SOAL PENERAPAN MATRIKS VEKTOR INTEGRAL D

Penerapan Soal Matriks pada Biologi
Dalam suatu anggota keluarga terdiri atas ibu,ayah,dan 3 orang anak. Satu antara
3 orang anak tersebut memiliki keainan beupa telinga bergelambir. Kemudian
setiap anak di kwinkan dengan masing masing pasangan yang semuanya memiliki
telinga bergelambir. Pada generasi selanjutya

keturunan manakah yang akan

menghasilkan anak dengan sifat telinga begelambir
Dengan permasalahan di atas misalan a0 ,b0 , dan c0 menyataka ditribusi permulaan
dari ketiga genotip tersebut dan a0 + b0 + c0 = 1 untuk n = 1,2,3,…
Dengan :
-

an= Banyaknya keturunan yang bergenotip TT (genotip normal

-

homozygote) dalam generasi ke-n
bn= Banyak keturnan yang bergenotip Tt (genotip normal heterozygote )

-

dalam generasi ke-n
cn== Bayyakya kturunan

yang

genotipnya

tt

(brgenotip

telinga

bergelambir) dalam generasi ke-n
tabel peluang dari persilagan dua individu bagi pewarisan autosomal
TT-tt

Tt-tt

tt-tt

Turunan
TT

0

0

0

Tt
Tt

1
0

½
½

0
1

Induk

Berarti untuk n=0,1,2,… berlaku system persamaan berikut :
an = 0
bn= an-1+ ½ bn-1

untuk n=1,2,3,…

cn= ½ bn-1+cn-1
(n)

X =

[] [ ]
an
bn

cn

; M=

0 0 0
1 ½ 0
0 ½ 1

Karena persamaan (4.1-1) berlaku untuk bilangan asli, maka X(n) = MX (n-1) = M2
X(n-2)= … = M(n) X(0)
Nilai-nilai eigen dari matriks M adalah λ1 = 0 : λ2 = ½ : λ3 = 1

Vektor eigen yang bersesuaian dengan

[ ]
−½
1
−½

λ1 = 0 adalah

Vektor eigen yang bersesuaian dengan

[]
0
−1
1

λ2 = ½ adalah

Vektor eigen yang bersesuaian dengan

[]
0
0
1

λ = 1adalah
dibentuk

[

matriks

−½ 0 0
1 −1 0
−½ 1 1

pendiagonal

dari

matriks

M

adalah

]

dari hasil perhitungan diperoleh
=

[

MP =

[

−1

matriks

P

−2 0 0
−2 −1 0
1
1 1

]

Jadi
D=

−1

P

][ ][

−2 0 0 0 0 0 −½ 0 0
−2 −1 0 1 ½ 0 1 −1 0
1
1 1 0 ½ 1 −½ 1 1

[ ]
0 0 0
0 ½ 0
0 0 1

=

n

=

[

n

=

PD P

Diperoleh

D

Sehingga

M

Oleh karena
X n =M n X (0)
X n =PD n P−1 X(0)

0
0
0
n
0 (½) 0
0
0
1
n

−1

]

]

matriks

P=

[] [

0
0 −2 0 0 a0
−½ 0 0 0
n
1 −1 0 0 (½) 0 −2 −1 0 b0
−½ 1 1 0
1 1 c0
0
1 1

[] [
[] [
=

0
0
0 a0
n−1
n
(½)
(½)
0 b0
n−1
n
1−( ½)
1−(½) 1 c0

=

( ½ ) a0+ ( ½ ) b0
n−1
n
a0−(½) a0 +b0 −(½) b0 +c 0

an
bn
cn

an
bn
cn
an
bn
cn

=

][

][ ]

][

][ ]

n−1

n

]

Persamaan tersebut merupakan persamaan distribusi dari genotip induk yang
mungkin dalam populasi tersebut pada generasi ke-n. Jika n mendekati tak hingga
maka (½)n dan (½)n+1 menuju ke nol, sehingga persamaan diatas menjadi

[ ] []
an
bn
cn

=

1
0
0

Hasil perkawinan tersebut akan

meghasilkan keturunan yang pada akhirnya

bergenotip tt yang merupakan genotip dari anak dengan telinga bergelambir yang
berasal dari perkawinan induk dengan genotip tt-tt

Penerapan Soal Vector Pada Fisika
Hubungan antara vektor kecepatan linear v dan vektor kecepatan sudut 
Vektor A = 2i + 3j 2k , vektor B = 2i + j + 3k. Pangkal kedua vektor
tersebut berada di titik O ( 2, 3, 4) . Jika vektor B diputar dengan A sebagai sumbu
putar , berapakah:
a) besar dan 
b) tentukan r dan r
c) tentukan v dan v ( = besarnya kelajuan linear ujung B )
d) dimanakah letak ujung vektor A ?
Jawab:
a)  = vektor sumbu putar = A = 2i + 3j - 2k


√ 22+32+22

=

√ 17

radian / s

b) r = vektor yang diputar = B = 2i + j + 3k
r=

√ 22+12+3 2

√ 14

=

meter

i j k
i j k
| ωx ω y ωz |
| 2 3 −2|
x y z = 2 1 3 = 11 i - 10 j - 4 k
c) v =  x r =
v=

√ 112+102 +4 2

=

√ 237

meter / s

d) untuk vektor A berlaku :
(Ax , Ay, Az ) = ( x, y, z )ujung - ( x , y, z )pangkal
( 2 , 3, -2 ) = ( x, y, z )ujung - ( 2, 3, 4)
( x, y, z )ujung = ( 2 , 3, -2 ) + ( 2, 3, 4) = ( 4, 6, 2)
Jadi ujung vektor A berada di titik ( 4, 6, 2)

SOAL PENERAPAN
MATRIKS,VEKTOR,INTEGRAL,DIFERENSIAL DAN PDB
PADA FISIKA,KIMIA DAN BIOLOGI

Oleh :
1.
2.
3.
4.
5.

Siti Ropita Ningrum
13030654004
Nurul Handayani
13030654007
Farida Purwadita
13030654027
Yeni Ratna Sari
13030654037
Benazir Amalia Firdausy
13030654039
Pendidikan sains A 2013

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN SAINS
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
Penerapan Soal Integral Pada Matematika

Hitunglah luas daerah H yang terletak dibawah kurva
X = 0, dan garis X = 2!
Y

X=2

Jawaban :

ΔA i =x2i

√

x 3i +1 Δxi

y X 2 X 3  1

H

Jadi ,
2 2

A ( H )=∫0 x

√ x 3+1 dx

f ( x i i )  X i2 X 3  1

1

1 2
¿ ∫0 ( x3 +1) 2 (3 x 2 dx )
3
0
i
2
3 2
1 2 3
¿
( x +1 ) 2
3 3
0

[

[

X

]

3

2
¿ ( 8 ) 2−1
9
2
¿ (27−1)
9
52
¿
9

]

52
Jadi luas daerah H adalah 9

satuan kuadrat.

√ x3 +1

,sumbu X, garis

Penerpan Soal Differensial Pada Fisika
Misalkan Rp adalah hambatan pengganti paralel yang nilainya konstan R1
yang besarnya 25 ohm dan R 2 yang besarnya 15 ohm. Jika R 1 diubah menjadi
25,1. Tentukan R2 agar Rp harganya tetap (tidak berubah) !

Diketahui :
Rp = konstan
R1 = 25 ohm
R2 = 15 ohm
'
R1 = 25,1 ohm

Ditanya :

'
R2 ?

Jawab :
1
Rp

=

1
R1

1
R2

+

Rp tetap , maka dRp = 0
Maka persamaannya menjadi
−1

= −R−1
- −R−1
1
2

−2

dR1 –

−R p

−R 1

−2

R2

−2

-dR2 =

-dR2 = -

−R2

−2

−R1

R 22
R 21

dR1

dR1

dR2 = −R−2
dRp
p

Jika dR1 = 25, 1 ohm
Maka
2

dR2 =

−R2
2

R1

dR1

=-

15 2
25 2

x 25,1

=-

225
625

x 25,1

=- 9,036
R2 = 15- (-9,036) = 24,036 ohm
Jadi, R2 yang dibutuhkan sebanyak 24,036 ohm
(sumber : buku matematika fisika 1 halaman 118 soal no. 6)

Penerapan Soal PDB pada Kimia
Sebuah tangki memuat 100 liter air asin yang mempunyai konsentrasi 3 pon per liter.
Tiga liter dari air asin yang mempunyai konsentrasi 2 pon perliter dialirkan kedalam
tangkin tersebut tiap menit, dan pada waktu yang bersamaan dialirkan juga keluar
tangki 3 liter tiap menit. Jika dijaga agar konsentrasi larutan merata dengan
pengadukan. Temukan kandungan garam dari air asin sebagai suatu fungsi dari waktu
t!
JAWAB
Misalkan x menyatakan banyaknya pon dari garam dalam solusi pada sebarang waktu
t. Dari hipotesis 6 pon dari garam dimasukkan dan 3 liter air asin dialirkan dialirkan
ke luar setiap menit. Maka dalam waktu Δt, 6Δt pon dari garam dimasukkan dan kirakira

x
100

(3Δt) pon dialirkan keluar. Jadi dalam waktu Δt perkiraan perubahan

kandungan garam dalam tangki adalah
Δ× ≈

x
Δx
(3Δt)
≈ 6-0.03x
100
Δt

Jadi kita akan dapatkan persamaan diferensial
Δx
Δt

≈ 6-0.03x

yang dapat kita nyatakan sebagai
dx
6−0 . 03 x

= dt 

dx
0. 03 x−6

= -dt

Kita integralkan kedua ruas persamaan dan kita akan peroleh
x = 200 +

100
3

exp (0.03t),

dimana c adalah konstanta sebarang. Dan kita tahu bahwa pada saat t = 0 kita punyai
banyaknya garam x = 300. Kita substitusikan ke dalam penyelesaian persamaan di
atas dan kita dapatkan konstanta c = 3. Sehingga banyaknya garam x sebagai suatu
fungsi dari waktu dapata dinyatakan sebagai:

x = 100(2 + exp (0.03t)).