Mekanika Statistik FISIKA MODERN pptx

MEKANIKA
STATISTIK

Disusun oleh :
Annisa Putri
Dessy Ramadhianti
Junita Eka Heryanti
Kang Helen Dian L
Niki Nurul Lita K.
Zakiyah Pertiwi

Statistik Maxwell-Boltzmann
Energi Molekuler Dalam Gas
Ideal
Laser
Statistika Kuantum

Mekanika
Statistik

Radiasi Benda-Hitam

Rumus Rayleigh-Jeans
Hukum Radiasi Plank
Kalor Jenis Zat Padat
Elektron Bebas Dalam Logam
Distribusi Energi Elektron

STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN
Mekanika Statistik ialah menentukan peluang
terbesar bagaimana sejumlah energi tertentu
terdistribusi diantara anggota sistem partikel
dalam
kesetimbangan
termal
pada
temperatur mutlak T.
 Berarti berapa banyak partikel berpeluang
berenergi є1 , є2 , dan seterusnya.
 Anggapan dasar mekanika statistika ialah
terdapatnya banyak cara W partikel dapat
diatur diantara keadaan yang bisa diperoleh

sehingga menghasilkan distribusi energi
tertentu untuk distribusi yang berpeluang
besar.


Prosedurnya ialah mendapatkan rumusan umum
untuk W untuk jenis partikel yang sedang ditinjau,
kemudian memaksimumkan W dengan syarat bahwa
sistem itu terdiri dari sejumlah partikel tertentu
(kecuali dalam sistem foton atau ekuivalen akustiknya
fonon) dan bahwa sistem itu berenergi total tertentu.
 Hasil dalam setiap kasus ialah rumusan n(є), jumlah
partikel berenergi є yang bentuknya :
9.1


n(є) =
g(є)f(є)

dengan ;

g(є) = banyaknya keadaan berenergi є
= bobot statistik yg bersesuaian dgn energi є
f(є) = fungsi distribusi
= banyaknya partikel rata-rata untuk setiap
keadaan berenergi є
= peluang terisinya setiap keadaan berenergi є.

Jika distribusi malar (kontinue), alih-alih
distribusi diskrit dari energi, g(є) diganti
dengan g(є) dє yang menyatakan banyaknya
keadaan dengan energi antara є dan є + dє .
 Mula-mula kita akan meninjau sistem partikel
identik yang jaraknya cukup berjauhan
sehingga
satu
sama
lainnya
dapat
dibedakan.
 Menurut istilah kuantum, fungsi gelombang

partikel yang saling bertumpangan dapat
diabaikan.
 Partikel-partikel ini berkelakuan klasik, dan
spinnya tak relevan.




Molekul gas merupakan partikel sejenis ini,
dan fungsi distribusi Maxwell-Boltxmann
berlaku :
FMB{є} = Ae-є/kT
9.2



Harga A tersebut bergantung dari jumlah
partikel dalam sistem dan disini memegang
peranan yang serupa dengan konstanta
normalisasi suatu fungsi gelombang. Dengan

k ialah konstanta Boltzmann ;
k = 1,381 x 10-23 J/K
= 8,617 x 10-5 ℮V/K



Misalnya, jika terdapat lima cara partikel itu
dapat membagi energi є, maka peluang P(Є1 , Є2)
bahwa terjadi pembagian energi tertentu Є1 , Є2
terjadi ialah 1/5 P’(Є). Karena P’(Є) merupakan
fungsi dari є, P(Є1 , Є2) juga, sehingga ;
P(Є1 , Є2) = P’(Є) = P’’(Є1 + Є2)



P(Є1 + Є2) untuk kedua keadaan terisi ialah
perkalian f(Є1) dan f(Є2) ;
P(Є1 , Є2) = f(Є1)f(Є2)

f(Є1)f(Є2) = P’’(Є1 + Є2)

f(Є1)f(Є2) = (A℮-є1/kT) (A℮-є2/kT) = A2℮-(Є1 + Є2)/kT

Yang merupakan fungsi dari
diperlukan.

Є1 + Є2

seperti yg

ENERGI MOLEKULER DALAM GAS
IDEAL
Membuktikan cara f(є) berubah terhadap T.
dengan persamaan 9.2 dapat menghitung
energi internal total E dari sebuah sistem
partikel,
 Sistem partikel nya ialah sampel gas ideal
yang terdiri dari N molekul. Sehingga energi
molekuler total haruslah E = NkT .
 Jika n(є) dє menyatakan banyaknya molekul

yang energinya terletak antara є dan є + dє’
persamaan 9.1 dapat ditulis ;
n(є) dє = g(є) dє x f(є) = Ag(є)℮9.3
є/kT
dє




Banyaknya keadaan yang mempunyai energi
antara є dan є + dє. Sebuah molekul
berenergi є memiliki momentum p yang
besarnya ialah ;
p=
=
9.4

Setiap kumpulan komponen momentum
px,py,pz memberi ciri suatu keadaan gerak.
 Banyaknya

keadaan
g(p)
dp
dengan
momentum yang besarnya ada diantara p
dan p + dp berbanding lurus dengan volume
kulit bola dalam ruang momentum yang
berjejari p dan tabelnya
dp2 dp
, yaitu 4
dp.
g(dp) dp = Bp
Jadi ;
9.5
dengan B merupakan konstanta.




Karena

setiap
besar
momentum
bersesuaian dengan energi tunggal
sehingga ;
g(є) dє = Bp2 dp
9.6

p
є,

Karena p2 = 2mє
and
dp =
Maka persamaan 9.6 menjadi ;
9.7
g(є) dє = 2m3/2B
dє
Dan untuk jumlah molekul dengan energi
antara є dan dє

(є) dє = Є
℮-є/kT dє
9.8
Dengan C (= 2m3/2 AB) merupakan konstanta
yg harus dicari.



Untuk mencari C kita pakai syarat normalisasi
bahwa jumlah molekulnya N, sehingga ;
9.9
N=
=C
℮-є/kT dє
dari tabel untuk integral tertentu kita dapatkan
;

℮-αx dx =
disini α = 1/kT, dan hasilnya ialah ;
N=

(kT)3/2
C=
9.10

DISTRIBUSI ENERGI MOLEKULAR

n (є) dє =

℮-є/kT
dє



Pendistribusian energi Maxwell-Boltzmann
untuk molekul gas ideal dengan langkah
terakhir yaitu energi internal total sistem.
Yang didapatkan hasil ; (energi total N
molekulE gas)
=
x (kT)2
=
NkT
9.12
energi rata-rata sebuah molekul gas ideal
ialah E/N atau (energi molekular rata=
kT
rata)
9.13



Untuk sejumlah molekul dengan kelajuan
antara vn(v)
+ dv =
ialah ; (Distribusi kelajuan
dv
molekular)
9.14



Kelajuan sebuah molekul dengan energi ratarata 3/2kT ialah ; (kelajuan Rms)
9.15 v
=
=
rms

hubungan antara
dan vrms bergantung dari
hukum distribusi yang berlaku untuk kelajuan
molekular dalam sistem tertentu. Untuk
distribusi Maxwell-Boltzmann ;

Vrms =



Kelajuan
berpeluang
terbesar
dengan
bertambahnya temperatur dan berkurangnya
massa molekular ; (Kelajuan berpeluang
terbesar)
Vp =
9.16

LASER

RADIASI BENDA HITAM
Setiap zat memancarkan radiasi elektromagnetik yang sifatnya bergantung dari sifat dan
temperatur zat itu sendiri.Kita telah membahas
spektrum diskirit gas tereksitasi yang timbul dari
transisi elektronik dalam atom terisolasi.
Pada ekstrim yang lain, benda mampat seperti
zat padat memancarkan spektrum malar yang
mengandung semua frekuensi; atom dalam zat
padat saling berdekatan sehingga interaksinya
menghasilkan sejumlah besar keadaan kuantum
yang berdekatan yang tak terbedakan dari pita
malar yang energinya diperbolehkan.

MAXWELL-BOLTZMANN

BOSE-EINSTEIN

FERMI-DIRAC

Dapat diterapkan untuk
sistem

Identik, partikel
terbedakan

Identik, partikel tak
terbedakan yang tidak
memenuhi prinsip eksklusi

Identik, partikel tak
terbedakan dan memenuhi
prinsip eksklusi

Kategori partikel

Klasik

Boson

Fermion

Sifat partikel

Setiap spin, partikel
berjarak cukup berjauhan
sehingga fungsi
gelombang tidak
bertumpangan

Spin 0,1,2,...; fungsi
gelombangnya simetrik
terhadap pertukaran label
partikel

Spin 1/2,3/2,5/2,..., fungsi
gelombang antisimetrik
terhadap pertukaran label
partikel

Contoh

Molekul gas

Foton dalam rongga; foton
dalam zat padat; helium
cair pada temperatur
rendah

Elektron bebas dalam
logam; elektron dalam
bintang yang atomnya
telah ambruk (bintang
kerdil putih)

Fungsi distribusi (jumlah
partikel pada setiap
keadaan berenergi E pada
temperatur T

fMB (ɛ) = Ae-ɛ/kT

fBE (ɛ) =

fFD (ɛ) =

Sifat distribusi

Tidak ada batas pada
jumlah partikel perkeadaan

Tidak ada batas pada
jumlah partikel
perkeadaan;lebih banyak
partikel perkeadaan dari
fMB pada energi rendah ;

1
eαeɛ/kT - 1

mendekati fMB pada energi
tinggi

1
e(ɛ-ɛf)/kT + 1

Tidak lebih dari satu
partikel perkeadaan ; lebih
sedikit jumlah partikel
perkeadaan dari fMB pada
energi rendah ; mendekati
fMB pada energi tinggi

Kemampuan sebuah benda untuk meradiasi
sangat berdekatan dengan kemampuannya untuk
mengabsorpsi (menyerap) radiasi.
Benda pada temperatur konstan berada dalam
kesetimbangan termal dengan sekelilingnya dan
harus mengabsorpsi energi dari sekelilingnya
dengan laju yang sama seperti benda itu
memancarkan (mengemisi energi).
Suatu benda yang mengabsorpsi semua radiasi
yang jatuh padanya, tak bergantung dari
frekuensinya disebut benda-hitam.

Benda
hitam
merupakan
pemancar (emitter) radiasi yang
terbaik.
Eksperimen
yang
ditunjukun
pada
gambar
disamping menggambarkan tidak
ada perbedaan temperatur yang
teramati antara permukaan I’ dan
permukaan II’. Pada temperatur
tertentu permukaan I’ dan I’
meradiasikan dengan laju e1 W/m2.
Sedangkan II dan II’ meradiasikan
dengan laju e2. Permukaan I dan I’
mengabsorpsifraksi a1 dan radiasi
yang datang padanya, sedangkan II dan II’ mengabsorpsi fraksi a 2. Jadi
I’ mengabsorpsi energi dari II dengan laju yang berbanding lurus
dengan a1e2. Karena I’ dan II’ tetap berada pada temperatur yang
sama, haruslah berlaku bahwa :
a1e1 = a2e2

dan

e1/a1 =e2/a2

Kemampuan sebuah benda untuk memancarkan radiasi
berbanding lurus dengan kemampuannya untuk mengabsorpsi
radiasi. Marilah kita anggap bahwa I dan I’ benda hitam,
sehingga a1 = 1 dan II dan II’ bukan, sehingga a2 < 1.
Jadi :

e1 = e2/a2
Dan,karena a2 e2 . Sebuah benda hitam pada
temperatur tertentu meradiasi energi dengan laju lebih besar
dari benda yang lain.

Dalam laboratorium, sebuah benda
dapat di aproksimasi dengan benda
berongga berlubang sangat kecil yang
menembus kedalam. Setiap radiasi
yang jatuh pada lubang itu, masuk ke
dalam rongga dimana radiasi itu
terperangkap oleh pemantulan bolak
balik sehingga akhirnya terabsorpsi
semuanya. Dinding rongga terus
menerus memancarkan dan
mengabsorpsi radiasi,dan sifat radiasi
inilah radiasi benda hitam.

RUMUS RAYLEIGH-JEANS
 Mereka

meninjau radiasi dalam rongga
bertemperatur T yang dindingnya merupakan
pemantul sempurna sebagai sederetan
gelombang elektromagnetik berdiri pada
hakekatnya sebagai rampatan tiga-dimensional
dari gelombang berdiri pada tali yang terpentang.

9.30

jx = 2L
λ
jy = 2L
λ
jz = 2L
λ

= 1, 2, 3, …
= 1, 2, 3, …
= 1, 2, 3, …

Keterangan :
λ : Panjang gelombang
Untuk gelombang berdiri arah sembarang ,
harus dipenuhi :

9.31 j2x + j2y + j2z = ( 2L ) 2
3, …
λ
3, …
jz= 1, 2, 3, …

jx= 1, 2,
jy= 1, 2,

Supaya gelombang itu berakhir dengan
simpul pada masing-masing ujungnya.

 Untuk

menghitung banyaknya
gelombang berdiri g(λ) dan dλ dalam
rongga yang panjang gelombangnya
diantara λ dan λ + dλ yang harus kita
hitung ialah banyaknya kelompok
harga jx, jy, jz yang diijinkan yang
Gambar 9-14 menunjukkan sebagian bidang jx-jy seperti itu. Setiap
menghasilkan panjang gelombangtitik dalam ruang-j bersesuaian dengan kelompok harga jx, jy, jz
yang
diijinkan, jadi bersesuaian
dengan suatu
gelombang berdiri. Jika
gelombang
dalam selang
tersebut.
j merupakan vektor dari titik asal ke titik tertentu jx, jy, jz , besar
Marlah kita bayangkan ruang-j yang
vektor itu ialah
sumbu koordinatnya jx, jy, jz .
9.32

j = √ j 2x + j2y + j2z



Banyaknya panjang gelombang antara λ dan λ + dλ
sama dengan banyaknya titik dalam ruang-j yang
jaraknya dari titik asal terletak diantara j dan j + dj.
Volume kulit bola berjejari j daan tebal dj ialah 4 ∏j 2 dj,
tetapi kita hanye memerlukan oktan (seperdelapan)
dari kulit ini yang berkaitan dengan harga positif jx, jy,
dan jz. Juga untuk setiap gelombang berdiri yang
dicacah dengan cara seperti itu, terdapat dua arah
tegal lurus dari polarisasinya. Jadi banyakya
gelombang berdiri yang bebas dalam rongga itu ialah

9.33

g(j) dj = 2 x 1/8 x 4 ∏j2 dj = ∏j2 dj

Volume rongganya ialah L3, ini berarti banyaknya gelombang
 Dari
persamaan
dan
9.32 ialah
berdiri
yang
bebas per9.31
satuan
volume
9.33 j = 2L = 2Lv
2
9.35 G(v) dvλ= 1 g(v)
dv
=
8
∏v
dv
c
L3
c3
dj = 2L dv
c
Persamaan 9.35 bebas dari bentuk rongga, wlaupun kita
dan kitarongga
dapatkubus
menyatakan
Persamaanpenurunannya.
9.33
memakai
untuk memudahkan
dalam
v alih-alih
j sebgai
:
Lebih
tinggi
frekuensinya,
lebihberikut
kecil pajang
gelombangnya
2
 9.34
g(v) dv
= ∏(2Lv)
dan
lebih banyak
gelombang
berdiri
yang mungkin, sesuai
dengan intuisi.
c

9.36

u(v)dv = Ē G(v) dv = kT G(v) dv
(Rumus Rayleigh-Jeans)
= 8 ∏v2kT dv
 Langkah selanjutnya
c3 ialah mencari energi pergelombang
Keterangan:
berdiri. Disinilah timbul perbedaan antara fisika klasik dan
k = tetapan Boltzman (1,38 x 10-23 J/K);
fisika kuantum. Menurut teorem klasik mengenai ekuipartisi
c = kecepatan cahaya di ruang hampa (3 x 10 8 m/s);
energi,
T = suhu
mutlakseperti
benda (K);yang telah disebutkan, energy rata-rata
perderajat kebebasan dari kesatuan yang merupakan
Walaupun
dalam
kita kesatuan
sudah melihat
bahwa terdapat
bagian
darisekejap
system
tersebut
dalamkesalahan rumus RayleighJeans.
Ketika v bertambah
besar, bersesuaianTdengan
kesetimbangan
bertemperatur
ialah 1daerah
/2 kT. ultra-ungu
Masing- dari spektrum
Persamaan 9.36 menyatakan bahwa laju radiasi energy bertambah menurut v2; dalam
masing gelombang berdiri dalam ongga berisi radiasi
batas energy sangat tinggi, u(v) dv menuju tak-berhingga. Pada kenyatannya seperti kita
bersesuaian dengan dua derajat kebebasan yang energy
lihat dari Gambar 9-13, u(v) dv →0 ketika v → ꚙ.
total rata-ratanya Ē sama dengan kT. Kesimpulan ini timbul
dari pengamatan
masing-masing
gelombang
berasal
Penyimpangan
antara teori bahwa
dan pengamatan
segera diketahui
menyangkut
hal yang
sangat
pokok,
dan dikenal
sebagai
“ bencana
ultra-ungu”.
Kegagalan
fisika klasik ini
dari
sebuah
osilator
dalam
dinding
rongga,
dan osilator
menggugah
dalamdua
tahun
1900 untuk
mengajukansatu
hipotesis
bahwa pemacaran
sepertiMax
itu Planck
memiliki
derajat
kebebasan,
yang
cahaya
merupakan gejala
kuantum
dan atas
beliau memperoleh
rumus yang
menyatakan
energi
kinetic,
dandasar
yanginilainnya
menyatakan
benar untuk kerapatan energi radiasi benda-hitam.
energy otensial. Energi u(v)dv per satuan volume dalam
rongga dalam selang frekuensi v dan v + dv menurut fisika
klasik menjadi :

HUKUM RADIASI
PLANK
Rumus Rayleight dan Jeans menyimpang karena
teoreni ekuipartisi hanya berlaku untuk distribusi energi
yang
malar.
Sedangkan
energi
gelombang
elektromagnetik berfrekuensi v sebetulnya terkuantisi
dalam satuan hv. Yang harus dilakukan ialah meninjau
gelombang elektromagnetik dalam rongga sebagai gas
foton yang memenuhi statistika Bose-Einstein, karena
spin foton ialah 1. jumlah foton rata-rata f(v) untuk setiap
keadaan berenergi e = hv akan mengikuti fungsi distribusi
Bose-Einstein menurut persamaan 9.26.

 Hargaα dalam persamaan 9.26 bergantung dari
banyaknya partikel dalam sistem yang sedang ditinjau.
 Akan tetapi banyaknya foton dalam rongga tidak perlu
tetap : berlainan dengan molekul gas atau elektron,
proton terciptakan dan termusnahkan setiap waktu.
 Walaupun energi radiasi total dalam rongga harus tetap
konstan, banyaknya foton yang mengambil energi ini bisa
berubah. Karena karena cara α didefinisikan dalam
penurunan persamaan 9.26, ketakekalan foton berarti
bahwa α=0. Jadi, fungsi distribusi Bose-Einstein untuk
foton ialah




9.37

f(v) =

(rumus distribusi foton)



 Persamaan 9.35 yang menyatakan banyaknya
gelombang berdiri berfrekuensi v per satuan volume
dalam rongga berlaku juga untuk banyaknya keadaan
kuantum berfrekuensi v, karena foton juga mempunyai
dua arah polarisasi yang bersesuain dengan orientasi
spin relatif tethadap arah geraknya. Jadi, rumus
kerapatan dalam rongga ialah
9.38

U(v) dv = hvG(v)f(v)dv

=



 dua hasil yang menarik dapat diambil dari rumus radiasi
Planck. Untuk mendapatkan panjang-gelombang yang
kerapatan energinya terbesar, dinyatakan dengan
persamaan 9.38 dalam panjang gelombang dan
pecahkan du(λ)dλ = 0 untuk λ=λmax. Kita peroleh

= 4,965
atau dinyatakan dalam bentuk
9.39 λmax T =



= 2,898 x 10-3 m . K

 persamaan 9.39 dikenal sebagai Hukum Pergeseran
Wen. Persamaan itu secara kuantitatif menyatakan fakta
empiris bahwa puncak spektrum benda hitam bergeser
terus ke arah panjang gelombang lebih kecil (frekuensi
lebih tinggi) ketika temperaturnya bertambah.
 Hasil lain yang didapat dari persamaan 9.38 ialah
kerapatan energi total u di dalam rongga merupakan
integral kerapatan energi terhadap semua frekuensi,
U = T4 = αT4




Dengan α menyatakan konstan universal. Kerapatan
energi total berbanding lurus dengan pangkat empat dari
temperatur mutlak dari dinding rongga. Jadi kita
mengharapkan energi R yang diradiasikan oleh benda
tiap detik per satuan luas berbanding lurus dengan T4,
suatu kesimpulan dalam Hukum Stefan-Boltzman :
9.40
R=e σT4



 Harga konstan Stefan ialah
σ= = 5,670 X 10-8 W/m2 . K4



Emisivitas e bergantung pada sifat permukaan radiasi
dan berkisar antara 0, untuk pemantulan sempurna yang
tidak meradiasi hingga 1 untuk benda hitam.

KALOR JENIS ZAT
PADAT
Radiasi benda hitam bukanlah satu-satunya gejala yang
dikenal yang penjelasannya memerlukan mekanikastatistik kuantum. Hal lainnya ialah cara perubahan
energi internal zat padat, terhadap temperatur.
 Kalor jenis molar zat padat pada volume konstan Cv,
yaitu energi yang harus ditambahkan pada 1 kmol zat
yang volumenya konstan, supaya temperaturnya naik
1K. Kalor jenis pada tekanan konstan Cp, 3 atau 5
persen lebih tinggi dari Cv dalam zat padat, karena di
sini termasuk kerja yang berkaitan dengan perubahan
volume selain dari perubahan energi internal.


 


 Energi

internal zat padat tertampung dalam vibrasi partikel
pembentuknya yang dapat bebentuk atom, ion, atau molekul. Vibrasi ini
dapat diuraikan menjadi komponen sepanjang tiga sumbu yang saling
tegak lurus. Seperti telah dibahas dahulu, berdasarkan fisika klasik
sebuah osilator harmonik dalam sistemnya dalam kesetimbangan
termal pada temperatur T mempunyai energi rata-rata kT yang berarti
bahwa masing-masing atom dalam zat padat, berdasarkan hal itu,
memiliki energi 3kT. Satu kmol zat padat berisi bilangan avogadro N O
atom, dan energi inyernal totalnya pada temperatur T menjadi
9.40 E = 3NO kT = 3RT

Dengan
R = NOk = 8,31 x 103J/Kmol

.

K= 1,99 kcal/kmol . K

Kalor jenis pada volume konstan dinyatakan dalam E sebagai berikut
Cv =
Sehingga di sini
9.41 Cv = 3R = 5,97 kcal/kmol . K (Hukum Duloug-Petit)


Hukum Duloug-Petit gagal untuk unsur ringan seperti
boron, berilium dan karbon, untuk zat tersebut. Cv = 3,34
; 3,85 ; dan 1,46 kkal/kmol. K, berurutan pada 20 o C.
Lebih parahnya, kalor jenis setiap zat padat turun secara
tajam pada temperatur rendah dan mendekati 0 ketika T
untuk beberapa unsur.
 Pada tahun 1907 Einstein mendapatkan bahwa cacat
dasar dalam persamaan 9.41 terletak dalam besaran kT
untuk energi rata-rata per osilator dalam zat padat. Cacat
ini terdapat juga pada rumus Rayleigh-jeans yang tidak
benar untuk radiasi benda hitam. Menurut Einstein,
peluang f(v) bahwa osilator berfrekuensi v diberikan oleh
persamaan 9.37, f(v) = 1/(ehv/kT-1), sehingga energi ratarata untuk osilator berfrekuensi vibrasi v ialah


 
9.42
έ= hvf(v) =


(Energi rata-rata per osilator)

Dan bukan έ= kT. Energi internal total satu kilo mol zat padat menjadi
9.43

E= 3NOέ =

Dan kalor jenis molarnya adalah
9.44
Cv = = 3R()2
Segera kita dapat melihat bahwa pendekatan seperti ini berada pada
jejak yang benar. Pada temperatur tinggi, hv