1.a. Gerak Rotasi.DOC

GERAK ROTASI POSISI SEBUAH TITIK DALAM GERAK MELINGKAR.

  Posisi atau kedudukan sebuah titik dalam gerak melingkar dapat dinyatakan dalam

  Koordinat Polar. Sebagai :

   =  (t) untuk r yang tetap Dengan demikian posisi titik di atas hanya tergantung dari waktu (t) saja, sedangkan :

   =  (r,t) untuk r dan t yang berubah Dengan demikian posisi titik di atas tidak hanya tergantung dari waktu (t), tetapi juga besar r.

  Satuan  dalam rad, r dalam meter dan t dalam detik. Lihat animasi di WWW.Stevanus_fisika.homestead.com KECEPATAN SUDUT (KECEPATAN ANGULER) SUATU TITIK MATERI DALAM GERAK MELINGKAR (ROTASI).

  Perhatikan ! 1 pada saat t 1 , ke titik B yang

  Suatu titik materi yang bergerak dari A yang posisinya  pada saat t posisinya 

  2

  2

  dan selang waktu yang dipergunakan titik materi Vektor perpindahannya  = 

  2 - 

  1

2 - t

  1

  untuk bergerak dari A ke B adalah  t = t Kecepatan sudut rata-rata didefinisikan :

  2 I M R 

  Jika ingin diketahui kecepatan sudut sesaat dari titik materi pada suatu saat, misal saat titik materi berada di antara A dan B dipergunakan kecepatan sudut sesaat.

  Kecepatan sudut sesaat didefinisikan : Secara matematis ditulis sebagai :

  d    dt

  Nilai dari komponen kecepatan sudut sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi  terhadap t.

  1

  1

   = tg 

  2 = tg 

  2

   Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika dketahui fungsi kecepatan sudut diselesaikan dengan INTEGRAL.

  d t 

     t

  



  dt

d t  t dt

   

   

d  t   t dt

  

   

 

  

 t   t dt

   

  



PERCEPATAN SUDUT ( )

  Kecepatan sudut titik materi dapat berubah-ubah setiap saat, baik besar, atau arah, ataupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan sudut yang dialami titik materi tersebut. Jika pada saat t

  1 1 dan pada saat t

  2

  2

  kecepatan sudutnya  kecepatan sudutnya  percepatan sudut rata-ratanya dalam selang waktu t = t - t didefinisikan sebagai :

  2

  1     

  2

  1

    

  t t

t 

  2

  1

  percepatan sudut sesaatnya :

  2

d d

d d

      

      ₂ dt dt t dt

   

DALAM GERAK MELINGKAR TERDAPAT PERCEPATAN TANGENSIAL DAN PERCEPATAN CENTRIPETAL.

  Kita tinjau titik A berada pada lingkaran berjari-jari R dengan titik pusatnya O.

  Kemudian bidang lingkaran tersebut diputar sehingga dalam gerak linier A bergerak sampai titik B dengan menempuh jarak S, sedang sudut yang ditempuh  Karena  adalah sudut pusat lingkaran dan s adalah busur lingkaran, berlakulah s =  . R Bila sudut yang ditempuh cukup kecil   , demikian panjang busurnya cukup kecil  s dalam waktu  t, maka berlakulah :

  v =  R

  v   

  R 

t t

    a

t =  . R

a = percepatan tangensial. t

  Percepatan di atas disebut dengan percepatan tangensial yaitu : percepatan yang arahnya bersinggungan dengan lingkaran, sedangkan percepatan yang arahnya selalu menuju titik pusat lingkaran disebut percepatan centripetal ( ). _{2 2} ar

  . R v  ₂

  

 

a R _r

    R R Dari gambar di atas terlihat bahwa percepatan tangensial (a t ) arahnya tegak lurus dengan percepatan centripetal dan bersinggungan dengan keliling lingkaran yang berpusat di O.

MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA

  Dalam gerak translasi gaya dikaitkan dengan percepatan linier benda, dalam gerak rotasi besaran yang dikaitkan dengan percepatan sudut ? Besaran yang dikaitkan dengan percepatan sudut adalah MOMEN GAYA. Karena momen gaya menimbulkan gerak rotasi. Kita tinjau sebuah batang yang ringan (massa diabaikan) ujung ) ditekan sebagai pusat lingkaran dan diujung lain terdapat gaya F membentuk sudut .

  Momen gaya ( ) didefinisikan :

   Momen gaya = perkalian gaya dengan lengan momen.

  LENGAN MOMEN adalah panjang garis yang ditarik dari pusat rotasi tegak lurus ke garis kerja gaya.

  

 . 

 F l Sin

Karena momen gaya adalah besaran vektor maka mempunyai arah.

  Arah putar searah dengan arah jarum jam diberi tanda POSITIF . Arah putar berlawanan dengan arah jarum jam diberi tanda NEGATIF .

  Kita tinjau sebuah benda massa m diikat dengan seutas tali panjangnya l. Kemudian pada benda diberikan gaya F sehingga benda dapat berputar dengan sumbu putar O.

  Percepatan tangensial yang di dapat oleh benda massa m menurut hukum II Newton : F = m . at

  Ruas kiri dan kanan dikalikan dengan r, sehingga diperoleh : F . r = m . at . r F . r = m . (  . r ) . r

  2 F . r = m . r

  . 

  2

  m . r disebut dengan MOMEN INERSIA (I) Dengan demikian di dapat :

  = I . 

  

  Karena benda terdiri dari komponen-komponen massa kecil. Momen Inersia dari total komponen massa dapat ditulis :

  2 I =  m . r ENERGI KINETIK ROTASI SEBUAH BENDA.

  Sekarang bayangkanlah sebuah benda tegar yang berotasi dengan laju sudut  yang mengelilingi suatu sumbu tetap. Masing-masing partikel yang massanya m mempunyai

  1 ₂

  1 _{2 2} Ek mV m r 

  energi kinetik :  

  2

  2

  dimana r adalah jarak masing-masing partikel terhadap sumbu rotasi, dengan demikian energi kinetik total (Ek total) dapat ditulis :

  1 _{2 2}

₂

Ek ( m r m r .... )   1 1  2 2 

  2

  1 _{2 2} Ek ( m r )   

  2

  2 mr adalah momen inersia (kelembaman) terhadap sumbu rotasi tertentu.

2 I =  m r

  Jadi besarnya Energi kinetik rotasi total benda adalah :

  1 ₂ Ek

  I _total    

  2 Besarnya momen inersia sebuah benda tergantung dari bentuk benda dan sumbu putarnya.

MOMEN INERSIA BEBERAPA BENDA TERHADAP SUMBU PUTARNYA.

  No. Gambar Nama Momen Inersia Batang Kurus terhadap ₂ 1 sumbu terhadap pusat

  M 

  I 

  12

  dan tegak lurus pada panjangnya. Batang Kurus terhadap ₂

  2 sumbu terhadap sumbu

  M 

  I 

  3

  yang melalui salah satu ujungnya dan tegak lurus pada panjangnya.

  2

  3 Cincin tipis terhadap

  I M R

   sumbu silinder.

  2

  4 Cincin tipis terhadap

  M R

  I 

  2 salah satu diameternya.

  2

  5 Silinder pejal terhadap

  M R

  I 

  2 sumbu silinder.

  M

  6 Silinder berongga (atau ^{2 2} I R R

    _{1 2}  

  2

  cincin) terhadap sumbu silinder.

  7 Silinder pejal (atau cakram) terhadap diameter pusat.

  3 ² MOMENTUM SUDUT (ANGULER)

  2

  melalui O pusat lingkaran maka : L = r . p dan p = m . v jadi : L = m . v . r L = m (  . r ) r L = m r

  r

  selalu tegak lurus

  v

  Pada gerak melingkar karena

  

p

  adalah sudut yang dibentuk antara r dan

  / / / / / / sin L r p  

  Momentum sudut adalah besar vektor yang besarnya adalah :

  p x r L 

  Kita tinjau benda yang massanya m yang berada pada posisi r relatif terhadap titik O dan mempunyai momentum linier p. Momentum sudut L didefinisikan sebagai :

  2

  I M R M   ^{2 2}

  I M R 

  10 Kulit bola tipis terhadap salah satu diameternya.

  5 ²

  2

  I M R 

  9 Bola pejal terhadap salah satu diameternya.

  2 ²

  3

  I M R 

  8 Cincin tipis terhadap salah satu garis singgungnya.

  12 

  4

   L = I .  Bila tidak ada gaya luar yang bekerja pada benda, maka momentum sudut sebuah benda atau suatu sistem adalah konstan (tetap) dan ini disebut HUKUM KEKEKALAN

MOMENTUM ANGULER.

  L = L

  1

  2 I

  1 1 = I 2 .

  2

  .   PERISTIWA MENGGELINDING.

• PADA BIDANG HORISONTAL. Sebuah silinder ditarik dengan gaya sebesar F.

  R = jari-jari silinder. Supaya silinder dapat menggelinding yaitu : melakukan dua macam gerakan translasi

  

dan rotasi maka bidang alasnya haruslah kasar, artinya ada gaya gesekan antara silinder

dengan alasnya.

  Bila bidang alasnya licin, silinder akan tergelincir artinya hanya melakukan gerak translasi saja.

  Pada peristiwa menggelinding ini akan berlaku persamaan-persamaan :

• * Gerak Translasi :

  F - fg = m . a dan N - m.g = 0 * Gerak Rotasi. gaya gesek saja yang dapat menimbulkan momen gaya.

   = I .   = fg . R I .  = fg . R Dengan mensubstitusikan kedua persamaan dan harga momen inersia benda maka di dapat percepatan benda pada saat menggelinding.

• * PADA BIDANG MIRING : * Gerak Translasi.

  m . g sin  - fg = m . a dan N = m . g cos  * Gerak Rotasi.

   = I .   = fg . R I .  = fg . R

  Dengan mensubstitusikan kedua persamaan di atas dan memasukkan nilai momen inersia di dapat percepatan benda saat menggelinding turun dari bidang miring.

  KESIMPULAN.

  Persamaan-persamaan pada gerak translasi dan gerak rotasi terdapat hubungan yang erat. Pada gerak translasi penyebabnya adalah GAYA.

  Pada gerak rotasi penyebabnya adalah MOMEN GAYA.

  Hubungannya

  GERAK TRANSLASI GERAK ROTASI 

  Pergeseran linier s Pergeseran sudut s =  . R

  ds d

  Kecepatan linier Kecepatan sudut  v =  . R

  v    dt dt dv d

  Percepatan Linier Percepatan sudut  a =  . R

  a    dt dt

  2 Kelembaman translasi m Kelembaman rotasi

  I I =  m.r

  Gaya F = m . a Torsi (momen gaya)  = I .   = F . R

  1

  1 Energi kinetik ^{2 Energi kinetik 2} - Ek m v Ek m v

   

  2

  2 Daya

• P = F . v Daya P =  . 
• Momentum linier p = m.v Momentum anguler L = I . PADA GERAK DENGAN PERCEPATAN TETAP.

  GERAK TRANSLASI (ARAH GERAK ROTASI (SUMBU TETAP) TETAP) Hanya berlaku untuk GMBB

  Hanya berlaku untuk GLBB vt = v + at t =  +  .t

  1

  2

  1

  2

  s = v t + / a t t + /

  o 2  =  2  .t

  2

  2

  2

  2

  v t = v + 2 a.s t =  + 2.

• o0o---o0o---o0o---o0o-----

I. CONTOH SOAL

  (Di diskusikan di kelas) Contoh 1.

  Sebuah o-Yo dengan massa m dan jari-jarinya 10 cm berbentuk silinder berputar diujung bawah tali dengan kecepatan sudut 20 rad/s. Hitunglah berapa tingi yo-yo dapat naik jika

  2 g = 10 m/s .

  Contoh 2. Sebuah batang panjangnya 2 meter dengan poros diujung batang, batang dalam keadaan

  2

  horizontal kemudian dilepaskan. Jika g = 10 m/s a. hitunglah pecepatan sudut pada saat dilepaskan.

  o b. Hitunglah percepatan sudut pada saat batang berada 30 dari mula-mula.

  c. Hitunglah percepatan sudut batang pada saat keadaannya vertical. Contoh 3. Sebuah benda massanya 2 kg dihubungkan dengan sebuah tali dan

  2 Dililitkan pada katrol yang massanya 2 kg, jika g = 10 m/s .

  Hitunglah percepatan benda dan gaya tegangan tali.

  Contoh 4.

  Contoh 4a. Contoh 4b. Massa A = 3 kg Massa A = 3 kg Massa B = 2 kg Massa B = 2 kg Massa katrol diabaikan. Massa katrol = 2 kg Hitunglah percepatan dan Hitunglah percepatan dan gaya gaya

  2

  2 Tegangan tali jika g = 10 m/s Tegangan tali jika g = 10 m/s A A Contoh 5.

  Contoh 5a. Contoh 5a. Massa A = massa B Massa A = massa B =

  = 5 kg. tg  = 0,75 5 kg. tg  = 0,75 = 0,2 = 0,2

   k  k Massa katrol diabaikan. Hitung percepatan Massa katrol = 2 kg. Hitung percepatan Dan gaya tegangan tali. Dan gaya tegangan tali.

  Contoh 6. Dua buah katrol yang dilekatkan menjadi satu masing-masing Berjari-jari 10 cm dan 20 cm, benda A diikatkan dengan tali yang ujungnya dililitkan pada katrol besar dan benda B dihubung-

  A. kan dengan katrol kecil, jika massa A = 2 kg dan massa B = 8 kg

  2

  dan g = 10 m/s . Hitunglah percepatan benda A dan B serta gaya

  2

  tegangan talinya. Jika momen insersia kedua katrol = 1,84 kg m

  A B Contoh 7.

  Jika sebuah bola pejal, sebuah silinder dan sebuah s cincin yang massanya sama, bergerak tanpa terge- lincir dan mulai bergerak dari ketinggian h. h manakah yang mempunyai kecepatan pada saat  di dasar, buktikan ! contoh 8. sebuah silinder pejal massa 8 kg dililiti tali massa diabaikan dihubungkan dengan katrol pada sebuah benda massa 4 kg massa katrol 2 kg, silinder pejal tidak slip hitung perce- patan pada pusat silinder pejal dan hitung gaya-gaya tegangan tali.

  

Tugas SOAL-SOAL

  . Tentukan percepatan tangensial dan besar serta arah percepatan.

  . Carilah waktu yang digunakan untuk perubahan kecepatan sudut dari 100 rad/s menjadi 340 rad/s.

  2

  4. Percepatan sudut suatu roda adalah 12 rad/s

  2 = 40 rad/s. Carilah percepatan sudut rata-rata selama waktu itu.

  = 10 rad/s. Setelah interval 3 sekon, putarannya dipercepat sehingga 

  1

  2

  1. Sebuah bola digantungkan pada seutas tali yang panjangnya 50 cm sehingga dapat berayun. Ketika bola tersebut terletak 30

  2. Batu gerinda berjari-jari 5 cm diputar dengan kecepatan sudut 15 rad/s serta percepatan sudut 10 rad/s

  o terhadap garis vertikal.

  c. Percepatan bola pada posisi 30

  b. Percepatan tangensial.

  terhadap garis vertikal, mempunyai kecepatan 2 m/s. Tentukanlah : a. Percepatan sentripetal.

  o

3. Sebuah roda berputar mula-mula dengan 

  2

• 2t, dengan

  5. Sebutir partikel berputar pada lingkaran mempunyai persamaan  = 3t  diukur dalam radian dan t dalam detik. Carilah kecepatan sudut dan percepatan sudut sesudah 4 sekon.

  6. Sebuah roda yang berputar pada kecepatan 6 putaran/detik mengalami percepatan

  2

  sudut sebesar 4 rad/s . Berapakah waktu diperlukan agar kecepatan sudut sebesar 26 putaran/detik dicapai dan berapa pula jumlah putaran telah dilakukan roda dalam waktu itu.

  2

  7. Suatu bidang lingkaran berputar dengan persamaan a = 5t + 6 (a dalam m/s dan

  t

  t dalam detik). Bila jari-jari lingkaran 2 m sedangkan pada keadaan awal kecepatan tepi lingkaran 5 m/s tentukan : a. Kecepatan sudut pada saat t = 3 detik.

  b. Percepatan radial dan percepatan tangensial pada saat t = 3 sekon.

  c. Sudut yang ditempuh selama 4 detik.

  8. Suatu benda, mula-mula diam (  = 0 dan  = 0 pada t = 0) dipercepat dalam

  2 - 48 t + 16.

  lintasan melingkar berjari-jari 1,3 m mengikuti persamaan  = 120 t Tentukanlah posisi sudut dan kecepatan sudut benda itu sebagai fungsi waktu dan komponen percepatan tangensial serta komponen percepatan centripetalnya.

  9. Sebuah roda bermassa 6 kg dengan radius girasi 40 cm, berputar dengan kecepatan 300 rpm, Tentukan momen inersia dan energi kinetik rotasi benda itu.

  10. Sebuah bola beraturan 500 gram dengan jari-jari 7 cm berputar dengan 30 putaran/detik pada sebuah sumbu yang melalui titik pusatnya. Berapakah energi kinetik rotasi, momentum sudut dan jari-jari girasinya.

  11. Baling-baling suatu pesawat bermassa 70 kg dengan radius girasi 75 cm. Berapakah momen inersia baling-baling itu. Agar baling-baling dapat dipercepat dengan

  2 percepatan sudut 4 putaran/s . Berapakah torsi yang diperlukan.

  12. Gambar dibawah ini menunjukkan gaya 40 N dikerjakan secara tangensial pada tepi

  2

  roda berjari-jari 20 cm. dan bermomen inersia 30 kg.m . Tentukanlah : b. Kecepatan sudut roda 4 detik setelah roda mulai berputar dari keadaan diam.

  c. Energi kinetik rotasi setelah 4 detik.

  13. Tentukan torsi tetap yang dalam waktu 10 detik dapat memberikan kecepatan sudut sebesar 300 rpm pada roda gila 50 kg dengan radius girasi 40 cm.

  14. Gambar dibawah ini menunjukkan massa = 400 gram menggantung pada ujung tali yang dililitkan pada tepi roda dengan jari-jari r = 15 cm. Setelah dilepas dari keadaan diam, diketahui bahwa massa dalam waktu 6,5 detik turun sebanyak 2 meter. Berapakah momen inersia roda.

  15. Perhatikan gambar di atas ini menunjukkan sistem katrol. Momen inersia sistem

  2

  katrol itu adalah I = 1,7 kg.m dengan r = 50 cm dan r =20 cm. Berapakah

  1

  2

  percepatan sudut sistem katrol dan berapakah tegangan tali T

  1 dan T 2 ?

  2

  16. Suatu roda gila (flywhell) yang berjari-jari 20 cm, dan momen inersia 0,5 kg m dililiti dengan seutas tali. Tali ini ditarik oleh gaya tegangan yang tetap sebesar 50 N sehingga roda berputar melalui sudut 4 radian. Jika kecepatan sudut awal 3 rad/s. carilah kecepatan sudut akhir roda.

  17. Suatu cakram besar sedang berputar melalui poros vertikal yang melalui titik

  2

  pusatnya, I = 4000 kg m . Pada saat cakram berputar dengan kecepatan 0,150 putaran/detik. Seorang massanya 90 kg meloncat pada cakram hingga jatuh pada jarak 3 m dari poros perputaran cakram. Berapakah kecepatan perputaran sesudah itu.

  18. Pada gambar di bawah ini menunjukkan bola pejal beraturan menggelinding pada lantai datar dengan kecepatan 20 m/s. Tanpa menghiraukan gesekan, sampai seberapa tinggikah benda dapat naik ?