Limn= akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A
LIMIT
4.1. FUNGSI LIMIT
Definisi 4.1.1
A ⊆ R Titik c ∈ R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap δ > 0 ada paling
sedikit satu titik di x ∈ A, x ≠ c sedemikian sehingga x − c < δ .
Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :
Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau
ditulis δ (c ) yaitu :
δ (c ) = {x ∈ R; x − c < δ }
= −δ < x − c < δ
= c −δ < x < c +δ
Vδ (c) = (c − δ , c + δ ) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan
c.
Catatan : A ⊆ R , c titik limit dari A jika Vδ (c) = ∩ A yang berbeda dari c.
Teorema 4.1.2
Bilangan real c adalah titik limit dari A, A ⊆ R , jika dan hanya jika ada barisan
(an ) dalam A dan
x ≠ c, ∀n ∈ N sedemikian hingga Lim(an ) = c
Bukti :
( )
A ⊆ R . Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan
ada barisan (an) dalam A dan x ≠ c, ∀n ∈ N sedemikian hingga Lim(an ) = c
c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n∈ N , persekitaran
1 n dari c, yaitu V1
n
(c)
memuat paling sedikit satu titik dalam A yang
berbeda dengan c. Jika an, ∀n∈ N merupakan titik-titik tersebut, maka an
an ∈ A x ≠ c dan Lim(an ) = c (terbukti)
1
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Jika ada barisan (an) dalam A dan x ≠ c, ∀n ∈ N sedemikian hingga
(⇐)
Lim(an ) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A
(an) dalam A dan an
c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,
artinya untuk sembarang δ > 0, ∃K ∈ N , sehingga jika n ≥ K (δ ) , maka
an ∈δ (c) . Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c, δ (c ) yang
memuat titik-titik an, ∀n ≥ K (δ ), an ∈ A dan an
c. Jadi, c merupakan titik
limit dari A.
DEFINISI LIMIT
4.1.4. Definisi
A ⊆ R, f : A → R , dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan
limit dari f di c, jika
> 0 ada
> 0 sedemikian hingga untuk sembarang x ∈ A
dan 0 < x − c < δ maka f ( x) − L < ε
Catatan :
a.
Pengambilan nilai
bergantung pada pengambilan
, sehingga kadang-
kadang ditulis dengan ( ).
b.
Ketaksamaan 0 < x − c adalah ekuivalen dapat dikatakan x ≠ c
Jika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan
ditulis :
L = Lim f (x) atau L = Lim f
x→ c
x→ c
dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c
Teorema 4.1.5
Jika f : A → R , dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.
Bukti :
Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 ≠ L 2
2
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Pilih > 0, sehingga
L1 merupakan limit f di c maka ada δ 1 (ε 2) > 0 dan 0 < x − c < δ1 (δ 2) maka
f (x) − L1 < ε 2
L2 mer upakan limit f di c maka ada δ 2 (ε 2) > 0 dan 0 < x − c < δ 2 (δ 2) maka
f (x) − L2 < ε 2
Ambil δ = min{δ1 (ε 2),δ 2 (ε 2)} maka jika x ∈ A dan 0 < x − c < δ , dengan
ketaksamaan segitiga didapatkan :
L1 − L2 ≤ L1 − f ( x) + f ( x) − L2 < ε 2 + ε 2 = ε
Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1 – L2 = 0 jadi L1 = L2
Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena
Vδ (c) = (c − δ , c + δ ) = {x ∈ R; x − c < δ }
Ketaksamaan segitiga 0 < x − c < δ adalah ekuivalen dikatakan bahwa x
c dan x
berbeda ke persekitaran V (c) dari c. sama dengan ketaksamaan f (x) − L1 < ε |
adalah ekuivalen dikatakan bahwa f (x ) berbeda ke persekitaran V (L) dari L.
3
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.1.6 Teorema
Ambil f : A → R , c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah
ini :
1. Lim f ( x) = L
x →c
2. Diberikan persekitaran- V (L) dari L, ada persekitaran- V (c) sedemikian
sehingga jika x
c adalah titik Vε (L) ∩ A, x ≠ c maka f ( x) ∈Vε ( L)
Contoh :
1.
Lim b = b
x →c
Bukti :
Tampak bahwa f (x ) = b ∀x ∈ R akan ditunjukkan Lim b = b
x →c
>
Jika
0,
ambil
=
1,
sehingga
f ( x) − b = b − b = 0 < ε . Terbukti karena
jika
0 < x − c < 1 diperoleh
> 0 maka dapat disimpulkan
Lim b = b
x →c
2.
Lim x = c
x →c
Bukti :
g ( x ) = x, ∀x ∈ R Jika
> 0, ambil
= , sehingga jika 0 < x − c < δ maka
diperoleh
g ( x) − c = x − c < ε . Karena > 0 maka terbukti bahwa Lim x = c .
x →c
3.
Lim x 2 = c 2
x→c
Bukti :
h( x) = x 2 ∀x ∈ R . Untuk menunjukkan Lim x 2 = c 2 , maka harus ditunjukkan
x→c
h( x) − c 2 = x 2 − c 2 < ε
Ambil sembarang > 0 dan x yang cukup dekat dengan c.
5
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Dimana x 2 − c 2 = ( x − c)(x + c) Jika x − c < 1.
Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :
x ≤ c + 1 sehingga x + c ≤ x + c ≤ 2 c + 1
Jika x + c < 1 , maka akan diperoleh :
(*) x 2 − c 2 = x + c x − c ≤ (2 c + 1) x − c |
dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .
Hal tersebut akan dipenuhi jika x − c < ε (2 c + 1)
Oleh karena itu, pilih δ (c ) = inf 1,
ε
2c +1
sehingga jika 0 < x − c < δ (ε ) 0 maka memenuhi :
x − c < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh
(*) x 2 − c 2 ≤ (2 c + 1) x − c < ε
Karena nilai ( ) > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai
> 0,
maka terbukti bahwa Lim x 2 = c 2
x→c
4.
tunjukkan Lim( x 2 + 2x) = 15
x→3
Bukti :
Ambil f(x) = x2+2x, ∀x ∈ R
Maka f ( x) − 15 < ε
Akdib : x 2 + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) < x + 5 x − 3
Misal =1
x − 3 < 1 atau x ∈ (2,4)
Jadi x + 5 ∈ (7,9) atau x + 5 < 9
x 2 + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) < 9 jika 0 ≤ x − 3 < δ
6
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Ambil sebarang ε > 0, pilih min 1,
ε
9
Jadi, x 2 + 2 x − 15 ≤ x + 5 x − 3
≤ 5δ
≤ 5.
ε
5
≤ε
Jadi terbukti
Kriteria Barisan Untuk Limit
4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)
f : A → R , dan c merupakan titik limit dari A maka :
(i)
Lim f ( x) = L
x →c
(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga
xn ≠ c, ∀n ∈ N , maka barisan ( f ( xn )) konvergen ke L
Bukti :
(i)
(ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam A
dengan lim(xn ) = c
( f (xn ))
xn ≠ c, ∀n ∈ N . Kita harus menunjukkan bahwa barisan
konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4), jika
diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika x ∈ A memenuhi
0 < x − c < δ , maka f (x ) memenuhi f ( x) − L < ε .
lim(xn ) = c , artinya untuk sembarang δ > 0, ∃K (δ ) ∈ N , sehingga untuk n ≥ K (δ )
berlaku xn − c Tetapi setiap xn memenuhi f ( x) − L < ε . Jadi, jika n ≥ K (δ )
maka berlaku n ≥ K (δ ) artinya barisan ( f ( xn )) konvergen ke L.
(ii)
(i). Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan
mengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.
7
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Andaikan Lim f ( x) ≠ L maka akan ada persekitaranx →c
0
dari L, Vε0 ( L) sehingga
untuk setiap persekitaran- dari c, Vε 0 (c) yang diambil, terdapat paling sedikit
satu nilai x, δ ∈ A ∩Vε0 (c) dengan Vδ ≠ c, f ( x ) ≠ Vε ( L ) . Oleh karena itu, ∀n∈ N
0
, persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga
0 < xn − c < 1 n dan x ∈ A Tetapi, f ( xn ) − L ≥ ε 0 , ∀n ∈ N .
Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A− {c}
konvergen ke c, tetapi barisan ( f ( xn )) tidak konvergen ke L.
Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat
kontra positif, maka (ii)
(i) bernilai benar.
Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit
fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.
Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu
bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan
Kriteria Barisan, fungsi h( x) = x 2
mempunyai limit : Lim h( x) = c 2
x→c
Kriteria Divergensi
Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari
suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada
suatu titik.
4.1.9 Kriteria Divergensi
A ⊆ R, f : A → R dan c merupakan titik limit dari A.
a.
Jika L ∈ R , maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika ada
barisan (xn) dalam A, xn ≠ c, ∀n ∈ N , sehingga barisan (xn) konvergen ke c,
tetapi ( f ( xn )) tidak konvergen ke L.
8
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
b.
Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn)
dalam A, xn ≠ c, ∀n ∈ N , sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi ( f ( xn ))
tidak konvergen di R.
Contoh :
1.
Lim ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
Bukti :
Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n∈ N , maka lim (xn) = 0,
tetapi (xn) = 1/(1/n) = n, dan barisan (ϕ (xn )) = (n) merupakan barisan yang
tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9
(b) disimpulkan bahwa Lim ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
2.
Lim sgn( x ) tidak ada.
x→ 0
Bukti :
Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :
+ 1 untuk x > 0
sgn( x) =
0 untuk x = 0
− 1 untuk x < 0
Ingat bahwa sgn(x) = x x
untuk
x ≠ 0 (lihat gambar 4.1.2). Akan
ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan
ditunjukkan Lim sgn( x ) tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)
x→ 0
dan l Lim sgn( x ) = 0 , tetapi ( sgn(x) ) tidak konvergen.
Fungsi signum
9
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Ambil x n = (− 1)n n untuk n ∈ N , maka lim( xn ) = 0 dan sgn( x ) = (− 1)n
untuk n ∈ N
Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(x) tidak konvergen. Jadi, Lim sgn( x ) tidak
x →0
ada.
3.
Lim sin ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
Bukti :
Jika g ( x) = sin(1 n) , untuk x ≠ 0 . (lihat gambar 4.1.3) Akan ditunjukkan
bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c = 0, dengan menetapkan dua barisan
(xn) dan (yn), dimana xn
lim(xn ) = 0 dan
0 dan yn
lim(yn ) = 0
0, ∀n ∈ N sedemikian hingga
lim(g ( xn )) = 0 ≠ lim(g ( yn ))
tetapi
hal
itu
menunjukkan bahwa Lim g tidak ada.
x→0
Fungsi g ( xn ) = sin (1 x )(x ≠ 0)
Ingat : sin t = 0 jika t = nπ , dan sin t = +1 jika t = 1 2 π + 2nπ untuk n ∈ Z
Ambil xn = 1 nπ ∀n ∈ N , maka lim(xn ) = 0 dan g ( xn ) = sin nπ = 0 ∀n ∈ N ,
sehingga lim(g (xn )) = 0 Ambil y n =
1
1
π + 2 nπ
2
untuk n ∈ N , maka lim( y n ) = 0
10
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
dan g ( y n ) = sin ( 12 π + 2nπ ) = 1
∀n ∈ N
sehingga
lim(g ( yn )) = 1
maka
Lim sin ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
4.2 TEOREMA LIMIT
4.2.1 Definisi
Diberikan A ⊆ R , f : A → R , dan diberikan c ∈ R titik limit dari A . Kita
katakan bahwa f terbatas pada persekitaran c jika terdapat persekitaran δ , Vδ (c)
dan
M > 0 seperti yang kita
konstanta
miliki
f ( x ) ≤ M untuk
semua
x ∈ A ∩ Vδ (c) .
4.2.2 Teorema
Jika A ⊆ R dan f : A → R mempunyai sebuah limit di c ∈ R , maka
f
terbatas pada suatu persekitaran pada c
Bukti :
Jika L := lim f , maka untuk e = 1 , terdapat δ > 0 sedemikian hingga jika
x →c
0 < x − c < δ , kemudian f ( x ) < 1 ( oleh corollary 2.2.4(a)),
f ( x) − L ≤
f ( x) − L < 1
Karena itu, jika x ∈ A ∩V δ (c ), x ≠ c , maka f (x ) ≤ L + 1 . Jika c ∉ A , kita
ambil M = L + 1 , sementara jika c ∈ A kita ambil M := sup{ f (c ) , L + 1}. Maka
bila ada x ∈ A ∩ Vδ (c ) , kemudian f ( x ) ≤ M . Ini menunjukkan bahwa f terbatas
pada suatu persekitaran pada c.
Berikut akan diberikan definisi, penjumlahan, selisih, perkalian dan pembagian
dari fungsi, seperti halnya dalam barisan.
4.2.3 Definisi
11
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Diberikan A ⊆ R , f dan g fungsi yang terdefinisi pada A ke R . Didefinisikan
jumlah f + g , selisih f − g dan perkalian fg pada A ke R dengan fungsi
(f
+ g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
(f
− g )(x ) = f ( x ) − g ( x )
( fg )(x ) = f ( x )g (x )
untuk semua x ∈ A . Selanjutnya jika b ∈ R didefinisikan perkalian bf dengan
fungsi (bf )( x ) = bf ( x ) untuk semua x ∈ A .
Akhirnya, jika h( x ) ≠ 0 untuk x ∈ A , kita definisikan pembagi f / h dengan
fungsi
f
h
(x ) = f (x )
h( x )
untuk semua x ∈ A
4.2.4 Teorema
Diberikan A ⊆ R , diberikan f dan g merupakan fungsi pada A ke R , dan
diberikan c ∈ R tertimbun dari A . Lebih lanjut diberikan b ∈ R .
a. Jika lim f = L dan lim g = M , maka :
x→c
x→c
lim ( f + g ) = L + M ,
lim ( f − g ) = L − M
lim ( fg ) = LM
lim(bf ) = bL
x →c
x →c
x →c
x →c
b. Jika h : A → R , jika h( x ) ≠ 0 untuk semua x ∈ A , dan jika lim h = H ≠ 0 ,
x →c
maka
lim
x→c
f
L
=
h
H
Bukti :
Salah satu bukti teorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat
dibuktikan dengan menggunakan teorema 3.2.3 dan 4.1.8. Sebagai
contoh,
12
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
biarkan (xn ) menjadi urutan apapun di A sehingga xn ≠ c untuk
n ∈ N , dan
c = lim( xn ) . Mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa
lim( f ( x )) = L , lim( g (x )) = M
Di sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa
( fg )(xn ) = f (xn )g (xn )
untuk n ∈ N
Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya
lim(( fg )( xn )) = lim( f ( xn )g ( xn ))
= [lim( f ( x n ))][lim( g (x n ))] = LM
Bagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama. Kita meninggalkan
rincian untuk pembaca.
Komentar
1. Catatan kita, bahwa bagian b, asumsikan penjumlahan bahwa H = lim h ≠ 0
x →c
dibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit
lim
x→ c
f (x )
h( x )
mungkin atau mungkin tidak ada. Tetapi bahkan jika limit ada, kita dapat
menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya.
2. Diberikan A ⊆ R , dan f1 , f 2 ,........ f n dengan fungsi A ke R , dan diberikan c
titik timbun dari A . Jika
Lk = lim f k
x →c
untuk k = 1,......... .n
Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa
L1 + L2 + ..... + Ln = lim( f1 + f 2 + ..... f n )
x →c
Dan
L1 ⋅ L2 ......Ln = lim( f1 ⋅ f 2 ..... f n )
x →c
13
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jika L = lim f dan n ∈ N , maka
x→c
Ln = lim( f (x ))
n
x →c
4.2.5
1.
Contoh
Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakan
teorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti dari hasil ini bahwa lim x = c ,
x →c
kemudian lim x 2 = c 2 dan jika c > 0 , maka
x →c
1
1
1
=
=
x lim c
lim
x →c
x →c
2.
(
)(
)
lim x 2 + 1 x 3 − 4 = 20
x →2
Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa
(
)(
)
(
))( (
(
))
lim x 2 + 1 x 3 − 4 = lim x 2 + 1 lim x 3 − 4
x →2
x→2
(
x→2
)(
= 2 2 + 1 23 − 4
)
= (4 + 1)(8 − 4 )
= 5⋅4
= 20
3. lim
x →2
x3 − 4
4
=
2
5
x +1
Jika berlaku teorema 4.2.4 b, maka
14
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
(
(
)
)
x3 − 4 4
x 3 − 4 lim
x→2
lim 2
=
=
x→2 x + 1
lim x 2 + 1 5
x →2
(
)
Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e lim x 2 + 1 = 5 ) tidak sama dengan
x →2
0, maka teorema 4.2.b berlaku.
x2 − 4 4
= ,
x →2 3 x − 6
3
4. lim
Jika diberikan f ( x ) = x 2 − 4 dan h(x ) = 3x − 6 untuk x ∈ R maka tidak dapat
digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi lim ( f ( x ) h( x )) karena
x→2
H = lim h( x ) = lim (3 x − 6)
x →2
x→2
= 3 lim x − 6 = 3.2 − 6 = 0
x→2
Bagaimanpun, jika x ≠ 2 , maka
x 2 − 4 ( x + 2)( x − 2) 1
=
= ( x + 2)
3x − 6
3( x − 2)
3
Maka dari itu
(
)
x2 − 4
1
1
4
= lim ( x + 2) = lim x + 2 =
x→2 3x − 6
x→2 3
3 x→2
3
lim
Catatan bahwa fungsi g ( x) = ( x 2 − 4) (3x − 6) mempunyai limit di x = 2
meskipun tidak ada definisinya.
1
5. lim tidak terdapat di R
x →0 x
15
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Tentu saja lim 1 = 1 dan H = lim x = 0 . Bagaimanapun, ketika H = 0 , tidak
x →1
x →0
dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi lim (1 x) . Dalam
x →0
faktanya, lihat contoh 4.1.10a, fungsi ϕ ( x ) = 1 x tidak mempunyai sebuah
limit di x = 0 . Kesimpulan mengikuti juga dari teorema 4.2.2 ketika fungsi
ϕ ( x ) = 1 x tidak terbatas dipersekitaran x = 0
6. Jika p adalah sebuah fungsi polynominal, maka lim p ( x) = p (c)
x→c
Biarkan p menjadi fungsi polynominal di R maka
p ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + .... + a1 x + a 0
untuk semua
x ∈ R . Berdasarkan
teorema 4.2.4 dan fakta bahwa lim x k = c k , maka
x→c
lim p( x) = lim[an x n + an −1 x n−1 + ...... + a1 x + a0
x →c
x →c
= lim(an x n ) + lim(an −1 x n−1 ) + ..... + lim(a1 x) + lim a0
x →c
x →c
x →c
x →c
= a n c n + a n −1 c n −1 + ..... + a1 c + a 0
= p (c )
Karenanya lim p ( x) = p (c) untuk setiap fungsi polynominal p
x→c
7. Jika p dan q adalah fungsi polynominal di R dan jika q ( c ) ≠ 0 maka
lim
x →c
p ( x ) p (c )
=
q ( x ) q (c )
Ketika q ( x ) adalah sebuah fungsi polynominal, berdasarkan dari sebuah
teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real
α 1 ,.....α m
[bilangan real nol di
q( x) ]
maka
q (α j ) = 0
dan jika
x ∉ (α 1 ,.....α m ) , maka q ( x ) ≠ 0 . Karenanya, jika x ∉ (α 1 ,.....α m ) kita dapat
definisikan
16
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
r ( x) =
p( x)
q ( x)
Jika c tidak nol di q ( x ) , maka q ( c ) ≠ 0 , dan mengikuti dari bagian vi bahwa
lim q ( x) = q (c) ≠ 0 . Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b
x →c
untuk menyimpulkan bahwa
lim
x →c
p ( x ) p (c )
p ( x) lim
= x →c
=
q ( x) lim q ( x) q (c)
x →c
Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6
4.2.6 Teorema
Diberikan A ⊆ R ,
a ≤ f ( x) ≤ b
f : A → R , dan diberikan c ∈ R titik limit dari A . Jika
untuk semua
x ∈ A, x ≠ c
dan jika terdapat
lim f , maka
x →c
a ≤ lim f ≤ b .
x →c
Bukti :
Memang, jika lim f , maka berdasarkan dari teorema 4.1.8 bahwa jika ( x n )
x →c
adalah setiap barisan bilangan real berlaku bahwa c ≠ x n ∈ A untuk semua n ∈ N
dan jika barisan ( x n ) konvergen ke c , maka barisan
( f (x ))
konvergen ke L .
Ketika a ≤ f ( x ) ≤ b untuk semua n ∈ N , berdasarkan dari teorema 3.2.6 bahwa
a ≤ L ≤ b.
Sekarang kita bagian analog dari teorema squeeze 3.2.7.
untuk
membuktikannya kita1 serahkan kepada pembaca.
17
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.2.7 Teorema Squeeze
Diberikan
A ⊆ R,
f , g, h : A → R ,
c∈R
dan
titik limit di
A . Jika
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) untuk semua x ∈ A, x ≠ c , dan jika lim f = L = lim h , maka
x →c
x →c
lim g = L
x →c
4.2.8 Contoh
3
2
lim x = 0 ( x > 0)
x →c
Diberikan f ( x) = x
3
2
1
2
untuk x > 0 sejak ketidaksamaan x < x ≤ 1 memegang
3
untuk 0 < x ≤ 1 . Hal berikut bahwa x 2 ≤ f ( x) = x 2 ≤ x untuk 0 < x ≤ 1 . Maka
lim x 2 = 0 dan lim x = 0
x →0
x →0
3
Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa lim x 2 = 0
x →c
4.2.9 Teorema
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan diberikan c ∈ R cmempunyai sebuah limit di A ,
jika lim f > 0
[masing-masing,
x →c
lim f < 0 ].
x →c
Maka
terdapat
sebuah
persekitaran Vδ (c) di c sehingga f ( x ) > 0 [masing-masing, f ( x ) < 0 ] untuk
semua x ∈ A ∩V δ (c ), x ≠ c .
Bukti :
Diberikan L = lim f dan menduga bahwa L > 0 . Kita ambil ε =
x→c
1
L > 0 di
2
definisi 4.1.4, dan memperoleh sebuah δ > 0 sehingga jika 0 < x − c < δ dan
x∈ A,
maka
f ( x) − L <
1
L.
2
Oleh
karena
itu
berikut
bahwa
jika
18
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
x ∈ A ∩V δ (c ), x ≠ c , maka f ( x ) >
1
L > 0 . Jika L < 0 berlaku argumen yang
2
sama.
4.3 Beberapa Tambahan Konsep Limit
4.3.1 Definisi
Diberikan A ∈ R dan f : A → R
i. Jika c ∈ R adalah titik limit dari bagian A ∩ (c , ∞ ) = { x ∈ A : x > c} maka kita
katakan bahwa L ∈ R adalah limit kanan f di c dan kita tulis
lim f = L
lim f ( x ) = L
x →c +
x →c +
Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ = δ (ε ) > 0 sehingga untuk semua x ∈ A
dengan 0 < x − c < δ maka f ( x) − L < ε .
ii. Jika c ∈ R adalah titik limit dari bagian A ∩ (−∞ , c ) = { x ∈ A : x < c} maka kita
katakan bahwa L ∈ R adalah limit kiri f di c dan kita tulis
lim f = L
x →c −
lim f ( x ) = L
x →c −
Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ > 0 sehingga untuk semua x ∈ A dengan
0 < x − c < δ maka f ( x) − L < ε .
4.3.2 Teorema
Diberikan A ∈ R dan f : A → R dan diberikan c ∈ R titik limit di A ∩ (c , ∞ ) .
Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen :
i.
lim f = L
x →c +
ii. Untuk setiap barisan ( x n ) konvergen ke c sehingga x n ∈ A dan xn > c
untuk semua n ∈ N . Barisan ( f (x) ) konvergen ke L
4.3.3 Teorema
19
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan diberikan c ∈ R merupakan titik limit dari
himpunan A ∩ (c , ∞ ) dan A ∩ ( −∞ , c ) . Maka
L = lim f jika dan hanya jika
x→c
lim f = L = lim− f
x →c +
x→c
Bukti :
f ( x) = L
Terdapat lim
x→c
Ambil sembarang ε > 0 pilih δ > 0 sehingga f ( x) − L < ε apabila
x − c < δ Jelas x − c < δ ⇔ c − δ < x < x + δ
Jadi
∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f ( x) − L < ε
apabila
c − δ < x < x + δ dan
c < x < x +δ
f = L = lim− f
Jadi xlim
→c +
x→c
⇐
f = L = lim− f
Terdapat xlim
→c +
x→c
Ambil sembarang ε > 0 pilih δ > 0 sehingga f ( x) − L < ε apabila
c − δ < x < c dan c < x < c − δ jelas c − δ < x < c dan c < x < c − δ
Jadi ∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f ( x) − L < ε apabila x − c < δ
f ( x) = L
Jadi lim
x→c
4.3.4 Contoh
(a). Diberikan f ( x ) = sgn( x )
Kita telah melihat contoh 4.1.10(b) bahwa sgn tidak mempunyai limit di 0.
Jelas bahwa lim+ sgn( x) = +1 dan lim− sgn(x) = −1. Karena limit ini satu sisi
x →0
x →0
yang berbeda. Itu juga mengikuti dari teorema 4.3.3 bahwa sgn( x ) tidak
mempunyai limit di 0.
1
(b). Diberikan g ( x) = e 2 untuk x ≠ 0
20
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
1
2
Gambar 4.3.1 grafik g ( x) = e untuk x ≠ 0
Kami pertama menunjukkan g tidak mempunyai sebuah limit kanan
berhingga di c = 0 karena tidak dibatasi pada setiap persekitaran kanan
(0, δ ) di 0. kita wajib memanfaatkan ketidaksamaan (1) 0 < t < e t untuk
t>0
Yang akan dibuktikan kemudian (lihat collary 8.3.3). mengikuti dari (1)
1
bahwa jika x > 0 , kemudian 0 < 1 x < e x .
Maka jika kita mengambil
1
xn = 1 , kemudian g ( x n ) > n untuk semua n ∈ N . Maka dari itu lim+ e x
n
x →0
tidak terdapat di R .
Namun, lim− e
x →0
1
x
= 0 . Memang jika x < 0 dan kita ambil t = − 1
kita mendapatkan 0 < − 1 < e
x
−1
x
x di (1)
. Ketika x < 0 , ini berarti 0 < −e
untuk semua x < 0 . Mengikuti dari ketidaksamaan bahwa lim− e
x →0
1
x
1
x
< −x
= 0.
LIMIT TAK HINGGA
4.3.5 Definisi
Diberikan A ∈ R dan f : A → R dan diberikan c ∈ R titik limit di A .
(i) Kita katakan bahwa f cenderung ∞ sebagai x → c , dan ditulis
21
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
lim f = ∞
x→c
Jika untuk setiap α ∈ R terdapat δ = δ (α ) > 0 sehingga untuk semua x ∈ A
dengan 0 < x − c < δ , maka f (x ) > α
(ii) Kita katakan bahwa f cenderung − ∞ sebagai x → c , dan ditulis
lim f = −∞
x →c
Jika untuk setiap β ∈ R terdapat δ = δ ( β ) > 0 sehingga untuk semua x ∈ A
dengan 0 < x − c < δ , maka f (x ) < β
Interpretasi geometri limit di tak hingga:
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
x→∞
x→∞
lim f ( x ) = +∞
x→∞
lim f ( x ) = −∞
x → −∞
22
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.3.6 Contoh
(a). lim( 1
x →0
x2
)=∞
Jika α > 0 diberikan δ = 1
sehingga 1
x2
α
maka bila ada 0 < x < δ , maka x 2 < 1
α
>α .
4.3.7 Teorema
Ambil A ∈ R dan ambil f , g : A → R . dan ambil c ∈ R menjadi titik limit dari A.
diduga f ( x) ≤ g ( x) untuk x ∈ A, x ≠ c :
1. Jika Lim f = ∞ maka Lim g = ∞
x →c
x →c
2. Jika Lim g = −∞ maka Lim f = −∞
x→ c
x →c
Bukti :
a. Jika Lim f = ∞ dan α ∈ R diberikan, maka ada ( ) > 0 sedemikian
x →c
sehingga jika 0 < x − c < δ (α ) dan x ∈ A maka f ( x) > a . tetapi karena
f ( x ) ≤ g ( x) untuk semua x ∈ A , x ≠ c , berarti jika 0 < x − c < δ (α ) dan
x ∈ A maka g ( x ) > α . Terbukti Lim g = ∞
x →c
23
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.3.8. Definisi
Ambil A ∈ R dan f : A → R
Jika c ∈ R adalah titik limit dari himpunan
A ∩ (c, ∞) = {x ∈ A, x > c} maka dikatakan f cenderung ke ∞ seperti x → c + dan
ditulis
Lim f = ∞ (masing-masing Lim f = −∞ )
x →c
x →c
Jika untuk setiap α ∈ R ada δ = δ (α ) > 0 sedemikian sehingga untuk semua
x ∈ A dengan 0 < x − c < δ maka f ( x) > α (masing-masing f ( x) < α )
Contoh :
1.
Ambil g ( x) = 1 x untuk x ≠ 0 . Kita mempunyai catatan dari contoh 4.3.6(b)
bahwa Lim g tidak ada. Contoh ini menunjukkan :
x→0
Lim(1 / x ) = ∞ dan Lim (1 / x ) = −∞
x →0 +
2.
x →0 −
Lihat contoh 4.3.4(b) bahwa fungsi g ( x) = e1 x untuk x ≠ 0 adalah tidak
terbatas di interval (0, δ ) . Limit kanan dari e1 x seperti x → 0 + tidak ada
1
x
definisi, karena 1 x < e1 x untuk x > 0 Maka Lim e = −∞ dari definisi 4.3.8.
x →0 +
INFINITI LIMIT
4.3.10. Definisi
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ) ⊆ A untuk semua a ∈ R.
dikatakan bahwa L ∈ R adalah limit dari f seperti x → ∞ dan ditulis
Lim f = L atau Lim f ( x ) = L
x→∞
x →∞
Jika diberikan ε > 0 maka ada K = K (ε ) > a sedemikian sehingga untuk x > K
maka f ( x) − L < ε .
24
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.3.11 Teorema
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ R .
maka pernyataan dibawah ini ekuivalen :
1.
Lim f = L
2.
Untuk barisan
x→∞
( xn )
di A ∩ (a, ∞) sedemikian sehingga limit (a, ∞) ,
barisan ( f ( xn )) konvergen ke L.
Contoh :
1. Ambil g ( x) = 1 x untuk x ≠ 0
Jawab :
Ditunjukkan Lim (1 / x ) = 0 = Lim (1 / x ) lihat 4.3.4
x→∞
x → −∞
2. Ambil f ( x ) = 1 x 2 untuk x ≠ 0
(
)
(
Ditunjukkan bahwa Lim 1 / x 2 = 0 = Lim 1 / x 2
x→∞
x→−∞
)
(lihat 4.3.3). Jika x ≥ 1
(
)
maka 0 ≤ 1 x 2 ≤ 1 x . dari bagian (1) terbukti bahwa Lim 1 / x 2 = 0
x→∞
4.3.13 Definisi
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ A .
dikatakan bahwa f cenderung ke ∞ seperti x → ∞ dan ditulis
Lim f = ∞ (masing-masing Lim f = ∞ )
x →∞
x → −∞
Jika diberikan α ∈ R maka ada K = K (ε ) > a sedemikian sehingga untuk x > K
maka f ( x) > α .
4.3.14 Teorema
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ A .
pernyataan dibawah ini ekuivalen :
25
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
1. Lim f = L
x→∞
2. Untuk barisan (xn) di (a, ∞) sedemikian sehingga lim(x n ) = ∞ maka lim
( f (xn )) = ∞ .
4.3.15. Teorema
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ A .
dimana g ( x) > 0 untuk x > a dan untuk L ∈ R, L ≠ 0 maka
Lim
x →∞
f ( x)
=L
g ( x)
1.
Jika L > 0 maka Lim f = ∞ jika dan hanya jika Lim g = ∞
2.
Jika L < 0 maka Lim f = −∞ jika dan hanya jika Lim g = ∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
Bukti :
Karena L > 0 Hipotesis ini ada a1 > a maka :
0 < 12 L ≤
f ( x) 3
< 2 L untuk x > a1
g ( x)
Karena ( 12 L) g ( x) < f ( x) < (3L 2 )g ( x) untuk x > a1 dari kesimpulan ini maka
terbukti.
Contoh :
1.
Lim x n = ∞ Untuk n ∈ N
x→∞
Jawab :
Ambil g ( x) = x n untuk x ∈ (0, ∞) . Diberikan α ∈ R , ambil K = sup[1, α ]
Kemudian untuk semua x > K . Maka g ( x) = x n ≥ x > α . Karena α ∈ R
maka Lim x n = ∞
x→∞
2.
Lim x n = ∞ Untuk n ∈ N , n genap dan Lim x n = −∞ Untuk n ∈ N , n ganjil
x→−∞
x →−∞
Jawab :
26
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Karena n ganjil maka n = 2k + 1 dengan k = 0,1,...
Diberikan α ∈ R , ambil K = inf {α ,−1} Untuk x > K karena
( )
Terdapat x n = x 2
3.
k
(x )
2 k
≥1
≤ x < α . Karena ε ∈ R maka Lim x n = −∞
x →−∞
Ambil p : R → R adalah fungsi polinomial :
p( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0
kemudian Lim p = ∞ jika an > 0 dan Lim p = −∞ jika an > 0 ambil g(x) = xn
x →∞
x →∞
dan gunakan teorema 4.3.15 karena
p ( x)
1
1
1
+ ... + a1 n −1 + a 0 n
= a n + a n −1
g ( x)
x
x
x
sedemikian sehingga Lim ( p ( x ) / g ( x )) = a n karena Lim g = ∞ berlaku
x →∞
x→∞
teorema 4.3.15
4.
Ambil p fungsi polinom dari bagian (3). Ada Lim p = ∞ (masing-masing - )
x →∞
Jika n genap dan an > 0 .
27
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R.G, dan Sherbert, D.E., 1994. Introduction To Real Analysis, Third
Edition. New York:John Wiley & Sons.
Chotim. Moch. 2008. Diktat Bahan Ajar Analisis Real 1.
28
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.1. FUNGSI LIMIT
Definisi 4.1.1
A ⊆ R Titik c ∈ R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap δ > 0 ada paling
sedikit satu titik di x ∈ A, x ≠ c sedemikian sehingga x − c < δ .
Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :
Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau
ditulis δ (c ) yaitu :
δ (c ) = {x ∈ R; x − c < δ }
= −δ < x − c < δ
= c −δ < x < c +δ
Vδ (c) = (c − δ , c + δ ) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan
c.
Catatan : A ⊆ R , c titik limit dari A jika Vδ (c) = ∩ A yang berbeda dari c.
Teorema 4.1.2
Bilangan real c adalah titik limit dari A, A ⊆ R , jika dan hanya jika ada barisan
(an ) dalam A dan
x ≠ c, ∀n ∈ N sedemikian hingga Lim(an ) = c
Bukti :
( )
A ⊆ R . Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan
ada barisan (an) dalam A dan x ≠ c, ∀n ∈ N sedemikian hingga Lim(an ) = c
c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n∈ N , persekitaran
1 n dari c, yaitu V1
n
(c)
memuat paling sedikit satu titik dalam A yang
berbeda dengan c. Jika an, ∀n∈ N merupakan titik-titik tersebut, maka an
an ∈ A x ≠ c dan Lim(an ) = c (terbukti)
1
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Jika ada barisan (an) dalam A dan x ≠ c, ∀n ∈ N sedemikian hingga
(⇐)
Lim(an ) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A
(an) dalam A dan an
c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,
artinya untuk sembarang δ > 0, ∃K ∈ N , sehingga jika n ≥ K (δ ) , maka
an ∈δ (c) . Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c, δ (c ) yang
memuat titik-titik an, ∀n ≥ K (δ ), an ∈ A dan an
c. Jadi, c merupakan titik
limit dari A.
DEFINISI LIMIT
4.1.4. Definisi
A ⊆ R, f : A → R , dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan
limit dari f di c, jika
> 0 ada
> 0 sedemikian hingga untuk sembarang x ∈ A
dan 0 < x − c < δ maka f ( x) − L < ε
Catatan :
a.
Pengambilan nilai
bergantung pada pengambilan
, sehingga kadang-
kadang ditulis dengan ( ).
b.
Ketaksamaan 0 < x − c adalah ekuivalen dapat dikatakan x ≠ c
Jika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan
ditulis :
L = Lim f (x) atau L = Lim f
x→ c
x→ c
dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c
Teorema 4.1.5
Jika f : A → R , dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.
Bukti :
Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 ≠ L 2
2
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Pilih > 0, sehingga
L1 merupakan limit f di c maka ada δ 1 (ε 2) > 0 dan 0 < x − c < δ1 (δ 2) maka
f (x) − L1 < ε 2
L2 mer upakan limit f di c maka ada δ 2 (ε 2) > 0 dan 0 < x − c < δ 2 (δ 2) maka
f (x) − L2 < ε 2
Ambil δ = min{δ1 (ε 2),δ 2 (ε 2)} maka jika x ∈ A dan 0 < x − c < δ , dengan
ketaksamaan segitiga didapatkan :
L1 − L2 ≤ L1 − f ( x) + f ( x) − L2 < ε 2 + ε 2 = ε
Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1 – L2 = 0 jadi L1 = L2
Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena
Vδ (c) = (c − δ , c + δ ) = {x ∈ R; x − c < δ }
Ketaksamaan segitiga 0 < x − c < δ adalah ekuivalen dikatakan bahwa x
c dan x
berbeda ke persekitaran V (c) dari c. sama dengan ketaksamaan f (x) − L1 < ε |
adalah ekuivalen dikatakan bahwa f (x ) berbeda ke persekitaran V (L) dari L.
3
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.1.6 Teorema
Ambil f : A → R , c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah
ini :
1. Lim f ( x) = L
x →c
2. Diberikan persekitaran- V (L) dari L, ada persekitaran- V (c) sedemikian
sehingga jika x
c adalah titik Vε (L) ∩ A, x ≠ c maka f ( x) ∈Vε ( L)
Contoh :
1.
Lim b = b
x →c
Bukti :
Tampak bahwa f (x ) = b ∀x ∈ R akan ditunjukkan Lim b = b
x →c
>
Jika
0,
ambil
=
1,
sehingga
f ( x) − b = b − b = 0 < ε . Terbukti karena
jika
0 < x − c < 1 diperoleh
> 0 maka dapat disimpulkan
Lim b = b
x →c
2.
Lim x = c
x →c
Bukti :
g ( x ) = x, ∀x ∈ R Jika
> 0, ambil
= , sehingga jika 0 < x − c < δ maka
diperoleh
g ( x) − c = x − c < ε . Karena > 0 maka terbukti bahwa Lim x = c .
x →c
3.
Lim x 2 = c 2
x→c
Bukti :
h( x) = x 2 ∀x ∈ R . Untuk menunjukkan Lim x 2 = c 2 , maka harus ditunjukkan
x→c
h( x) − c 2 = x 2 − c 2 < ε
Ambil sembarang > 0 dan x yang cukup dekat dengan c.
5
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Dimana x 2 − c 2 = ( x − c)(x + c) Jika x − c < 1.
Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :
x ≤ c + 1 sehingga x + c ≤ x + c ≤ 2 c + 1
Jika x + c < 1 , maka akan diperoleh :
(*) x 2 − c 2 = x + c x − c ≤ (2 c + 1) x − c |
dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .
Hal tersebut akan dipenuhi jika x − c < ε (2 c + 1)
Oleh karena itu, pilih δ (c ) = inf 1,
ε
2c +1
sehingga jika 0 < x − c < δ (ε ) 0 maka memenuhi :
x − c < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh
(*) x 2 − c 2 ≤ (2 c + 1) x − c < ε
Karena nilai ( ) > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai
> 0,
maka terbukti bahwa Lim x 2 = c 2
x→c
4.
tunjukkan Lim( x 2 + 2x) = 15
x→3
Bukti :
Ambil f(x) = x2+2x, ∀x ∈ R
Maka f ( x) − 15 < ε
Akdib : x 2 + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) < x + 5 x − 3
Misal =1
x − 3 < 1 atau x ∈ (2,4)
Jadi x + 5 ∈ (7,9) atau x + 5 < 9
x 2 + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) < 9 jika 0 ≤ x − 3 < δ
6
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Ambil sebarang ε > 0, pilih min 1,
ε
9
Jadi, x 2 + 2 x − 15 ≤ x + 5 x − 3
≤ 5δ
≤ 5.
ε
5
≤ε
Jadi terbukti
Kriteria Barisan Untuk Limit
4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)
f : A → R , dan c merupakan titik limit dari A maka :
(i)
Lim f ( x) = L
x →c
(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga
xn ≠ c, ∀n ∈ N , maka barisan ( f ( xn )) konvergen ke L
Bukti :
(i)
(ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam A
dengan lim(xn ) = c
( f (xn ))
xn ≠ c, ∀n ∈ N . Kita harus menunjukkan bahwa barisan
konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4), jika
diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika x ∈ A memenuhi
0 < x − c < δ , maka f (x ) memenuhi f ( x) − L < ε .
lim(xn ) = c , artinya untuk sembarang δ > 0, ∃K (δ ) ∈ N , sehingga untuk n ≥ K (δ )
berlaku xn − c Tetapi setiap xn memenuhi f ( x) − L < ε . Jadi, jika n ≥ K (δ )
maka berlaku n ≥ K (δ ) artinya barisan ( f ( xn )) konvergen ke L.
(ii)
(i). Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan
mengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.
7
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Andaikan Lim f ( x) ≠ L maka akan ada persekitaranx →c
0
dari L, Vε0 ( L) sehingga
untuk setiap persekitaran- dari c, Vε 0 (c) yang diambil, terdapat paling sedikit
satu nilai x, δ ∈ A ∩Vε0 (c) dengan Vδ ≠ c, f ( x ) ≠ Vε ( L ) . Oleh karena itu, ∀n∈ N
0
, persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga
0 < xn − c < 1 n dan x ∈ A Tetapi, f ( xn ) − L ≥ ε 0 , ∀n ∈ N .
Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A− {c}
konvergen ke c, tetapi barisan ( f ( xn )) tidak konvergen ke L.
Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat
kontra positif, maka (ii)
(i) bernilai benar.
Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit
fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.
Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu
bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan
Kriteria Barisan, fungsi h( x) = x 2
mempunyai limit : Lim h( x) = c 2
x→c
Kriteria Divergensi
Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari
suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada
suatu titik.
4.1.9 Kriteria Divergensi
A ⊆ R, f : A → R dan c merupakan titik limit dari A.
a.
Jika L ∈ R , maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika ada
barisan (xn) dalam A, xn ≠ c, ∀n ∈ N , sehingga barisan (xn) konvergen ke c,
tetapi ( f ( xn )) tidak konvergen ke L.
8
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
b.
Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn)
dalam A, xn ≠ c, ∀n ∈ N , sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi ( f ( xn ))
tidak konvergen di R.
Contoh :
1.
Lim ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
Bukti :
Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n∈ N , maka lim (xn) = 0,
tetapi (xn) = 1/(1/n) = n, dan barisan (ϕ (xn )) = (n) merupakan barisan yang
tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9
(b) disimpulkan bahwa Lim ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
2.
Lim sgn( x ) tidak ada.
x→ 0
Bukti :
Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :
+ 1 untuk x > 0
sgn( x) =
0 untuk x = 0
− 1 untuk x < 0
Ingat bahwa sgn(x) = x x
untuk
x ≠ 0 (lihat gambar 4.1.2). Akan
ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan
ditunjukkan Lim sgn( x ) tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)
x→ 0
dan l Lim sgn( x ) = 0 , tetapi ( sgn(x) ) tidak konvergen.
Fungsi signum
9
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Ambil x n = (− 1)n n untuk n ∈ N , maka lim( xn ) = 0 dan sgn( x ) = (− 1)n
untuk n ∈ N
Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(x) tidak konvergen. Jadi, Lim sgn( x ) tidak
x →0
ada.
3.
Lim sin ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
Bukti :
Jika g ( x) = sin(1 n) , untuk x ≠ 0 . (lihat gambar 4.1.3) Akan ditunjukkan
bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c = 0, dengan menetapkan dua barisan
(xn) dan (yn), dimana xn
lim(xn ) = 0 dan
0 dan yn
lim(yn ) = 0
0, ∀n ∈ N sedemikian hingga
lim(g ( xn )) = 0 ≠ lim(g ( yn ))
tetapi
hal
itu
menunjukkan bahwa Lim g tidak ada.
x→0
Fungsi g ( xn ) = sin (1 x )(x ≠ 0)
Ingat : sin t = 0 jika t = nπ , dan sin t = +1 jika t = 1 2 π + 2nπ untuk n ∈ Z
Ambil xn = 1 nπ ∀n ∈ N , maka lim(xn ) = 0 dan g ( xn ) = sin nπ = 0 ∀n ∈ N ,
sehingga lim(g (xn )) = 0 Ambil y n =
1
1
π + 2 nπ
2
untuk n ∈ N , maka lim( y n ) = 0
10
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
dan g ( y n ) = sin ( 12 π + 2nπ ) = 1
∀n ∈ N
sehingga
lim(g ( yn )) = 1
maka
Lim sin ( 1x ) tidak ada di R.
x →0
4.2 TEOREMA LIMIT
4.2.1 Definisi
Diberikan A ⊆ R , f : A → R , dan diberikan c ∈ R titik limit dari A . Kita
katakan bahwa f terbatas pada persekitaran c jika terdapat persekitaran δ , Vδ (c)
dan
M > 0 seperti yang kita
konstanta
miliki
f ( x ) ≤ M untuk
semua
x ∈ A ∩ Vδ (c) .
4.2.2 Teorema
Jika A ⊆ R dan f : A → R mempunyai sebuah limit di c ∈ R , maka
f
terbatas pada suatu persekitaran pada c
Bukti :
Jika L := lim f , maka untuk e = 1 , terdapat δ > 0 sedemikian hingga jika
x →c
0 < x − c < δ , kemudian f ( x ) < 1 ( oleh corollary 2.2.4(a)),
f ( x) − L ≤
f ( x) − L < 1
Karena itu, jika x ∈ A ∩V δ (c ), x ≠ c , maka f (x ) ≤ L + 1 . Jika c ∉ A , kita
ambil M = L + 1 , sementara jika c ∈ A kita ambil M := sup{ f (c ) , L + 1}. Maka
bila ada x ∈ A ∩ Vδ (c ) , kemudian f ( x ) ≤ M . Ini menunjukkan bahwa f terbatas
pada suatu persekitaran pada c.
Berikut akan diberikan definisi, penjumlahan, selisih, perkalian dan pembagian
dari fungsi, seperti halnya dalam barisan.
4.2.3 Definisi
11
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Diberikan A ⊆ R , f dan g fungsi yang terdefinisi pada A ke R . Didefinisikan
jumlah f + g , selisih f − g dan perkalian fg pada A ke R dengan fungsi
(f
+ g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
(f
− g )(x ) = f ( x ) − g ( x )
( fg )(x ) = f ( x )g (x )
untuk semua x ∈ A . Selanjutnya jika b ∈ R didefinisikan perkalian bf dengan
fungsi (bf )( x ) = bf ( x ) untuk semua x ∈ A .
Akhirnya, jika h( x ) ≠ 0 untuk x ∈ A , kita definisikan pembagi f / h dengan
fungsi
f
h
(x ) = f (x )
h( x )
untuk semua x ∈ A
4.2.4 Teorema
Diberikan A ⊆ R , diberikan f dan g merupakan fungsi pada A ke R , dan
diberikan c ∈ R tertimbun dari A . Lebih lanjut diberikan b ∈ R .
a. Jika lim f = L dan lim g = M , maka :
x→c
x→c
lim ( f + g ) = L + M ,
lim ( f − g ) = L − M
lim ( fg ) = LM
lim(bf ) = bL
x →c
x →c
x →c
x →c
b. Jika h : A → R , jika h( x ) ≠ 0 untuk semua x ∈ A , dan jika lim h = H ≠ 0 ,
x →c
maka
lim
x→c
f
L
=
h
H
Bukti :
Salah satu bukti teorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat
dibuktikan dengan menggunakan teorema 3.2.3 dan 4.1.8. Sebagai
contoh,
12
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
biarkan (xn ) menjadi urutan apapun di A sehingga xn ≠ c untuk
n ∈ N , dan
c = lim( xn ) . Mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa
lim( f ( x )) = L , lim( g (x )) = M
Di sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa
( fg )(xn ) = f (xn )g (xn )
untuk n ∈ N
Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya
lim(( fg )( xn )) = lim( f ( xn )g ( xn ))
= [lim( f ( x n ))][lim( g (x n ))] = LM
Bagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama. Kita meninggalkan
rincian untuk pembaca.
Komentar
1. Catatan kita, bahwa bagian b, asumsikan penjumlahan bahwa H = lim h ≠ 0
x →c
dibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit
lim
x→ c
f (x )
h( x )
mungkin atau mungkin tidak ada. Tetapi bahkan jika limit ada, kita dapat
menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya.
2. Diberikan A ⊆ R , dan f1 , f 2 ,........ f n dengan fungsi A ke R , dan diberikan c
titik timbun dari A . Jika
Lk = lim f k
x →c
untuk k = 1,......... .n
Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa
L1 + L2 + ..... + Ln = lim( f1 + f 2 + ..... f n )
x →c
Dan
L1 ⋅ L2 ......Ln = lim( f1 ⋅ f 2 ..... f n )
x →c
13
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jika L = lim f dan n ∈ N , maka
x→c
Ln = lim( f (x ))
n
x →c
4.2.5
1.
Contoh
Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakan
teorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti dari hasil ini bahwa lim x = c ,
x →c
kemudian lim x 2 = c 2 dan jika c > 0 , maka
x →c
1
1
1
=
=
x lim c
lim
x →c
x →c
2.
(
)(
)
lim x 2 + 1 x 3 − 4 = 20
x →2
Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa
(
)(
)
(
))( (
(
))
lim x 2 + 1 x 3 − 4 = lim x 2 + 1 lim x 3 − 4
x →2
x→2
(
x→2
)(
= 2 2 + 1 23 − 4
)
= (4 + 1)(8 − 4 )
= 5⋅4
= 20
3. lim
x →2
x3 − 4
4
=
2
5
x +1
Jika berlaku teorema 4.2.4 b, maka
14
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
(
(
)
)
x3 − 4 4
x 3 − 4 lim
x→2
lim 2
=
=
x→2 x + 1
lim x 2 + 1 5
x →2
(
)
Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e lim x 2 + 1 = 5 ) tidak sama dengan
x →2
0, maka teorema 4.2.b berlaku.
x2 − 4 4
= ,
x →2 3 x − 6
3
4. lim
Jika diberikan f ( x ) = x 2 − 4 dan h(x ) = 3x − 6 untuk x ∈ R maka tidak dapat
digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi lim ( f ( x ) h( x )) karena
x→2
H = lim h( x ) = lim (3 x − 6)
x →2
x→2
= 3 lim x − 6 = 3.2 − 6 = 0
x→2
Bagaimanpun, jika x ≠ 2 , maka
x 2 − 4 ( x + 2)( x − 2) 1
=
= ( x + 2)
3x − 6
3( x − 2)
3
Maka dari itu
(
)
x2 − 4
1
1
4
= lim ( x + 2) = lim x + 2 =
x→2 3x − 6
x→2 3
3 x→2
3
lim
Catatan bahwa fungsi g ( x) = ( x 2 − 4) (3x − 6) mempunyai limit di x = 2
meskipun tidak ada definisinya.
1
5. lim tidak terdapat di R
x →0 x
15
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Tentu saja lim 1 = 1 dan H = lim x = 0 . Bagaimanapun, ketika H = 0 , tidak
x →1
x →0
dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi lim (1 x) . Dalam
x →0
faktanya, lihat contoh 4.1.10a, fungsi ϕ ( x ) = 1 x tidak mempunyai sebuah
limit di x = 0 . Kesimpulan mengikuti juga dari teorema 4.2.2 ketika fungsi
ϕ ( x ) = 1 x tidak terbatas dipersekitaran x = 0
6. Jika p adalah sebuah fungsi polynominal, maka lim p ( x) = p (c)
x→c
Biarkan p menjadi fungsi polynominal di R maka
p ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + .... + a1 x + a 0
untuk semua
x ∈ R . Berdasarkan
teorema 4.2.4 dan fakta bahwa lim x k = c k , maka
x→c
lim p( x) = lim[an x n + an −1 x n−1 + ...... + a1 x + a0
x →c
x →c
= lim(an x n ) + lim(an −1 x n−1 ) + ..... + lim(a1 x) + lim a0
x →c
x →c
x →c
x →c
= a n c n + a n −1 c n −1 + ..... + a1 c + a 0
= p (c )
Karenanya lim p ( x) = p (c) untuk setiap fungsi polynominal p
x→c
7. Jika p dan q adalah fungsi polynominal di R dan jika q ( c ) ≠ 0 maka
lim
x →c
p ( x ) p (c )
=
q ( x ) q (c )
Ketika q ( x ) adalah sebuah fungsi polynominal, berdasarkan dari sebuah
teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real
α 1 ,.....α m
[bilangan real nol di
q( x) ]
maka
q (α j ) = 0
dan jika
x ∉ (α 1 ,.....α m ) , maka q ( x ) ≠ 0 . Karenanya, jika x ∉ (α 1 ,.....α m ) kita dapat
definisikan
16
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
r ( x) =
p( x)
q ( x)
Jika c tidak nol di q ( x ) , maka q ( c ) ≠ 0 , dan mengikuti dari bagian vi bahwa
lim q ( x) = q (c) ≠ 0 . Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b
x →c
untuk menyimpulkan bahwa
lim
x →c
p ( x ) p (c )
p ( x) lim
= x →c
=
q ( x) lim q ( x) q (c)
x →c
Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6
4.2.6 Teorema
Diberikan A ⊆ R ,
a ≤ f ( x) ≤ b
f : A → R , dan diberikan c ∈ R titik limit dari A . Jika
untuk semua
x ∈ A, x ≠ c
dan jika terdapat
lim f , maka
x →c
a ≤ lim f ≤ b .
x →c
Bukti :
Memang, jika lim f , maka berdasarkan dari teorema 4.1.8 bahwa jika ( x n )
x →c
adalah setiap barisan bilangan real berlaku bahwa c ≠ x n ∈ A untuk semua n ∈ N
dan jika barisan ( x n ) konvergen ke c , maka barisan
( f (x ))
konvergen ke L .
Ketika a ≤ f ( x ) ≤ b untuk semua n ∈ N , berdasarkan dari teorema 3.2.6 bahwa
a ≤ L ≤ b.
Sekarang kita bagian analog dari teorema squeeze 3.2.7.
untuk
membuktikannya kita1 serahkan kepada pembaca.
17
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.2.7 Teorema Squeeze
Diberikan
A ⊆ R,
f , g, h : A → R ,
c∈R
dan
titik limit di
A . Jika
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) untuk semua x ∈ A, x ≠ c , dan jika lim f = L = lim h , maka
x →c
x →c
lim g = L
x →c
4.2.8 Contoh
3
2
lim x = 0 ( x > 0)
x →c
Diberikan f ( x) = x
3
2
1
2
untuk x > 0 sejak ketidaksamaan x < x ≤ 1 memegang
3
untuk 0 < x ≤ 1 . Hal berikut bahwa x 2 ≤ f ( x) = x 2 ≤ x untuk 0 < x ≤ 1 . Maka
lim x 2 = 0 dan lim x = 0
x →0
x →0
3
Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa lim x 2 = 0
x →c
4.2.9 Teorema
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan diberikan c ∈ R cmempunyai sebuah limit di A ,
jika lim f > 0
[masing-masing,
x →c
lim f < 0 ].
x →c
Maka
terdapat
sebuah
persekitaran Vδ (c) di c sehingga f ( x ) > 0 [masing-masing, f ( x ) < 0 ] untuk
semua x ∈ A ∩V δ (c ), x ≠ c .
Bukti :
Diberikan L = lim f dan menduga bahwa L > 0 . Kita ambil ε =
x→c
1
L > 0 di
2
definisi 4.1.4, dan memperoleh sebuah δ > 0 sehingga jika 0 < x − c < δ dan
x∈ A,
maka
f ( x) − L <
1
L.
2
Oleh
karena
itu
berikut
bahwa
jika
18
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
x ∈ A ∩V δ (c ), x ≠ c , maka f ( x ) >
1
L > 0 . Jika L < 0 berlaku argumen yang
2
sama.
4.3 Beberapa Tambahan Konsep Limit
4.3.1 Definisi
Diberikan A ∈ R dan f : A → R
i. Jika c ∈ R adalah titik limit dari bagian A ∩ (c , ∞ ) = { x ∈ A : x > c} maka kita
katakan bahwa L ∈ R adalah limit kanan f di c dan kita tulis
lim f = L
lim f ( x ) = L
x →c +
x →c +
Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ = δ (ε ) > 0 sehingga untuk semua x ∈ A
dengan 0 < x − c < δ maka f ( x) − L < ε .
ii. Jika c ∈ R adalah titik limit dari bagian A ∩ (−∞ , c ) = { x ∈ A : x < c} maka kita
katakan bahwa L ∈ R adalah limit kiri f di c dan kita tulis
lim f = L
x →c −
lim f ( x ) = L
x →c −
Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ > 0 sehingga untuk semua x ∈ A dengan
0 < x − c < δ maka f ( x) − L < ε .
4.3.2 Teorema
Diberikan A ∈ R dan f : A → R dan diberikan c ∈ R titik limit di A ∩ (c , ∞ ) .
Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen :
i.
lim f = L
x →c +
ii. Untuk setiap barisan ( x n ) konvergen ke c sehingga x n ∈ A dan xn > c
untuk semua n ∈ N . Barisan ( f (x) ) konvergen ke L
4.3.3 Teorema
19
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan diberikan c ∈ R merupakan titik limit dari
himpunan A ∩ (c , ∞ ) dan A ∩ ( −∞ , c ) . Maka
L = lim f jika dan hanya jika
x→c
lim f = L = lim− f
x →c +
x→c
Bukti :
f ( x) = L
Terdapat lim
x→c
Ambil sembarang ε > 0 pilih δ > 0 sehingga f ( x) − L < ε apabila
x − c < δ Jelas x − c < δ ⇔ c − δ < x < x + δ
Jadi
∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f ( x) − L < ε
apabila
c − δ < x < x + δ dan
c < x < x +δ
f = L = lim− f
Jadi xlim
→c +
x→c
⇐
f = L = lim− f
Terdapat xlim
→c +
x→c
Ambil sembarang ε > 0 pilih δ > 0 sehingga f ( x) − L < ε apabila
c − δ < x < c dan c < x < c − δ jelas c − δ < x < c dan c < x < c − δ
Jadi ∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f ( x) − L < ε apabila x − c < δ
f ( x) = L
Jadi lim
x→c
4.3.4 Contoh
(a). Diberikan f ( x ) = sgn( x )
Kita telah melihat contoh 4.1.10(b) bahwa sgn tidak mempunyai limit di 0.
Jelas bahwa lim+ sgn( x) = +1 dan lim− sgn(x) = −1. Karena limit ini satu sisi
x →0
x →0
yang berbeda. Itu juga mengikuti dari teorema 4.3.3 bahwa sgn( x ) tidak
mempunyai limit di 0.
1
(b). Diberikan g ( x) = e 2 untuk x ≠ 0
20
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
1
2
Gambar 4.3.1 grafik g ( x) = e untuk x ≠ 0
Kami pertama menunjukkan g tidak mempunyai sebuah limit kanan
berhingga di c = 0 karena tidak dibatasi pada setiap persekitaran kanan
(0, δ ) di 0. kita wajib memanfaatkan ketidaksamaan (1) 0 < t < e t untuk
t>0
Yang akan dibuktikan kemudian (lihat collary 8.3.3). mengikuti dari (1)
1
bahwa jika x > 0 , kemudian 0 < 1 x < e x .
Maka jika kita mengambil
1
xn = 1 , kemudian g ( x n ) > n untuk semua n ∈ N . Maka dari itu lim+ e x
n
x →0
tidak terdapat di R .
Namun, lim− e
x →0
1
x
= 0 . Memang jika x < 0 dan kita ambil t = − 1
kita mendapatkan 0 < − 1 < e
x
−1
x
x di (1)
. Ketika x < 0 , ini berarti 0 < −e
untuk semua x < 0 . Mengikuti dari ketidaksamaan bahwa lim− e
x →0
1
x
1
x
< −x
= 0.
LIMIT TAK HINGGA
4.3.5 Definisi
Diberikan A ∈ R dan f : A → R dan diberikan c ∈ R titik limit di A .
(i) Kita katakan bahwa f cenderung ∞ sebagai x → c , dan ditulis
21
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
lim f = ∞
x→c
Jika untuk setiap α ∈ R terdapat δ = δ (α ) > 0 sehingga untuk semua x ∈ A
dengan 0 < x − c < δ , maka f (x ) > α
(ii) Kita katakan bahwa f cenderung − ∞ sebagai x → c , dan ditulis
lim f = −∞
x →c
Jika untuk setiap β ∈ R terdapat δ = δ ( β ) > 0 sehingga untuk semua x ∈ A
dengan 0 < x − c < δ , maka f (x ) < β
Interpretasi geometri limit di tak hingga:
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
x→∞
x→∞
lim f ( x ) = +∞
x→∞
lim f ( x ) = −∞
x → −∞
22
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.3.6 Contoh
(a). lim( 1
x →0
x2
)=∞
Jika α > 0 diberikan δ = 1
sehingga 1
x2
α
maka bila ada 0 < x < δ , maka x 2 < 1
α
>α .
4.3.7 Teorema
Ambil A ∈ R dan ambil f , g : A → R . dan ambil c ∈ R menjadi titik limit dari A.
diduga f ( x) ≤ g ( x) untuk x ∈ A, x ≠ c :
1. Jika Lim f = ∞ maka Lim g = ∞
x →c
x →c
2. Jika Lim g = −∞ maka Lim f = −∞
x→ c
x →c
Bukti :
a. Jika Lim f = ∞ dan α ∈ R diberikan, maka ada ( ) > 0 sedemikian
x →c
sehingga jika 0 < x − c < δ (α ) dan x ∈ A maka f ( x) > a . tetapi karena
f ( x ) ≤ g ( x) untuk semua x ∈ A , x ≠ c , berarti jika 0 < x − c < δ (α ) dan
x ∈ A maka g ( x ) > α . Terbukti Lim g = ∞
x →c
23
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.3.8. Definisi
Ambil A ∈ R dan f : A → R
Jika c ∈ R adalah titik limit dari himpunan
A ∩ (c, ∞) = {x ∈ A, x > c} maka dikatakan f cenderung ke ∞ seperti x → c + dan
ditulis
Lim f = ∞ (masing-masing Lim f = −∞ )
x →c
x →c
Jika untuk setiap α ∈ R ada δ = δ (α ) > 0 sedemikian sehingga untuk semua
x ∈ A dengan 0 < x − c < δ maka f ( x) > α (masing-masing f ( x) < α )
Contoh :
1.
Ambil g ( x) = 1 x untuk x ≠ 0 . Kita mempunyai catatan dari contoh 4.3.6(b)
bahwa Lim g tidak ada. Contoh ini menunjukkan :
x→0
Lim(1 / x ) = ∞ dan Lim (1 / x ) = −∞
x →0 +
2.
x →0 −
Lihat contoh 4.3.4(b) bahwa fungsi g ( x) = e1 x untuk x ≠ 0 adalah tidak
terbatas di interval (0, δ ) . Limit kanan dari e1 x seperti x → 0 + tidak ada
1
x
definisi, karena 1 x < e1 x untuk x > 0 Maka Lim e = −∞ dari definisi 4.3.8.
x →0 +
INFINITI LIMIT
4.3.10. Definisi
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ) ⊆ A untuk semua a ∈ R.
dikatakan bahwa L ∈ R adalah limit dari f seperti x → ∞ dan ditulis
Lim f = L atau Lim f ( x ) = L
x→∞
x →∞
Jika diberikan ε > 0 maka ada K = K (ε ) > a sedemikian sehingga untuk x > K
maka f ( x) − L < ε .
24
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
4.3.11 Teorema
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ R .
maka pernyataan dibawah ini ekuivalen :
1.
Lim f = L
2.
Untuk barisan
x→∞
( xn )
di A ∩ (a, ∞) sedemikian sehingga limit (a, ∞) ,
barisan ( f ( xn )) konvergen ke L.
Contoh :
1. Ambil g ( x) = 1 x untuk x ≠ 0
Jawab :
Ditunjukkan Lim (1 / x ) = 0 = Lim (1 / x ) lihat 4.3.4
x→∞
x → −∞
2. Ambil f ( x ) = 1 x 2 untuk x ≠ 0
(
)
(
Ditunjukkan bahwa Lim 1 / x 2 = 0 = Lim 1 / x 2
x→∞
x→−∞
)
(lihat 4.3.3). Jika x ≥ 1
(
)
maka 0 ≤ 1 x 2 ≤ 1 x . dari bagian (1) terbukti bahwa Lim 1 / x 2 = 0
x→∞
4.3.13 Definisi
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ A .
dikatakan bahwa f cenderung ke ∞ seperti x → ∞ dan ditulis
Lim f = ∞ (masing-masing Lim f = ∞ )
x →∞
x → −∞
Jika diberikan α ∈ R maka ada K = K (ε ) > a sedemikian sehingga untuk x > K
maka f ( x) > α .
4.3.14 Teorema
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ A .
pernyataan dibawah ini ekuivalen :
25
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
1. Lim f = L
x→∞
2. Untuk barisan (xn) di (a, ∞) sedemikian sehingga lim(x n ) = ∞ maka lim
( f (xn )) = ∞ .
4.3.15. Teorema
Ambil A ∈ R dan f : A → R . Jika c ∈ R . ada (a, ∞) ⊆ A untuk semua a ∈ A .
dimana g ( x) > 0 untuk x > a dan untuk L ∈ R, L ≠ 0 maka
Lim
x →∞
f ( x)
=L
g ( x)
1.
Jika L > 0 maka Lim f = ∞ jika dan hanya jika Lim g = ∞
2.
Jika L < 0 maka Lim f = −∞ jika dan hanya jika Lim g = ∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
Bukti :
Karena L > 0 Hipotesis ini ada a1 > a maka :
0 < 12 L ≤
f ( x) 3
< 2 L untuk x > a1
g ( x)
Karena ( 12 L) g ( x) < f ( x) < (3L 2 )g ( x) untuk x > a1 dari kesimpulan ini maka
terbukti.
Contoh :
1.
Lim x n = ∞ Untuk n ∈ N
x→∞
Jawab :
Ambil g ( x) = x n untuk x ∈ (0, ∞) . Diberikan α ∈ R , ambil K = sup[1, α ]
Kemudian untuk semua x > K . Maka g ( x) = x n ≥ x > α . Karena α ∈ R
maka Lim x n = ∞
x→∞
2.
Lim x n = ∞ Untuk n ∈ N , n genap dan Lim x n = −∞ Untuk n ∈ N , n ganjil
x→−∞
x →−∞
Jawab :
26
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Karena n ganjil maka n = 2k + 1 dengan k = 0,1,...
Diberikan α ∈ R , ambil K = inf {α ,−1} Untuk x > K karena
( )
Terdapat x n = x 2
3.
k
(x )
2 k
≥1
≤ x < α . Karena ε ∈ R maka Lim x n = −∞
x →−∞
Ambil p : R → R adalah fungsi polinomial :
p( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0
kemudian Lim p = ∞ jika an > 0 dan Lim p = −∞ jika an > 0 ambil g(x) = xn
x →∞
x →∞
dan gunakan teorema 4.3.15 karena
p ( x)
1
1
1
+ ... + a1 n −1 + a 0 n
= a n + a n −1
g ( x)
x
x
x
sedemikian sehingga Lim ( p ( x ) / g ( x )) = a n karena Lim g = ∞ berlaku
x →∞
x→∞
teorema 4.3.15
4.
Ambil p fungsi polinom dari bagian (3). Ada Lim p = ∞ (masing-masing - )
x →∞
Jika n genap dan an > 0 .
27
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R.G, dan Sherbert, D.E., 1994. Introduction To Real Analysis, Third
Edition. New York:John Wiley & Sons.
Chotim. Moch. 2008. Diktat Bahan Ajar Analisis Real 1.
28
Analisis Real, 2011
Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya