Bab 4 Sistem Kontrol pada

ANALISA RESPONS TRANSIENT
Respons transient : Kondisi awal

Kondisi akhir



Respons steady-state : t
SISTEM ORDE PERTAMA

C(s)
 1
R(s) Ts  1
1. INPUT : UNIT-STEP

R(s)  1
s

r(t) = 1

C(s) 

1 .1
Ts  1 s

C(s) 1  T
s Ts  1

c(t) 1  e



t

T

( t 0 ) ………..(*)

KURVA RESPONS

-

Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1

-

Pada t = T, c(t) = 0,632

T = time constant sistem
Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat.
-

Slope pada t = 0 adalah 1/T
Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0

-

0 pada t = 

t = T : 0 – 63,2%
t = 2T : 0 – 86,5%

t = 3T : 0 – 95%
t = 4T : 0 – 98,2%
t = 5T : 0 – 99,3%

-

t=

steady state

2. INPUT : UNIT-RAMP

r(t) = t

R(s)  12
s

C(s)  1 . 12
Ts  1 s
2

C(s)  12  T  T
s Ts  1
s
 t
c(t) t  T  T.e T

( t 0)

Kurva Respons

e(t) r(t)  c(t)
e(t) T(1  e
e() T

 t

T

)

- Time constant lebih kecil ( T )
3. INPUT : UNIT-IMPULSE

steady state error lebih kecil

r(t)

= S(t)  R(s) = 1

C(s) =

1
Ts + 1
(t  0)

C(t) = 1 e– t / T
T
KURVA RESPONS

Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan men- defferensiasi-kan

respons dari sinyal input semula.

SISTEM ORDE KEDUA
R(s)

E(s)
+

n2
s ( s + 2 ζ n )

C(s)

n2

C(s)
=
R(s)

S2 + 2 ζ n S + n2

n = frekuensi sudut natural undamped
ζ = faktor redaman

Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (ζ). Bila 0

<

ζ < 1, sistem

dinamakan underdamp. Bila ζ = 1, sistem disebut critically damp, dan bila ζ > 1, sistem
disebut overdamp.

Untuk mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan tersebut akan dibahas untuk
input yang berbentuk unit step, impuls, maupun ramp.
1 Input Unit Step
R(s) =

1
S

Untuk sistem yang UNDERDAMP
n2
C(s) =

S2 + 2 ζ n S + n2

S

S + 2 ζ n

1
C(s) =

1

S
S2 + 2 ζ n S + n2
d = n
1 – ζ2
= frekuensi natural teredam (damped natural frequency)

S + 2 ζ n

1
C(s) =

S2 + 2 ζ n S + ζ2n2 - ζ2n2 +

S

1 – ζ2

S + 2 ζ n

1
=
S

(S + ζn)2 + d2 - n2 + +

1

S + 2 ζ n

=

1 – ζ2

S + 2 ζ n

1
=

(S + ζn)2 + d2

S

S + ζ n

1
=

(S + ζn)2 + d2

S

ζ n
(S + ζn)2 + d2

C(t) = 1 - e –ζn t cos dt - e –ζn t sin dt
C(t) = 1 - e

d2
1 – ζ2

(S + ζn)2 + (1 - ζ2) d2 – (1 – ζ2) n2 + d2

S

–ζn t

( cos dt +

ζ

ζ

1 – ζ2
sin dt )
(t  0)

1 – ζ2
e(t)

d2

= r(t) - c(t)
= e–ζn t ( cos dt +

ζ

sin dt ) (t  0)

1 – ζ2

Frekuensi osilasi transient adalah d, dan berubah dengan faktor redaman
(ζ)
Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang teredam. Pada
steady-state error (t = ~), error = 0
Bila ζ = 0  c(t) = 1 – cos nt

(t  0) respons menjadi undamped dan

osilasi terus menerus tidak terbatas
Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED
n2
C(s) =

(S + n)2 S
1 - e–n t ( 1 + nt )

=

(t  0)

Respons transient tidak berosilasi
Untuk Sistem yang OVERDAMPED
n2
C(s) =
( S + ζ n + n 1 – ζ2 ) ( S + ζ n - n 1 – ζ2 ) S
1
e –( ζ +

c(t) = 1+
ζ – 1 (ζ +
2

2

ζ2 – 1) n t

ζ –1)
2

1
e –( ζ +
ζ – 1 (ζ +
2

2

ζ2 – 1) n t

ζ –1)
2

Untuk mendapatkan C(s) di atas :
n2

C(s)
=

S2 + 2 ζ n S + n2

R(s)

n2

C(s)
=

(S + ζn + ζd) (S + ζn - ζd)

R(s)
d = n
d = n

1 – ζ2
j2 (ζ2 - 1)

d = n j

ζ2 - 1
n2

C(s)
=
R(s)

(S + ζn - n
n

c(t) = 1 +

ζ2 – 1) (S + ζn + n
e –S1t

ζ2 – 1)

e-S2t
(t  0)

-

2 ζ2 – 1

-

S1

S2

dimana : S1 = (ζ + ζ2 – 1) n
S2 = (ζ - ζ2 – 1) n
Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang lebih cepat
dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial tersebut dapat
diabaikan.

-

Bila –S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu j daripada –S1 (|S2| a0a3
2 s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0
Array Routh :
s4

1

3

5

3

2

4

0

s

2

1

5

s1

-6

s

s

0

5
 sistem tidak stabil
R(s)
+

K
s ( s 2  s  1 )(s  2)

C(s)

Tentukan range K agar sistem diatas stabil !
Penyelesaian :
Transfer function closed-loop

C(s)
K

2
R(s)
s ( s  s  1 )(s  2)  K
persamaan karakteristik : 1+ G(s)H(s) = 0
s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0
Array Routh :
s4

1

3

K

3

3

2

0

s

2

7/3

K

s1

-9/7K

s

0

s

K

agar sistem stabil : 14/9 > K > 0

ANALISIS ERROR (KESALAHAN)
Selain stabil, hal lain yang perlu mendapat perhatian adalah mengenai error yang
terjadi apabila suatu sistem kontrol diberi input tertentu.

E(s) = R(s) – G(s).H(s)
C(s) = E(s).G(s)
Dari kedua persamaan diatas diperoleh :
E(s) = R(s) – E(s).G(s).H(s)
Atau [1+G(s).H(s)] E(s) = R(s)
 Kesalahan statis atau steady-state error :

E(s) 

R(s)
1  G(s).H(s)

KLASIFIKASI SISTEM KONTROL

Transfer function open-loop G(s) H(s) secara umum dituliskan sbb :
G(s)H(s) 

K(s  Z )(s  Z )......(s  Z )
1
2
n
λ
S (s  p )(s  p ).......(s  p )
1
2
n

atau
G(s)H(s) 

K(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
λ
S (T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p

Sistem disebut tipe 0 (nol), bila  = 0 ; disebut tipe 1, bila  = 1; disebut tipe 2, bila
 = 2, dst.
1 KOEFISIEN KESALAHAN STATIS

E(s) 

R(s)
1  G(s)H(s)

Kesalahan steady-state:
e  lim e(t)
ss t  

sR(s)
 lim
s  0 1  G(s)H(s)
Untuk input benbentuk unit step : R(s) = 1/s

s
1
e  lim
ss s  0 1  G(s)H(s) s


1
1  lim G(s)H(s)
s 0

Bila didefinisikan :
G(s)H(s)
Kp = s lim
 0

Maka
1
e 
ss 1  Kp
Kp : Koefisien kesalahan posisi statis.
a u/ sistem tipe 0
G(s)H(s)
Kp = s lim
 0
K(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
s  0 Sλ (T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p
K

 e

ss

e() 

1
1 K

b Untuk sistem tipe > 0
K

K(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
p
s  0 Sλ (T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p

K
 lim
s  0 sλ

1

 ess  e() 1  K


p

1
1
 0
1 


2 Koefisien Kesalahan Kecepatan Statis

E(s) 

R(s)
1  G(s)H(s)

Kesalahan steady-state
e

ss

 lim e(t)
t 

 lim s.E(s)
s 0
s.R(s)
 lim
s  0 1  G(s)H(s)
u/ Input berbentuk unit-ramp : R(s) =

1
s2

s
1
ess  lim
. 2
s  0 1  G(s)H(s) s
1
 lim
s  0 s  s.G(s)H(s)
1
 lim
s  0 s.G(s)H(s)
1

lim s.G(s)H(s)
s 0
Bila di definisikan :
K

v

 lim s.G(s)H(s)
s 0
1

maka : ess  K

v

Kv = koefisien kesalahan kecepatan statis
a u/ sistem tipe 0
s.G(s)H(s)
Kp = s lim
 0
sK(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
s  0 S0 (T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p
0

 e

ss

1
e()  
0

b u/ sistem tipe 1

K

sK(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
s  0 s(T1s  1)(T2s  1).......(Tp s  1)

v

=K
 e

ss

e() 

1
K

2
u/ Input Berbentuk Unit-Parabolik : r(t)  t
2

R(s) 

e  lim s.E(s)
ss s  0

sR(s)
 lim
1

G(s)H(s)
s 0
s
1
 lim
.
s  0 1  G(s)H(s) s3
s
 lim
2
2
s  0 s  s G(s)H(s)
s

2
lim s  s 2G(s)H(s)
s 0
Bila didentifikasikan :
K

a

 lim s 2 .G(s)H(s)
s 0

maka
e

ss



1
K
a

1
s3

Ka : Koefisien kesalahan percepatan statis
a u/ sistem tipe 0
K

 lim s 2 .G(s)H(s)
s 0

a

s 2K(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
s  0 s0 (T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p
0

 e

ss

1
e()  
0

b u/ sistem tipe 1
K

 lim s 2 .G(s)H(s)
s 0

a

s 2K(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
s  0 s1(T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p
0

 e

ss

1
e()  
0

c u/ sistem tipe 2
K

a

 lim s 2 .G(s)H(s)
s 0

s 2K(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
s  0 s 2 (T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p
K

1

 ess e()  K

a



1
K

d c u/ sistem tipe > 2
K

a

 lim s 2 .G(s)H(s)
s 0

s 2K(T s  1)(T s  1)......(T s  1)
a
b
m
 lim
s  0 s3 (T s  1)(T s  1).......(T s  1)
1
2
p

1

 ess e()  0


Latihan Soal :
(1)
R(s)
+

1,06
s(s  1)(s  2)

C(s)

Hitunglah kesalahan steady-state, bila input berbentuk :
a) step
b) ramp
c) parabolik
(2)

bila input r(t) = a.t (a > 0), maka tunjukkan bahwa e() dapat dibuat sama dengan 0
(nol) dengan mengubah harga KI !