03fa0 bab iii fungsi
15
BAB III
FUNGSI
1.
Definisi Fungsi
Definisi 1
Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika
setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah
fungsi dari A ke B, maka
f:A→B
artinya, f memetakan A ke B
Nama lain dari fungsi adalah pemetaan. Himpunan A disebut daerah asal (domain) sedangkan
himpunan B disebut daerah hasil (codomain). Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari
a dan a dinamakan pra – bayangan dari b.
A
a
B
f
b
Contoh:
a. A = , , dan B = u,v,w dan f =
,u , ,v , ,w . Apakah f : A → B?
Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B
b. A = , , dan B = u,v,w dan f =
,u , ,u , ,v . Apakah f : A → B?
Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B meskipun u merupakan bayangan dari 1 dan 2
c. A = , , , dan B = u,v,w dan f =
,u , ,v , ,w . Apakah f : A → B?
Tidak, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B
Definisi 2
Fungsi f dikatakan satu – ke – satu ( one – to – one) atau injektif jika tidak ada dua elemen
himpunan A yang memiliki bayangan sama
A
B
a
b
c
d
Matematika Diskrit
1
2
3
4
5
Liduina Asih Primandari
16
Definisi 3
Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan
bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
A
B
a
b
c
d
1
2
3
Definisi 4
Fungsi f dikatakan berkorespondensi satu – satu atau bijektif jika ia fungsi satu – ke – satu dan
juga fungsi pada.
Contoh:
a. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi satu – ke – satu?
i.
=
pada f : Z → Z
Bukan fungsi satu – ke – satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tapi
tandanya berbeda nilai fungsinya sama. Misalkan untuk x = 2, maka f (2) = 5
sedangkan untuk f (-2) = 5, jadi f (2) = f (-2) padahal - ≠ .
ii.
=
pada f : Z → Z
Fungsi satu – ke – satu, karena untuk a ≠ b, a – ≠ b – 1. Misalkan untuk x = 2,
maka f (2) = 1 sedangkan untuk f (-2) = -3
b. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi pada?
i.
=
pada f : Z → Z
Bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f.
Misalnya tidak ada nilai x yang membuat nilai fungsi sama dengan 0, yaitu
= tidak dipenuhi untuk nilai x berapapun.
ii.
=
pada f : Z → Z
Fungsi pada, karena untuk untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang
memenuhi, yaitu =
akan dipenuhi untuk =
.
c. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu?
i.
=
pada f : Z → Z
Bukan fungsi berkorespondensi satu – satu karena bukan fungsi satu – ke – satu dan
bukan fungsi pada.
ii.
=
pada f : Z → Z
Fungsi berkorespondensi satu – satu karena merupakan fungsi satu – ke – satu dan
fungsi pada.
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
2.
17
Fungsi Invers
Jika f adalah fungsi berkorespondensi satu – satu dari A ke B, maka ada inversi / invers dari f
. Misal a adalah anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan B, maka
=
=
dan
A
B
a
b
Contoh:
a. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} dan f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi berkorespondensi
satu – satu. Tentukan invers dari fungsi f.
= u, , v, , w,
b. Tentukan fungsi invers dari
=
=
=
=
=
c. Tentukan fungsi invers dari
=
=
bukan merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu, sehingga tidak
mempunyai invers.
3.
NOTE:
Fungsi yang berkorespondensi satu – satu disebut fungsi invertible (dapat dibalikkan), karena
dapat didefinisikan fungsi inversnya.
Fungsi non invertible (tidak dapat dibalikkan) jika fungsi bukan merupakan fungsi yang
berkorespondensi satu – satu dan tidak mempunyai fungsi invers.
Komposisi Fungsi
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke B dan f adalah
Komposisi f dan g adalah
= (
).
Contoh:
Diberikan fungsi
=
dan
=
. Tentukan
= (
)
=
=
=
=
Matematika Diskrit
fungsi dari himpunan B ke A.
dan
= (
=
=
=
=
=
.
)
Liduina Asih Primandari
4.
Beberapa Fungsi Khusus
a. Fungsi floor and ceiling
Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.
Fungsi floor dinotasikan dengan
menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
Dapat pula dikatakan bahwa fungsi floor membulatkan ke bawah
Fungsi ceiling dinotasikan dengan
menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
Dapat pula dikatakan bahwa fungsi ceiling membulatkan ke atas
Contoh:
. =
. =
. =
. =
.
.
18
=
=
. =
. =
b. Fungsi modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.
a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m.
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq r dengan ≤ r ≤ m.
Contoh:
25 mod 7 = 4
15 mod 4 = 3
-25 mod 7 = 3 (karena -25 = 7 (-4) + 3)
c. Fungsi faktorial
Untuk sembarang bilangan bulat tak negatif n, faktorial n dilambangkan dengan n!
,
=
={
,
Contoh:
0!=1
3!=1x2x3=6
d. Fungsi eksponensial
Contoh:
43 = 4 x 4 x 4 = 64
33 = 3 x 3 x 3 = 27
={
,
=
,
Kasus pangkat negatif
Matematika Diskrit
=
Liduina Asih Primandari
19
Contoh:
=
=
=
=
e. Fungsi logaritmik
= og maka =
Contoh:
og
=
Matematika Diskrit
karena
=
Liduina Asih Primandari
BAB III
FUNGSI
1.
Definisi Fungsi
Definisi 1
Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika
setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah
fungsi dari A ke B, maka
f:A→B
artinya, f memetakan A ke B
Nama lain dari fungsi adalah pemetaan. Himpunan A disebut daerah asal (domain) sedangkan
himpunan B disebut daerah hasil (codomain). Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari
a dan a dinamakan pra – bayangan dari b.
A
a
B
f
b
Contoh:
a. A = , , dan B = u,v,w dan f =
,u , ,v , ,w . Apakah f : A → B?
Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B
b. A = , , dan B = u,v,w dan f =
,u , ,u , ,v . Apakah f : A → B?
Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B meskipun u merupakan bayangan dari 1 dan 2
c. A = , , , dan B = u,v,w dan f =
,u , ,v , ,w . Apakah f : A → B?
Tidak, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B
Definisi 2
Fungsi f dikatakan satu – ke – satu ( one – to – one) atau injektif jika tidak ada dua elemen
himpunan A yang memiliki bayangan sama
A
B
a
b
c
d
Matematika Diskrit
1
2
3
4
5
Liduina Asih Primandari
16
Definisi 3
Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan
bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
A
B
a
b
c
d
1
2
3
Definisi 4
Fungsi f dikatakan berkorespondensi satu – satu atau bijektif jika ia fungsi satu – ke – satu dan
juga fungsi pada.
Contoh:
a. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi satu – ke – satu?
i.
=
pada f : Z → Z
Bukan fungsi satu – ke – satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tapi
tandanya berbeda nilai fungsinya sama. Misalkan untuk x = 2, maka f (2) = 5
sedangkan untuk f (-2) = 5, jadi f (2) = f (-2) padahal - ≠ .
ii.
=
pada f : Z → Z
Fungsi satu – ke – satu, karena untuk a ≠ b, a – ≠ b – 1. Misalkan untuk x = 2,
maka f (2) = 1 sedangkan untuk f (-2) = -3
b. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi pada?
i.
=
pada f : Z → Z
Bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f.
Misalnya tidak ada nilai x yang membuat nilai fungsi sama dengan 0, yaitu
= tidak dipenuhi untuk nilai x berapapun.
ii.
=
pada f : Z → Z
Fungsi pada, karena untuk untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang
memenuhi, yaitu =
akan dipenuhi untuk =
.
c. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu?
i.
=
pada f : Z → Z
Bukan fungsi berkorespondensi satu – satu karena bukan fungsi satu – ke – satu dan
bukan fungsi pada.
ii.
=
pada f : Z → Z
Fungsi berkorespondensi satu – satu karena merupakan fungsi satu – ke – satu dan
fungsi pada.
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
2.
17
Fungsi Invers
Jika f adalah fungsi berkorespondensi satu – satu dari A ke B, maka ada inversi / invers dari f
. Misal a adalah anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan B, maka
=
=
dan
A
B
a
b
Contoh:
a. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} dan f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi berkorespondensi
satu – satu. Tentukan invers dari fungsi f.
= u, , v, , w,
b. Tentukan fungsi invers dari
=
=
=
=
=
c. Tentukan fungsi invers dari
=
=
bukan merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu, sehingga tidak
mempunyai invers.
3.
NOTE:
Fungsi yang berkorespondensi satu – satu disebut fungsi invertible (dapat dibalikkan), karena
dapat didefinisikan fungsi inversnya.
Fungsi non invertible (tidak dapat dibalikkan) jika fungsi bukan merupakan fungsi yang
berkorespondensi satu – satu dan tidak mempunyai fungsi invers.
Komposisi Fungsi
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke B dan f adalah
Komposisi f dan g adalah
= (
).
Contoh:
Diberikan fungsi
=
dan
=
. Tentukan
= (
)
=
=
=
=
Matematika Diskrit
fungsi dari himpunan B ke A.
dan
= (
=
=
=
=
=
.
)
Liduina Asih Primandari
4.
Beberapa Fungsi Khusus
a. Fungsi floor and ceiling
Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.
Fungsi floor dinotasikan dengan
menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
Dapat pula dikatakan bahwa fungsi floor membulatkan ke bawah
Fungsi ceiling dinotasikan dengan
menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
Dapat pula dikatakan bahwa fungsi ceiling membulatkan ke atas
Contoh:
. =
. =
. =
. =
.
.
18
=
=
. =
. =
b. Fungsi modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.
a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m.
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq r dengan ≤ r ≤ m.
Contoh:
25 mod 7 = 4
15 mod 4 = 3
-25 mod 7 = 3 (karena -25 = 7 (-4) + 3)
c. Fungsi faktorial
Untuk sembarang bilangan bulat tak negatif n, faktorial n dilambangkan dengan n!
,
=
={
,
Contoh:
0!=1
3!=1x2x3=6
d. Fungsi eksponensial
Contoh:
43 = 4 x 4 x 4 = 64
33 = 3 x 3 x 3 = 27
={
,
=
,
Kasus pangkat negatif
Matematika Diskrit
=
Liduina Asih Primandari
19
Contoh:
=
=
=
=
e. Fungsi logaritmik
= og maka =
Contoh:
og
=
Matematika Diskrit
karena
=
Liduina Asih Primandari