Matematika pada hakikatnya adalah sebagai
GEOMETRI NETRAL
(Tugas Mata Kuliah Geometri Aksiomatis)
Oleh :
1. Devi Putri Permatasari
(1213021016)
2. Lusi Armina
(1213021034)
3. Meliza Nopia
(1213021040)
4. Tika Rahayu
(1213021070)
5. Zulfitriani
(1213021080)
Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Lampung
Bandar Lampung
2014
BAB I
PENDAHULUAN
Matematika pada hakikatnya adalah sebagai kumpulan sistem aksiomatis.
Konsep-konsepnya tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistematis,
mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling
kompleks. Salah satu kelompok anggota kumpulan sistem atau struktur
matematika yang akan dibahas pada makalah ini adalah Geometri, yang salah satu
di antaranya adalah Geometri Netral.
Geometri netral lahir setelah Gerolamo Saccheri (1667-1733, dari Italia), berusaha
membuktikan bahwa postulat sejajar euclid adalah sebuah teorema yang dapat
dibuktikan dengan berdasar pada postulat euclid. Namun, Saccheri tidak berhasil
membuktikan hal tersebut. Ternyata usaha ini menjadi awal dari geometri netral.
Geometri netral disebut juga geometri absolut.
Setiap teorema dalam geometri euclides yang dalam pembuktiannya tidak
berdasarkan pada postulat paralel euclid merupakan bagian dari geometri netral.
Untuk membuktikan teorema-teorema geometri netral yang tidak berdasarkan
pada postulat paralel euclid tersebut, maka dalam makalah ini akan diuraikan
teorema-teorema dan bukti-bukti pada geometri netral.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Geometri Netral
Geometri netral adalah geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma
insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas
garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes.
2.2 Teorema-teorema Geometri Netral
Pada geometri netral terdapat teorema sebagai berikut:
“melalui satu titik dapat dibuat hanya satu garis yang tegak lurus pada suatu garis
yang diketahui’.
Teorema 1:
Jika dua garis terletak pada satu bidang dan keduanya tegak lurus pada garis
ketiga maka kedua garis semula adalah sejajar.
Bukti:
1. Misalkan L1, L2, dan T adalah tiga garis itu, dengan L1 tegak lurus T di P, dan L2
tegak lurus T di Q.
T
P
L1
Q
L2
R
2. Karena L1 dan L2 terletak sebidang, maka ada tiga kemungkinan tentang L 1 dan
L2 , dan hanya satu yang berlaku, yaitu :
(i). L1 = L2
(ii). L1 memotong L2
(iii). L1 // L2
3. Jika L1 = L2 maka hanya ada satu garis yang tegak lurus. Padahal ada dua garis
yang tegak lurus. Jadi tidak mungkin L1 = L2.
4. Jika L1 memotong L2, sebutlah di titik R ini berarti ada dua garis yang melalui R
yang tegak lurus pada T. Sedangkan menurut teorema (tidak dibuktikan), “
melalui satu titik dapat dibuat hanya satu garis yang tegak lurus pada garis
lain.” Karena itu, tidak mungkin L1 memotong L2 di R.
Berdasarkan langkah ke 2 karena tidak mungkin L1 = L2 maupun L1 memotong L2
maka haruslah berlaku L1 // L2. Maka terbukti bahwa jika dua garis terletak pada
satu bidang dan keduanya tegak lurus pada garis ketiga maka kedua garis semula
adalah sejajar.
Teorema 2 :
Jika ada satu titik yang tidak terletak pada sebuah garis, maka paling sedikit ada
satu garis yang melalui titik tadi serta sejajar dengan garis yang diketahui.
Bukti :
1. Misalkan titik P tidak terletak pada garis L dan keduanya terletak pada satu
bidang V.
L1
P
L2
L
2. Jelas ada sebuah L1 yang melalui P dan tegak lurus L(berdasarkan teorema
yang digunakan pada langkah 4 bukti teorema 1).
3. Berdasarkan teorema yang sama, dari P dapat dibuat garis L 2 yang tegak lurus
L1.
4. Sekarang L2 melalui P dan L2 tegak lurus L1; sedangkan L tegak lurus L1 maka
L2 sejajar L.
5. Berdasarkan teorema 1 diatas, disimpulkan bahwa ada garis yang melalui P dan
sejajar L, yaitu garis L2. (terbukti).
Untuk mengikuti langkah-langkah dalam pembuktian berikutnya, gambar berikut
dapat dijadikan acuan
A
2
1
3
C
4
T
3
P
B
L1
4
2
1
Q
D
L2
Pada gambar tersebut, L1 dan L2 adalah garis-garis yang terletak pada satu bidang
sedangkan T adalah garis yang memotong L 1 di P, dan memotong L2 di Q. T
dinamakan transversal. P1 dan Q2 adalah sudut-sudut dalam berseberangan.
Demikian juga Q3 dan P4. Dengan notasi lain, sudut APQ dan sudut PQD adalah
sudut-sudut dalam berseberangan, begitu pula sudut CQP dan sudut QPB.
Teorema sudut luar segitiga adalah sbb:
“ sudut luar suatu segi tiga
selalu lebih besar dari pada sudut dalam yang
berjauhan.”
Bukti:
Misalkan ada segitiga ABC dan sisi BC diperpanjang sampai ke D. Katakan
bahwa sudut luar ACD lebih besar daripada sudut dalam berjauhan yaitu sudut
CBA dan sudut BAC.
Bagi dua sama besar AC di E. Hubungkanlah BE dan perpanjangkan sampai ke F,
dengan membuat EF sama dengan BE. Hubungkan FC, dan perpanjangkan AC
sampai ke G.Karena AE sama dengan EC, dan BE sama dengan EF, maka kedua
sisi AE, EB berturut-turut A sama dengan CE dan EF, demikian juga sudut AEB
sama dengan sudut FEC sebagai sudut-sudut yang bertolak belakang. Karena itu
alas AB sama dengan alas FC, dan segitiga ABE sama dengan segitiga CFE, dan
sudut-sudut lainnya yang bersesuaian akan sama, yaitu sudut-sudut dihadapan
sisi-sisi yang sama. Karena itu sudut BAE sama dengan sudut FCE
Tetapi sudut ECD lebih besar dari sudut ECF, karena itu sudut ACD lebih besar
dari sudut BAE. Dengan cara yang sama, jika AB dibagi dua sama besar, maka
sudut BCG, yaitu sudut ACD dapat dibuktikan lebih besar dari sudut ABC.
Karena itu, dalam setiap segitiga, jika salah satu sisinya diperpanjang, maka sudut
luar akan lebih besar dari setiap sudut dalam yang berjauhan.
Teorema 3:
Diketahui dua garis dan sebuah transversal, jika sepasang sudut dalam
berseberangan kongruens (ukuran susutnya sama), maka dua garis semula sejajar.
Bukti:
T
A
P1
4
R
1
C
Q4
2
B
L1
D
L2
3
2
3
1. Misalkan kedua garis itu adalah L1 dan L2, dan transversalnya adalah T.
2. Ambillah sudut APQ kongruen sudut PQD.
3. Kita harus menunjukkan bahwa L1 sejajar L2, artinya tidak mungkin L1
memotong L2. Dalam pembuktian ini akan digunakan teorema sudut luar dari
suatu segitiga, yaitu: “sudut luar dari suatu segi tiga selalu lebih besar dari pada
sudut dalam yang berjauhan.” Pada gambar berikut sudut DBC adalah sudut
luar adari segitiga ABC. Maka sudut DBC > sudut BAC dan sudut DBC >
sudut BCA.
C
A
B
D
4. Misalkan L1 dan L2 berpotongan di R. Maka terbentuklah sebuah segitiga
PQR. Pandanglah sudut PQD sebagai sudut luar, dan sudut APQ sebagai sudut
dalam yang berjauhan.
5. Menurut teorema sudut luar, haruslah berlaku bahwa sudut PQD > sudut APQ.
Tetapi hal ini bertentangan dengan apa yang diketahui (hipotesis) bahwa sudut
APQ kongruen sudut PQD.
6. Dengan demikian maka tidak mungkin L1 memotong L2 di R, maka haruslah
L1 sejajar L2.
Pada gambar diatas sudut P1 dan sudut Q1 disebut sudut-sudut sehadap. Demikian
juga pasangan sudut P3 dan sudut Q3. Sedangkan sudut P4 dan sudut Q2 disebut
sudut-sudut dalam berseberangan, pasangan sudut P2 dan Q3 sudut luar sepihak.
Teorema 4:
Diketahui dua garis dan sebuah transversal. Jika sepasang sudut-sudut sehadap
sama, maka sepasang sudut-sudut dalam berseberangan sama juga.
Diketahui: garis k sejajar garis l dan dipotong oleh garis transversal m
∠ P1 =
Akan dibuktikan: 1.
∠ Q1, ∠ P2 =
∠ Q2, ∠ P3 =
∠ Q3,
∠ P4 = ∠ Q4
∠ P3 = ∠ Q1 , ∠ P4 = ∠ Q2
2.
Bukti :
i.
Sudut – sudut sehadap :
misal
∠ Q4
>
∠
P4 , maka garis k dan l berpotongan dan akan
membentuk segitiga.padahal di ketahui garis k
jadi ∠ P4 = ∠ Q4
∠ P1 + ∠ P4 = sudut lurus
∠ Q1 + ∠ Q4 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠ P1 + ∠ P4 = ∠ Q1 + ∠ Q4
∥
l . Pengandaian salah,
∠ P1 + ∠ Q4 = ∠ Q1 + ∠ Q4
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan
∠ Q4
∠ P1 + ∠ Q4 - ∠ Q4 = ∠ Q1 + ∠ Q4 - ∠ Q4
∠ P1 =
∠ Q1
∠ P1 + ∠ P2 = sudut lurus
∠ Q1 + ∠ Q2 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠ P1 + ∠ P2 = ∠ Q1 + ∠ Q2
∠ P1 + ∠ P2 = ∠ P1 + ∠ Q2
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan
∠ P1
∠ P1 + ∠ P2 - ∠ P1 = ∠ P1 + ∠ Q2 - ∠ P1
∠ P2 =
∠ Q2
∠ P3 + ∠ P4 = sudut lurus
∠ Q3 + ∠ Q4 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠ P3 + ∠ P4 = ∠ Q3 + ∠ Q4
∠ P3 + ∠ Q4 = ∠ Q3 + ∠ Q4
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan
∠ Q4
∠ P3 + ∠ Q4 - ∠ Q4 = ∠ Q3 + ∠ Q4 - ∠ Q4
∠ P3 =
ii.
∠ Q3
Sudut dalam berseberangan :
∠ Q1 = ∠ P1 (sudut sehadap)
∠
P4 =
∠ Q4 ( sudut
sehadap)
∠ P3 = ∠ P1 (sudut bertolak belakang)
∠ Q4 =
∠ Q2
∠ P4 =
∠ Q2
(bertolak belakang)
∠ P3 = ∠ Q1 (Aksioma 1)
(Aksioma 1)
Terbukti.
Teorema 5:
Diketahui dua garis dan sebuah transversal. Jika sepasang sudut-sudut sehadap
sama, maka kedua garis semula akan sejajar.
Diketahui
: 2 garis k dan l yang dipotong garis transversal m di titik P dan Q
sedemikian hingga :
∠ P3 = ∠ Q1
∠ P4 = ∠ Q2
Akan dibuktikan: k ∥ l ?
Bukti:
Andai k tidak sejajar dengan l , k dan l akan berpotongan di titik n.
Dari gambar diatas diperoleh: titik P, Q dan N membentuk suatu segitiga PQN
Teorema 7. sudut di luar segitiga lebih besar dari sudut di daalam segitiga yang
tidak bersisian dengan sudut luar.
∠ P1 >
∠ Q1 dan
∠ Q4 >
∠ P4
∠ P1 = ∠ P3 ( bertolak belakang )
Teorema 1. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama
∠ P3 = ∠ P1
∠ P4 = ∠ P2
∠ Q3 = ∠ Q1
∠ Q4 = ∠ Q2
Teorema 1.
∠ P1 >
∠ Q1
∠ Q4 >
∠ P4
∠ P3 >
∠ Q1
∠ Q2 >
∠ P4
Terjadi kontradiksi karena telah diketahui bahwa
∠ P3 = ∠ Q1 dan
∠ P4 = ∠ Q2, maka terbukti bahwa k ∥ l .
2.3 Segiempat Saccheri
Disebut segiempat Saccheri karena untuk menghormati sumbangsih Gerolamo
Saccheri yang telah tercatat hampir menemukan geometri non-Euclid. Saccheri
mengkonstruksi sebuah segiempat yang kemudian dikenal dengan nama
segiempat saccheri.
Ciri-ciri segiempat saccheri :
a. Sudut A ≡ sudut B
b. AB ≡ DC
AD disebut alas bawah.
BC disebut alas atas.
Sudut A dan sudut D disebut alas bawah
Sudut B dan sudut C disebut sudut alas atas
Saccheri menarik garis yang tegak lurus pada ujung-ujung dua buah segmen garis
yang saling sejajar. Bangun yang terbentuk ini disebut sebagai segiempat saccheri.
B
C
A
D
Teorema 1
Segiempat saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya, AD dan
BC adalah kaki-kakinya sedemikian sehingga AD = BC .
(Tugas Mata Kuliah Geometri Aksiomatis)
Oleh :
1. Devi Putri Permatasari
(1213021016)
2. Lusi Armina
(1213021034)
3. Meliza Nopia
(1213021040)
4. Tika Rahayu
(1213021070)
5. Zulfitriani
(1213021080)
Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Lampung
Bandar Lampung
2014
BAB I
PENDAHULUAN
Matematika pada hakikatnya adalah sebagai kumpulan sistem aksiomatis.
Konsep-konsepnya tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistematis,
mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling
kompleks. Salah satu kelompok anggota kumpulan sistem atau struktur
matematika yang akan dibahas pada makalah ini adalah Geometri, yang salah satu
di antaranya adalah Geometri Netral.
Geometri netral lahir setelah Gerolamo Saccheri (1667-1733, dari Italia), berusaha
membuktikan bahwa postulat sejajar euclid adalah sebuah teorema yang dapat
dibuktikan dengan berdasar pada postulat euclid. Namun, Saccheri tidak berhasil
membuktikan hal tersebut. Ternyata usaha ini menjadi awal dari geometri netral.
Geometri netral disebut juga geometri absolut.
Setiap teorema dalam geometri euclides yang dalam pembuktiannya tidak
berdasarkan pada postulat paralel euclid merupakan bagian dari geometri netral.
Untuk membuktikan teorema-teorema geometri netral yang tidak berdasarkan
pada postulat paralel euclid tersebut, maka dalam makalah ini akan diuraikan
teorema-teorema dan bukti-bukti pada geometri netral.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Geometri Netral
Geometri netral adalah geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma
insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas
garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes.
2.2 Teorema-teorema Geometri Netral
Pada geometri netral terdapat teorema sebagai berikut:
“melalui satu titik dapat dibuat hanya satu garis yang tegak lurus pada suatu garis
yang diketahui’.
Teorema 1:
Jika dua garis terletak pada satu bidang dan keduanya tegak lurus pada garis
ketiga maka kedua garis semula adalah sejajar.
Bukti:
1. Misalkan L1, L2, dan T adalah tiga garis itu, dengan L1 tegak lurus T di P, dan L2
tegak lurus T di Q.
T
P
L1
Q
L2
R
2. Karena L1 dan L2 terletak sebidang, maka ada tiga kemungkinan tentang L 1 dan
L2 , dan hanya satu yang berlaku, yaitu :
(i). L1 = L2
(ii). L1 memotong L2
(iii). L1 // L2
3. Jika L1 = L2 maka hanya ada satu garis yang tegak lurus. Padahal ada dua garis
yang tegak lurus. Jadi tidak mungkin L1 = L2.
4. Jika L1 memotong L2, sebutlah di titik R ini berarti ada dua garis yang melalui R
yang tegak lurus pada T. Sedangkan menurut teorema (tidak dibuktikan), “
melalui satu titik dapat dibuat hanya satu garis yang tegak lurus pada garis
lain.” Karena itu, tidak mungkin L1 memotong L2 di R.
Berdasarkan langkah ke 2 karena tidak mungkin L1 = L2 maupun L1 memotong L2
maka haruslah berlaku L1 // L2. Maka terbukti bahwa jika dua garis terletak pada
satu bidang dan keduanya tegak lurus pada garis ketiga maka kedua garis semula
adalah sejajar.
Teorema 2 :
Jika ada satu titik yang tidak terletak pada sebuah garis, maka paling sedikit ada
satu garis yang melalui titik tadi serta sejajar dengan garis yang diketahui.
Bukti :
1. Misalkan titik P tidak terletak pada garis L dan keduanya terletak pada satu
bidang V.
L1
P
L2
L
2. Jelas ada sebuah L1 yang melalui P dan tegak lurus L(berdasarkan teorema
yang digunakan pada langkah 4 bukti teorema 1).
3. Berdasarkan teorema yang sama, dari P dapat dibuat garis L 2 yang tegak lurus
L1.
4. Sekarang L2 melalui P dan L2 tegak lurus L1; sedangkan L tegak lurus L1 maka
L2 sejajar L.
5. Berdasarkan teorema 1 diatas, disimpulkan bahwa ada garis yang melalui P dan
sejajar L, yaitu garis L2. (terbukti).
Untuk mengikuti langkah-langkah dalam pembuktian berikutnya, gambar berikut
dapat dijadikan acuan
A
2
1
3
C
4
T
3
P
B
L1
4
2
1
Q
D
L2
Pada gambar tersebut, L1 dan L2 adalah garis-garis yang terletak pada satu bidang
sedangkan T adalah garis yang memotong L 1 di P, dan memotong L2 di Q. T
dinamakan transversal. P1 dan Q2 adalah sudut-sudut dalam berseberangan.
Demikian juga Q3 dan P4. Dengan notasi lain, sudut APQ dan sudut PQD adalah
sudut-sudut dalam berseberangan, begitu pula sudut CQP dan sudut QPB.
Teorema sudut luar segitiga adalah sbb:
“ sudut luar suatu segi tiga
selalu lebih besar dari pada sudut dalam yang
berjauhan.”
Bukti:
Misalkan ada segitiga ABC dan sisi BC diperpanjang sampai ke D. Katakan
bahwa sudut luar ACD lebih besar daripada sudut dalam berjauhan yaitu sudut
CBA dan sudut BAC.
Bagi dua sama besar AC di E. Hubungkanlah BE dan perpanjangkan sampai ke F,
dengan membuat EF sama dengan BE. Hubungkan FC, dan perpanjangkan AC
sampai ke G.Karena AE sama dengan EC, dan BE sama dengan EF, maka kedua
sisi AE, EB berturut-turut A sama dengan CE dan EF, demikian juga sudut AEB
sama dengan sudut FEC sebagai sudut-sudut yang bertolak belakang. Karena itu
alas AB sama dengan alas FC, dan segitiga ABE sama dengan segitiga CFE, dan
sudut-sudut lainnya yang bersesuaian akan sama, yaitu sudut-sudut dihadapan
sisi-sisi yang sama. Karena itu sudut BAE sama dengan sudut FCE
Tetapi sudut ECD lebih besar dari sudut ECF, karena itu sudut ACD lebih besar
dari sudut BAE. Dengan cara yang sama, jika AB dibagi dua sama besar, maka
sudut BCG, yaitu sudut ACD dapat dibuktikan lebih besar dari sudut ABC.
Karena itu, dalam setiap segitiga, jika salah satu sisinya diperpanjang, maka sudut
luar akan lebih besar dari setiap sudut dalam yang berjauhan.
Teorema 3:
Diketahui dua garis dan sebuah transversal, jika sepasang sudut dalam
berseberangan kongruens (ukuran susutnya sama), maka dua garis semula sejajar.
Bukti:
T
A
P1
4
R
1
C
Q4
2
B
L1
D
L2
3
2
3
1. Misalkan kedua garis itu adalah L1 dan L2, dan transversalnya adalah T.
2. Ambillah sudut APQ kongruen sudut PQD.
3. Kita harus menunjukkan bahwa L1 sejajar L2, artinya tidak mungkin L1
memotong L2. Dalam pembuktian ini akan digunakan teorema sudut luar dari
suatu segitiga, yaitu: “sudut luar dari suatu segi tiga selalu lebih besar dari pada
sudut dalam yang berjauhan.” Pada gambar berikut sudut DBC adalah sudut
luar adari segitiga ABC. Maka sudut DBC > sudut BAC dan sudut DBC >
sudut BCA.
C
A
B
D
4. Misalkan L1 dan L2 berpotongan di R. Maka terbentuklah sebuah segitiga
PQR. Pandanglah sudut PQD sebagai sudut luar, dan sudut APQ sebagai sudut
dalam yang berjauhan.
5. Menurut teorema sudut luar, haruslah berlaku bahwa sudut PQD > sudut APQ.
Tetapi hal ini bertentangan dengan apa yang diketahui (hipotesis) bahwa sudut
APQ kongruen sudut PQD.
6. Dengan demikian maka tidak mungkin L1 memotong L2 di R, maka haruslah
L1 sejajar L2.
Pada gambar diatas sudut P1 dan sudut Q1 disebut sudut-sudut sehadap. Demikian
juga pasangan sudut P3 dan sudut Q3. Sedangkan sudut P4 dan sudut Q2 disebut
sudut-sudut dalam berseberangan, pasangan sudut P2 dan Q3 sudut luar sepihak.
Teorema 4:
Diketahui dua garis dan sebuah transversal. Jika sepasang sudut-sudut sehadap
sama, maka sepasang sudut-sudut dalam berseberangan sama juga.
Diketahui: garis k sejajar garis l dan dipotong oleh garis transversal m
∠ P1 =
Akan dibuktikan: 1.
∠ Q1, ∠ P2 =
∠ Q2, ∠ P3 =
∠ Q3,
∠ P4 = ∠ Q4
∠ P3 = ∠ Q1 , ∠ P4 = ∠ Q2
2.
Bukti :
i.
Sudut – sudut sehadap :
misal
∠ Q4
>
∠
P4 , maka garis k dan l berpotongan dan akan
membentuk segitiga.padahal di ketahui garis k
jadi ∠ P4 = ∠ Q4
∠ P1 + ∠ P4 = sudut lurus
∠ Q1 + ∠ Q4 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠ P1 + ∠ P4 = ∠ Q1 + ∠ Q4
∥
l . Pengandaian salah,
∠ P1 + ∠ Q4 = ∠ Q1 + ∠ Q4
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan
∠ Q4
∠ P1 + ∠ Q4 - ∠ Q4 = ∠ Q1 + ∠ Q4 - ∠ Q4
∠ P1 =
∠ Q1
∠ P1 + ∠ P2 = sudut lurus
∠ Q1 + ∠ Q2 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠ P1 + ∠ P2 = ∠ Q1 + ∠ Q2
∠ P1 + ∠ P2 = ∠ P1 + ∠ Q2
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan
∠ P1
∠ P1 + ∠ P2 - ∠ P1 = ∠ P1 + ∠ Q2 - ∠ P1
∠ P2 =
∠ Q2
∠ P3 + ∠ P4 = sudut lurus
∠ Q3 + ∠ Q4 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠ P3 + ∠ P4 = ∠ Q3 + ∠ Q4
∠ P3 + ∠ Q4 = ∠ Q3 + ∠ Q4
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan
∠ Q4
∠ P3 + ∠ Q4 - ∠ Q4 = ∠ Q3 + ∠ Q4 - ∠ Q4
∠ P3 =
ii.
∠ Q3
Sudut dalam berseberangan :
∠ Q1 = ∠ P1 (sudut sehadap)
∠
P4 =
∠ Q4 ( sudut
sehadap)
∠ P3 = ∠ P1 (sudut bertolak belakang)
∠ Q4 =
∠ Q2
∠ P4 =
∠ Q2
(bertolak belakang)
∠ P3 = ∠ Q1 (Aksioma 1)
(Aksioma 1)
Terbukti.
Teorema 5:
Diketahui dua garis dan sebuah transversal. Jika sepasang sudut-sudut sehadap
sama, maka kedua garis semula akan sejajar.
Diketahui
: 2 garis k dan l yang dipotong garis transversal m di titik P dan Q
sedemikian hingga :
∠ P3 = ∠ Q1
∠ P4 = ∠ Q2
Akan dibuktikan: k ∥ l ?
Bukti:
Andai k tidak sejajar dengan l , k dan l akan berpotongan di titik n.
Dari gambar diatas diperoleh: titik P, Q dan N membentuk suatu segitiga PQN
Teorema 7. sudut di luar segitiga lebih besar dari sudut di daalam segitiga yang
tidak bersisian dengan sudut luar.
∠ P1 >
∠ Q1 dan
∠ Q4 >
∠ P4
∠ P1 = ∠ P3 ( bertolak belakang )
Teorema 1. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama
∠ P3 = ∠ P1
∠ P4 = ∠ P2
∠ Q3 = ∠ Q1
∠ Q4 = ∠ Q2
Teorema 1.
∠ P1 >
∠ Q1
∠ Q4 >
∠ P4
∠ P3 >
∠ Q1
∠ Q2 >
∠ P4
Terjadi kontradiksi karena telah diketahui bahwa
∠ P3 = ∠ Q1 dan
∠ P4 = ∠ Q2, maka terbukti bahwa k ∥ l .
2.3 Segiempat Saccheri
Disebut segiempat Saccheri karena untuk menghormati sumbangsih Gerolamo
Saccheri yang telah tercatat hampir menemukan geometri non-Euclid. Saccheri
mengkonstruksi sebuah segiempat yang kemudian dikenal dengan nama
segiempat saccheri.
Ciri-ciri segiempat saccheri :
a. Sudut A ≡ sudut B
b. AB ≡ DC
AD disebut alas bawah.
BC disebut alas atas.
Sudut A dan sudut D disebut alas bawah
Sudut B dan sudut C disebut sudut alas atas
Saccheri menarik garis yang tegak lurus pada ujung-ujung dua buah segmen garis
yang saling sejajar. Bangun yang terbentuk ini disebut sebagai segiempat saccheri.
B
C
A
D
Teorema 1
Segiempat saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya, AD dan
BC adalah kaki-kakinya sedemikian sehingga AD = BC .