matematika III Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)

Materi Kuliah

Matematika III
Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Yan Sujendro Maximianus

Sekedar mengingat kembali



2
lim
x
 3x  8
1. Hitung
x 2



Dengan menggunakan teorema substitusi





lim x 2  3x  8 lim x 2  3 lim x  lim 8 22  3.2  8 6
x 2

x 2

x 2

x 2

x3  6
2. Hitung lim
x 3 2x  1

Dengan menggunakan teorema substitusi
3



lim x 3  6



lim x 3  lim  6

lim x 3  lim  6

x  6 x 3
x 3
x 3
lim

 x 3
 x 3
x 3 2x 1
lim 2 x  1
lim 2 x  lim1

2 lim x  lim1
x 3

33  6 27  6 21


 3
2.3  1
7
7

x 3

x 3

x 3

x 3

DAFTAR ISI

1. Pendahuluan
2. Fungsi Dua Peubah Bebas
3. Turunan Parsial
4. Maksimum dan Minimum
5. Kalkulus Vektor
6. Integral Lipat
7. Integral Garis

Pendahuluan
Banyak fungsi yang bergantung pada peubah lebih dari satu
buah.
Sebuah bidang yang panjangnya x dan lebarnya y memiliki
luas yang bergantung pada x dan y, yaitu
L = f(x,y) = xy
Posisi sebuah partikel yang bergerak parabola dapat
diungkapkan dalam bentuk r = f(x,y)
dengan x = jarak horizontal
y = ketinggian dari titik acuan

Sebuah Parabola

dengan titik puncak
(a,b) memiliki
persamaan baku :

 y  b  2 4 p( x 

a)

Dengan F(a+p,b)
menyatakan
koordinat titik fokus
parabola

Sebuah Ellips
dengan pusat (a,b)
dengan jari-jari
tegak d dan jari-jari
horisontal c
memiliki persamaan
baku:

2


( x  a)
y  b

1
2
2
c
d
2

Sebuah Hiperbola
dengan pusat (a,b)
dengan gradien
asimtot –d/c
memiliki persamaan
baku:
2


( x  a)
y  b

1
2
2
c
d
2

Jenis-jenis permukaan dimensi tiga
Elipsoida
Persamaan baku Elipsoida dengan pusat
(0,0,0) adalah:
2
2



( x) 2  y 
z
 2  2 1
2
a
b
c

Jejak pada bidang xy, xz, dan yz berupa
elips.
Hiperboloida lembar satu
Persamaan baku Hiperboloida lembar satu
dengan pusat (0,0,0) adalah:
2

2


( x) 2  y 
z

 2  2 1
2
a
b
c

Jejak pada bidang xy adalah elips,
sedangkan pada bidang xz, dan yz adalah
hiperbola

Hiperboloida lembar dua
Persamaan baku Hiperboloida lembar dua
dengan pusat (0,0,0) adalah:
2

2


( x) 2  y 
z

 2  2 1
2
a
b
c

Jejak pada bidang xy dan xz adalah
hiperbol, sedangkan pada bidang yang
sejajar yz dengan permukaan akan
membentuk elips

Parabola Elips
Persamaan baku Parabola Elips dengan
2
pusat (0,0,0) adalah:
( x) 2  y 
z

a

2



b2

Jejak pada bidang xy adalah titik tetapi
perpotongan bidang sejajar xy dengan
permukaan adalah elips. Jejak pada bidang
xz dan yz adalah parabol

Paraboloid Hiperbol
Persamaan baku Paraboloid hiperbola
dengan pusat (0,0,0) adalah:
2


y
z

b2

( x) 2
 2
a

Jejak pada bidang xy berupa sepasang
garis yang saling berpotongan tetapi jejak
bidang yang sejajar xy adalah hiperbol.
Jejak pada bidang xz dan yz adalah
parabol
Kerucut Elips
Persamaan baku Kerucut Elips dengan
pusat (0,0,0) adalah: 2
2
2



( x)
y
z
 2  2 0
2
a
b
c

Jejak pada bidang xy adalah sebuah titik,
tetapi jejak bidang sejajar xy adalah elips.
Jejak pada bidang xz, dan yz garis yang
berpotongan

Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit

Permukaan kuadratik dan permukaan dibangun suatu kurva

Fungsi dua peubah
Fungsi dua peubah memetakan setiap pasangan bilangan real
terurut (x,y) R2 dalam daerah D ke sebuah bilangan real z 
R (z = f(x,y) dalam daerah R).
x dan y disebut peubah (variabel) bebas
z disebut peubah (variabel) tak bebas
Contoh:

f  x, y  

y  x2
x 2   y  1 2

Daerah definisi/Domain dari fungsi f,
dinotasikan Df adalah kumpulan
semua pasangan (x,y) sehingga f(x,y)
terdefinisi (mempunyai nilai
Daerah Nilai/Range dari fungsi f,
Rf = {z R z = f(x,y), (x,y) Df}

y
 xy
Jika f  x, y   tentukan
x

a. f(1,2)
b. f(0,0)

c. Tentukan daerah asal fungsi tersebut
Penyelesaian
a.

2
f 1, 2    1.2 4
1

b. F(0,0) tidak terdefinisi karena penyebutnya nol (x = 0)
c. Daerah asal fungsi adalah D f   x, y  x 0,  x, y   R
Menentukan domain:
 Hindari akar bilangan negatif
 Hindari pembagian dengan nol

CONTOH : Mencari daerah asal fungsi

Tentukanlah daerah asal dari fungsi
.
• Penyelesaian
• Daerah asal dari f adalah
semua (x,y) sedemikian
sehingga
dan
titik (2,0) tidak termasuk.
• Dari ketaksamaan
diperoleh daerah .

CONTOH : Mencari daerah asal fungsi

Tentukanlah daerah asal dari fungsi



z ln y  x 2



• Penyelesaian

  

 x, y   R  y  x   0
 x, y   R y  x 

D f   x, y   R 2 z ln y  x 2  R
Df
Df

2

2

2

2

Cara menggambarkan grafik fungsi dua peubah
Grafik fungsi dua peubah z = f(x,y)
merupakan suatu permukaan di ruang.
Cara pertama : f(x, y) digambarkan
sebagai permukaan ruang dari z = f(x,
y). Permukaan ruang (grafik dari f)
didefinisikan sebagai himpunan
semua titik (x, y, z) dalam ruang
untuk setiap (x, y) dalam domain f.
Cara kedua: f(x, y) digambarkan sebagai kurva ketinggian.
Kurva ketinggian didefinisikan sebagai himpunan titik (x, y)
dalam bidang dimana f(x, y) memiliki nilai konstan f(x, y) = k

Contoh 2 : Sketsa grafik fungsi
Sketsalah grafik dari
 Penyelesaian

:
 Cari titik-titik potong bidang
terhadap sumbu-sumbu koordinat
Cartesius seperti berikut :

 Titik

potong bidang dengan sumbu x,
y dan z adalah :
(0,0,6),(0,12,0),(18,0,0).

Contoh 3 : Sketsa grafik fungsi
Sketsalah grafik dari

.
 Penyelesaian
 Mula-mula

gambar grafik ketika x=0
(atau y=0) yaitu grafik persamaan
.
 Berikutnya gambar kurva untuk nilai z
tetap yang berbeda-beda, misalnya
z = 1, z = 2, z = 3, dst., dengan daerah
alas berbentuk lingkaran

Contoh 3(Lanjutan)
• Bila diperhatikan kedua grafik ini,
grafik persamaan menjadi grafik
paraboloida.

Contoh 4 : Sketsa grafik fungsi
.

• Sketsalah grafik dari

.
 Penyelesaian
 Grafik

ini ekivalen dengan grafik
persamaan
di atas bidang
z=0
 Gambar dulu grafik ketika x = 0 (atau
y = 0) yaitu grafik persamaan
 Gambar

kurva untuk nilai z tetap yang
berbeda-beda dengan daerah alas
berbentuk elips

Contoh 4 (lanjutan)
• Grafik persamaan f
menjadi grafik elipsioda.

Contoh
Tentukan daerah asal dari

f  x, y   16  x 2  y 2
Skets daerah asal tersebut pada koordinat
bidang.
Penyelesaian
f  x, y   16  terdefinisi
x2  y2
jika
2
2
16
 x  y 0dengan demikian, Daerah
atau
2
2
x

y
asalnya adalah 16





D   x, y  x 2  y 2 16,  x, y   R

Gambarkan grafik fungsi dari

f  x , y  4  x  y
2

2

x  y:
Perpotongan grafik z  f  x, y  4  dengan
2

2

2
a. bidang xoy (z = 0) adalah x 2  y lingkaran
berpusat di (0, 0)
4
berjari-jari 2
2
b. bidang xoz (y = 0) adalah parabol z 4  x
2
z

4

y
c. bidang yoz (x = 0) adalah parabol

1
Gambarkan grafik z  36  9 x 2  4 y 2
3

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh
bentuk

9 x 2  4 y 2  9 z 2 36 z 0
x2 y2 z 2


1
4
9
4

Persamaan terakhir adalah elipsoida.

Secara umum menggambar fungsi dua peubah cukup sukar.
Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan fungsi dua
peubah adalah dengan membuat kontur (kurva ketinggiannya)

Kurva ketinggian Untuk permukaan z = f(x, y), himpunan titik
di bidang yang memenuhi f(x, y) = k, k konstanta, dinamakan
kurva ketinggian.
Kurva ketinggian untuk permukaan F(x,y,z) = 0 adalah himpunan
titik di bidang yang memenuhi F(x,y,k) = 0, k konstanta

Kurva f(x, y) = k dan F(x,y,k) = 0 mempunyai ketinggian yang
sama, nilai z – nya selalu konstan

Gambarkan permukaan dari f(x,y) = x2 – 4y2 dengan mencari
jejaknya dengan bidang koordinat dan gambarkan kurva
ketinggiannya
Jejak permukaan z = x2 – 4y2 dengan
bidang koordinat:
a. Dengan bidang xoy: sepasang garis
x =  2y
b. Dengan bidang yoz: parabol z = – 4y2
c. Dengan bidang xoz: parabol z = x2
d. Dengan bidang sejajar xoy: hiperbol
x2– 4y2 = k

Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kurva ketinggian adalah proyeksi pada bidang xy dari kurva
(permukaan) yang dibentuk dari perpotongan bidang mendatar
z = k dengan permukaan f(x,y).
Himpunan dari kurva ketinggian disebut peta kontur.
Kurva ketinggian dari beberapa jenis permukaan yang telah
dibahas sebelumnya akan berupa irisan kerucut.
Kurva ketinggian dari permukaan z = 2x – y2 adalah 2x – y2 = k,
k adalah konstanta, yang grafiknya berbentuk himpunan parabol.

Cara Menggambar Kurva Ketinggian/Peta Kontur

1. Diberikan sebuah permukaan z = f(x, y)
2. Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k hasil irisan
berupa sebuah kurva di ruang
3. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy
4. Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z = f(x, y)
dengan ketinggian k
5. Kurva ketinggian dari sebuah fungsi peubah z = f(x, y) adalah
kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai
fungsi (ketinggian sama)

Kerucut Elips Kurva ketinggian pada
kerucut elips ini berbentuk elips karena
untuk z = k persamaan konik yang
didapat adalah:
( x) 2  y  2
a

2



b

2

k

Merupakan persamaan baku elips
Hiperboloid lembar dua Kurva
ketinggian pada hiperboloid lembar dua
ini berbentuk hiperbola karena untuk
z = k persamaan konik yang didapat
adalah:
( x) 2  y  2
c

2



d

2

k

Merupakan persamaan baku hiperbol

Paraboloid Hiperbol Kurva ketinggian pada
paraboloid hiperbol berbentuk hiperbola
pada sumbu x dan y karena untuk z = k
persamaan konik yang didapat adalah:
2


( x)
y  untuk k > 0, atau
 2 k
2
c
d
 y  2  ( x) 2 k
2
2 untuk k < 0, atau
d
c
2

Merupakan hiperbola pada sumbu x dan y

Contoh
Berupa apakah kurva ketinggian dari

9 x 2  4 y 2  9 z 2 36
untuk z = 1
Penyelesaian
Dengan substitusi nilai z = 1 ke dalam persamaan diperoleh

9 x 2  4 y 2 27
Atau dapat dituliskan dalam bentuk baku
Elips dengan jari-jari mendatar =
dan jari-jari tegak = 1

3
27  3
2
2

3

x2

 3

2



y2
1

27


2


2

1

Contoh

2

2

Berupa apakah kurva ketinggian dari  y  2   x  1  z  2 0
22
32
untuk z = 3
Penyelesaian
Dengan substitusi nilai z = 3 ke dalam persamaan diperoleh

 y  2
2

2

2



 x  1
3

2

2

1

Ini merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (1, -2) yang
memiliki koordinat puncak (1, 0) dan (1, -4) serta memiliki
gradient asimtot

2
3

dan

2

3

Kurva ketinggian dari permukaan z = x2 – 4y2 adalah x2– 4y2 = k,
k adalah konstanta. Himpunan kurva ini berbentuk hiperbol
memotong sumbu x untuk k > 0, sepasang garis untuk k = 0 dan
hiperbol memotong sumbu y untuk k < 0
Permukaan z = x2 – 4y2 adalah paraboloida hiperbolik berpusat
di titik asal. Titik (0,0,0) pada permukaan dikenal sebagai titik
pelana

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan
pasangan terurut (x,y,z) dengan satu bilangan real u dan
dinotasikan u = f(x,y,z).
Contoh :
a. u = f(x,y,z) = x2 + y2 + z2
b. v = g(x,y,z) =  x – y2
c. Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z) = z – x2 – y2
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan.
Peta konturnya dapat digambarkan dan berbentuk permukaan
f(x,y,z) = k
Gambarkan peta kontur dari
T(x,y,z) = z – x2 – y2
Persamaan kurva ketinggiannya
z – x2 – y2 = k
z = x2 + y2 – k
Peta kontur berupa himpunan paraboloida