentukan mBS !

33. Buktikanlah, bahwa dalam kubus ABCD.EFGH:

(a) AG bidang BDE ; (b) AG bidang CFH .

34. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah EF . Pilih D

berimpit dengan pusat sistem koordinat siku-siku. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui P dan tegaklurus dengan DF ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang merupakan

perpotongan antara bidang- dan bidang BCGF.

35. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas 4 sp., dan ukuran garis tingginya mOT 4sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku dengan OT berimpit dengan sumbu-z. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui D dan tegaklurus dengan TB ! ;

(b) Tentukan koordinat titik potong bidang- dengan TB !; (c) Carilah persamaan vektor garis-potong

antara bidang- dan bidang-ABT !

36. Tentukanlah ukuran sudut antara garis g dan bidang- yang memiliki persamaan-persamaan vektor berikut: (a)

0 3 2 3

0 4 5

8 3 z

y x dan

2 1 1 z

y x

g ;

(b)

1 2 0 1

1 1 z

y x dan

2 1 1 0

1 0 z

y x

g ;

(c)

2 1

1 1

1 2 8

10 3 z

y x dan

2 1 1 7

5 8 z

y x

g .

37. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah FG dan

DE AH

Q .

(a) Tentukan m (DF,bidang BDG );

(b) Tentukan m (BQ,bidang ACGE ).

38. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD, dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp.

BD AC

O dan P adalah titik tengah CT .

(a) Tentukanlah m (BP,bidang BDT );

(b) Tentukanlah m (BT,bidang BDP ).

39. Hitunglah cos m ( , ) yang persamaan-persamaan vektornya diberikan berikut: (a)

1 1 0 2

0 1 z

y x dan

1 1 0 1

0 2 z

y x

(b)

0 1 0 2

0 1 z

y x dan

4 1 3 1

0 0 5

1 2 z

y x

;

(c)

0 1 1 1

2 1 2

0 0 z y x dan

2 1 0 3

1 5 z

y x

.

40. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P, Q, R berturut-turut merupakan titik-titik tengah dari AB, AE, BC . Tentukanlah: (a) m DPE, bidang-DPF); (b) cos m

(bidang-HQR, bidang-ABC) ; (c) m (bidang-(bidang-HQR, bidang-ADH); (d) m (bidang-(bidang-HQR, bidang-DCG). 41. Lukislah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. (a) Carilah

persamaan vektor bidang- yang melalui B dan tegaklurus DT ; (b) Hitunglah cos m (bidang- ,

bidang-DPF); (c) Tentukanlah koordinat titik potong antara DT dan bidang- ; (d) Carilah persamaan

vektor garis potong antara bidang- dan bidang-BCT.

42. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. (a) EF terletak pada bidang- yang

tegaklurus terhadap bidang-DBE; (b) Carilah persamaan vektor tiap garis potong yang merupakan perpotongan antara dan bidang koordinat; (c) adalah ukuran sudut antara bidang-XOY dan proyeksi EF pada bidang DBE. Tentukanlah sin !

A. PERMUKAAN PUTAR

1. Sebuah kurva pada bidang-XOZ diwakili oleh persamaan

0 y 0 ) z , x ( f

. Buktikan bahwa jika z > 0 sebuah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva tersebut

mengelilingi sumbu-x adalah f x, y2 z2 0.

2. Buktikan, bahwa f x2 y2,z 0 adalah sebuah persamaan permukaan yang diperoleh

dengan memutar kurva yang persamaannya

0 y 0 ) z , x ( f

mengelilingi sumbu-z, dan jika diandaikan bahwa x > 0.

3. Tentukanlah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva yang mengelilingi sumbu yang ditunjukkan, kemudian lukiskan permukaan tersebut!

a)

0 y

z 16

x2 _{, sumbu-x}

b)

0 y

z 16

x2 _{, sumbu-z}

c)

0 z

16 y

x2 2 _{, sumbu-x}

d) 0 x 36 z 4 y

9 2 2 _{, sumbu-z}

e) 0 x 36 z 4 y

9 2 2 _{, sumbu-y}

f) 0 z 2 y 4 x 3 , sumbu-x g) 0 z x sin y , sumbu-y h) 0 z x cos y , sumbu-x i) 0 z e

y x _{, sumbu-y}

j) 0 z 16 y 4

x2 2 _{, sumbu-x}

k) 0 z 16 y 4

x2 2 _{, sumbu-y}

l) 0 x 0 4 z y 2 , sumbu-z

B.

PERMUKAAN SILINDER DAN KERUCUT

Lukislah permukaan silinder, kerucut, atau sebuah permukaan putar yang dituliskan persamaannya berikut (pilihlah sumbu putarnya)

1. x2 + y2 = 16 2. y – 3 = 0 3. x2– 4z = 0 4. 4x2– y2 = 16 5. y = sin x

6. x = ez 7. y2– z2 = 49 8. z = cosh x 9. x = tg y 10.y = x

11.y2 + z2 = 4 12.z = sinh x 13.4x2– 9z2 = 36 14.z2– 16y = 0 15.2x – 3y = 6

16.x = cos z 17.9x2 + 4y2 = 36 18.z2 + x2 = 4 19.y2– 9z2 = 16 20.z2– 9y = 0 21.x2– y2 = z2

22.y2 = 4z

26.4x2 + z2 = 16 27.z2 + 4y = 0

31.x2 + y2 = 25 32.z2 + 4y2 = 4

36.z + 2y – 6 = 0 37.x2 + y2 = z2

23.x2– y2 + x – y – 6 = 0 24.xy = yz

25.y2 + z2 = 16

28.x2– 4yz = 0 29.x – 3y + 3 = 0 30.9z2 + 9y2 = x2

33.xy = 5 34.z2– y2 = 0 35.xz + yz = 0

38.4y2 + 9z2 = 36 39.x2 = 4y

40.y2– z2 = 16x2

C. BOLA

1. Tentukan persamaan bola dengan pusat dan jari-jarinya diberikan berikut: a) Bola A( 1,2,3), 4)

b) Bola(O(0,0,0), 6)

c) Bola(B(3,1, 2), 1) d) Bola(C( 1, 1,0), 3)

e) Bola(D(2,0, 3), 5) f) Bola(E(0, 4,1), 10) 2. Tentukan pusat dan jari-jari bola-bola berikut !

a) Bola x2 + y2 + z2– 2x + 4y – 6z – 11 = 0 b) Bola 2x2 + 2y2 + 2z2– 4x + 6z – 3 = 0 c) Bola x2 + y2 + z2 + 2y – 4z – 4 = 0

d) Bola 3x2 + 3y2 + 3z2– x + 7y + 3z – 3 = 0 e) Bola x2 + y2 + z2– 6x + 4z – 36 = 0

3. Diameter sebuah bola adalah ruasgaris dengan ujung-ujung (5,2, 1) dan ( 3,4,7) Tentukan persamaan bola tersebut !

4. Sebuah bola melalui titik-titik (2,1,3), (1, 1,2), dan ( 1,3, 1). Pusat bola tersebut terletak pada bidang 3x + y – z – 2 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut!

5. Sebuah bola melalui titik-titik (2, 1,1), dan (1,3,2). Pusat bola tersebut terletak pada garis 3x + 6 = 2y – 3 = 3z. Tentukan persamaan bola tersebut!

6. Sebuah bola berpusat di titik ( 2,3,1) dan menyinggung bidang 2x – y + 2z – 7 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut!

7. Sebuah bola berpusat di titik (1,1, 3) dan menyinggung bidang x – 2y – 2z – 7 = 0 pada titik (3, 1, 1). Tentukan persamaan bola tersebut!

8. Sebuah bola melalui titik-titik (1, 1,2), dan (2,1,1). Pusat bola tersebut terletak pada garis x = y + 3 = z + 1. Tentukan persamaan bola tersebut!

9. Sebuah bola menyinggung bidang 2x – y + 2z + 3 = 0 dan berpusat di titik (3,1,5). Tentukan persamaan bola tersebut!

D. ELLIPSOIDA

1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) x2 + 4y2 + 16z2 = 144 b) 9x2 + y2 + 4z2 = 36 c) 16x2 + 9y2 + 4z2 = 144

e) x2 + 9y2 + 9z2 = 81 f) 4x2 + 9y2 + 4z2 = 1 g) 5x2 + 25y2 + 25z2 = 25

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!

a) 0 z

36 y 4 x

9 2 2

; sumbu putarnya sumbu-x b)

0 z

36 y 4 x

9 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

c)

0 y

0 15 z 3 x

5 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

d) 0 x

0 4 z 4

y2 2

; sumbu putarnya sumbu-y e)

0 y

0 16 z

x2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

f)

0 x

625 z

y

25 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

g) 0 z

12 y 3 x

4 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-x}

h) 0 x

625 z

y

25 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

E. PARABOLOIDA ELLIPTIK

1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) 4x2 + 9y2 = 4z b) 9x2 + 4z2 = 36y c) z2 + 4y2– 12x = 0

d) 3x2 + z2– 27y = 0 e) 2z2 + y2– 18x = 0 f) 4x2 + 9y2 = –27z

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!

a)

0 z

0 y 6

x2 _{; sumbu putarnya sumbu-x}

b) 0 z

0 y 6

x2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

c) 0 x

0 z 9 y

4 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

d)

0 x

0 z 9 y

4 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

e)

0 y

0 z 25 x

f) 0 x

0 y 15 z

6 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

g) 0 z

0 x 24 y

9 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

h) 0 z

0 x 12 y 5 2

; sumbu putarnya sumbu-z

F. HIPERBOLOIDA

1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) 4x2 + 9y2 9z2 = 36 b) 36y2 16x2 + 9z2 = 144 c) 4x2 + 9y2 z2 = 36 d) 9x2 + 4z2 16y2 = 144 e) 16y2 + 9z2 4x2 = 36 f) 4z2– x2 + 4y2– 16 = 0

g) 4z2 + 9y2 x2 = 64 h) 4x2 y2 16z2 = 16 i) y2 2z2 + 4x2 + 16 = 0 j) 9z2– 16x2 y2 + 25 = 0 k) 5x2– 15z2 + y2 + 25 = 0 l) y2 + 3x2 9z2 + 27 = 0

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!

a)

0 z

4 y 3 x

2 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

b)

0 y

9 z

x2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-x}

c) 0 x

36 z 9 y

4 2 2

; sumbu putarnya sumbu-y d)

0 y

25 x 25 z

16 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

e) 0 x

15 y 5 z

3 2 2

; sumbu putarnya sumbu-y f)

0 x

15 y 5 z

3 2 2

; sumbu putarnya sumbu-z g)

0 z

1 x

G. PARABOLOIDA HIPERBOLIK

Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) 9x2 y2 = 4z

b) 4x2 16z2 + 25y = 0 c) y2 z2 = x

d) 16y2 9z2 = –144x e) 2z2 5x2 = 10y f) 25 y2 x2 = 100z

H. PERMUKAAN YANG DIBENTUK OLEH GARIS-GARIS LURUS

Selidikilah tiap-tiap permukaan yang dibentuk oleh garis-garis lurus berikut! 1. z = xy

2. 9x2– 4y2 = z 3. 9x2 + 4y2– z2 = 36 4. y2z2– y2 + 9x2 = 0

(b)

0 1 0 2

0 1 z

y x dan

4 1 3 1

0 0 5

1 2 z

y x

;

(c)

0 1 1 1

2 1 2

0 0 z y x dan

2 1 0 3

1 5 z

y x

.

40. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P, Q, R berturut-turut merupakan titik-titik tengah dari AB, AE, BC . Tentukanlah: (a) m DPE, bidang-DPF); (b) cos m

(bidang-HQR, bidang-ABC) ; (c) m (bidang-(bidang-HQR, bidang-ADH); (d) m (bidang-(bidang-HQR, bidang-DCG). 41. Lukislah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. (a) Carilah

persamaan vektor bidang- yang melalui B dan tegaklurus DT ; (b) Hitunglah cos m (bidang- ,

bidang-DPF); (c) Tentukanlah koordinat titik potong antara DT dan bidang- ; (d) Carilah persamaan

vektor garis potong antara bidang- dan bidang-BCT.

42. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. (a) EF terletak pada bidang- yang

tegaklurus terhadap bidang-DBE; (b) Carilah persamaan vektor tiap garis potong yang merupakan perpotongan antara dan bidang koordinat; (c) adalah ukuran sudut antara bidang-XOY dan proyeksi EF pada bidang DBE. Tentukanlah sin !

A. PERMUKAAN PUTAR

1. Sebuah kurva pada bidang-XOZ diwakili oleh persamaan

0 y 0 ) z , x ( f

. Buktikan bahwa jika z > 0 sebuah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva tersebut

mengelilingi sumbu-x adalah f x, y2 z2 0.

2. Buktikan, bahwa f x2 y2,z 0 adalah sebuah persamaan permukaan yang diperoleh

dengan memutar kurva yang persamaannya

0 y 0 ) z , x ( f

mengelilingi sumbu-z, dan jika diandaikan bahwa x > 0.

3. Tentukanlah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva yang

mengelilingi sumbu yang ditunjukkan, kemudian lukiskan permukaan tersebut! a)

0 y

z 16

x2 _{, sumbu-x}

b)

0 y

z 16

x2 _{, sumbu-z}

c)

0 z

16 y

x2 2 _{, sumbu-x}

d) 0 x 36 z 4 y

9 2 2 _{, sumbu-z}

e) 0 x 36 z 4 y

9 2 2 _{, sumbu-y}

f) 0 z 2 y 4 x 3 , sumbu-x g) 0 z x sin y , sumbu-y h) 0 z x cos y , sumbu-x i) 0 z e

y x _{, sumbu-y}

j) 0 z 16 y 4

x2 2 _{, sumbu-x}

k) 0 z 16 y 4

x2 2 _{, sumbu-y}

l) 0 x 0 4 z y 2 , sumbu-z

B.

PERMUKAAN SILINDER DAN KERUCUT

Lukislah permukaan silinder, kerucut, atau sebuah permukaan putar yang dituliskan

persamaannya berikut (pilihlah sumbu putarnya)

1. x2 + y2 = 16 2. y – 3 = 0 3. x2– 4z = 0 4. 4x2– y2 = 16

5. y = sin x

6. x = ez 7. y2– z2 = 49

8. z = cosh x

9. x = tg y

10.y = x

11.y2 + z2 = 4 12.z = sinh x 13.4x2– 9z2 = 36 14.z2– 16y = 0 15.2x – 3y = 6

16.x = cos z

17.9x2 + 4y2 = 36 18.z2 + x2 = 4 19.y2– 9z2 = 16 20.z2– 9y = 0

23.x2– y2 + x – y – 6 = 0

24.xy = yz

25.y2 + z2 = 16

28.x2– 4yz = 0 29.x – 3y + 3 = 0 30.9z2 + 9y2 = x2

33.xy = 5

34.z2– y2 = 0

35.xz + yz = 0

38.4y2 + 9z2 = 36 39.x2 = 4y

40.y2– z2 = 16x2

C. BOLA

1. Tentukan persamaan bola dengan pusat dan jari-jarinya diberikan berikut:

a) Bola A( 1,2,3), 4)

b) Bola(O(0,0,0), 6)

c) Bola(B(3,1, 2), 1)

d) Bola(C( 1, 1,0), 3)

e) Bola(D(2,0, 3), 5)

f) Bola(E(0, 4,1), 10)

2. Tentukan pusat dan jari-jari bola-bola berikut !

a) Bola x2 + y2 + z2– 2x + 4y – 6z – 11 = 0 b) Bola 2x2 + 2y2 + 2z2– 4x + 6z – 3 = 0 c) Bola x2 + y2 + z2 + 2y – 4z – 4 = 0

d) Bola 3x2 + 3y2 + 3z2– x + 7y + 3z – 3 = 0 e) Bola x2 + y2 + z2– 6x + 4z – 36 = 0

3. Diameter sebuah bola adalah ruasgaris dengan ujung-ujung (5,2, 1) dan ( 3,4,7) Tentukan persamaan bola tersebut !

4. Sebuah bola melalui titik-titik (2,1,3), (1, 1,2), dan ( 1,3, 1). Pusat bola tersebut terletak

pada bidang 3x + y – z – 2 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut!

5. Sebuah bola melalui titik-titik (2, 1,1), dan (1,3,2). Pusat bola tersebut terletak pada garis

3x + 6 = 2y – 3 = 3z. Tentukan persamaan bola tersebut!

6. Sebuah bola berpusat di titik ( 2,3,1) dan menyinggung bidang 2x – y + 2z – 7 = 0.

Tentukan persamaan bola tersebut!

7. Sebuah bola berpusat di titik (1,1, 3) dan menyinggung bidang x – 2y – 2z – 7 = 0 pada

titik (3, 1, 1). Tentukan persamaan bola tersebut!

8. Sebuah bola melalui titik-titik (1, 1,2), dan (2,1,1). Pusat bola tersebut terletak pada garis x

= y + 3 = z + 1. Tentukan persamaan bola tersebut!

9. Sebuah bola menyinggung bidang 2x – y + 2z + 3 = 0 dan berpusat di titik (3,1,5). Tentukan

persamaan bola tersebut!

D. ELLIPSOIDA

1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) x2 + 4y2 + 16z2 = 144 b) 9x2 + y2 + 4z2 = 36 c) 16x2 + 9y2 + 4z2 = 144 d) 4x2 + 4y2 + 9z2 = 36

e) x2 + 9y2 + 9z2 = 81 f) 4x2 + 9y2 + 4z2 = 1 g) 5x2 + 25y2 + 25z2 = 25 h) x2 + y2 + 4z2 = 4

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!

a)

0 z

36 y 4 x

9 2 2

; sumbu putarnya sumbu-x

b)

0 z

36 y 4 x

9 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

c)

0 y

0 15 z 3 x

5 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

d)

0 x

0 4 z 4 y2 2

; sumbu putarnya sumbu-y

e)

0 y

0 16 z

x2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

f)

0 x

625 z

y

25 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

g)

0 z

12 y 3 x

4 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-x}

h)

0 x

625 z

y

25 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

E. PARABOLOIDA ELLIPTIK

1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) 4x2 + 9y2 = 4z b) 9x2 + 4z2 = 36y c) z2 + 4y2– 12x = 0

d) 3x2 + z2– 27y = 0 e) 2z2 + y2– 18x = 0 f) 4x2 + 9y2 = –27z

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!

a)

0 z

0 y 6

x2 _{; sumbu putarnya sumbu-x}

b)

0 z

0 y 6

x2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

c)

0 x

0 z 9 y

4 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

d)

0 x

0 z 9 y

4 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

0 z 25 x 2 2

f)

0 x

0 y 15 z

6 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

g)

0 z

0 x 24 y

9 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

h)

0 z

0 x 12 y 5 2

; sumbu putarnya sumbu-z

F. HIPERBOLOIDA

1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) 4x2 + 9y2 9z2 = 36 b) 36y2 16x2 + 9z2 = 144 c) 4x2 + 9y2 z2 = 36 d) 9x2 + 4z2 16y2 = 144 e) 16y2 + 9z2 4x2 = 36 f) 4z2– x2 + 4y2– 16 = 0

g) 4z2 + 9y2 x2 = 64 h) 4x2 y2 16z2 = 16 i) y2 2z2 + 4x2 + 16 = 0 j) 9z2– 16x2 y2 + 25 = 0 k) 5x2– 15z2 + y2 + 25 = 0 l) y2 + 3x2 9z2 + 27 = 0

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!

a)

0 z

4 y 3 x

2 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-y}

b)

0 y

9 z

x2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-x}

c)

0 x

36 z 9 y

4 2 2

; sumbu putarnya sumbu-y

d)

0 y

25 x 25 z

16 2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-z}

e)

0 x

15 y 5 z

3 2 2

; sumbu putarnya sumbu-y

f)

0 x

15 y 5 z

3 2 2

; sumbu putarnya sumbu-z

g)

0 z

1 x

y2 2 _{; sumbu putarnya sumbu-x}

h)

0 z

1 x y2 2

G. PARABOLOIDA HIPERBOLIK

Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!

a) 9x2 y2 = 4z

b) 4x2 16z2 + 25y = 0 c) y2 z2 = x

d) 16y2 9z2 = –144x e) 2z2 5x2 = 10y f) 25 y2 x2 = 100z

H. PERMUKAAN YANG DIBENTUK OLEH GARIS-GARIS LURUS

Selidikilah tiap-tiap permukaan yang dibentuk oleh garis-garis lurus berikut!

1. z = xy

2. 9x2– 4y2 = z 3. 9x2 + 4y2– z2 = 36 4. y2z2– y2 + 9x2 = 0