PENERAPAN KONSEP VEKTOR

Nomor
Topik Bahasan
5.3
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi

Media Presentasi
Pembelajaran
Matematika Kelas XII
( Semester Genap )
Program Studi

Ilmu Alam

Contoh Soal
Uji
Kompetensi

Oleh:
Teopilus Malatuni

( SMA Negeri 1 Kaimana )

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Lanjut

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi

Petunjuk Belajar

Media Presentasi Pembelajaran ini dibuat dengan menggunakan
salah satu aplikasi dari keluarga Microsoft Office yaitu Microsoft
Office PowerPoint 2003. Dalam pengoperasiannya dilengkapi
dengan tombol-tombol navigasi yang sangat simpel yang berada di
panel sebelah kiri (Menu) dan di bar bagian bawah; sehingga
memudahkan pemakai untuk menggunakannya, karena semua
kendali pengoperasian dilakukan melalui tombol-tombol navigasi
tersebut. Misalnya untuk melihat contoh soal lakukan klik pada
tombol Contoh Soal. Begitu juga dengan pilihan topik lainnya, Anda
hanya melakukan klik pada judul topik sesuai pilihan dalam setiap
tombol. Untuk menampilkan slide berikutnya klik pada tombol
Lanjut atau untuk kembali ke slide di depannya pilih tombol Balik.
Jika Anda telah menampilkan suatu topik maka animasi dari topik
dalam tombol di sebelah kiri akan muncul yang mengindikasi-kan
bahwa topik tersebut sedang aktif. Dalam uraian materi terdapat
gambar-gambar animasi sebagai visualisasi dari konsep yang
disampaikan. Untuk melihat animasi tersebut klik pada sembarang
tempat dalam slide. Kata (kalimat) berwarna dan bergaris bawah
merupakan link silahkan klik pada kata atau kalimat tersebut untuk
melihat isinya.

Semoga media ini bermanfaat bagi mereka yang menggunakannya. Salam hangat!
Teopilus Malatuni

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan

Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar minimal yang harus dicapai
setelah menyelesaikan topik ini adalah:

Standar Kompetensi
Ю Merancang dan menggunakan model matematika program
linear serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan
dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi
eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar

Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal

Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam
pemecahan masalah;
Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua
vektor dalam pemecahan masalah.

Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Pendahuluan
Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata
vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang
sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran ini adalah:

Skalar

:
Besaran yang hanya mempunyai nilai saja
(menunjukkan suatu bilangan real tertentu). Contoh: suhu,
massa, dan sebagainya.

Vektor

:
Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah.
Biasanya digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan,
pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya.

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal

Uji
Kompetensi
Referensi

Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan

Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal

Uraian Materi

Silahkan pilih Materi yang ingin disampaikan
(dipelajari):
A.

Notasi Vektor

B.

Aljabar Vektor

C.

Vektor Basis

D.

Vektor Posisi

E.

Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

F.

Perkalian Silang Vektor

G.

Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R3)

H.

Contoh Soal

Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

A. Notasi Vektor
Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan
arahnya tertentu.
gambar 1

u

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan

A

B

Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil.
Misalnya: u, u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan
sebuah vektor.
u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujung
Arah anak panah = arah vektor
Panjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan
real.
x
y

• Untuk vektor di bidang (R ) : u = (x, y) atau u =
2

Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi

• Untuk vektor di ruang (R3) : u = (x, y, z) atau u =

x
y
z

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

B. Aljabar Vektor
Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan berikut.

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

• Dua vektor dikatakan sama
jika besar dan arahnya sama.
(Lihat gambar 2).

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan

gambar 2

u

=

v

Dua vektor yang sama

• Suatu vektor v dikatakan invers
dari vektor u jika berlaku u + v = 0;
0 adalah vektor nol. Jadi dua
vektor saling invers jika besarnya
sama tetapi berlawanan arah.
(Lihat gambar 3).

gambar 3

u

v = -u

Dua vektor yang saling
invers (berlawanan)

Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

Ю Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan
aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil
jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam
gambar 4 dan 5.
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

gambar 5

gambar 4

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

u

u
u +v

u+v

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi

v
Dengan aturan segitiga:
• Tempatkan titik pangkal
vektor v sehingga berimpit
dengan titik ujung vektor u;
• Vektor (u + v) diperoleh
dengan cara
menghubungkan titik pangkal
vektor u dengan titik ujung
vektor v.

v
Dengan aturan jajargenjang:
• Tempatkan titik pangkal vektor v
sehingga berimpit dengan titik
pangkal vektor u;
• Bentuklah jajargenjang dengan sisisisi yang sejajar dengan u dan v;
• Vektor (u + v) adalah diagonal
jajargenjang dengan titik pangkal
vektor u.

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

Ю Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u
dengan invers vektor v.

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi

gambar 6

u - v = u + (-v)

v

gambar 7

-u
v-u

u
-v

u-v

-v

v - u = v + (-u)

v

v

u

-u

u
Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar
Misalkan vektor u dan sebuah
bilangan real (skalar) m. Hasil kali
m dengan vektor u (mu) adalah
penggandaan vektor u sebanyak m
dan arah mu sama dengan arah
vektor u.

gambar 8

3u
2u

-2u

u

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

C. Vektor Basis
Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

gambar 9

gambar 10

Vektor Basis dalam Bidang (R2)

Standar
Kompetensi

Z

Y

Menu
Petunjuk

Vektor Basis dalam Ruang (R3)

k(0,0,1)
j(0,1)
O

i(1,0)

X

i(1,0,0)

O

j(0,1,0)

Y

X

Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi

Vektor i dan j merupakan vektor
basis dalam R2.

Vektor i, j, dan k merupakan vektor
basis dalam R3.

i : vektor satuan searah sumbu X+

i : vektor satuan searah sumbu X+

j : vektor satuan searah sumbu Y+

j : vektor satuan searah sumbu Y+
k : vektor satuan searah sumbu Z+

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

D. Vektor Posisi

Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat.
Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor satuan.
gambar 11

Vektor Posisi dalam Bidang (R2)

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi

gambar 12

Vektor Posisi dalam Ruang (R3)

Y

Z
R(x,y)

yj

zk

r

R(x,y,z)

r
O

xi

X

Titik R(x,y) adalah vektor posisi
OR dalam R2 yaitu:
r = (x,y) = xi + yj
Panjang dari r : | r |  x 2  y 2
r
Vektor satuan dari r : e = |r |

xi

yj

O

Y

X
Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR
dalam R3 yaitu:
r = (x,y,z) = xi + yj + zk
Panjang dari r :

| r |  x 2  y2  z2

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

Z

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

U(u1,u2, u3)

u

O

Standar
Kompetensi

Contoh Soal
Uji
Kompetensi

=v–u
v1 – u1

V(v1,v2, v3)

Petunjuk

Uraian Materi

UV = UO + OV
= -u + v

Menu

Pendahuluan

OU = u dan OV = v adalah vektorvektor posisi.

gambar 13

v

=

Y

v2 – u2
v3 – u3

Jika dinyatakan dengan kombinasi
linear maka:

X

UV = v – u
= (v1 – u1)i + (v2 – u2)j + (v3 – u3)k
Jarak atau panjang vektor UV adalah:
| UV |  (v 1  u1 ) 2  ( v2  u2 )  (v 3  u3 )2

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar.
Didefinisikan:
gambar 14
u.v = |u||v| Cos 
 = sudut antara u dan v
Jika : 0o    90o
maka u.v > 0
 = 90o
maka u.v = 0
90o    180o maka u.v < 0

u


v

Petunjuk
Standar
Kompetensi

gambar 15

Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

Misalkan vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan
vektor v = (v1i + v2j + v3k). Perkalian titik
kedua vektor adalah:
u.v = (u1i + u2j + u3k).(v1i + v2j + v3k)

Z

k(0,0,1)
i(1,0,0)

X

O

j(0,1,0)

= u1v1 + u2v2 + u3v3

Y

atau secara geometris:
u.v = |u||v| Cos 

i.i = | i || i | Cos 0o = 1 analog, maka:
i.i = j.j = k.k = 1
i.j = | i || j | Cos 90o = 0 (i  j ) analog, maka i.j = j.k = k.i = 0
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

F. Perkalian Silang Vektor

Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi

gambar 16



u

vxu

gambar 17

i x i = |i||i| Sin 0o = 0 analog, maka:
ixi=jxj=kxk=0

Z
k(0,0,1)

Uraian Materi

Uji
Kompetensi

v

u

v

Pendahuluan

Contoh Soal

Didefinisikan:
u x v = |u||v| Sin 
 = sudut terkecil antara u dan v
Arah u x v ditentukan berdasarkan arah
putaran tangan kanan.

uxv

i(1,0,0)

X

O

j(0,1,0)

Y

i x j = |i||j| Sin 90o = 1
(ij)
Berdasarkan definisi maka:
ixj=k
jxk=i
kxi=j
j x i = -k
k x j = -i i x k = -j

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai
determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah
cara Sarrus.
Vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k).

i
j
u x v = u1 u2
v1 v 2

k
i
j
u3  u1 u2
v3
v1 v 2

Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi

(–)

(–)

(–)

k i
j
u3 u1 u2
v 3 v1 v 2
(+)

(+)

(+)

u x v = ( u2v3i + u3v1j + u1v2k ) – ( u2v1k + u3v2i + u1v3j )

 u 2 v 3  u3 v 2 


u
v

u
v
uxv=  3 1 1 3
u v  u v 
2 1
 1 2

Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R 3)
gambar 18

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”


O


Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi

Z

u



Y

sudut antara vektor satuan i
dengan vektor u.



sudut antara vektor satuan j
dengan vektor u.



sudut antara vektor satuan k
dengan vektor u.

Jika u = u1i + u2j + u3k maka :
Cos  

u.i u1

ui
u

Cos  

u
u.k
 3
uk
u

X
gambar 19

Z
Pendahuluan

B(b1,b2,b3)

b

Uraian Materi

A(a1,a2,a3)



Contoh Soal

O



a

Y

Uji
Kompetensi
Referensi



Media Presentasi Pembelajaran | ©

u. j
u
 2
u j
u

Vektor a = a1i + a2j + a3k dan
vektor b = b1i + b2j + b3k maka
sudut antara kedua vektor:
Cos  
Cos  

X

Cos  

a.b
| a || b |

a1b1  a2b2  a3b3
a12  a 22  a3 2 . b12  b22  b3 2
Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Contoh Soal
1. Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2)
a) Nyatakan komponen dari PQ
b) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basis
b) Hitung panjang PQ
Penyelesaian:
a) PQ = PO + OQ = -p + q = q - p

Z

Menu

P(2,3,5)

Petunjuk

p

Standar
Kompetensi
O

q

Q(1,5,2)

Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi

 1
 

PQ  5  
 2
 
Y

 2    1
   
 3   2 
5   3
   

b) Bila dinyatakan sebagai
kombinasi linear vektor basis,
maka:

X

PQ = -i + 2j – 3k

2
2
2
c) |PQ|  (1  2)  (5  3)  (2  5)

|PQ|  (  1)2  22  (  3)2
|PQ|  14

Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal

Contoh Soal
2. Tentukan besar sudut antara vektor u = 3i – 2j + k dengan sumbusumbu koordinat.
Penyelesaian:
Misalkan:  sudut antara vektor u dengan sumbu X
 sudut antara vektor u dengan sumbu Y
 sudut antara vektor u dengan sumbu Z
| u | 32  (  2)2  12  14
 3 14 
u
3
3 14
  36,7o
Cos   1 

   arc cos


| u|
14
14
 14 
u
Cos   2  
| u|

2
14



 2 14 
2 14
 122,3o
   arc cos 

14
14 


 14 
u
1
14
  74,5o
Cos   3 

   arc cos
 14 
| u|
14
14



Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

Contoh Soal
3. Diketahui vektor a = (–1, 0, 2) dan b = (–3, 0, 1). Tentukan besar
sudut antara vektor a dan b.
Penyelesaian:
Misalkan:  adalah sudut antara vektor a dan b.
Cos  

a.b
| a || b |

Petunjuk
Standar
Kompetensi

Cos  

 1(  3)  0(0)  2(1)
(  1)2  02  22 . (  3)2  02  12
5

5

1

1
2   45o
2    arc cos
2
2


Pendahuluan

Cos  

Uraian Materi

Jadi besar sudut antara vektor a dan b = 45o

5. 10



5 2



Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

Contoh Soal
4. Ditentukan vektor a = –3i + 2j – 2k dan b = i – 4j + 3k. Hitunglah a x b.

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

Penyelesaian:
i
j
2
axb=  3
1  4

k
i
j
 2   3
2
3
1  4
(–)

Petunjuk
Standar
Kompetensi

(–)

k
i
j
 2  3
2
3
1  4

(–)

(+)

(+)

(+)

a x b = ( 2(3)i + (-2)1j +(-3)(-4)k ) – ( 2(1)k + (-2)(-4)i + (-3)3j )
= ( 6i – 2j + 12k ) – ( 2k + 8i – 9j )

Pendahuluan
Uraian Materi

= (6 – 8)i + (– 2 + 9)j + (12 – 2)k
= – 2i + 7j + 10k

Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )

Jawaban Anda salah
Coba lagi?

Lihat jawaban

Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )

Jawaban Anda benar
Lihat jawaban?

Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan

Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )
Penyelesaian:
Misalkan titik ujung vektor a adalah (a1, a2, a3) maka:
 a1  3 5  a1  8
 5   a1  3 
 7   a  (  2)   a  2  7  a  5
 2
2

  2   2


  a3  4 
 a3  4   2  a3  2

Jadi titik ujung vektor a adalah (8, 5, 2)

Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal

Uji Kompetensi
2. Diketahui vektor u = – 2i + 4j – 6k. Tentukan besar sudut antara
vektor u dengan sumbu-sumbu koordinat.
Penyelesaian:
Misalkan:  sudut antara vektor u dengan sumbu X
 sudut antara vektor u dengan sumbu Y
 sudut antara vektor u dengan sumbu Z
| u | (  2)2  42  (  6)2  56  2 14

u
2
14
14 
Cos   1  

   arc cos 
105,5o
 14 
| u|
14
2 14


 14 
u
4
14
 57,7o
Cos   2 

   arc cos


| u | 2 14
7
 7 
 3 14 
u
6
3 14
 143,3o
Cos   3  

   arc cos 

| u|
14
14 
2 14


Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi

Uji Kompetensi
3. Posisi sebuah pesawat pada waktu t jika disimulasikan dalam ruang
ditentukan oleh vektor (t, 2t, –t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di
posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak
tempuh pesawat dari posisi A ke B.
Penyelesaian:
Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, –1)
Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, –2)
2
2
2
Jarak A dan B: | AB | (2  1)  ( 4  2)  (  2  (  1))  6

Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah
6 satuan panjang.

Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

Uji Kompetensi
4. Ditentukan vektor a = (4, – 2, 1), b = (–2, 3, –2), dan c = (–1, 4, 3) .
Hitunglah a x (b + c).
Penyelesaian:
  2    1   3 
b + c =  3    4    7 
  2  3   1 

Petunjuk
Standar
Kompetensi

a x (b+c) =

i
4
 3

j
 2
7

k
1
1
(–)

Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

i

4
 3
(–)

j
 2
7

k
i
j
1
4  2
1  3
7

(–)

(+)

(+)

(+)

a x (b+c) = ( (-2)1i + 1(-3)j + 4(7)k ) – ( (-2)(-3)k + 1(7)i + 4(1)j )
= ( – 2i – 3j + 28k ) – ( 6k + 7i + 4j )
= ( – 2 – 7)i + ( – 3 – 4)j + (28 – 6)k
= – 9i – 7j + 24k
= ( – 9, – 7, 24 )
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu

Referensi
Ю Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri
Analitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999.
Ю Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang,
Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.
Ю Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 3A,
Erlangga, Jakarta, 2004.

Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar

MATEMATIKA
KELAS XII

“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”

Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

Biodata Tim
Nama
: Teopilus Malatuni, S.Pd.
NIP
: 132 225 903
Pekerjaan: Guru SMA Negeri 1 Kaimana,
Provinsi Irian Jaya Barat
Tugas
: Mengajar Mata Pelajaran Matematika,
Teknologi Informasi & Komunikasi
Alamat : Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654
Telp/Fax : Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP
081344039940
E-mail : teo_malatuni@telkom.net
Nama
: Ani Juniati
NIP
: 
Pekerjaan: Staf Administrasi SMA Negeri 1 Kaimana,
Provinsi Irian Jaya Barat
Tugas
: Menangani dan mengoperasikan komputer
pada
bagian Tata Usaha
Alamat : Jalan Pedesaan Kaimana
Telp/Fax : Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP
081344043041
E-mail : anij@telkom.net
Media Presentasi Pembelajaran | ©

Balik

Lanjut

Awal

Akhir

Keluar