UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 1 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2.

Tulislah permutasi :
a.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 1 6 7 9 8

b.

1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 1 2

Tulislah hasil permutasi diatas menjadi perkalian cycle yang saling lepas ?

JAWAB :
a.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 1 6 7 9 8

= (1, 2, 3, 4, 5)(8, 9)
Dari permutasi dibuat hasil perkalian cycle yang saling lepas yaitu :

= (1, 2, 3, 4, 5)(8, 9)
b.

1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 1 2

= (1, 6, 2, 5)(3, 4)
Dari permutasi dibuat hasil perkalian cycle yang saling lepas yaitu :

= (1, 6, 2, 5)(3, 4)
4.

Buktikan bahwa (1, 2, 3,

−1

, n ) = (n, n − 1, n − 2,

, 2, 1)

JAWAB :
Ambil (1 2 3
Diketahui :
−1

(1
(1

2 ) = (2 1)
3) = (3 1)

(1

n ) = (n 1)

−1

−1

Dimana :
−1

(1
(1

2 )(1 2 ) = 1
3)(1 3) = 1

(1

n )(1 n ) = 1

−1

−1

n ) = (1 2 ) (1 3) (1 4 )

(1

n)

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 2 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

Jika

(2 1)(1

n ) = (2 1) (1 2) (1 3) (1 4 )

2 3

= (1)(1 3) (1 4)
= (1 3) (1 4 )

(3 1)(2 1)(1

2 3

(1
(1

(1

n)

n)

n)

n ) = (3 1) (2 1) (1 2 ) (1 3) (1 4 )
= (3 1) (1) (1 3) (1 4 ) (1 n )
= (3 1) (1 3) (1 4 ) (1 n )

(1

n)

= (3 1) (1) (1 3) (1 4 ) (1 n )
= (3 1) (1 3) (1 4 ) (1 n )
= (1) (1 4 ) (1 n )
= (1 4 ) (1 n )
Dan seterusnya, sehingga

(n

1) (n − 1 1) (n − 2 1)

(3 1)(2

1) (1 2 3

n) = 1

Maka diperoleh

(1, 2, 3,

(1, 2, 3,

−1

, n ) = (n, 1) (n − 1, 1) (n − 2, 1)

(3, 1) (2, 1)
= (n, n − 1, 1) (n − 2, 1) (3, 1) (2, 1)

(3, 1) (2, 1)
= (n, n − 1, n − 2, 1)
, 3, 2, 1)
= (n, n − 1, n − 2,
−1
, n ) = (n, n − 1, n − 2,
, 2, 1)

Jadi terbukti bahwa (1, 2, 3,

6.

−1

, n ) = (n, n − 1, n − 2,

, 2, 1)

a. Apakan order nari n-cycle ?
JAWAB :

Untuk n = 2 , ambil 2-cycle, misal (1, 2) maka cycle adalah (1, 2) sehingga
ordernya 1 = 1! .
Untuk n = 3 , ambil 3-cycle, misal (1, 2, 3) maka cycle adalah (1, 2, 3)
sehingga (1, 3, 2) dan ordernya 2 = 2!.
Untuk n = 4 , ambil 4-cycle, misal (1, 2, 3, 4) maka cycle adalah (1, 2, 3)
dan

(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 4, 2), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)

sehingga ordernya 6 = 3!= 3x2 x1 .

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 3 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

Dan seterusnya,
untuk n = n , ambil n-cycle, misal (1, 2, 3,

, n ) maka diperoleh (n − 1)! cycle.

Sehingga, order dari n-cycle = (n − 1)!
b. Apakan order dari hasil kali dua cycle yang saling lepas dengan panjang
m1 , m2 ,

, mk ?

JAWAB :
Untuk n = 2 , ambil 2-cycle, misal (1, 2) maka cycle adalah (1, 2) sehingga
ordernya 1 = 1! .
Untuk n = 2 , ambil 2-cycle, misal (3, 4) maka cycle adalah (3, 4) sehingga
ordernya 1 = 1! .
Maka (1, 2)(3, 4) memiliki order 1 = 1!
Untuk n = 2 , ambil 2-cycle, misal (1, 2) maka cycle adalah (1, 2) sehingga
ordernya 1 = 1! .
Untuk n = 3 , ambil 3-cycle, misal (3, 4, 5) maka cycle adalah (3, 4, 5) dan

(3, 5, 4) sehingga ordernya

2 = 2!.

Maka (1, 2)(3, 4, 5) diperoleh :

(1, 2)(3, 4, 5)
(1, 2)(3, 5, 4)
sehingga ordernya 2 = 2!.
Untuk n = 3 , ambil 2-cycle, misal (1, 2, 3) maka cycle adalah (1, 2, 3) dan

(1, 3, 2) sehingga ordernya 2 = 2!.
Untuk n = 3 , ambil 3-cycle, misal (4, 5, 6) maka cycle adalah (4, 5, 6) dan

(4, 6, 5) sehingga ordernya

2 = 2!.

Maka (1, 2, 3)(4, 5, 6) diperoleh :

(1, 2, 3)(4, 5, 6)
(1, 2, 3)(4, 6, 5)
(1, 3, 2)(4, 5, 6)
(1, 3, 2)(4, 6, 5)

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 4 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

sehingga ordernya 4 = 2! x 2! .
dan seterusnya
karena order, m1 - cycle = (m1 − 1)!

m2 - cycle = (m2 − 1)!

m k - cycle = (mk − 1)!
Maka hasil kali cycle yang saling lepas dengan panjang m1 , m2 ,
memiliki order (m1 − 1)! x(m 2 − 1)! x

, mk

x(mk − 1)!

c. Bagaimana menentukan order dari permutasi ?
JAWAB :
Misalkan ambil permutasi (1 2 3

n)∈ S

Untuk permutasi yang tidak mengubah posisi elemen pertamanya diperoleh
order (m − 1)! artinya (m − 1)! berlaku untuk semua (1 2 3

n ) sehingga

memberikan tambahan m menjadi n(n − 1)! = n!
Sehingga order dari permutasi adalah o(S n ) = n!

8.

a. Diberikan permutasi x = (1, 2 )(3, 4 ), y = (5, 6 )(1, 3) tentukan nilai permutasi a
sehingga a −1 xa = y ?
JAWAB :
Nilai permutasi a ada jika struktur cycle permutasi x dan y adalah sama.
Sehingga :
Ambil a = (5, 4, 1)(6, 2) sehingga a −1 = (1, 4, 5)(2, 6 )
Jika a −1 xa sehingga :
a −1 xa = (1, 4, 5)(2, 6 )(1, 2 )(3, 4 )(5, 4, 1)(6, 2 )
1→ 4

4→3

3 → 3 maka 1 → 3 = (1, 3)

3→3

3→4

4 → 1 maka 3 → 1 = (3, 1)

2→6

6→6

6 → 2 maka 2 → 2 = (2)

4→5

5→5

5 → 4 maka 4 → 4 = (4)

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 5 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

5 →1

1→ 2

6→2

2 →1

2 → 6 maka 5 → 6 = (5, 6)
1 → 5 maka 6 → 5 = (6, 5)

Maka didapatkan :
a −1 xa = (1, 4, 5)(2, 6 )(1, 2 )(3, 4 )(5, 4, 1)(6, 2 ) = (5, 6 )(1, 3)
b. Buktikan tidak ada permutasi a sehingga a −1 (1, 2, 3)a = (1, 3)(5, 7, 8)
JAWAB :
Misalkan x = (1, 2, 3), y = (1, 3)(5, 7, 8)
Untuk mencari nilai a maka struktur cycle x (3-cycle) dan y (2 cycle, 3 cycle)
haruslah sama sehingga tidak ada nilai permutasi a .
c. Buktikan tidak ada permutasi a sehingga a −1 (1, 2 )a = (3, 4)(1, 5)
JAWAB :
Misalkan x = (1, 2), y = (3, 4)(1, 5)
Untuk mencari nilai a maka struktur cycle x (2-cycle) dan y (2-cycle, 2-cycle)
haruslah sama sehingga tidak ada nilai permutasi a .

10. Dibawah ini yang mana permutasi genap :
a. (1, 2, 3)(1, 2)
b. (1, 2, 3, 4, 5)(1, 2, 3)(4, 5)
c. (1, 2)(1, 3)(1, 4)(2, 5)
JAWAB :
a. (1, 2, 3)(1, 2)

=
=

1 2 3 1 2 3
2 3 1 2 1 3
1 2 3
1 3 2

= (1)(2, 3)
= (2, 3)
Terdapat 1 transposisi, maka permutasinya ganjil

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 6 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

b. (1, 2, 3, 4, 5)(1, 2, 3)(4, 5)

=
=

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 3 4 5 1 2 3 1 4 5 1 2 3 5 4
1 2 3 4 5
3 1 5 4 2

= (1, 3, 5, 2 )
= (1, 3)(1, 5)(1, 2 )
Terdapat 3 transposisi, maka permutasinya ganjil
c. (1, 2)(1, 3)(1, 4)(2, 5)

= (1, 2, 3, 4 )(2, 5)
= (1, 5, 2, 3, 4 )
= (1, 5)(1, 2 )(1, 3)(1, 4)
Terdapat 4 transposisi, maka permutasinya genap.

12. Buktikan bahwa untuk n ≥ 3 ada subgroup yang dibangun oleh 3-cycle adalah An ?
JAWAB :
Untuk n = n maka An = (a1 , a 2 ,

, a n ) , dimana n ≥ 3

Ambil 3-cycle, misal (a i1 , a i 2 , a i 3 ) untuk i = 1, 2,

,n

Misal (ai1 ) adalah generator maka :

(a
(a
(a

i1

, ai 2 , ai 3 ) = (ai1 , a i 2 , a i 3 )

i1

, ai 2 , ai 3 ) = (ai1 , ai 2 , ai 3 )(ai1 , ai 2 , ai 3 ) = (a i1 , ai 3 , a i 2 )

i1

, ai 2 , ai 3 ) = (ai1 , a i 3 , ai 2 )(a i1 , a i 2 , a i 3 ) = (ai1 )(ai 2 )(a i 3 ) = (a i1 )

1

2

3

Dan seterusnya
Maka diperoleh G suatu grup siklik, dengan generator (ai1 ) yaitu
G = (ai1 )(a i1 , a i 2 , a i 3 )(ai1 , ai 3 , ai 2 )

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 7 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

16. Temukan semua subgroup normal di S 4
JAWAB :
Permutasi
S 4 = { f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 , f 8 , f 9 , f 10 , f 11 , f 12 , f 13 f 14 f 15 f 16 f 17 f 18 f 19 f 20 f 21 f 22 f 23 f 24 }
adalah :
f1 =

f2 =

f3 =

f4 =

f5 =

f6 =

f7 =

f8 =

f9 =

f 10 =

f 11 =

f 12 =

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4 3
1 2 3 4
1 3 2 4
1 2 3 4
1 3 4 2
1 2 3 4
1 4 2 3
1 2 3 4
1 4 3 2
1 2 3 4
2 1 3 4
1 2 3 4
2 1 4 3
1 2 3 4
2 3 1 4
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
2 4 1 3
1 2 3 4
2 4 3 1

f 13 =

f 14 =

f 15 =

f 16 =

f 17 =

f 18 =

f 19 =

f 20 =

f 21 =

f 22 =

f 23 =

f 24 =

1 2 3 4
3 1 2 4
1 2 3 4
3 1 4 2
1 2 3 4
3 2 1 4
1 2 3 4
3 2 4 1
1 2 3 4
3 4 1 2
1 2 3 4
3 4 2 1
1 2 3 4
4 1 2 3
1 2 3 4
4 1 3 2
1 2 3 4
4 2 1 3
1 2 3 4
4 2 3 1
1 2 3 4
4 3 1 2
1 2 3 4
4 3 2 1

Sehingga subgroup adalah semua permutasi genap di S 4 adalah :

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR
MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

f1 =

f2 =

f3 =

f4 =
f5 =
f6 =

f7 =

f8 =

f9 =

f 10 =
f 11 =

f 12 =
f 13 =

f 14 =

f 15 =

f 16 =

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4 3
1 2 3 4
1 3 2 4
1 2 3 4
1 3 4 2
1 2 3 4
1 4 2 3
1 2 3 4
1 4 3 2
1 2 3 4
2 1 3 4
1 2 3 4
2 1 4 3
1 2 3 4
2 3 1 4
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
2 4 1 3
1 2 3 4
2 4 3 1
1 2 3 4
3 1 2 4
1 2 3 4
3 1 4 2
1 2 3 4
3 2 1 4
1 2 3 4
3 2 4 1

= permutasi genap
= (1)(2 )(3, 4 ) = (3, 4 ) permutasi ganjil
= (1)(2, 3)(4 ) = (2, 3) permutasi ganjil
= (1)(2, 3, 4 ) = (2, 3, 4 ) = (2, 3)(2, 4 ) permutasi genap
= (1)(2, 4, 3) = (2, 4, 3) = (2, 4 )(2, 3) permutasi genap
= (1)(2, 4 )(3) = (2, 4 ) permutasi ganjil
= (1, 2)(3)(4) = (1, 2 ) permutasi ganjil
= (1, 2 )(3, 4 ) permutasi genap
= (1, 2, 3)(4 ) = (1, 2 )(1, 3) permutasi genap
= (1, 2, 3, 4 ) = (1, 2 )(1, 3)(1, 4 ) permutasi ganjil
= (1, 2, 4, 3) = (1, 2 )(1, 4 )(1, 3) permutasi ganjil
= (1, 2, 4 )(3) = (1, 2, 4 ) = (1, 2 )(1, 4 ) permutasi genap
= (1, 3, 2 )(4 ) = (1, 3, 2 ) = (1, 3)(1, 2 ) permutasi genap
= (1, 3, 4, 2 ) = (1, 3)(1, 4 )(1, 2 ) permutasi ganjil
= (1, 3)(2 )(4 ) = (1, 3) permutasi ganjil

- 8 -

UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

- 9 -

MALALINA (20102512008)
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

f 17 =

f 18 =

f 19 =

f 20 =

f 21 =

f 22 =

f 23 =

f 24 =

1 2 3 4
3 4 1 2
1 2 3 4
3 4 2 1
1 2 3 4
4 1 2 3
1 2 3 4
4 1 3 2
1 2 3 4
4 2 1 3
1 2 3 4
4 2 3 1
1 2 3 4
4 3 1 2
1 2 3 4
4 3 2 1

= (1, 3)(2, 4 ) permutasi genap
= (1, 3, 2, 4 ) = (1, 3)(1, 2 )(1, 4 ) permutasi ganjil
= (1, 4, 3, 2) = (1, 4 )(1, 3)(1, 2 ) permutasi ganjil
= (1, 4, 2 )(3) = (1, 4, 2 ) = (1, 4 )(1, 2 ) permutasi genap
= (1, 4, 3)(2 ) = (1, 4, 3) = (1, 4 )(1, 3) permutasi genap
= (1, 4 )(1, 2 ) permutasi genap
= (1, 4, 2, 3) = (1, 4 )(1, 2 )(1, 3) permutasi ganjil
= (1, 4 )(2, 3) permutasi genap

Maka subgroup dari S 4 adalah A4 = { f 1 , f 4 , f 5 , f 8 , f 9 , f 12 , f 13 , f 15 , f 17 , f 20 , f 21 , f 24 }