ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER Repository - UNAIR REPOSITORY

ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER SKRIPSI

  ii

  ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Airlangga Disetujui oleh Pembimbing I Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001 Pembimbing II Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19860412 200812 2 003

  LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul : Analisa Solusi Persamaan Beda Linier Penyusun : Varian Luthfan Nomor Induk : 080810567 Tanggal Ujian : 22 September 2012 Disetujui oleh: Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001 NIP. 19860412 200812 2 003 Mengetahui: Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Dr. Miswanto, M.Si. NIP. 19680204 199303 1 002

  iii

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

  Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan milik Universitas Airlangga. iv

KATA PENGANTAR

  v

  Alhamdulillaahirabbil’aalamiin. Puji syukur penulis panjatkan kepada

  Allah SWT yang telah mengaruniakan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul “Analisa Solusi

  Persamaan Beda Linier”.

  Materi di dalam skripsi ini bukanlah sesuatu yang baru, tetapi penulis hanya mengkaji (bedah buku) tentang solusi persamaan beda linier pada buku Difference

  Equations (Kelley dan Peterson, 2001), yang belum diperoleh mahasiswa S-1

  Matematika. Penulis kemudian memaparkan kembali bukti dari teorema-teorema yang dikaji secara lebih detail dengan bahasa sendiri dan melengkapinya dengan contoh yang memenuhi agar lebih mudah dipahami oleh pembaca. Adanya contoh kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier dalam kehidupan sehari-hari.

  Penulis bukanlah orang yang cukup hebat sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini seorang diri. Penulis mendapatkan banyak bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

  1. Allah SWT, Tuhan yang telah mengaruniakan ilmu yang bermanfaat dan selalu membimbing penulis dalam setiap langkah penulis.

  2. Almarhum ayah, Fatchoer Rozy, ibu tercinta, Setianing, dan adik-adikku tersayang, Edwin dan Noval, yang telah memberikan kasih sayang, semangat yang begitu besar, dukungan dan doa yang terus-menerus agar penulis dapat menyelesaikan studi S-1 dengan baik.

  3. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. selaku pembimbing I dan Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II, yang telah memberikan pengetahuan, bimbingan, dan perhatian dengan baik dan penuh kesabaran, serta senantiasa memberikan nasehat dan arahan kepada penulis yang telah banyak melakukan kesalahan dalam penulisan skripsi ini.

  4. Dr. Eridani, M.Si. dan Nenik Estuningsih, M.Si. selaku dosen dan penguji skripsi ini yang telah memberikan banyak koreksi penting dan masukan yang sangat berarti.

  5. Dr. Miswanto, M.Si. selaku Kepala Departemen Matematika yang telah memberikan banyak masukan, pikiran, dan semangat.

  6. Untuk Jatu Herlina yang telah setia menjadi seorang teman, sahabat, pemberi motivasi serta semangat yang tak pernah henti. Terima kasih atas segala do’a dan perhatiannya selama ini.

  7. Teman-teman Matematika UNAIR angkatan 2008, Putu, Abi, Harun, Safik, Rizal, Lefko, Zuda, Adis, Annas, Yani, Andri, Bambang, Athok, Kiky, Hadi, dan teman-teman lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas setiap kritik, saran, masukan, dan motivasi yang kalian berikan kepada penulis.

  Semoga melalui tulisan ini, pembaca dapat memperoleh manfaat serta perlindungan dari Allah SWT, Amiin Yaa Rabbal’aalamiin.

  Surabaya, Juli 2012 Penulis

  Varian Luthfan vi Varian Luthfan. 2012. Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si dan Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Departemen Matematika. Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

  ABSTRAK

  Menyelesaikan sebuah persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda mempunyai solusi. Persamaan beda linier orde mempunyai solusi tunggal jika terdapat nilai awal yang ditentukan. Pada skripsi ini persamaan beda linier dibatasi hanya untuk persamaan beda linier dengan koefisien konstan. Beberapa metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda linier dengan koefisien konstan, diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik untuk persamaan beda linier homogen, metode annihilator untuk persamaan beda linier tak homogen, dan metode variasi parameter untuk persamaan beda linier homogen dan tak homogen. Dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan. Menentukan kestabilan solusi persamaan beda linier orde satu diperoleh dengan mencari titik kesetimbangan dari persamaan beda linier orde satu, kemudian menentukan solusinya dan limit dari solusi tersebut terhadap titik kesetimbangannya. Untuk persamaan beda linier orde lebih dari satu, kestabilan solusinya dilakukan dengan mencari nilai eigen, kemudian mencari jari-jari spektral, dan jika jari-jari spektralnya kurang dari satu, maka solusi persamaan beda linier orde lebih dari satu dikatakan stabil asimtotik. Adanya contoh kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier dalam kehidupan sehari-hari.

  Kata Kunci: Persamaan Beda Linier, Metode Akar Persamaan Karakteristik, Metode Annihilator, Metode Variasi Parameter, Kestabilan Solusi.

  vii Varian Luthfan. . Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. This skripsi in under the guidance by Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. and Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Mathematics Department of Science and Technology Faculty. Airlangga University.

  ABSTRACT

  Solving a linear difference equation means finding all the functions which, if substituted into that difference equation has true value. The function is called a solution of difference equation. But, not all difference equation has solution. The

• order linear difference equation has unique solution if there are prescribed initial values. In this skripsi linear difference equation is limited for linear difference equation with constant coefficients. Several methods can be used to determine the general solution of linear difference equations with constant coefficients, including the roots of the characteristic equation method for homogeneous linear difference equations, annihilator method for nonhomogeneous linear difference equations, and variation of parameters method for homogeneous and nonhomogeneous linear difference equations. In application of difference equation, not only the solution that becomes central parts of difference equation, but also behavior of the solution around the equilibrium point. Determine the stability of solutions of first-order linear difference equation is obtained by finding the equilibrium point of first-order linear difference equation, and then define the solution and the limit of such solutions to the equilibrium point. For the higher-order linear difference equation, the stability of the solutions is done by finding the eigenvalues, then find the spectral radius and if the spectral radius less than one, then the solutions of higher-order linear difference equation is said to be asymptotically stable. Existence of employee payroll system is evidence of linear difference equations application in daily life.

  Keywords: Linear Difference Equation, Roots of Characteristic Equation Method,

  Annihilator Method, Variation of Parameters Method, Stability of Solutions. viii

  DAFTAR ISI

  Halaman LEMBAR JUDUL .................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ...................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN ...................................................................... iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ................................. iv KATA PENGANTAR .............................................................................. v ABSTRAK ................................................................................................ vii ABSTRACT .............................................................................................. viii DAFTAR ISI ............................................................................................. ix BAB I PENDAHULUAN .........................................................................

  1 1.1. Latar Belakang Masalah ............................................................

  1 1.2. Rumusan Masalah .....................................................................

  3 1.3. Tujuan .......................................................................................

  4 1.4. Manfaat .....................................................................................

  4 1.5. Batasan Masalah ........................................................................

  5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA ...............................................................

  6 2.1. Kalkulus Beda ...........................................................................

  6

  2.2. Persamaan Beda Linier ............................................................. 12

  2.3. Kestabilan Solusi ....................................................................... 13

  BAB III METODE PENULISAN ............................................................. 17 BAB IV PEMBAHASAN ......................................................................... 18

  4.1. Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi ...... 18

  4.2. Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier ................................. 24

  4.2.1. Metode Akar Persamaan Karakteristik ........................... 31

  4.2.2. Metode Annihilator ......................................................... 35

  4.2.3. Metode Variasi Parameter ............................................... 38

  4.3. Kestabilan Solusi Persamaan Beda Linier ................................ 42

  4.3.1. Kestabilan Solusi Orde Satu ............................................ 43

  4.3.2. Kestabilan Solusi Orde Lebih Dari Satu ......................... 44 ix

  4.4. Contoh Kasus Persamaan Beda Linier ...................................... 54

  BAB V KESIMPULAN ............................................................................ 58

  5.1. Kesimpulan ............................................................................... 58

  5.2. Saran .......................................................................................... 59 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 60 x

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

1.1 Persamaan beda muncul sebagai gambaran alami dari fenomena perubahan

  yang teramati dengan variabel waktu diskrit. Penerapan teori persamaan beda berkembang pesat dalam berbagai bidang, seperti analisis numerik, teori kontrol, matematika hingga, dan ilmu komputer (Lakshmikantham dan Trigiante,

  2002). Persamaan beda seringkali digunakan sebagai alternatif penyelesaian

  persamaan diferensial, karena tidak semua persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik (Penna, 2005).

  Secara umum, persamaan beda dengan orde didefinisikan sebagai [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( )

  ( ) berturut-turut didefinisikan sebagai ( ) dengan ( ) dan ( ) ( ) dan ( ) [ ( )], serta ( ) dan ( ) adalah fungsi yang belum diketahui sedangkan adalah variabel bebasnya. Dalam kasus tertentu seperti penerapannya pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi, pada skripsi ini, nilai interval beda yang digunakan adalah . Jika fungsi linier, maka persamaan ( ) disebut persamaan beda linier. Jika fungsi tak linier, yang berarti dalam fungsi tersebut terdapat variabel yang berderajat lebih/kurang dari satu, maka persamaan ( ) disebut persamaan beda tak linier (Lakshmikantham dan Trigiante, 2002).

  1 Konsep persamaan beda linier dinilai penting untuk sejumlah alasan. Penerapan matematika dalam kehidupan seringkali menggunakan konsep persamaan beda linier, seperti pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi

  (Kelley dan Peterson, 2001). Selain itu, linierisasi digunakan pada persamaan

  beda tak linier untuk menganalisis kestabilan dari solusinya. Oleh karena itu, persamaan beda linier merupakan salah satu bahasan yang penting.

  Persamaan beda linear adalah persamaan beda yang memiliki bentuk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan definisi awal bahwa ( ) ( ) ( ), maka persamaan ( ) dapat dibentuk menjadi

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Persamaan ( ) disebut juga persamaan beda linear tak homogen orde . Jika ( ) , maka persamaan ( ) adalah persamaan beda linier homogen orde

  (Kelley dan Peterson, 2001). Selain homogen dan tak homogen, adanya solusi persamaan beda menunjukkan persamaan tersebut adalah pernyataan yang benar.

  Menyelesaikan persamaan beda berarti menemukan semua fungsi yang apabila disubstitusikan ke persamaan beda akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda mempunyai solusi, sebagai contoh, persamaan beda yang didefinisikan sebagai

  [ ( ) ( )] [ ( )] tidak punya solusi, sebab tidak ada fungsi bernilai real yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengkajian terhadap syarat suatu persamaan beda mempunyai solusi. Solusi persamaan beda dapat dicari dengan berbagai cara. Persamaan beda dapat diselesaikan dengan proses yang sederhana, tetapi seringkali diperlukan substitusi-substitusi tertentu pada persamaan tersebut sedemikian hingga persamaan dapat berubah menjadi suatu bentuk yang lebih sederhana. Disamping itu, dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan.

  Berdasarkan uraian di atas dalam penulisan ini penulis tertarik untuk membahas bagaimana syarat agar persamaan beda mempunyai solusi. Apabila persamaan tersebut mempunyai solusi, bagaimana menentukan solusi dari persamaan beda tersebut. Selain itu, penentuan perilaku dari solusi yang dihasilkan dengan/tanpa mencari solusinya juga menjadi bagian penting dari penulisan ini.

  Rumusan Masalah

1.2 Berdasarkan latar belakang di atas maka penulis merumuskan

  permasalahan sebagai berikut:

  1. Apakah syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi?

  2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan tak homogen?

  3. Apakah syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda?

  4. Bagaimana cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa mencari solusinya terlebih dahulu?

  5. Bagaimana mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda linier dalam permasalahan sehari-hari?

  Tujuan

  1.3 Tujuan dari skripsi ini adalah:

  1. Mengetahui syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi.

  2. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan tak homogen.

  3. Mengetahui syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda.

  4. Mengetahui cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa mencari solusinya terlebih dahulu.

  5. Mengetahui cara mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda linier dalam permasalahan sehari-hari.

  Manfaat

  1.4 Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah sebagai berikut:

  1. Sebagai salah satu referensi yang terkait dengan solusi dari persamaan beda linier.

  2. Menerapkan dan mengembangkan konsep persamaan beda dalam kehidupan sehari-hari.

1.5 Batasan Masalah

  Mengacu pada rumusan masalah yang telah disebutkan, maka yang dimaksud dengan persamaan beda dalam penulisan skripsi ini adalah persamaan beda linier orde dan mempunyai solusi tunggal.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini, akan diberikan definisi maupun teorema yang akan

  digunakan dalam pembahasan, diantaranya adalah kalkulus beda, yang berguna untuk mempermudah dan mengkaji syarat-syarat yang diperlukan dalam penyelesaian persamaan beda, dan persamaan beda linier, konsep yang mendukung penulisan ini, serta kestabilan solusi, yang menjadi bagian penting dalam penentuan kestabilan solusi.

2.1 Kalkulus Beda

  Bagian dari kalkulus beda yang digunakan dalam penulisan ini antara lain operator beda beserta sifat-sifatnya yang merupakan komponen dasar dari perhitungan yang melibatkan beda hingga, operator geser yang merupakan bentuk sederhana dari operator beda, jumlah tak tentu yang merupakan operator kebalikan dari operator beda, serta fungsi faktorial yang merupakan konsep yang mendukung dalam penyelesaian persamaan beda.

  Definisi (Operator Beda) Misalkan sebuah fungsi dengan variabel

  bilangan real atau bilangan kompleks. Sebuah operator beda , didefinisikan sebagai Sebagian besar, domain dari adalah himpunan bilangan bulat berurutan, seperti bilangan asli

  (Kelley dan Peterson, hal 13-14, 2001)

  6 Operator beda orde kedua ditulis sebagai [ ]

  [ ] [ ] [ ]

  Secara umum, operator beda orde ke- didefinisikan sebagai ∑ (

  ) Operator dasar yang sering digunakan bersama dengan operator beda adalah operator geser.

  Definisi (Operator Geser) Diberikan sebuah fungsi . Operator geser

  didefinisikan sebagai

  (Kelley dan Peterson, hal 14, 2001)

  Dengan menerapkan operator geser dua kali akan didapatkan [ ] [ ]

  Jika diartikan sebagai operator identitas, yaitu maka hal ini berarti bahwa atau

  Jika sebarang bilangan asli , maka operator geser memiliki bentuk umum yang didefinisikan sebagai [ ] ∑ (

  ) Pada operator beda berlaku sifat-sifat dasar operator beda. Teorema berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari operator beda.

  Teorema (Sifat Operator Beda) Misalkan konstanta, sehingga 1.

  2. ( ) ( ) ) ( )

  3. ( 4. ( ) 5.

  6. [ ] untuk semua bilangan bulat positif dan . 7. [ ] . 8. [ ] , dengan konstanta. 9. [ ] .

  10. * +

  (Kelley dan Peterson, hal 15, 2001)

  Bukti: 1.

  2.

  ( ) ( ) 3.

  ( ) ( )

  ( ) 4.

  5. 6. ]

  [ [ ] 7. [ ] [ ]

  [ ] [ ] 8. [ ] [ ] 9. [ ]

  , .

  10. * + [ ] [ ]

  Definisi Jumlah tak tentu (atau anti beda) dari , dinotasikan ∑ ,

  adalah sebarang fungsi sedemikian hingga

• ∑ + untuk setiap dalam domain dari .

  (Kelley dan Peterson, hal 20, 2001) Pada jumlah tak tentu berlaku pula sifat-sifat dasar jumlah tak tentu.

  Teorema berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari jumlah tak tentu.

  Teorema Diberikan sebuah konstanta.

1. Untuk ,

  2. ∑

  ( )

  3. ∑

  ( )

  4. ∑ 5. ∑ 6. ∑[ ] ∑ ∑ 7. ∑ ∑ , dengan konstanta.

  8. ∑[ ] ∑ 9. ∑[ ] ∑

  (Kelley dan Peterson, hal 22, 2001) Bukti:

  1.

• ∑ * 2. ∑

  ( ) ( )

  ] 3. ∑ ∑ [

  ( ) ( )

  ] 4. ∑ ∑ [ 5. ∑ ∑[ ] 6. ∑[ ] ∑ ∑ 7. ∑ ∑ .

  8.

  ∑[ ] ∑[ ] ∑

  9. ∑[ ] ∑[ ] ∑

  Definisi (Fungsi Faktorial) Fungsi faktorial adalah fungsi yang didefinisikan

  sebagai yang berisi faktor.

  (Spiegel, hal 5-6, 1971)

  Nama faktorial muncul karena dalam sebuah kasus khusus saat menyebabkan , yaitu faktorial. Jika maka

  Untuk bilangan bulat negatif, persamaan menjadi didefinisikan sebagai kemudian untuk selain bilangan bulat, . Selain itu, dengan menggunakan operator beda dengan ∫ untuk semua bilangan bulat , berlaku

  [ ] sehingga dapat dituliskan sebagai

2.2 Persamaan Beda Linier

  Persamaan beda linier terbentuk dari beberapa fungsi yang membentuk sebuah persamaan linier yang memiliki bentuk khusus dan dapat memiliki penyelesaian yang memenuhi persamaan tersebut.

  Definisi (Persamaan Beda Linier Orde Pertama) Diberikan dan

  adalah fungsi dengan untuk setiap . Persamaan beda linier orde pertama didefinisikan sebagai

  (Kelley dan Peterson, hal 43, 2001)

  Persamaan dikatakan orde pertama karena terdapat yang hanya bernilai saat dan , seperti pada yang merupakan operator beda orde pertama. Jika untuk setiap , maka persamaan dapat ditulis sebagai .

  Definisi (Persamaan Beda Linier) Persamaan beda linier orde adalah

  persamaan beda yang memiliki bentuk dengan untuk

  , dan fungsi dari dan setiap .

  (Kelley dan Peterson, hal 50, 2001)

  Persamaan disebut juga persamaan beda linier tak homogen dengan orde . Jika , maka persamaan merupakan persamaan yang homogen. Dan jika konstanta, maka persamaan dapat dikatakan sebagai persamaan beda linier tak homogen berorde dengan koefisien konstanta. Persamaan ini dapat juga dituliskan sebagai

  [ ] . dengan

2.3 Kestabilan Solusi

  Pengujian kestabilan solusi yang dihasilkan dari sebuah persamaan akan menentukan perilaku dari sebuah solusi. Titik kesetimbangan, matriks sekawan serta definisi nilai eigen menjadi bagian penting dalam penentuan kestabilan.

  

Definisi (Titik Kesetimbangan) Diberikan persamaan beda orde satu

  [ ] di dalam domain dari dengan adalah fungsi dalam . Sebuah titik dikatakan titik kesetimbangan dari persamaan jika titik tersebut adalah

  ] . titik tetap dari , yaitu titik yang memenuhi [

  (Elaydi, hal 9, 2005) Sebagai contoh, diberikan persamaan beda , dengan [ ] Untuk mencari titik kesetimbangannya, dimisalkan [ ] atau . Sehingga dihasilkan titik kesetimbangan .

  Definisi (Matriks Sekawan) Pandang persamaan . Persamaan

  tersebut akan dibentuk menjadi sebuah sistem persamaan orde satu. Misalkan Dengan [

  ], maka Dalam notasi vektor, sistem ini dapat dituliskan sebagai dengan

  ( ) (

  ) dengan adalah matriks sekawan dari persamaan .

  (Kelley dan Peterson, hal 125-126, 2001)

  dan setiap -vektor

  Teorema (Syarat Awal) Untuk setiap

  , persamaan mempunyai solusi tunggal yang didefinisikan . untuk , sedemikian hingga

  (Kelley dan Peterson, hal 126, 2001) Bukti: Pandang persamaan Misalkan , akan dilakukan iterasi dari .

  Secara induksi, dapat ditentukan bahwa ∏ dengan

  ∏ { . Dari persamaan terbukti bahwa Andaikan bebas terhadap (yaitu semua koefisien dari sistem adalah konstanta) dan . Solusi dari yang memenuhi syarat awal , adalah .

  Definisi (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan adalah matriks

  sekawan yang dibentuk dari koefisien pada persamaan . Jika mempunyai solusi tak trivial untuk beberapa , maka dinamakan nilai eigen dari dan dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Nilai eigen dari memenuhi persamaan karakteristik dengan adalah matriks identitas .

  (Kelley dan Peterson, hal 127, 2001) Definisi (Spectrum) Spectrum dari , dinotasikan , adalah himpunan nilai eigen dari .

  (Kelley dan Peterson, hal 127, 2001) Definisi (Jari-jari Spektral) Jari-jari spektral dari , yaitu ,

  didefinisikan sebagai | |

  (Kelley dan Peterson, hal 127, 2001)

BAB III METODE PENULISAN Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan

  dalam penulisan ini adalah:

  1. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan agar persamaan beda memiliki solusi beserta contoh.

  2. Mendefinisikan persamaan beda linier dan merumuskan penyelesaian pada kasus homogen dan tak homogen. i. Mendefinisikan konsep bebas linier dan matriks casorati. ii. Mengkaji metode akar persamaan karakteristik beserta contoh. iii. Mengkaji metode annihilator beserta contoh. iv. Mengkaji metode variasi parameter beserta contoh.

  3. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda orde satu beserta contoh.

  4. Mengkaji kestabilan solusi dari persamaan beda tanpa mencari solusi dari persamaan beda linier orde lebih dari satu beserta contoh.

  5. Mengkaji contoh kasus persamaan beda linier.

  17

BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini memuat pembahasan tentang analisa solusi persamaan beda

  linier, yaitu bagaimana syarat agar persamaan beda memiliki solusi, bagaimana menentukan solusinya, serta bagaimana menentukan kestabilan solusinya. Subbab pertama membahas syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi. Kemudian subbab kedua membahas tentang penentuan solusi persamaan beda linier. Pada subbab ketiga membahas tentang kestabilan solusi persamaan beda.

  

Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi

4.1 Berdasarkan bentuk solusi yang dihasilkan dari suatu persamaan beda,

  solusi persamaan beda terdiri atas dua macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus. Solusi khusus adalah solusi yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai awal yang telah ditentukan sebelumnya, sedangkan solusi umum adalah solusi yang didalamnya terdapat sebarang konstanta, misalkan .

  Pada skripsi ini, terlebih dahulu dibahas tentang syarat adanya solusi, terutama solusi khusus. Tidak semua persamaan beda memiliki solusi umum maupun khusus, sehingga pemeriksaan syarat perlu ditinjau sebelumnya untuk mengetahui adanya solusi dari persamaan beda.

  Menyelesaikan persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun karena beberapa

  18 persamaan beda mempunyai banyak solusi dan terkadang tidak mempunyai solusi, sangat penting untuk mengetahui bahwa untuk persamaan beda linier, selalu dapat ditemukan paling sedikit satu solusi dan dalam kondisi tertentu, hanya satu solusi. Kondisi tertentu yang dimaksud adalah kondisi saat persamaan beda memiliki nilai awal yang telah ditentukan sebelumnya (Goldberg, 1958).

  Sebelum membuktikan teorema ketunggalan dan eksistensi solusi khusus untuk persamaan beda linier dengan orde , pertama akan dibahas untuk kasus khusus orde dua. Persamaan beda linier orde dua mempunyai bentuk

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan ( ) ( ) untuk setiap . Untuk , persamaan ( ) menjadi

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan hanya mengetahui satu nilai dari ( ), ( ), atau ( ), tidak dapat digunakan untuk menemukan dua solusi lainnya. Namun jika diketahui dua nilai berurutan dari tiga solusi di atas, misalkan ( ) dan ( ), maka dapat ditemukan nilai yang lainnya, yaitu ( ). Sehingga

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan karena ( ) , maka kedua ruas pada persamaan ( ) dapat dibagi oleh ( ), sehingga diperoleh ( ) Selanjutnya digunakan pasangan ( ) dan ( ) untuk menemukan ( ). Dengan , persamaan ( ) menjadi

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Seperti sebelumnya, dengan pembagian oleh ( ) maka didapatkan ( ) yang tunggal. Dengan nilai ( ) yang telah didapatkan sebelumnya, maka ( ) juga akan memuat ( ) dan ( ). Sehingga solusi dari persamaan orde dua ( ) memuat dua nilai ( ) dan ( ).

  Setiap pasangan lain dari nilai-nilai ( ) yang berurutan penggunaannya serupa dengan yang dijelaskan sebelumnya untuk menentukan sebuah solusi yang tunggal. Sehingga, jika ( ) dan ( ) ditentukan, sebagai contoh, maka dapat digunakan persamaan beda secara berturut-turut untuk mendapatkan ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ) begitu juga dengan ( ), ( ), .

  Eksistensi dan ketunggalan solusi khusus orde ke diberikan dalam Teorema berikut ini.

  Teorema Diberikan persamaan beda linier orde sebagai berikut

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jika ( ) ( ) dan ( ) merupakan fungsi yang terdefinisi untuk dan untuk setiap ,

  ( ) dan ( ) , maka untuk

• dan sebarang bilangan terdapat sebarang

  ) hanya satu ( ) yang memenuhi persamaan ( ) untuk dan ( untuk

  (Kelley dan Peterson, hal 50, 2001) Bukti: Diketahui nilai awal ( ) ( ), dengan

  ) (

• . Diketahui pula

  ( ) ( ) dan ( ) merupakan fungsi yang terdefinisi untuk dan untuk setiap , ( ) . Berdasarkan persamaan ( ) diperoleh ( ) ( ) ( )

  ( ) )

  ( ada dengan tunggal. Kemudian akan dibuktikan bahwa terdapat dengan tunggal dan . nilai ( ) untuk

  Pembuktian untuk dilakukan dengan induksi matematik, yaitu untuk setiap , terdapat dengan tunggal ( ). Untuk , misalkan , maka

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ) (

  Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal.

  Misalkan untuk , nilai ( ) ada dengan tunggal. Akan dibuktikan bahwa untuk nilainya ada. Misalkan , maka

  ( ) ( ) ( )

  ( ) )

  ( ( ) , dan

  Karena terdapat nilai awal ( ) , ) ada dengan tunggal. maka ( dengan bilangan bulat non

  Kemudian, untuk , dengan negatif. Pembuktian dilakukan dengan menentukan nilai dari ( ) ( ) ( ). Untuk , maka

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) )

  (

  ( ) , dan Karena terdapat nilai awal ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal. Untuk , maka

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ) (

  Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal.

  Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan dengan tunggal untuk ( ), yaitu ( )

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) , dan

  Karena terdapat nilai awal ( ) , maka dapat ( ) ada dengan tunggal. Dengan demikian, penyelesaian ( ) saat ditentukan.

  Contoh Diberikan persamaan beda

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan Misalkan , dengan ( ) dan ( ) untuk

  Berdasarkan persamaan ( ) diperoleh ( ) ( ) ( )

  ( ) Penyelesaian untuk dilakukan dengan iterasi, yaitu untuk mendapatkan nilai dari ( ) ( ) dan seterusnya, serta akan dibuktikan nilai untuk yaitu ( ) ( ) ( ). Untuk , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai

  ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ada dengan tunggal. Kemudian untuk , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ),( )( ) - ( ) ada dengan tunggal. Untuk nilai ( ) ( ) diperoleh dengan tunggal menggunakan cara yang sama seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Selanjutnya nilai untuk , yaitu dan , akan dibuktikan ada dengan tunggal. Saat , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai

  ( ) ( ) ( ) ( ) ada dengan tunggal. Saat , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai

  ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ada dengan tunggal. Saat , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ),( )( ) - ada dengan tunggal. Dengan demikian, nilai ( ) untuk setiap ada dan tunggal.

4.2 Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier

  Sebelumnya, pada subbab pertama telah dibahas syarat suatu persamaan beda memiliki solusi yang tunggal. Kemudian dari hasil yang didapatkan akan digunakan untuk menentukan solusinya. Namun, pola/formula solusi khususnya tidak dapat ditentukan melalui Teorema . Oleh karena itu, diperlukan metode khusus untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda tersebut. Beberapa metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan ( ), diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik, metode annihilator, serta metode variasi parameter.

  Sebelum membahas masing-masing metode dalam menentukan solusi, terlebih dahulu dikaji beberapa definisi dan teorema yang digunakan untuk menunjang metode-metode tersebut. Misalkan persamaan beda linier homogen orde didefinisikan sebagai berikut.

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  Teorema (Sifat Dasar Solusi)

  a. Jika ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( ) juga solusi dengan sebarang konstanta dan .

  b. Jika ( ) solusi dari persamaan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

  ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( )

  c. Jika ( ) solusi dari persamaan ( ).

  (Kelley dan Peterson, hal 51, 2001) Bukti: a. Misalkan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), yaitu memenuhi ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh

  ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

  , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

  Hal ini berarti bahwa ( ) juga solusi dari persamaan ( ) dengan ( ) sebarang konstanta dan b. Misalkan ( ) dan ( ) berturut-turut solusi dari persamaan ( ) dan ( ), yaitu memenuhi

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh

  ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

c. Misalkan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), yaitu memenuhi

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-

  ( ), ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

  ( ) ( ) Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

  Akibat Jika ( ) adalah solusi dari persamaan ( ), maka setiap solusi

  ( ) dari persamaan ( ) membentuk ( ) ( ) ( ) dengan ( ) merupakan beberapa solusi dari persamaan ( ).

  (Kelley dan Peterson, hal 51, 2001) Bukti: Misalkan ( ) dan ( ) berturut-turut adalah solusi dari persamaan ( )

  dan ( ), yaitu memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )- ( ), ( )

  ( )- ( ), ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

  Berdasarkan Akibat permasalahan untuk menemukan semua solusi dari persamaan ( ) dapat disederhanakan menjadi dua masalah.

  a. Menemukan semua solusi dari persamaan ( ).

  b. Menemukan sebuah solusi dari persamaan ( ). Definisi-definisi berikut ini dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah pertama.

  Definisi (Bergantung Linier) Himpunan fungsi { ( )} disebut

  ( ) bergantung linier pada himpunan jika terdapat konstanta tidak semuanya nol, sedemikian hingga

  ( ) ( ) ( ) ( ) untuk Jika tidak, maka himpunan tersebut bebas linier.

  (Kelley dan Peterson, hal 51, 2001)

  Kemudian didefinisikan sebuah matriks yang sangat berguna dalam persamaan linier.

  Definisi (Matriks Casorati) Matriks casorati didefinisikan sebagai

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) dengan adalah fungsi yang telah diberikan. Determinan dari ( ) ( ) ( ) dinamakan casoratian.

  (Kelley dan Peterson, hal 52, 2001) Teorema Diketahui ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ) untuk

  Himpunan { ( ) ( )} bergantung linier untuk jika dan hanya jika ( ) untuk beberapa .

   (Kelley dan Peterson, hal 52, 2001) Bukti: Misalkan ( ) ( ) bergantung linier. Maka terdapat konstanta

  , tidak semua nol, sedemikian hingga ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) untuk Karena sistem persamaan beda linier homogen ini

  , determinan dari matriks koefisien mempunyai suatu solusi nontrivial ( ) adalah nol untuk

  Sebaliknya, misalkan diambil sebarang * +, dengan (

  ) , dan ( ) ( ) ( ) ( ). Berdasarkan Teorema , maka adalah solusi dari persamaan ( ), sehingga berlaku

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  Karena ( ) maka ( ) ( ) ( )

  Berdasarkan Teorema , maka ( ) untuk setiap . Akibatnya , tidak semua nol, sedemikian hingga himpunan terdapat konstanta

• bergantung linier. * Pentingnya himpunan solusi yang bebas linier dari persamaan ( ) adalah konsekuensi dari teorema berikutnya.

  Teorema Misalkan ( ) adalah solusi dari persamaan ( ). Jika

  ( )

• bebas linier, maka setiap solusi ( ) dari persamaan ( ) dapat dituliskan dalam bentuk

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . dengan beberapa konstanta

  (Kelley dan Peterson, hal 53, 2001) Bukti: Misalkan solusi dari persamaan ( ) dan * + bebas linier. Berdasarkan Teorema , diperoleh ( ) untuk semua .

  Akibatnya, ( ) untuk Sehingga sistem dari persamaan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mempunyai solusi tunggal . Karena tunggal, maka ( ) tunggal. Berdasarkan Teorema , solusi dari persamaan ( ) secara tunggal ditentukan oleh nilai-nilai pada , sehingga didapatkan

  ( ) ( ) ( ) untuk setiap .

4.2.1 Metode Akar Persamaan Karakteristik

  Metode akar persamaan karakteristik digunakan untuk menyelesaikan , maka persamaan beda linier homogen dengan koefisien konstan. Karena dan dapat digunakan untuk membagi kedua ruas dari persamaan ( ) dengan menuliskan kembali persamaan ( ) menjadi

  ( ) ( ) ( ) ( ) dengan konstanta dan .

  Definisi (Akar Persamaan Karakteristik)

  dinamakan polinomial karakteristik

  a. Polinomial dari persamaan ( ).

  b. Persamaan adalah persamaan karakteristik dari persamaan ( ). dari persamaan karakteristik adalah akar-akar

  c. Solusi karakteristik.

  d. Solusi mempunyai kelipatan , dengan , jika terdapat faktor ( ) pada persamaan karakteristik dari persamaan ( ).

  (Kelley dan Peterson, hal 54, 2001) Contoh Diberikan persamaan beda orde tiga

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pertama akan dibentuk menjadi persamaan ( ) dan diubah menjadi bentuk operator geser, sehingga

  ( ( )

• ( ) ( )

  (

• Persamaan karakteristiknya adalah

  ( ) (

• / , dan dengan dan √ . Fungsi ( ) . , ( ) ( √ )

  ( ) ( √ ) adalah solusi dari persamaan ( ) sebab jika disubstitusikan , maka ke persamaan ( ), yaitu untuk /

  ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ( ( (

• ( (
• , maka dan untuk ( ) ( √ )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )

  ( √ ) ( √ √ ) , maka memenuhi persamaan ( ). Kemudian untuk ( ) ( √ )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )

  ( √ ) ( √ √ ) juga memenuhi persamaan ( ). Karena ( ( √ ) ( √ )

• ( )

  ( √ ) ( √ ) (

• ( ( √ ) ( √ )

  ( )

• ( ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
• ( )

  √ √ ( ( √ ) ( √ ) ( √ √

  ) * √

  ( ( √ ) ( √ ) ( ) * berdasarkan Teorema , * + bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema solusi umum dari persamaan ( ) adalah