MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VIII SEMESTER

Oleh:

MARYONO, S.Pd

SMP NEGERI 2 JATIPURO

Jatimulyo Desa Jatisuko Kecamatan Jatipuro Kabupaten

Karanganyar propinsi Jawa Tengah

KELAS

VIII-1

Page | 1

Untuk kalangan sendiri, kepentingan pembelajaran

**Tidak diperdagangkan**

KATA PENGANTAR

Alhamdulilah Kami Panjatkan kehadirat Allaah SWT.,atas limpahan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan Modul MODUL PELAJARAN SMP/MTs KELAS VIII SEMESTER GANJIL MATEMATIKA Tahun Pelajaran 2014 / 2015 tepat pada waktunya .

Buku ini bisa berhasil ada di tangan Anda juga berkat dukungan dari semua pihak terutama Orang Tuaku tercinta, Istriku tercinta Erna Dwi Hastuti, Anakku tersayang RH Imam Wicaksono dan AH Prasetyawan Sadono Saudara-saudaraku terkasih yang telah memberi kami motivasi dan kekuatan yang sangat luar biasa. Dukungan dan bantuan dari rekan guru Matematika sejawat di SMP Negeri 2 Jatipuro juga sahabat saya sdr. Yoyo Apriyanto, yang lewat blognya memberikan inspirasi kepada saya. Semua itu tentu sangat besar artinya, semoga buku ini dapat bermanfaat.

Buku ini menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan

meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan

menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.

Agar keberadaaan buku ini dapat diakses oleh kalayak pendidikan dan buku ini dapat dirasakan lebih besar manfaatnya maka buku ini saya publikasikan dan dapat dibaca atau di download secara gratis di www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono . selain buku ini saya sediakan berbagai publikasi antara lain : artikel ilmiah, Kebijakan-kebijakan pemerintah di bidang pendidikan, aplikasi Daftar Nilai kurikulum 2013, Aplikasi Nilai Rapor Kurikulum 2013, soal-soal Ulangan Harian serta Modul Belajar Lainnya.

Penyusun menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan buku ini, oleh karena itu penyusun mengharapkan saran dan kritik yang membangunn demi sempurnanya buku ini. Semoga buku ini bermanfaat bagi semua yang memerlukan. Terima kasih

Page | 2

LEMBAR PENGESAHAN

Nomor: 421/ /PERPUST/2014

MODUL MATEMATIKA SMP/MTs KELAS VIII SEMESTER 1 SERI BUKU GURU

DISUSUN DALAM PROGRAM PENGEMBANGAN PROFESI GURU MATEMATIKA SMP NEGERI 2 JATIPURO KABUPATEN KARANGANYAR.

Penyusun: MARYONO,S.Pd, NIP, 19700101 200012 1 006

Bertanda tangan di bawah ini, Kami menyatakan bahwa buku ini benar-benar selesai disusun oleh nama tersebut diatas pada awal tahun pelajaran 2014/2015. Buku ini dipublikasikan dan disimpan di perpustakaan sekolah serta telah dimanfaatkan untuk kepentingan pembelajaran Guru-Guru Matematika. Demikian keterangan ini kami buat semoga dapat dipergunakan sebagaimana mestinya.

Jatipuro, Juni 2014

Kepala Sekolah, Kepala Perpustakaan

SUTARNO,S.Pd, JOKO PURWANTO,S.Pd. NIP. 19610402 198601 1 004 NIP. 19760208 200801 1 010

BAB 1 OPERASI HITUNG ALJABAR

A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

1. Variabel, Koefisien, Konstanta dan Faktor

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Koefisien adalah angka yang berdekatan dengan variabel.

Perhatikan bentuk aljabar berikut: Variabel

2x 2 + 3x + 4 Konstanta

Koefisien - 2 Variabel = x dan x

- Koefisien = 2 dan 3 -

Konstanta = 4

2. Suku Jenis dan Suku Tidak Sejenis

Bentuk aljabar adalah bentuk yang didalamnya terdapat variabel. Contoh:

2 a. 2 2x –8 b. x – 16 c. x +x – 12

Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang variabel dan pangkatnya sama.

2 Suku-suku seperti 3x dan 5x; 2x 2 dan 7x disebut suku-suku sejenis.

2 2 Suku-suku seperti 2x dan 2x 2 ; 4x dan 3y; 5x dan 2y disebut suku-suku tidak sejenis.

B. OPERASI BENTUK ALJABAR

Perhatikan bentuk berikut: -

4 + 4 + 4 , disingkat 3 × 4 atau 3(4) -

a + a, disingkat 2 × a = 2a -

b + b + b + b, disingkat 4 × b = 4b - 2 a × a, disingkat a

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Suatu bentuk aljabar yang mengandung suku-suku sejenis dapat disederhanakan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis yang ada.

a b ay  bx

Rumus :   x y

xy

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 4

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

Contoh Soal:

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah…

1. 4m – 5 – 6m + 8 = 4m – 6m – 5 + 8 = –m + 3

2. –3(a – 2b + 5 = –3a + 6b – 15

2 2 2 2 3. 2 2a + 3ab – 7 – 5a + 2ab –4 = 2a – 5a + 3ab + 2ab – 7 – 4 = –3a + 5ab – 11

10xy 2 5 x y 2

15x y 3 5 x x y 3x

2. Perkalian Bentuk Aljabar

(a – b)(p + q) = ap + aq – bp – bq

2 - 2 (a + b)(a – b) = a –b

(a + b) =a + 2ab + b

Contoh Soal:

Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar berikut ini!

2 1. (x + 2)(x 2 – 3) = x – 3x + 2x – 6 = x –x–6

2 2. (2x 2 – 3)(x + 4) = 2x + 8x – 3x – 7 = 2x + 5x –7

2 2 2 3. (3m + 2n) (3m 2 – 2n)= 9m – 6n + 6n – 4n = 9m – 4n

4. 2 2 2 2 ( 2 a  b )  ( a  b )( a  b ) =a +ab+ab+b =a +2ab+b

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

a c axd ad

Rumus :

b d bxc bc

Contoh Soal:

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut:

4 xy

3 a 5 3 ax 6 b 9

a. 4xy:2y=

 b.  ab

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 5

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

2 2 24 p 2 q 18 pq 2

c. (24p q + 18pq ) : 3pq =

3 pq

3 pq

d. : 2  2 

xy 5 x y xy

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

a n = ..... a  a  a  a

sebanyak n kali

Contoh Soal:

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut!

a. (2p) 2 = (2p) × (2p)

c. 2 (a + b) = (a + b)(a + b)

2 =a 2 + ab + ab + b

2 =a 2 + 2ab + b

d. (3x + 5) 2 = (3x + 5)(3x + 5)

= 9x 2 + 15x + 15x + 25

= 9x 2 + 30x + 25

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 6

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

2 1. Bentuk paling sederhana dari 5x 2 y – 3xy –

9. Hasil dari –3p(–4q + 5r) adalah…

2 7x 2 y + 6xy adalah… A. 12pq + 15pr

2 A. 3xy 2 – 12x y

B. –12pq – 15pr

2 B. 9xy 2 – 2x y

C. 12pq – 15pr

2 C. 3xy 2 – 2x y

D. –12pq – 3pr

D. 9xy – 12x y

2. Bentuk sederhana dari 2x + 4xy – 6y5x – 7xy

10. Penyelesaian dari

adalah…

k 3k

+y adalah…

A. –3x – 3xy – 5y

A. 1 A. 1 k  C.

B. –3x – 11xy + 7y

C. –7x – 3xy + 5y

D. –7x + 11xy – 7y

B. D.

3k 4k

3. Bentuk sederhana dari (6x + 5) + (3x – 4) –

(4x – 6) adalah…

A. 5x + 7 C. 13x –5

3x 2 3x 2

4. Hasil pengurangan –2x + 4xy – 3y dari 4x

+ 6xy + 4y 2 2 adalah…

2x 2 3x 2

2 2 B. D.

A. 6x – 2xy + 7y 6 8

2 – 2xy – 7y 2 B. 6x

2 C. 6x 2 + 2xy + 7y 2 7

D. 6x + 2xy

– 7y 12. Hasil dari

adalah…

3x 6x

7 7 5. –2x + 3y dikurangkan dari 2x + 3y, hasilnya…

A.  C.

A. 6y

C. 4x

6x 6x

2 B. 6y D. –4x

B.  D.

6x 6x

6. Diketahui A = 2x + 4xy – 6y dan B = 5x – 7xy + y. Hasil A – B adalah…

x 3x  2

A. –3x + 11xy – 7y

13. Nilai dari =

3 9 –3x – 11xy + 7y 2 2 B. 

C. 7x – 3xy + 7y

A. C.

D. 7x + 11xy – 7y 6x  2 6x  2

B. D.

7. Diketahui A = 5x + 8 dan B = –4x – 2, hasil

dari A – B adalah…

14. Hasil paling sederhana dari

A. 5x + 4x +10 C. 9x + 10

a b a b

8. –2(–q – r) = ….

2a 4

(a  b)(a  b) (a  b)(a  b)

B. 2q + r

D. –2q – 2r

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 7

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

2 4b 18. Hasil dari (3 – 2x)(4 + x) adalah …

2 B. 2 D. – 5x – 2x A. 12 – 5x + 2x C. 12 (a  b)(a  b) (a  b)(a  b) 2 2

B. 12 + 5x – 2x D. 12 + 5x + 2x

1 19. (3a – 2b)(2b + 3a) =…

15. Nilai dari x   .... 2 2 2 A. 6a 2 – 6ab – 4b C. 9a + 4b x 2 2 2 2

x 1

B. 9a – 6ab + 4b D. 9a – 4b

A. C. 1

2 2 3x 6x : 1

x 1 x x 20. Hasil dari 2 : 4 x

adalah

B. D.

24 x

C.

A. A. C.

16. Hasil dari 2(p + 3) + (3p – 2) adalah …

xx

A. 2 9p + 10p + 10

B. 9p – 10p + 10 B.  B. D.  D.

xx x

C. 9p – 10p – 10 x

D. 2 9p + 10p – 10

17. Hasil perkalian dari (2a – 3)(4a + 1) adalah…

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Hasil dari (3p+q)(2p – 5q) adalah…

6. Hasil dari (2a – b)(2a + b) adalah…

2. Hasil dari (a 2 –7b)(4a– 2b) adalah… 5x x

7. Bentuk sederhana dari

8 yz 4y z 3. Bentuk sederhana dari (3p – 6pq + 2q) – (2p – pq + 5q) adalah…

adalah…

4. Jumlah dari 4x + 5y – 8z dan x – 2y – 3z

8. Diketahui nilaip = 3, q = 6 dan r = 12, maka

adalah… 4 q

hasil dari

3 2 adalah…

3p r

5. Hasil kali (3x – 4y)(4x + 3y) adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 8

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

E-Mail: dimasmaryono@gmail.com

Semester Ganjil Tahun Pelajaran 2014/2015

B. PENFAKTORAN ALJABAR Menyederhanakan bentuk pecahan aljabardengan memfaktorkan.

- ax + bx – cx = x(a + b – c)

2 –y = (x 2 – y)(x + y)

2 x + 2xy + y = (x + y ) (x + y ) = (x + y )

2 2 - 2 x – 2xy + y = (x – y ) (x – y ) = (x – y )

- 2 x + bx + c = (x + m ) (x + n ) dengan m × n = c dan m + n = b

Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x 2 + bx + c dengan c positif sebagai berikut.

- Pecah c = (m × n) menjadi perkalian faktor-faktornya. -

Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b = (m + n) Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x 2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut.

- Pecah c = (m × n) menjadi perkalian faktor-faktornya. -

Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b = (m – n) -

Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya.

Contoh Soal:

1. Faktorkan bentuk aljabar berikut! 2 2

a. x + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) d. x – 15x – 16 = (x + 1)(x – 16)

3 –16 Jumlah Jumlah

b. x – 13x + 12 = (x – 1)(x – 12) 2 –8 –6

12 Jumlah

c. x 2 + 4x – 12 = (x – 2)(x + 6)

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 9

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Bentuk x 2 + 2x – 48 jika difaktorkan adalah…

8. Pemfaktoran dari 25x² – 49y² adalah…

A. (x – 6)(x – 8)

A. (5a – b) (5a + 49b)

B. (x + 8)(x – 6)

B. (5a + 7b) (5a – 7b)

– 4)(x – 12) C. (x

C. (5a – 7b) (5a + 7b)

D. (x + 24)(x –2)

D. (25a – 7b) (a + 7b)

2 2. Faktor dari y 2 – 4y – 12 adalah… 9. Bentuk faktor dari 4x – 36y adalah…

A. (y – 6) (y + 2)

A. (2x + 6y)(2x – 6y)

B. (y + 6) (y – 2)

B. (2x – 6y)(2x – 6y)

– 3) (y + 4) C. (y

C. (4x – 6y)(x + 6y)

D. (y + 3) (y – 4)

D. (4x + 6y)(x + 6y)

2 3. Faktor dari 3x 2 + 7x – 6 adalah… 10. Faktor dari 81a – 16b adalah…

A. (3x – 2) (x + 3)

A. (3a – 4b)(27a + 4q)

B. (3x + 3) (x – 2)

B. (3a + 4b)(27a - 4b)

C. (x + 6) (2x – 1)

C. (9a - 4b)(9a + 4b)

D. (x – 1) (2x + 6)

D. (9a - 4b)(9a - 4b)

2 4. Salah satu faktor dari 6x 2 + 11x – 10 adalah… 11. Faktor dari 49p – 64q adalah…

A. (3x + 5)

C. (2x + 5)

A. (7p – 8q)(7p – 8q)

B. (2x + 2)

D. (3x + 2)

B. (7p + 16q)(7p – 4q)

C. (7p + 8q)(7p – 8q)

5. Bentuk faktor dari 9x 2 – 1 adalah… D. (7p + 4q)(7p – 16q)

A. (3x + 1)(3x –1)

2 B. 3(3x + 1)(3x 2 – 1) 12. Faktor dari 16x – 9y adalah…

C. 3(x +1)(x – 1)

A. (2x + 3y)(8x – 3y)

D. 9(x + 1)(x – 1)

B. (4x – 9y)(4x + y)

C. (4x + 3y)(4x – 3y)

6. Bentuk dar 4x 2 – 1 adalah… D. (2x + 9y)(8x – y)

A. (4x + 1)(4x – 1)

B. 2(2x + 1)(2x 2 – 1) 13. Pemfaktoran dari 4x + 6x adalah…

C. 4(x + 1)(x – 1)

A. (3x + 3)

D. (2x + 1)(2x – 1)

B. 2x (3x – 3)

C. –2x (3x + 3)

2 7. Pemfaktoran dari 9a 2 – 16b adalah… D. 2x (3x + 3)

A. (3a – 4b)(3a – 4b)

B. (3a + 4b)(3a + 4b)

C. (9a – 16b)(9a + 16b)

D. (3a – 4b)(3a + 4b)

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 10 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

BAB 2 RELASI DAN FUNGSI

A. RELASI

1. Pengertian Relasi

Relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B, adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Menyatakan Relasi

a. Diagram Panah

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”.

b. Himpunan Pasangan Berurutan

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”. Jawab: R = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

c. Diagram Cartesius

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”.

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 11

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

B. FUNGSI ATAU PEMETAAN

1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain. Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah:

A. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;

B. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Contoh Soal:

1. Diketahui diagram panah: (1)

Diagram yang menunjukkan pemetaan/fungsi adalah…

Penyelesaian:

(i) Diagram panah pada (1) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B.

(ii) Diagram panah pada (2) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 3 mempunyai dua pasangan di B. (iii) Diagram panah pada (3) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B. (iv) Diagram panah pada (4) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 23 mempunyai dua pasangan di B dan ada anggota A yaitu 3 tidak mempunyai pasangan di B.

2. Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) =

b maka

1. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah b a

2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah a b .

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 12 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Himpunan pasangan berurutan berikut yang Himpunan pasangan berurutan yang merupakan menyatakan relasi ”kurang dari ” adalah…

pemetaan/fungsi adalah…

A. {(1,6), (2,2), (2,4), (3,6)}

D. {(1,2), (1,4), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4)}

D. (2) dan (4)

2. Jika A = {2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6}, relasi

6. Diketahui :

dari himpunan A ke himpunan B adalah “satu P = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} kurangnya dari”. Maka relasi tersebut jika

R = {(1,1), (2,3), (3,4), (3,5)} dinyatakan

Q = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,1)} berurutan adalah…

A. {(2,1), (3,2), (4,3), (5, 6)} Himpunan pasangan berurutan di atas, yang

B. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} merupakan fungsi adalah …

3. Perhatikan gambar!

7. Diketahui P = {a, b, c, d} dan Q = {1, 2, 3}.

A B Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah…

2 4 A. 81 C. 12

3 5 B. 64 D. 7

8. Diketahui X = {1, 2} dab Y = {a, b, c}. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah…

Banyaknya fungsi yang mungkin dari Y ke X

adalah…

A. faktor dari

C. kurang dari

B. kelipatan dari

D. akar dari

A. 5 C. 8

4. Perhatikan gambar!

B. 6 D. 9

9. Diagram panah dibawah ini yang merupakan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q adalah…

A. C.

Aturan dari relasi yang digambarkan dengan diagram panah diatas ini adalah…

B. kurang dari

C. faktor dari

C. lebih dari

D. kuadrat dari

B. D.

5. Diketahui himpunan pasangan berurutan (1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) } (2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) } (3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) } (4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) }

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 13 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

C. MENENTUKAN NILAI SUATU FUNGSI

1. Notasi Fungsi

Notasi suatu fungsi:

f : xy atau f : xf(x)

Dibaca: “fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B”.

2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Domain (daerah asal) = A = {1, 2, 3} Kodomain (daerah kawan) = B = {a, b, c} Daerah Hasil = {a, c}

Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = a

Contoh Soal:

1. Fungsi f : x  3x – 5 dengan X  {–3, –2, –1, 0, 1, 2}.

Daerah hasil fungsi f adalah…

Penyelesaian:

f(x) = 3x –5 Daerah hasil:

f( –3) = 3(–3) – 5 = –9 – 5 = –14 f( –2) = 3(–2) – 5 = –6 – 5 = –11 f( –1) = 3(–1) – 5 = –3 – 5 = –8 f(0) = 3(0) – 5 = 0 – 5 = –5 f(1) = 3(1) – 5 = 3 – 5 = –2 f(2) = 3(2) –5=6–5=1

Jadi daerah hasilnya yaitu { –14, –11, –8, –5, –2, 1}

2. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = 7 2 – 2x – 3x , bayangan –3 oleh fungsi tersebut adalah…

Penyelesaian:

f(x) = 7 2 – 2x – 3x bayangan –3 yaitu x = –3

substitusi x = –3 ke: f(x) = 7 2 – 2x – 3x

f( 2 –3) = 7 – 2(–3) – 3(–3)

3. Menghitung Nilai Fungsi Contoh Soal:

1. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 1 2 – 2x .Nilai f (2) adalah…

Penyelesaian:

Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 1 2 – 2x

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 14

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

Sehingga 2 f(x) =1 – 2x

f(2) = 1 2 – 2.(2 )= 1 – 2.(4)= 1 – 8= 7

2. Diketahui f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7, maka nilai a adalah…

Penyelesaian:

f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7 f(a) =2a –3

7 = 2a –3 2a = 7 + 3 2a = 10

a=

3. Koordinat titik potong fungsi f(x) = 3x – 18 dengan sumbu x adalah…

Penyelesaian:

Fungsi f(x) = 3x – 18 , sumbu x, maka y = 0

0 = 3x – 18 3x = 18

x=

Jadi koordinat titik potongnya adalah (6, 0).

4. Jikaf(x) = 3x + 1 dan f(a) = 19 maka nilai a adalah…

Penyelesaian:

f (x) = ax + b f(a) = 19

 3a + 1 = 19

3a = 19 –1 3a = 18

a=

5. Suatu fungsi dari P ke Q dinyatakan sebagai {(1, 2 ), (2, 3), (3, 3 ), (4, 4)}. Notasi itu adalah…

Penyelesaian:

f (x) = ax + b f(x) = y Untuk (2, 3) maka x = 2 dan y = 3

3 = 2a + b 2a + b = 3

Untuk (4, 4) maka x = 4 dan y = 4

4 = 4a + b 4a + b = 4

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 15

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

2a + b = 3

1 Substitusi nilai a=

ke: 2 a+b=3

4a + b = 4 

–2a = 1

1 1 2. + b =3 2

a=

฀2 1+ b =3

1 b =3 –1

a=

2 b =2

1 Notasinya f (x) = ax + bf : x x+2

6. Suatu fungsi didefinisikan oleh rumus f(x) = ax + 5 jika f( –1) = 1, maka rumus fungsinya adalah…

Penyelesaian:

f (x) = ax + b f(x) = ax + 5

6 a= ฀1 =6

Rumus fungsinya: f(x) = ax + 5

f(x) = 6x + 5

7. Fungsi f(x) = ax + b, jika f(2) = 2 dan f(3) = 13 maka nilai f(4) adalah…

Penyelesaian:

f (x) = ax + b f(2) = 2

2a – (3a) = 2 – 13 2a + 3a = 15 5a = 15

a=

Substitusi nilai a = 3 ke:

2a + b = 2 2(3) + b = 2

6 + b = 2

b = 2 + 6 b=4

Substitusi nilai a = 3 dan b = 4 ke: f(x) = ax + b

 f(x) = 3x + 4

maka f(4)

 f(4) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 8

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 16

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Perhatikan gambar berikut!

7. Suatu fungsi didefinisikan f(x) = 7 –

dengan x {-2, 0, 2, 4}. Daerah hasil fungsi tersebut adalah…

A. {6, 7, 8, 9} C. {8, 6, 4, 2}

B. {8, 7, 6, 4} D. {8, 7, 6, 5}

Domain dari diagram panah diatas…

8. Diketahui f(x) = 2x – 3, pada himpunan

A. {1, 2, 3, 4}

C. {1, 6}

bilangan bulat dinyatakan dalam pasangan

B. {1, 2, 6}D. {3} berurutan {(a,3), (b,-5), (-2,c), (-1,d)}. Nilai a + b+c – d adalah…

2. Perhatikan gambar!

A. -1 C. 2

B. 1 D. 0

9. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = ax + b. Jika f( –2) = 14 dan f(3) = –1, maka nilai a dan b adalah…

A. –3 dan 8 C. 2 dan 5

Himpunan daerah hasil (range) dari diagram

B. 3 dan 8 D. 5 dan -2

panah diatas ini adalah….

A. {1, 4, 9, 10}

C. {1, 2, 3, 4, 5}

10. Fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = ax +

B. {1, 2, 3, 4}

D. {5}

b. Bila f(2) = 1 dan f(4) = 7, maka nilai a + 2b adalah…

3. Diketahui rumus fungsi f(x) = –2x + 5. Nilai

A. -7 C. 2

f(-4) adalah…

11. Diketahui f(x) = px + q, f(-1) = -5, dan f(4) = 5. Nilai f(-6) adalah…

4. Jika f(x) = 3x – 2 dan f(a) = 19. Maka nilai a

12. Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = mx + n, f(0) = 4, dan f(-1) = 1. Maka nilai f(-

5. Diketahuif(x) = 8x+5 dan f(a) = 19. Nilai a

13. Koordinat titik potong fungsi g(x) = 20 – 5x

6. Suatu fungsi linear didefinisikan dengan f(x) =

dengan sumbu y adalah…

ax + b dengan x  R. Jika pada fungsi

A. (0, 20) C. (4, 0)

tersebut diketahui f(-2) = 8 dan f(5) = 13,

B. (20, 0) D. (0, 4)

maka nilai a dan b berturut-turut adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 17 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Suatu fungsi dirumuskan f:x 3x – 2 jika f(a) = 13, maka nilai a adalah…

2. Diketahui fungsi f(x) = 2x² – 2x– 12.

Nilai dari f( ) =…

3. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = px + q, f(3) = -10, dan f(-2) = 0. Maka nilai f(-7) adalah…

4. Diketahui f(x) = px + q, f(-2) = -13, dan f(3) =

12. Nilai f(5) adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 18

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

BAB 3 PERSAMAAN GARIS LURUS

A. MENGGAMBAR GRAFIK PERSAMAAN GARIS

Bentuk Umum persamaan garis: y = mx + c.

Contoh Soal:

Gambar persamaan garis 3x – 4y + 24 = 0 adalah…

Penyelesaian:

Gambar grafiknya:

(x, y) (0,6)

Titik (0, 6) dan ( –8, 0).

B. MENENTUKAN GRADIEN SUATU GARIS

1. Gradien dari Persamaan Garis

Bentuk: ax + by + c = 0

a m=

Garis miring ke kanan, gradien positif

Garis miring ke kiri, gradien negatif

komponen y

Gradien m =

komponen x

Contoh Soal:

1. Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah…

Penyelesaian:

4x – 2y + 8= 0 – 2y = – 4x – 8

 4x  8

y=

y = 2x + 4

m=2 Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah 2

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 19

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

2. Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah…

Penyelesaian:

3x + 2y = 6 2y = – 3x + 6

 3x  6

y=

y=  x+3

m= 

Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah 

2. Gradien Melalui Dua Titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 )

y 2 y 1

Gradien m=

x 2 x 1

Contoh Soal:

1. Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah…

Penyelesaian:

Garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah:

Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah 

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 20

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Perhatikan gambar!

7. Gradien garis 4x – 6y = 24 adalah…

A. C. 

B. D. 

Gradien garis pada gambar di samping adalah…

8. Gradien garis -3x – 2y = 7 adalah…

A.  ฀ C. 2 2

C.

5 2 A. 

B. 

D. ฀ D .

C.

2 5 ฀ A. 

2. Gradien garis yang melalui titik (-3, 4) dan (-8,

-6) adalah…

9. Gradien garis 2x – y = 2 adalah…

฀  A. C.

1 B. 2 D. -4

3. Gradien garis dengan persamaan

y – 3x = 2

2 10. Gradien garis x – 3y = -6 adalah…

A. -3 1

B. -3

D. 6

4. Gradien garis 2y + x – 4 = 0 adalah…

B.  1 D. 3

A. 

C. 3

B.  1 D. 1 11. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 – 2x

4 2 adalah…

A. 2

C. 

5. Gradien garis dengan persamaan 4x –y+8=0

adalah…

B. D. 2

A. -4

C. 5 2

B.  D. 4

1 12. Gradien garis yang melalui titik (4b, 5) dan

4 (2b, 8) adalah –3. Nilai b adalah…

A.  C.

6. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 – 2x

adalah…

1 2 B.  6 D. 3

A. 2

C. 

B. D. 2

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 21

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

13. Gradien garis yang melalui titik (2, 1) dan titik (4, 7) adalah…

14. Titik(2, -7) dan (-1, 5) terletak pada garis dengan persamaan y = mx + c. Nilai m + c

adalah…

A. -5

C. -3

B. -4

D. 1

C. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah titk (x 1 ,y 1 ) dengan gradien m

y –y 1 = m(x –x 1 )

Contoh Soal:

1. Persamaan garis yang melalui titik (3, –2) dengan gradien m = 4 adalah…

Penyelesaian:

Smart Solution:

Titik (3, –2) dan gradien m = 4

y= mx + c

x 1 =3;y 1 = –2 dan m = 4

–2 = 4(3) + c

Persamaan garis :

–2 = 12 + c

y –y 1 = m (x –x 1 )

c= –2 – 12

y – (–2) = 4 (x – 3) y + 2 = 4x – 12

c= –14

y = 4x – 12 – 2

Jadi : y = m x+c

y = 4x – 14

y=4 x – 14

2. Persamaan garis melalui titik ( –4, 3) dengan gradien 2 adalah…

Penyelesaian:

Smart Solution:

Titik ( –4, 3) dengan gradien m = 2

x 1 = –4 ; y 1 = 3 dan m = 2 y = mx + c

Persamaan garis :

3 = 2( –4) + c

y –y 1 = m (x –x 1 )

3= –8 + c

y – 3 = 2 (x – (–4)

c=3+8

y – 3 = 2 (x + 4)

c = 11

y – 3 = 2x + 8

Jadi :

y = mx + c

2x + 8 = y –3

y = 2x+ 11

2x –y+8+3=0

2 x+ 11 = y

2x – y + 11 = 0

2 x – y + 11 = 0

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 22 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

2. Persamaan Garis melalui Dua Titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 )

Rumus Biasa: Smart Solution: y฀y 1 x฀x 1

( x –x ). y = (y –y ). x + [(x × y ) – (y × x )

y 2 y 1 x

2 x 1

Contoh Soal:

1. Persamaan garis yang melalui titik ( –3,6) dan (1,4) adalah…

Penyelesaian: Cara Biasa:

Titik ( –3 , 6) dan (1, 4)

Smart Solution:

1 x y 1 x 2 y 2 ( x 1 –x 2 ). y = (y 1 –y 2 ). x + [(x 1 × y 2 ) – (y 1 × x 2 ) yy 1 xx 1 ( –3 – 1).y = (6 – 4).x + [(–3×4) – (6 × 1) y

2 ฀y 1 x 2 x 1 –4y = –2x + [–12 – 6]

y 6 x  (3) –4y = 2x – 18

2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2)

x + 2y = 9 y 6 x 3

2 1 3 y 6 x 3

4.(y – 6) = –2(x + 3) 4y – 24 = –2x – 6 4y + 2x = – 6 + 24 4y + 2x = 18 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2)

x + 2y = 9

3. Persamaan Garis Melalui (x 1 ,y 1 ) dan Sejajar dengan Garis y = mx + c

Syarat dua garis sejajar: Persamaan Garis:

1 m =m 2 y –y 1 = m(x –x 1 )

Contoh Soal:

1. Persamaan garis melalui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6 adalah…

Penyelesaian: Cara Biasa:

Smart Solution: Gradien garis 2x + 3y = 6 adalah :

2x + 3y = 6 Titik (-3, 2) berarti x 1 = –3 ; y 1 =2

3y = –2x + 6

Sejajar garis 2 x + 3y = 6  2x  6 Persamaan garis:

y=

3 2 x+ 3 y = 2(x 1 ) + 3( y 1 )

y=  x+2

2 x+ 3 y = 2( –3) + 3(2)

3 2 x+ 3 y= –6 + 6

2 x+ 3 y=0

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 23

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

Karena sejajar berarti m 1 =m 2 = 

Titik (-3, 2)

Persamaan garis:

y –y 1 = m (x –x 1 )

y –2 =  (x – (–3)

3.(y – 2) = –2.(x + 3) 3y – 6 = –2x – 6 2x + 3y = –6 + 6 2x + 3y = 0

4. Persamaan Garis yang Melalui (x 1 ,y 1 ) dan Tegak Lurus dengan Garis y = mx + c

Syarat Dua Garis Tegak Lurus: Persamaan Garisnya: m 1 ×m 2 = –1 y –y 1 = m(x –x 1 )

Contoh Soal:

1. Persamaan garis melalui titik (-4, -2) dan tegak lurus dengan garis 2x + 6y – 12 = 0 adalah ....

Penyelesaian Cara Biasa:

Gradien garis 2x + 6y – 12 adalah: 2x + 6y = 12

6y = –2x + 12

 2x  12

y=

2 y=  x+2

m 1 =  

6 3 Titik ( –4, –2) berarti x 1 = –4 ; y 1 = –2

Persamaan garis:

Syarat dua garis tegak lurus:

y –y 1 = m (x –x 1 )

m 1 ×m 2 = –1

y – (–2) = 3.(x – (–4)

×m 2 = –1

y – (–2) = 3.(x + 4)

3 y + 2 = 3x + 12

m 2 = –1 × –3

y = 3x + 12 –2

m 2 =3 y = 3x + 10

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 24

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

Smart Kediri Solution:

Titik (-4, -2) berarti x 1 = –4 ; y 1 = –2 Sejajar garis 2 x + 6y = 12 (tanda berkebalikan)

Persamaan garis:

6 x – 2y = 6(x 1 ) – 2(y 1 )

6 x – 2y = 6(–4) – 2(–2)

6 x – 2y = –24 + 4

6 x – 2y = –20 –20 = 6x – 2y

2 y = 6x + 20 (sama-sama bagi 2) y = 3x + 10

5. Persamaan Garis Berdasarkan Grafik melalui titik (x 1 ,y 1 )

Smart Solution

y 1 . x+x 1 . y=x 1 . y 1

Contoh Soal:

Perhatikan gambar !

Persamaan garis pada gambar adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 25 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Persamaan garis lurus yang melalui titik (0, 3)

7. Dari garis-garis dengan persamaan: dengan gradien -2 adalah…

I. y – 5x + 12 = 0

A. y = -2x –3

II. y + 5x –9=0

B. y = 2x + 3

–x– 12 = 0 III. 5y

C. 2x –y=3

IV. 5y + x + 9 = 0

D. y + 2x = 3 Yang sejajar dengan garis yang melalui titik (2, 1) dan (3, 6) adalah…

2. Persamaan garis yang melalui titik pangkal

A. I C. III

koordinat dan titik A( –3, 4) adalah…

B. II D. IV

A. y =  x+4

C. y =  x+4

4 3 8. Persamaan garis melalui titik (2, –1) dan tegak

4 3 lurus dengan garis y = 2x + 5 adalah…

B. y =  x

D. y =  x

A. 2x + y = 0 C. x + 2y = 0

B. 2x – y = 0 D. x – 2y = 0

3. Persamaan garis lurus yang melalui titik (7, –4)

9. Diketahuigaris-garis dengan persamaan: dan (9, 6) a dalah…

(i) 2y – 3x + 10 = 0

A. y = 5x + 39

(ii) 3y + 2x –15 = 0

B. 5x – y = 39

(iii) 3y – 2x – 5 = 0

C. y = 5x – 39

(iv) 4y + x + 5 = 0

D. 5x + y = 39 Pasangan garis yang saling tegak lurus adalah…

4. Persamaan garis yang melalui titik (1, –2) dan

A. (ii) dan (iii) C. (i) dan (ii)

B. (ii) dan (iv) D. (i) dan (iii) sejajar dengan garis yang persamaannya y= 2x

+1 adalah…

A. y = 2x –3

10. Garis g tegak lurus dengan garis yang

C. y = 2x + 4

persamaannya 2y – 3x = 6. Gradien garis g

5. Persamaan garis yang melalui titik ( –2,5) dan

sejajar dengan garis yang persamaannya 3x –

2y – 6 = 0 adalah…

D.

A. y= x  5 c. Y= 3 x 5

B. y=

x  8 D. Y=

6. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 5) dan sejajar garis x – 3y + 2 = 0 adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 26

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis

6. Persamaan garis yang melalui titik ( –3, –2) dan 3x + 5y + 20 = 0 adalah…

3 mempunyai gradien  5 adalah…

2. Persamaan garis yang sejajar dengan x + y –2 = 0 dan melalui titik (-5, 0) adalah…

7. Persamaan garis yang melalui titik ( –5, –4) dan tegak lurus terhadap garis yang melalui titik

3. Persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x ( –1, 3) dan (–4, 6) adalah… + 3y + 6 = 0 dan melalui titik ( –2, 5) adalah…

8. Persamaan garis lurus yang melalui titik A( –2,

4. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 3) dan –3) dan tegak lurus terhadap garis dengan sejajar dengan garis yang melalui titik (5, 2)

dan (-1, -1) adalah…

persamaan: y = x +9 adalah…

5. Persamaan garis yang melalui titik

dan tegak lurus dengan garis y = 3x + 2 adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 27 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

BAB 4 PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

A. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan dx + ey = f atau biasa ditulis

ax + by = c

- x , y disebut variabel

- a, b, d, f disebut keifisien

dx + ey = f

- c , f disebut konstanta

Maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

B. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

1. Metode Grafik Contoh Soal:

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

x y5

x - y=1

. Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menggambar grafik dari x + y = 5 dan x – y = 1, buatlah tabel nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut

x+y=5

(x, y)

5 x – y =1

x –y=1

X –1 12 3 4 5 6

Dari gambar tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 2). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 adalah {(3, 2)}.

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 28

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

2. Metode Eliminasi Contoh Soal:

Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

 Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

2x  3y  6

x y3

Penyelesaian:

2x + 3y = 6 dan x –y=3

Langkah I (Eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3. 2x + 3y = 6 × 1

 2x + 3y = 6

x –y=3 ×3

 3x – 3y = 9 –

– 3x = 6 – 9 2x –x=–3 x=3

Langkah II (Eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 2.

2x + 3y = 6 × 1

 2x + 3y = 6

x –y=3 ×2

 2x – 2y = 6 –

– (–2y) = 6 – 6 3y 5y = 0

y=

y=0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

3. Metode Substitusi Contoh Soal:

Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

2x  3y  6 dan x-y=3 , Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

x –y=3  x=y+3

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) 2x

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 29

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

Selanjutnya substitusi nilai y = 0, ke persamaan (2) y=0 

x=y+3 x=0+3 x=3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

4. Metode Gabungan Cara Cepat:

Persamaan 1 adalah A 1 x+B 1 y=C 1 Persamaan 2 adalah A 2 x+B 2 y=C 2

 B 1 C 2    B 2 -C 1 

maka: x 

 A 2 -B 1    A 1  B 2 

Untuk mencari nilai y kita substitusi nilai x yang telah didapat ke persamaan 1 atau persamaan 2.

Contoh Soal:

1. Dengan metode gabungan, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

2x  3y  6

x y3

. Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian: Cara Pertama:

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh: 2x + 3y = 6 × 1  2x + 3y = 6

x – y = 3 × 2  2x – 2y = 6 –

3y – (–2y) = 6 – 6 5y = 0

y=

Selanjutnya substitusi nilai y = 0 ke

x –y=3

x –0=3 x=3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

Cara Kedua:

Persamaan 1 adalah

2x + 3y = 6 

A 1 x+B 1 y=C 1

Persamaan 2 adalah

x – y=3 

A 2 x+B 2 y=C 2

( 3 x 3 )  (  1 x 6 ) 9  (  6 ) 9  6 15

Maka x =

Selanjutnya substitusi nilai x = 3 ke

x –y=3

3 –y=3 y=3 –3 y=0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 30

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

2. Penyelesaian sistem persamaan 2x + 4y + 2 = 0 dan 3x – y – 11 = 0 adalah x 1 da y 1 . Nilai x 1 +y 1 adalah…

Kunci jawaban : C Penyelesaian:

3x – y=11

2x + 4y = – 2 × 3 6x + 12y= –6 3x – y = 11

× 2 6x – 2y= 11–

14y= –28 14y = –28

y=

y 1 = –2

Substitusi nilai y 1 = –2 ke:

Jadix 1 +y 1 =3+( –2) = 1

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 31 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Penyelesaian sistem persamaan x – y = 12 dan

7. Penyelesaian sistem persamaan dari 2x + 3y = x+y=6 adalah…

26 dan 3x + 4y = 37 adalah x dan y. Nilai x –y

D. (-9, 3)

A. 3 C. 5

B. 4 D. 6

2. Nilai y yang merupakan penyelesaian dari 3x –

y = 12 dan x + 4y = 17 adalah…

8. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x +

A. 3

C. 6

3y = 19 dan x – y = –8 adalah {(x,y)}. Nilai x –

3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

B. –40 D. 50

x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah…

9. Diketahui persamaan y = ax + b. Jika y = –3 –2,4)} B. {(

untuk x = 1 dan y = 9 untuk x = 3, maka nilai 3a + 2b adalah…

4. Nilai x yang merupakan penyelesaian dari 2x –

A. –9 C. 0

5y = 2 dan 5x + 2y = 34 adalah…

10. Diketahui sistem persamaan 2x + y = 13 dan 3x – 2y = 2. Nilai 7x + 3y adalah…

5. Penyelesaian sistem persamaan 3x – 2y = 12

A. 47 C. 35

dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai dari

B. 43 D. 19

4p + 3q adalah…

A. 17

C. –10

11. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 3x +

B. –1

D. –17

2y = 19 dan 2x – y = 1 adalah {(x,y)}. Nilai 4x – 5y =…

6. Dari sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x – 5y

A. –18 C. 12

= –37, nilai 6x + 4y adalah…

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Diketahui sistem persamaan 2x – 3y = 18 dan x

4. Jika x dan y merupakan penyelesain dari –4x + + 4y = –2. Nilai x + y =…

y = 7 dan x + 2y = 5, maka nilai 3x – y adalah…

2. Penyelesaian dari sistem persamaan x – 3y = 1

5. Penyelesaian dari 2x + 3y = 10 dan –3x + y = –4 dan x – 2y = 2 adalah…

adalah x = a dan y = b. Nilai dari a – 2b =…

3. Penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x + 5 danx + 3y = 1 adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 32 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

C. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI YANG MELIBATKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita sebagai berikut.

1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

Contoh Soal:

1. Harga 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00, sedangkan 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00. Harga sebuah kemeja adala h…

Penyelesaian:

Misalkan:

Kemeja = x Celana = y

3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00

3x + 2y = 300.000

1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00

x + 4y = 400.000

3x + 2y = 300.000 × 2  6x + 4y = 600.000 x + 4y = 400.000

× 1  x + 4y = 400.000

5x = 200.000

x=

5 x = 40.000

Jadi harga sebuah kemeja (x) adalah Rp40.000,00

2. Jumlah dan selisih dua buah bilangan masing-masing 12 dan 4. Selisih kuadrat kedua bilangan itu adalah…

Penyelesaian:

Misalkan:

bilangan 1 = x bilangan 2 = y

Jumlah dua buah bilangan 12x + y = 12 Selisih dua buah bilangan 4

x –y=4

x+y = 12

Substitusi nilai x=8

x –y =4 + 2x

ke x + y = 12

x =8

8+ y = 12 y = 12 –8

2 Selisih kuadrat = 8 2 –4 = 48 y =4

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 33 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Jumlah dua bilangan cacah adalah 34 dan

A. Rp 45.000,00

C. Rp 60.000,00

selisih kedua bilangan itu adalah 4. Hasil kali

B. Rp 48.000,00

D. Rp 72.000,00

kedua bilangan itu adalah…

A. 130

C. 140

7. Di lapangan parkir terdapat 105 kendaraan

B. 135

D. 145

yang terdiri dari sepeda motor dan mobil. Jika jumlah roda seluruh kendaraan tersebut

2. Harga 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal (tanpa ban serep) adalah 290 roda, maka adalah Rp 175.000,00 sedangkan harga 3

banyaknya mobil di tempat parkir tersebut pasang sepatu dan 4 pasang sandal adalah Rp

adalah…

255.000,00. Harga sepasang sepatu dan 2

A. 35 C. 60

pasang sandal adalah…

B. 40 D. 70

A. Rp71.000,00

C. Rp95.000,00

B. Rp90.000,00

D. Rp105.000,00

8. Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00, sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp

3. Harga 3 buah CD dan 4 buah kaset adalah Rp 185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos 230.000,00. Sedangkan harga 2 buah CD dan

adalah…

A. Rp 275.000 C. Rp 475.000 200.000,00. Harga 4 buah CD dan 5 buah

5 buah kaset yang sama adalah Rp

B. Rp 375.000 D. Rp 575.000 kaset adalah…

A. Rp 250.000,00

C. Rp 400.000,00

9. Harga sebuah mesin foto copy adalah 5 kali

B. Rp 300.000,00

D. Rp 460.000,00

harga sebuah komputer. Harga 5 buah computer dan 2 buah mesin foto copy adalah

4. Pada sebuah toko, Hida dan Anis membeli Rp 60.000.000,00. Harga sebuah mesin foto terigu dan beras dengan merk yang sama. Hida

copy tersebut adalah…

membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras seharga

A. Rp 20.000.000 C. Rp 30.000.000 Rp 84.000,00, sedangkan Anis membeli 10 kg

B. Rp 25.000.000 D. Rp 35.000.000 terigu dan 5 kg beras seharga Rp 70.000,00. Harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah…

10. Di dalam kandang terdapat bebek dan kambing

A. Rp 152.000,00 C. Rp 128.000,00 sebanyak 15 ekor. Jika banyak kakinya ada 40

B. Rp 130.000,00 D. Rp 120.000,00 buah, maka banyaknya kambing adalah… ekor.

A. 4 C. 6

5. Harga 4 kg gula pasir dan 3 liter minyak

B. 5 D. 10

gorengadalah Rp 40.000,00, sedangkan harga

11. Di dalam dompet Mimi terdapat 25 lembar adalah Rp 28.500,00. Harga 2 kg gula pasir

3 kg gula pasir dan 2 liter minyak goreng

uang yang terdiri dari lembaran lima ribu adalah…

rupiahan dan sepuluh ribu rupiahan. Jika

A. Rp 11.000,00

C. Rp 12.000,00

jumlah uang itu Rp 200.000,00, banyak

B. Rp 11.500,00

D. Rp 12.500,00

uang lima ribu rupiah dan sepuluh ribu rupiah adalah…

6. Besar uang Agnes adalah 4 kali uang Ketut,

A. 10 dan 15 C. 14 dan 11

sedangkan selisih uang Agnes dan Ketut

B. 12 dan 13 D. 15 dan 1

adalah Rp Rp 36.000,00. Jumlah uang Agnes dan Ketut adalah…

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 34 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

BAB 5 TEOREMA PYTHAGORAS

A. TEOREMA PYTHAGORAS

Teorema Pythagoras:

AC = AB + BC b =a +c

a 2 2 2 2 2 AB 2 = AC – BC a =b –c

2 2 2 2 2 BC 2 = AC – AB c =b

–a

Teorema Pythagoras:

q 2 2 2 2 2 PR 2 = PQ + RQ q =r +p p 2 2 2 2 2 PQ 2 = PR – RQ r =q –p

2 2 2 2 2 RQ 2 = PR

– PQ p =q –r

Contoh Soal:

1. Perhatikan gambar dan pernyataan berikut.

2 2 b 2 (1) a =b –c

a 2 2 (2) 2 b =a +c

2 2 (3) 2 c =a +b

2 2 c 2 (4) a =c –b

Pernyataan yang benar adalah ....

A. (1) dan (2) B. (1) dan (3)

C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban : A

Sisi miring pada segitiga panjangnya adalah b satuan

2 2 2 2 2 Sehingga b 2 =a +c atau a =b –c

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 35

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Perhatikan gambar dibawah ini!

6. Perhatikan gambar dibawah ini!

Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang Dalil Pythagoras pada gambar di atas 2 2 2 2 2 2 adalah… benar untuk segitiga siku-siku ABC adalah…

A. a =b +c =a C. b +c

2 2 2 2 2 A. c 2 +a =b +b 22 2 =a 2 2 C. c 2

B. a = c –b

=a D. b –c

2 2 2 2 2 –b 2 B. c =a +b D. a =c

7. Perhatikan gambar dibawah ini!

2. Segitiga PQR siku-siku di Q, jika PQ = 4 cm dan PR = 5 cm, maka panjang QR adalah…

3. Panjang hipotenusa segitiga siku-siku adalah

30 cm, jika panjang salah satu sisinya 18 cm, maka panjang sisi lainnya adalah…

Panjang BD pada gambar di bawah ini adalah…

4. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku

samakaki dengan panjang sisi siku-siku 5 cm adalah…

A. 5 cm C.

75 cm

24 cm

B. 50 cm

D. 125 cm

2 10 cm B 2 2

5. Perhatikan gambar dibawah ini!

BD = CB + CD

Nilai x pada gambar di bawah adalah…

BD = 26 cm

A. 10 cm

C. 20 cm

B. 12 cm D. 40 cm

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 36

Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

B. TRIPEL PYTHAGORAS

Contoh Soal:

1. Perhatikan bilangan-bilangan berikut : (1) 13, 12, 5 (2) 6, 8, 11 (3) 7, 24, 25 (4) 20, 12, 15 Bilangan-bilangan di atas, yang merupakan tripel Pythagoras adalah…

A. (1) dan (2) B. (1) dan (3)

C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban: B

169 = 144 + 25 169 = 169 Jadi 13, 12, 5 merupakan tripel Pythagoras

625 = 576 + 49 625 = 625 Jadi 7, 24, 25 merupakan tripel Pythagoras

Jawaban yang benar (1) dan (3)

2. Perhatikan ukuran-ukuran segitiga berikut ini (1) 4 cm, 5 cm, 6 cm

(2) 17 cm, 15 cm, 8 cm (3) 8 cm, 10 cm, 12 cm (4) 25 cm, 7 cm, 24 cm Yang merupakan segitiga siku-siku adalah…

Kunci jawaban: D

Segitiga siku-siku dapat dibentuk apabila panjang sisi-sinya merupakan tripel pythagoras.

289 = 225 + 64 289 = 289 Jadi 17, 15, 8 merupakan tripel Pythagoras

Jadi 25, 7, 24 merupakan tripel Pythagoras

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 37 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Rangkaian bilangan berikut merupakan panjang

4. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang sisi-sisi sebuah segitiga:

merupakan tripel Pythagoras adalah… (i) 8 cm, 15 cm, 19 cm

A. 4, 3, 6 C. 6, 8, 11

(ii) 12 cm, 16 cm, 20 cm

B. 5, 3, 4 D. 8, 10, 12

(iii) 15 cm, 20 cm, 30 cm

1 1 5. Perhatikan gambar dibawah ini!

(iv) 7 cm, 10 cm, 12

cm

Yang merupakan segitiga siku-siku adalah…

A. (ii) dan (iv)

C. (i) dan (iii)

B. (ii) dan (iii) D. (i) dan (iv)

2. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah…

Panjang sisi segitiga PQR pada gambar di atas

A. 12, 13, 6

C. 24, 5, 25

ini adalah 8 cm, maka panjang QB adalah…

B. 14, 48, 50

D. 10, 6, 7

C. 48 cm

C. 30 cm

D. 40 cm

D. 20 cm

3. Diketahui ukuran-ukuran sisi segitiga sebagai berikut :

6. Dari segitiga berikut yang merupakan segitiga (i). 5, 9, 13

siku-siku adalah segitiga dengan panjang sisi… (ii). 5, 12, 13

A. 6 cm, 8 cm, dan 10 cm (iii) 7, 24, 25

B. 10 cm, 12 cm, dan 14 cm (iv) 7, 24, 26

C. 10 cm, 15 cm, dan 20 cm Dari ukuran-ukuran segitiga di atas, yang

D. 7 cm, 15 cm, dan 18 cm dapat membentuk segitiga siku-siku adalah…

A. (i) dan (ii)

C. (iii) dan (iv)

B. (ii) dan (iv)

D. (ii) dan (iii)

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 37 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

Adinawan, Cholik. Sugiyono. 2002;Matematika Untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta. Erlangga.

Adinawan, Cholik. Sugiyono. 2005. Seribu Pena Matematika SMP Untuk Kelas VIII. Jakarta. Erlangga

Salamah, Umi. 2007. Membangun Kompetensi Matematika. Surakarta. Tiga Serangkai.

Sukino dan Simangunsong, Wilson. Matematika SMP Kelas VIII. Jakarta. Erlangga.

Sujatmiko, Ponco. 2006. Matematika Kelas VIII. Surakarta. Tiga Serangkai.

Download di http://ilmu-matematika.blologspot.com . Apriyanto Yoyo, 2013, Matematika kelas VIII

semester Gasal Kurikulum 2013

Blog Jurnal Matematika oleh Maryono,S.Pd. Page | 37 Copyright @ 2014-2015. Blog Jurnal Matematika: https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono .

Tentang Penyusun

Maryono, S.Pd

Lahir di Karanganyar, pada Tanggal 1 Januari 1970, menamatkan sekolah di SD Negeri Gondangmanis I tahun 1983, SMP Negeri 1 Karangpandan tahun 1986, SMA Negeri Karangpandan tahun 1989. Melanjutkan dengan mencari biaya kuliah sambil menjadi kondektur BUS solo tawangmangu, juga pernah sambil buruh jadi tukang kebun di sumber solo, Alhamdulillah, Lulus D-III Pendidikan Matematika FKIP UNS Tahun 1992. Demikian juga menyelesaikan jenjang S1 sambil mengajar namun berkat ridlo Alloh SWT berhasil Lulus Sarjana S-1 Pendidikan Matematika FKIP UNS tahun 1999. Mengawali karier sebagai guru privat di “Widya Gama” Karanganyar, sebagai guru di kelas : sejak Juli 1993 mengajar di SMP