Simulasi Dinamika Molekular Menggunakan metode
JOURNAL TOPIK KHUSUS,SEM.2, NO.20914009;20914014, MEI 2015
1
Simulasi Dinamika Molekular Menggunakan
Potensial Lennard-Jones untuk Sistem Silikon
*Arnita Irianti, M. Yusuf Hakim Widianto
Sains Komputasi, Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10. Bandung 40132 Indonesia
* arnitairianti@gmail.com, yusuf.blogs@gmail.com
Abstract—Simulasi dilakukan pada fluida sistem Silikon.
Metode yang digunakan adalah dinamika molekular menggunakan potensial Lennard-Jones. Sistem menggunakan 64-atom
Silikon dengan jumlah atom (N) adalah 216. Meninjau pergerakan fluida sistem silikon pada fasa cair dengan menghitung
fungsi pasangan korelasi (PCF)
Index Terms—Dinamika molekular,Potensial Lennard-Jones
Silikon, Fungsi Pasangan Korelasi.
I. P ENDAHULUAN
Simulasi dinamika molekular merupakan alat bantu untuk mempelajari dinamika dari cairan, molekul mikroskopis
dan makro molekul[1] . Simulasi dinamika molekular digunakan untuk menyelesaikan persamaan Newton tentang
gerak[2] , dimana gaya ditentukan oleh massa dan percepatan.
Partikel-partikel pada molekular dinamik bergerak secara random dan berinteraksi satu dengan yang lainnya. Pemodelan
dari interaksi partikel-partikel cairan memotivasi untuk mempelajari dinamika cairan. Dari data dinamika partikel-partikel
tersebut dapat dipelajari struktur, potensial dan termodinamika
molekul dengan simulasi.
Tulisan ini tentang simulasi dinamika molekular pada
fluida sistem Silikon. Dinamika molekular digunakan sebagai
metode penyelesaian gerak sistem partikel Silikon pada fasa
cair. Menggunakan potensial Lennard-Jones sebagai interaksi
antar molekul Silikon. Meninjau pergerakan sistem silikon
pada fasa cair pada box dengan ukuran L untuk menghitung
Fungsi Pasangan Korelasi/Pair Correlation Function (PCF) sehingga diharapkan lebih lanjut dapat divisualisasikan tekanan,
temperatur terhadap perubahan posisi dan waktu
II. D INAMIKA M OLEKULAR
Dinamika molekular pada dasarnya memecahkan persamaan
gerak sengan menggunakan mekanika klasik (persamaan
Newton). adadua persoalan utama yang harus diselesaikan
dalam penggunaan motede simulasi dinamika molekular yaitu:
1) Menentukan model energi potensial yang mengatur
hubungan antar atom-atom atau molekul-molekul yang
saling berinteraksi dalam sistem. Dari energi potensial
inilah gaya-gaya yang mempengaruhi dinamika sistem
dapat di tentukan
2) Menentukan algoritma dan metode numerik
III. M ODEL
Simulasi ini menggunakan algoritma dinamika molekular. Interaksi antar partikel-partikel Silikon memenuhi kaidah
potensial Lennard-Jones[ 3]. Potensial tersebut menolak bila
jarak terlalu dekat dan menarik bila jarak menjauh. Titik seimbang yang potensialnya minimum terletak pada posisi rmin
memenuhi F (rmin ) = 0. Ketika jarak antar partikel terlampau
jauh maka interaksi antara partikel-partikel diabaikan diberi
nilai rcutof f . Potensial Lennard-Jones pada interaksi antar
atom yang berjarak lebih besar dari nilai rcutof f dituliskan
sebagai berikut:
"
6 #
12
(rij ≤ rcutof f )
− rσij
4ǫ rσij
U (rij ) =
0
(rij ≥ rcutof f )
(1)
dimana σ merepresentasikan diameter partikel dengan rin =
1
2 6 σ. Ketika partikel-partikel berinteraksi pada jarak (rij ≤
rcutof f ) maka terdapat gaya yang bekerja pada partikelpartikel tersebut dimana F (rij ) = −∇U (rij ) sehingga persamaan 1 dituliskan sebagai berikut:
"
7 #
13
σ
σ
ǫ
(2)
−
F (rij ) = 24 2
σ
rij
rij
Bersesuaian dengan Hukum Newton tentang gerak sehingga dapat dihitung semua gaya yang bekerja pada interaksi
partikel-partikel.
X
d 2 ri
m 2 =
f (rij )
(3)
dt
j6=i
Dilakukan integrasi untuk menyelesaikan persamaan 3 dengan
algoritma Verlet[4] .
1
(4)
r(t + δt) = r(t) + v(t)δt + a(t)δt2
2
untuk mengetahui posisi baru partikel-partikel tersebut algoritma 4 dapat diekspresikan sebagai berikut :
ri (t0 + △t) = 2ri (t0 ) − ri (t0 − △t) + ai (t0 ) △ t2
(5)
3
2
maka
Suhu untuk setiap waktu t, dengan energi kinetik
didapatkan
N
X
mi vi2 (t)
T (t) =
3kb
i=1
(6)
Fungsi korelasi pasangan (PCF) yang digunakan sebagai
ukuran konfigurasi atom-atom dalam fasa cair. PCF (g(r))
JOURNAL TOPIK KHUSUS,SEM.2, NO.20914009;20914014, MEI 2015
2
merupakan probabilitas untuk menemukan pusat partikel jarak
tertentu dari pusat partikel lain yang didefinisikan sebagai
berikut:
"
#
V
n(r)
g(r) =
(7)
N 4πr2 △ r
dimana n(r) adalah jumlah atom yang berada pada jarak antara
r dan r + △r, N adalah jumlah atom dan V adalah volume.
Simulasi ini menggunakan sistem 64-atom Silikon. Pergerakan fluida sistem Silikon didalam kotak dengan ukuran
L × L × L. Jumlah atom (N) dalam simulasi adalah 216. Nilai
˚ Simulasi dilakukan pada suhu konstan
cut off σ = 2.80 A.
pada 1◦ K dan 175◦ K dengan perubahan waktu δt sebesar
0.001 detik.
IV. A LGORITMA M OLEKULAR D INAMIKA PADA SISTEM
S ILIKON
Algoritma yang digunakan sebagai berikut:
• inisiasi ukuran box
• Input jumlah partikel
• Input densitas
• Input posisi awal semua partikel
• Input lama perhitungan partikel (tmax )
• kecepatan awal partikel
• Input ∆t
• Input massa partikel
• Hitung total gaya yang bekerja dan percepatannya pada
partikel ke i sebagai berikut:
Fi
F¯i (t) = Σj=1
j6=i Fij (t) ai (t) =
mi
• Hitung posisi baru partikel ke-i berdasarkan metode verlet
sebagai berikut:
ri (t + ∆t) = 2ri − ri (t − ∆t) + ai t0 (∆t)2
• ulangi langkah diatas hingga i=N
• Plot fungsi korelasi pasangan g(r) dengan posisi baru
V. H ASIL DAN P EMBAHASAN
Posisi awal untuk semua partikel adalah random, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
Fig. 1: Grafik PCF terhadap perubahan posisi pada T= 1 K
Simulasi menggunakan potensial Lennard-Jones pada sistem silikon pada fasa gas d temperatur 1 K dan 175 K. Dari
gambar di peroleh bahwah perubahan suhu mempengaruhi
perubahan pair correlation (PCF) dari sistem silikon tersebut.Jurnal rujukan mempunyai nilai yang berbeda dengan hasil
simulasi yang diperoleh karena parameter-parameter yang digunakan berbeda, dimana pada jurnal rujukan menggunakan
parameterisasi ikatan kuat [5] .
Fig. 2: Grafik PCF terhadap perubahan posisi pada T= 175 K
VI. K ESIMPULAN
Simulasi menggunakan potensial Lennard-Jones pada sistem silikon pada fasa gas d temperatur 1 K dan 175
K.Perubahan suhu mempengaruhi perubahan pair correlation
(PCF) dari sistem silikon tersebut. Diperlukan penelitian
lebih lanjut yang mendalam dalam memepelajari parameterparameter yang digunakan pada Potensial Lennard-Jones pada
sistem silikon pada fasa cair untuk menggambarkan PCF.
R EFERENCES
[1] Berendsen, H. J. C. and Postma, J. P. M. and Gunsteren, W. F. van and
DiNola, A. and Haak, J. R.,Molecular dynamics with coupling to an
external bath,81,3684–3690,The Journal of Chemical Physics,1984,http:
//dx.doi.org/10.1063/1.448118
[2] Plimpton, Steve,Fast Parallel Algorithms for Short-Range Molecular
Dynamics,117,1–19,Journal of Computational Physics, 1995,http://dx.doi.
org/10.1006/jcph.1995.1039
[3] Lennard-Jones, J. E. and Devonshire, A. F.,Critical Phenomena in Gases.
I,16353–70,Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences,1937,http://www.jstor.org/stable/97067
[4] Verlet, Loup,Computer ”Experiments” on Classical Fluids. I.
Thermodynamical Properties of Lennard-Jones,159,98–103,Phys.
Rev.,1967,http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.159.98
[5] Dipojono,
K,
Herman,Simulasi
Dinamika
Molekul(Sebuah
Pengantar),ISSN,1410-7686,Prosiding Seminar Nasional Hamburan
Neutron dan Sinar X ke 4, 2001
[6] Wieser,Wolfgang,Simple Molecular Dynamics Sim of Lennard-Jones
Fluid,2006,http://Simple molecular dynamics sim of Lennard-Jones
fluid.htm
1
Simulasi Dinamika Molekular Menggunakan
Potensial Lennard-Jones untuk Sistem Silikon
*Arnita Irianti, M. Yusuf Hakim Widianto
Sains Komputasi, Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10. Bandung 40132 Indonesia
* arnitairianti@gmail.com, yusuf.blogs@gmail.com
Abstract—Simulasi dilakukan pada fluida sistem Silikon.
Metode yang digunakan adalah dinamika molekular menggunakan potensial Lennard-Jones. Sistem menggunakan 64-atom
Silikon dengan jumlah atom (N) adalah 216. Meninjau pergerakan fluida sistem silikon pada fasa cair dengan menghitung
fungsi pasangan korelasi (PCF)
Index Terms—Dinamika molekular,Potensial Lennard-Jones
Silikon, Fungsi Pasangan Korelasi.
I. P ENDAHULUAN
Simulasi dinamika molekular merupakan alat bantu untuk mempelajari dinamika dari cairan, molekul mikroskopis
dan makro molekul[1] . Simulasi dinamika molekular digunakan untuk menyelesaikan persamaan Newton tentang
gerak[2] , dimana gaya ditentukan oleh massa dan percepatan.
Partikel-partikel pada molekular dinamik bergerak secara random dan berinteraksi satu dengan yang lainnya. Pemodelan
dari interaksi partikel-partikel cairan memotivasi untuk mempelajari dinamika cairan. Dari data dinamika partikel-partikel
tersebut dapat dipelajari struktur, potensial dan termodinamika
molekul dengan simulasi.
Tulisan ini tentang simulasi dinamika molekular pada
fluida sistem Silikon. Dinamika molekular digunakan sebagai
metode penyelesaian gerak sistem partikel Silikon pada fasa
cair. Menggunakan potensial Lennard-Jones sebagai interaksi
antar molekul Silikon. Meninjau pergerakan sistem silikon
pada fasa cair pada box dengan ukuran L untuk menghitung
Fungsi Pasangan Korelasi/Pair Correlation Function (PCF) sehingga diharapkan lebih lanjut dapat divisualisasikan tekanan,
temperatur terhadap perubahan posisi dan waktu
II. D INAMIKA M OLEKULAR
Dinamika molekular pada dasarnya memecahkan persamaan
gerak sengan menggunakan mekanika klasik (persamaan
Newton). adadua persoalan utama yang harus diselesaikan
dalam penggunaan motede simulasi dinamika molekular yaitu:
1) Menentukan model energi potensial yang mengatur
hubungan antar atom-atom atau molekul-molekul yang
saling berinteraksi dalam sistem. Dari energi potensial
inilah gaya-gaya yang mempengaruhi dinamika sistem
dapat di tentukan
2) Menentukan algoritma dan metode numerik
III. M ODEL
Simulasi ini menggunakan algoritma dinamika molekular. Interaksi antar partikel-partikel Silikon memenuhi kaidah
potensial Lennard-Jones[ 3]. Potensial tersebut menolak bila
jarak terlalu dekat dan menarik bila jarak menjauh. Titik seimbang yang potensialnya minimum terletak pada posisi rmin
memenuhi F (rmin ) = 0. Ketika jarak antar partikel terlampau
jauh maka interaksi antara partikel-partikel diabaikan diberi
nilai rcutof f . Potensial Lennard-Jones pada interaksi antar
atom yang berjarak lebih besar dari nilai rcutof f dituliskan
sebagai berikut:
"
6 #
12
(rij ≤ rcutof f )
− rσij
4ǫ rσij
U (rij ) =
0
(rij ≥ rcutof f )
(1)
dimana σ merepresentasikan diameter partikel dengan rin =
1
2 6 σ. Ketika partikel-partikel berinteraksi pada jarak (rij ≤
rcutof f ) maka terdapat gaya yang bekerja pada partikelpartikel tersebut dimana F (rij ) = −∇U (rij ) sehingga persamaan 1 dituliskan sebagai berikut:
"
7 #
13
σ
σ
ǫ
(2)
−
F (rij ) = 24 2
σ
rij
rij
Bersesuaian dengan Hukum Newton tentang gerak sehingga dapat dihitung semua gaya yang bekerja pada interaksi
partikel-partikel.
X
d 2 ri
m 2 =
f (rij )
(3)
dt
j6=i
Dilakukan integrasi untuk menyelesaikan persamaan 3 dengan
algoritma Verlet[4] .
1
(4)
r(t + δt) = r(t) + v(t)δt + a(t)δt2
2
untuk mengetahui posisi baru partikel-partikel tersebut algoritma 4 dapat diekspresikan sebagai berikut :
ri (t0 + △t) = 2ri (t0 ) − ri (t0 − △t) + ai (t0 ) △ t2
(5)
3
2
maka
Suhu untuk setiap waktu t, dengan energi kinetik
didapatkan
N
X
mi vi2 (t)
T (t) =
3kb
i=1
(6)
Fungsi korelasi pasangan (PCF) yang digunakan sebagai
ukuran konfigurasi atom-atom dalam fasa cair. PCF (g(r))
JOURNAL TOPIK KHUSUS,SEM.2, NO.20914009;20914014, MEI 2015
2
merupakan probabilitas untuk menemukan pusat partikel jarak
tertentu dari pusat partikel lain yang didefinisikan sebagai
berikut:
"
#
V
n(r)
g(r) =
(7)
N 4πr2 △ r
dimana n(r) adalah jumlah atom yang berada pada jarak antara
r dan r + △r, N adalah jumlah atom dan V adalah volume.
Simulasi ini menggunakan sistem 64-atom Silikon. Pergerakan fluida sistem Silikon didalam kotak dengan ukuran
L × L × L. Jumlah atom (N) dalam simulasi adalah 216. Nilai
˚ Simulasi dilakukan pada suhu konstan
cut off σ = 2.80 A.
pada 1◦ K dan 175◦ K dengan perubahan waktu δt sebesar
0.001 detik.
IV. A LGORITMA M OLEKULAR D INAMIKA PADA SISTEM
S ILIKON
Algoritma yang digunakan sebagai berikut:
• inisiasi ukuran box
• Input jumlah partikel
• Input densitas
• Input posisi awal semua partikel
• Input lama perhitungan partikel (tmax )
• kecepatan awal partikel
• Input ∆t
• Input massa partikel
• Hitung total gaya yang bekerja dan percepatannya pada
partikel ke i sebagai berikut:
Fi
F¯i (t) = Σj=1
j6=i Fij (t) ai (t) =
mi
• Hitung posisi baru partikel ke-i berdasarkan metode verlet
sebagai berikut:
ri (t + ∆t) = 2ri − ri (t − ∆t) + ai t0 (∆t)2
• ulangi langkah diatas hingga i=N
• Plot fungsi korelasi pasangan g(r) dengan posisi baru
V. H ASIL DAN P EMBAHASAN
Posisi awal untuk semua partikel adalah random, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
Fig. 1: Grafik PCF terhadap perubahan posisi pada T= 1 K
Simulasi menggunakan potensial Lennard-Jones pada sistem silikon pada fasa gas d temperatur 1 K dan 175 K. Dari
gambar di peroleh bahwah perubahan suhu mempengaruhi
perubahan pair correlation (PCF) dari sistem silikon tersebut.Jurnal rujukan mempunyai nilai yang berbeda dengan hasil
simulasi yang diperoleh karena parameter-parameter yang digunakan berbeda, dimana pada jurnal rujukan menggunakan
parameterisasi ikatan kuat [5] .
Fig. 2: Grafik PCF terhadap perubahan posisi pada T= 175 K
VI. K ESIMPULAN
Simulasi menggunakan potensial Lennard-Jones pada sistem silikon pada fasa gas d temperatur 1 K dan 175
K.Perubahan suhu mempengaruhi perubahan pair correlation
(PCF) dari sistem silikon tersebut. Diperlukan penelitian
lebih lanjut yang mendalam dalam memepelajari parameterparameter yang digunakan pada Potensial Lennard-Jones pada
sistem silikon pada fasa cair untuk menggambarkan PCF.
R EFERENCES
[1] Berendsen, H. J. C. and Postma, J. P. M. and Gunsteren, W. F. van and
DiNola, A. and Haak, J. R.,Molecular dynamics with coupling to an
external bath,81,3684–3690,The Journal of Chemical Physics,1984,http:
//dx.doi.org/10.1063/1.448118
[2] Plimpton, Steve,Fast Parallel Algorithms for Short-Range Molecular
Dynamics,117,1–19,Journal of Computational Physics, 1995,http://dx.doi.
org/10.1006/jcph.1995.1039
[3] Lennard-Jones, J. E. and Devonshire, A. F.,Critical Phenomena in Gases.
I,16353–70,Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences,1937,http://www.jstor.org/stable/97067
[4] Verlet, Loup,Computer ”Experiments” on Classical Fluids. I.
Thermodynamical Properties of Lennard-Jones,159,98–103,Phys.
Rev.,1967,http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.159.98
[5] Dipojono,
K,
Herman,Simulasi
Dinamika
Molekul(Sebuah
Pengantar),ISSN,1410-7686,Prosiding Seminar Nasional Hamburan
Neutron dan Sinar X ke 4, 2001
[6] Wieser,Wolfgang,Simple Molecular Dynamics Sim of Lennard-Jones
Fluid,2006,http://Simple molecular dynamics sim of Lennard-Jones
fluid.htm