Mengevaluasi Pernyataan dengan Tabel Kebenaran
Mengevaluasi
Pernyataan dengan
Tabel Kebenaran
Oleh Kelompok 2:
Gito Firgono
Eva Fauziah
Husnul Khotimah
Risya Radhianti
Membuat Tabel
Kebenaran
dan
Mengenal Operatoroperatornya
Membuat Tabel
Kebenaran
Empat langkah sederhana dalam membuat tabel kebenaran :
1. Mengatur baris atas tabel dengan masing-masing konstant
dikiri dan pernyataan disebelah kanan,
2. Menentukan baris tambahan sesuai dengan kebutuhan
pengisian tabel,
3. Mengatur kolom konstan dengan setiap kemungkinan nilai
kebenaran,
4. Menggambar baris horisontal diantara baris dan vertikal
yang memisahkan antara konstan dengan pernyataan.
Mengenal Operator
Perangkai/ Operator
Simbol
Dan (and)
Atau (or)
Tidak/ bukan (not)
~
Jika… maka… (if… then….)
→
Jika dan hanya jika (if and only if)
↔
•
•
•
•
•
DAN
Bernilai benar (T) jika kedua pernyataannya bersifat benar
(T).
ATAU
Bernilai salah (F) jika kedua pernyataannya bersifat salah
(F).
TIDAK/ BUKAN
Berkebalikan. Contoh :
P
~P
T
F
JIKA ... MAKA
Bernilai salah (F) jika pernyataan pertama bersifat benar (T)
dan pernyataan kedua bersifat salah (F).
P↔Q
P
Q
JIKA DAN HANYA JIKA
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Mengenal Tautologi,
Kontradiksi dan
Kontingen
Tautologi
• Suatu tautologi adalah pernyataan yang
selalu benar, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan
: apakah (A v ~A) adalah
tautologi?
Bukti : buatlah tabel kebenarannya
A
~A
A
~A
F
T
T
T
F
T
Jadi (A ~A) adalah tautologi.
Kontradiksi
• Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang
selalu salah, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan
: apakah (A & ~A ) adalah
kontradiksi?
Bukti : buatlah tabel kebenarannya
A
~A
A & ~A
F
T
F
T
F
F
Jadi (A & ~A) adalah kontradiksi.
Kontingen
• Sebuah pernyataan kontingen adalah
suatu ekspresi logika yang
mempunyai nilai benar dan salah di
dalam tabel kebenarannya. Sebagai
contoh,
A
B
C
& B) → C)
((A & B) → C)→ A
Buktikan
: ((A
& B)A &→B C)→((A A
adalah
kontingen
F
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
Bukti : buat tabel kebenarannya
Mengenal Simantik
Kesetaraan, Konsistensi
dan Validitas
Semantik Kesetaraan
Dikatakan setara, jika kedua pernyataan
bernilai sama pada nilai kebenaran suatu
baris.
Sebagai contoh:
~P v Q
P→Q
Pertanyaan:
Apakah dua pernyataan diatas setara?
untuk mengevaluasi kebenaran
pernyataan di atas kita lihat tabel di
bawah ini :
P
Q
(P
T
T
T
F
F
T
F
F
→
Q)
(~
P
ν
Q)
langkah pertama untuk mengisi
tabel adalah dengan menyalin nilai
dari setiap konstan ke kolom yang
tepat :
P
Q
(P
→
Q)
(~
P
ν
Q)
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
kedua, menangani berbagai
~operator yang berlaku langsung
pada yang konstan.
P
Q
T
T
F
F
(P
T
F
T
F
→
Q)
(~
P
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
ν
Q)
ketiga, menyelesaikan
evaluasi pada kedua
pernyataan secara terpisah.
P
Q
(P
→
Q)
(~
P
ν
Q)
T T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
F
T
F
Konsistensi
Keadaan konsisten terjadi ketika satu
set pernyataan menghasilkan nilai
kebenaran yang sama. Sebagai contoh
kalimat pernyataan di bawah ini:
P v ~Q
P→Q
P ↔ ~Q
untuk
mengevaluasi
pernyataan di atas kita lihat
tabel kebenaran berikut
P
Q
(P ν
~
Q
)
T T
T
T
F
T
T F
T
T
T
F
F T
F
F
F
T
F F
F
T
T
F
(P
→
Q
)
(P ↔
~
Q
)
—
—
—
—
—
—
—
dan kita lihat pada tabel berikut ini,
dengan pengulangan prosesnya dari
dua pernyataan memberikan hasil
sebagai
berikut:
P
(
~ Q ( → Q ( ↔
Q
ν
Q
P
T T
T
T
T F
T
F T
F F
~
)
P
)
P
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
— — — —
F
F
F
T
— — — — — — —
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
)
T
F
Jika setiap baris tebel kebenaran setidaknya memiliki satu pernyataan
yang kita lihat sabagai pernyataanya tidak benar (palsu), maka
pernyataanya tidak konsisten. Maka terbukti, pernyataan ini tidak
konisten.
Validitas
Disetiap baris dimana semua pernyataan
bernilai benar dan kesimpulannyapun
bernilai benar. Kita lihat contoh di bawah
ini:
P & Q
R →~ P
kesimpulannya:
~Q↔R
berikut ini tabel kebenaran
yang perlu disiapkan untuk
mengevaluasi pernyataan di
atas
:( Λ Q) (R → ~ P) (~ Q ↔ R)
P Q
R
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
P
pada bagian “tetap konsisten” kita dapat melihat
pernyataan sebelumnya dan bisa melihat
pernyataan selanjutnya, dan berikut tabel
pernyataan pertama yang telah di tentukan:
P
Q
R
(
P
Λ
Q)
(
R
→
~
P)
(~
Q
↔
R)
T T
T
T
T
T
T T
F
T
T
T
T F
T
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F T F
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F F T
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T F F
F T
T
berikut adalah hasil akhir dari
contoh di atas
P Q R
(
P
Λ
Q
)
(R
→
~
P)
(~
Q
↔
R)
T T T
T
T
T
T
F
F
T
—
—
—
—
T T F
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T F T
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T F F
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F T T
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F T F
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F F T
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F F F
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
Jika tidak ada baris kebenaran yang
pasti dan mengandung semua
premis dalam kesimpulan yang tidak
jelas kebenaranya (palsu), maka itu
argumen berlaku, dan jika tidak
sama dengan argumen maka
pernyataan tadi tidak sah. Seperti
yang anda lihat, hasil konklusinya
adalah benar, dan premis-premis
sebelumnya bersifat benar.
Sehingga argumen ini dinyatakan
valid.
Menghubungkan
Tautologi dan
Kontradiksi
Suatu pernyataan tautologi dapat di ubah
menjadi keadaan kontradiksi atau sebaliknya
(kontradiksi menjadi tautologi), yaitu dengan
menggunakan operator ~ (negasi). Oleh
karenanya tautologi dan kontradiksi memiliki
hubungan yang erat.
Sebagai contoh lihat pernyataan di bawah ini:
P → (~Q → (P & ~Q)), merupakan tautologi.
Kemudian kita rubah kedalam bentuk
kontradiksi
~(P → (~Q → (P & ~Q)))
untuk mengevaluasi
pernyataan tersebut kita
gunakan tabel dibawah ini:
P
Q
~
(P
→
(~
Q
→
(P
Λ
~Q))
)
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
F
F
T
Menghubungkan
Simantik Kesetaraan
dengan
Tautologi
Dua simantik setara dapatdirubah menjadi
tautologi dengan menghubungkannya
menggunakan operator ↔ .
Misal terdepat dua pernyataan dalam simantik
setara
P→Q
~P → v Q
Kemudian dihubungkan dengan mengunakan
operator ↔, maka menjadi
(P → Q) ↔ (~P vQ)
Hasilnya adalah tautologi
untuk mengevaluasinya
lihat tabel berikut :
P
Q
(P
→
Q)
↔
(~
P
ν
Q)
T T
T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
T
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
T
F
T
F
kita
Menghubungkan
Inkonsisitensi dengan
Kontradiksi
Ketika menghubungkan pernyataan yang tidak
konsisten dalm suatu keadaan dengan menggunakan
operator &, maka pernyataan yang di hasilkan adalah
kontradiksi.
Contoh: Terdapat 3 pernyataan yang tidak konsisten
Pv~Q
P→ Q
P↔~Q
Kemudian di hubungkan dengan operator &, maka
menjadi :
((P v ~ Q) & (P → Q) & (P ↔ ~ Q))
yang merupakan kontradiksi
untuk
mengevaluasi
pernyataan di atas kita lihat
tabel di bawah ini :
P
Q
((
P
ν
~
Q)
Λ
(P
→
Q)
)
Λ
(P
↔
~
Q)
T T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
F T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
Mengubungkan Validitas
dan Kontradiksi
Misal terdapat sebuah permasalahan
P→ Q
Q→R
Dengan kesimpulan :
P→R
Karena pernyataan ini valid, maka
tidak mungkin keduanya adalah
benar dan kesimpulannya salah.
untuk mengevaluasi pernytaan
di atas, lihatlah tabel di bawah
ini :
P→ Q
Q→R
P→ R
T
T
F
jika kesimpulan tersebut
dinegasi, maka tidak
satupun dari tabel
kebenaran terlihat seperti
ini :
P→ Q
Q→R
~(P→R)
T
T
T
Maka
pernyataan
diatas
tak
satupun yang konsisten. Anda
dapat
juga
mengubah
set
pernyataan
tersebut
menjadi
kontradiksi
yang
dihubungkan
dengan menggunakan operator &.
Amatilah tabel dibawah ini :
((
P
→
Q)
Λ
(Q
→
R)) Λ
T
~
(P
→
R)
Pernyataan dengan
Tabel Kebenaran
Oleh Kelompok 2:
Gito Firgono
Eva Fauziah
Husnul Khotimah
Risya Radhianti
Membuat Tabel
Kebenaran
dan
Mengenal Operatoroperatornya
Membuat Tabel
Kebenaran
Empat langkah sederhana dalam membuat tabel kebenaran :
1. Mengatur baris atas tabel dengan masing-masing konstant
dikiri dan pernyataan disebelah kanan,
2. Menentukan baris tambahan sesuai dengan kebutuhan
pengisian tabel,
3. Mengatur kolom konstan dengan setiap kemungkinan nilai
kebenaran,
4. Menggambar baris horisontal diantara baris dan vertikal
yang memisahkan antara konstan dengan pernyataan.
Mengenal Operator
Perangkai/ Operator
Simbol
Dan (and)
Atau (or)
Tidak/ bukan (not)
~
Jika… maka… (if… then….)
→
Jika dan hanya jika (if and only if)
↔
•
•
•
•
•
DAN
Bernilai benar (T) jika kedua pernyataannya bersifat benar
(T).
ATAU
Bernilai salah (F) jika kedua pernyataannya bersifat salah
(F).
TIDAK/ BUKAN
Berkebalikan. Contoh :
P
~P
T
F
JIKA ... MAKA
Bernilai salah (F) jika pernyataan pertama bersifat benar (T)
dan pernyataan kedua bersifat salah (F).
P↔Q
P
Q
JIKA DAN HANYA JIKA
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Mengenal Tautologi,
Kontradiksi dan
Kontingen
Tautologi
• Suatu tautologi adalah pernyataan yang
selalu benar, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan
: apakah (A v ~A) adalah
tautologi?
Bukti : buatlah tabel kebenarannya
A
~A
A
~A
F
T
T
T
F
T
Jadi (A ~A) adalah tautologi.
Kontradiksi
• Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang
selalu salah, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan
: apakah (A & ~A ) adalah
kontradiksi?
Bukti : buatlah tabel kebenarannya
A
~A
A & ~A
F
T
F
T
F
F
Jadi (A & ~A) adalah kontradiksi.
Kontingen
• Sebuah pernyataan kontingen adalah
suatu ekspresi logika yang
mempunyai nilai benar dan salah di
dalam tabel kebenarannya. Sebagai
contoh,
A
B
C
& B) → C)
((A & B) → C)→ A
Buktikan
: ((A
& B)A &→B C)→((A A
adalah
kontingen
F
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
Bukti : buat tabel kebenarannya
Mengenal Simantik
Kesetaraan, Konsistensi
dan Validitas
Semantik Kesetaraan
Dikatakan setara, jika kedua pernyataan
bernilai sama pada nilai kebenaran suatu
baris.
Sebagai contoh:
~P v Q
P→Q
Pertanyaan:
Apakah dua pernyataan diatas setara?
untuk mengevaluasi kebenaran
pernyataan di atas kita lihat tabel di
bawah ini :
P
Q
(P
T
T
T
F
F
T
F
F
→
Q)
(~
P
ν
Q)
langkah pertama untuk mengisi
tabel adalah dengan menyalin nilai
dari setiap konstan ke kolom yang
tepat :
P
Q
(P
→
Q)
(~
P
ν
Q)
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
kedua, menangani berbagai
~operator yang berlaku langsung
pada yang konstan.
P
Q
T
T
F
F
(P
T
F
T
F
→
Q)
(~
P
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
ν
Q)
ketiga, menyelesaikan
evaluasi pada kedua
pernyataan secara terpisah.
P
Q
(P
→
Q)
(~
P
ν
Q)
T T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
F
T
F
Konsistensi
Keadaan konsisten terjadi ketika satu
set pernyataan menghasilkan nilai
kebenaran yang sama. Sebagai contoh
kalimat pernyataan di bawah ini:
P v ~Q
P→Q
P ↔ ~Q
untuk
mengevaluasi
pernyataan di atas kita lihat
tabel kebenaran berikut
P
Q
(P ν
~
Q
)
T T
T
T
F
T
T F
T
T
T
F
F T
F
F
F
T
F F
F
T
T
F
(P
→
Q
)
(P ↔
~
Q
)
—
—
—
—
—
—
—
dan kita lihat pada tabel berikut ini,
dengan pengulangan prosesnya dari
dua pernyataan memberikan hasil
sebagai
berikut:
P
(
~ Q ( → Q ( ↔
Q
ν
Q
P
T T
T
T
T F
T
F T
F F
~
)
P
)
P
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
— — — —
F
F
F
T
— — — — — — —
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
)
T
F
Jika setiap baris tebel kebenaran setidaknya memiliki satu pernyataan
yang kita lihat sabagai pernyataanya tidak benar (palsu), maka
pernyataanya tidak konsisten. Maka terbukti, pernyataan ini tidak
konisten.
Validitas
Disetiap baris dimana semua pernyataan
bernilai benar dan kesimpulannyapun
bernilai benar. Kita lihat contoh di bawah
ini:
P & Q
R →~ P
kesimpulannya:
~Q↔R
berikut ini tabel kebenaran
yang perlu disiapkan untuk
mengevaluasi pernyataan di
atas
:( Λ Q) (R → ~ P) (~ Q ↔ R)
P Q
R
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
P
pada bagian “tetap konsisten” kita dapat melihat
pernyataan sebelumnya dan bisa melihat
pernyataan selanjutnya, dan berikut tabel
pernyataan pertama yang telah di tentukan:
P
Q
R
(
P
Λ
Q)
(
R
→
~
P)
(~
Q
↔
R)
T T
T
T
T
T
T T
F
T
T
T
T F
T
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F T F
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F F T
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T F F
F T
T
berikut adalah hasil akhir dari
contoh di atas
P Q R
(
P
Λ
Q
)
(R
→
~
P)
(~
Q
↔
R)
T T T
T
T
T
T
F
F
T
—
—
—
—
T T F
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T F T
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T F F
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F T T
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F T F
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F F T
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F F F
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
Jika tidak ada baris kebenaran yang
pasti dan mengandung semua
premis dalam kesimpulan yang tidak
jelas kebenaranya (palsu), maka itu
argumen berlaku, dan jika tidak
sama dengan argumen maka
pernyataan tadi tidak sah. Seperti
yang anda lihat, hasil konklusinya
adalah benar, dan premis-premis
sebelumnya bersifat benar.
Sehingga argumen ini dinyatakan
valid.
Menghubungkan
Tautologi dan
Kontradiksi
Suatu pernyataan tautologi dapat di ubah
menjadi keadaan kontradiksi atau sebaliknya
(kontradiksi menjadi tautologi), yaitu dengan
menggunakan operator ~ (negasi). Oleh
karenanya tautologi dan kontradiksi memiliki
hubungan yang erat.
Sebagai contoh lihat pernyataan di bawah ini:
P → (~Q → (P & ~Q)), merupakan tautologi.
Kemudian kita rubah kedalam bentuk
kontradiksi
~(P → (~Q → (P & ~Q)))
untuk mengevaluasi
pernyataan tersebut kita
gunakan tabel dibawah ini:
P
Q
~
(P
→
(~
Q
→
(P
Λ
~Q))
)
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
F
F
T
Menghubungkan
Simantik Kesetaraan
dengan
Tautologi
Dua simantik setara dapatdirubah menjadi
tautologi dengan menghubungkannya
menggunakan operator ↔ .
Misal terdepat dua pernyataan dalam simantik
setara
P→Q
~P → v Q
Kemudian dihubungkan dengan mengunakan
operator ↔, maka menjadi
(P → Q) ↔ (~P vQ)
Hasilnya adalah tautologi
untuk mengevaluasinya
lihat tabel berikut :
P
Q
(P
→
Q)
↔
(~
P
ν
Q)
T T
T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
T
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
T
F
T
F
kita
Menghubungkan
Inkonsisitensi dengan
Kontradiksi
Ketika menghubungkan pernyataan yang tidak
konsisten dalm suatu keadaan dengan menggunakan
operator &, maka pernyataan yang di hasilkan adalah
kontradiksi.
Contoh: Terdapat 3 pernyataan yang tidak konsisten
Pv~Q
P→ Q
P↔~Q
Kemudian di hubungkan dengan operator &, maka
menjadi :
((P v ~ Q) & (P → Q) & (P ↔ ~ Q))
yang merupakan kontradiksi
untuk
mengevaluasi
pernyataan di atas kita lihat
tabel di bawah ini :
P
Q
((
P
ν
~
Q)
Λ
(P
→
Q)
)
Λ
(P
↔
~
Q)
T T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
F T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
Mengubungkan Validitas
dan Kontradiksi
Misal terdapat sebuah permasalahan
P→ Q
Q→R
Dengan kesimpulan :
P→R
Karena pernyataan ini valid, maka
tidak mungkin keduanya adalah
benar dan kesimpulannya salah.
untuk mengevaluasi pernytaan
di atas, lihatlah tabel di bawah
ini :
P→ Q
Q→R
P→ R
T
T
F
jika kesimpulan tersebut
dinegasi, maka tidak
satupun dari tabel
kebenaran terlihat seperti
ini :
P→ Q
Q→R
~(P→R)
T
T
T
Maka
pernyataan
diatas
tak
satupun yang konsisten. Anda
dapat
juga
mengubah
set
pernyataan
tersebut
menjadi
kontradiksi
yang
dihubungkan
dengan menggunakan operator &.
Amatilah tabel dibawah ini :
((
P
→
Q)
Λ
(Q
→
R)) Λ
T
~
(P
→
R)