Dani Leonidas S ,MT

  Probabilitas (2) Statistik Bisnis - 7 Dani Leonidas S ,MT Hukum perkalian (REVIEW) 

  Hukum khusus perkalian mensyaratkan dua peristiwa A dan B adalah independen 

  Dikatakan independen jika terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa yang lain

   Jadi jika peristiwa A bersifat independen, terjadinya A tidak menghalangi probabilitas terjadinya B

  

  Untuk dua peristiwa independen A dan B, probabilitas A dan B terjadi secara bersamaan

  P (A dan B) = P(A) . P(B) Contoh 

  Dari percobaan melempar dadu dan mengambil kartu, berapa peluang muncul sisi 3 (A) dan terambil kartu king (B) ?

   P(A) = 1/6

   P(B) = 4/52

   P(A dan B)=P(A) . P(B) = 1/6 . 1/52 = ??? Hukum perkalian (2) 

  

Jika dua kejadian tidak independen,

maka disebut saling tergantung.

   Misalkan dalam sebuah kotak terdapat 10 kaus, dan diketahui bahwa 3 diantaranya kaus tangan panjang

   Jika A = peluang terambilnya kaus tangan panjang dan B peluang terambilnya kaus tangan pendek

   P (A) = 3/10 dan P(B) = 7/10

  Cont....

   Jika dilakukan percobaan mengambil kaus dari tumpukan kaus (asumsi

peluang terambilnya kaus sama), dan

kemudian tidak dilakukan pengembalian

untuk percobaan berikutnya, peluang

mendapatkan kaus tangan pendek pada

pengambilan ke dua tergantung pada

hasil pengambilan percobaan pertama

  

  Hukum umum perkalian P(A dan B) = P(A) . P(B│A)

  Dimana P(B│A) adalah probabilitas B akan terjadi dengan ketentuan A terjadi terlebih dahulu

  Contoh lanjutan kasus sebelumnya 

  Dari kumpulan 10 kaus yang terdiri dari 3 kaus tangan pendek dan sisanya tangan panjang, Dalam dua

percobaan tanpa pengembalian, berapa probabilitas

terambilnya kaus tangan pendek diikuti kaus tangan _{ A = peristiwa terambilnya kaus tangan pendek pada pengambilan pertama} pendek lainnya ?  B = peristiwa terambilnya kaus tangan pendek pada pengambilan _{ P(A) = 3/10 kedua }  P(B│A) = 2/9 _{P (A dan B) = P(A) . P(B│A) = 3/10 . 2/9 = 6/90}

Contoh ,,,,, Kurang 1 – 5 6 – 10 Lebih dari Total Kesetiaan thn dari 1 tahun tahun 10 tahun

  Tetap

  10

  30

  5 75 120 Pindah

  25

  15

  10

  30

  80 200 Berapa peluang memilih secara acak seorang eksekutif yang setia pada perusahaan (tetap bekerja) dan telah bekerja lebih dari 10 tahun ? Jawab 

  Jika A adalah peristiwa eksekutif yang tetap bekerja pada perusahaan,

   P (A) = ???

  

  Jika B adalah peristiwa ekskutif yang telah bekerja lebih dari10 tahun

   P(B│A) = ???? Jawab 

  Jika A adalah peristiwa eksekutif yang tetap bekerja pada perusahaan,

   P (A) = 120/200

  

  Jika B adalah peristiwa ekskutif yang telah bekerja lebih dari10 tahun

   P(B│A) = 75/120

   Maka P (A dan B) = P(A). P(B│A)

  = (120/200) . (75/120) = 0,375 Diagram Pohon 

  Sangat berguna untuk menggambarkan probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama

Contoh ,,,,, Kurang 1 – 5 6 – 10 Lebih dari Total Kesetiaan thn dari 1 tahun tahun 10 tahun

  Tetap

  10

  30

  5 75 120 Pindah

  25

  15

  10

  30

  80 200 Coba susun dalam bentuk diagram pohon

  _{Tetap Kesetiaan dari 1 thn 10} Kurang 1 – 5 tahun 6 – 10 tahun Lebih dari 10 Total _{30 5 75 120 tahun}

  Pindah ^{25 15 10 30} ₂₀₀ ⁸⁰ Diagram pohon _{Bersyarat Bersama Probabilitas Probabilitas 1- 5 tahun < 1 tahun 30/120 120/200 X 30/120 = 0,150} 10/120 _{120/200 X 10/120 = 0,050 120/200} Tetap Bekerja _{6–10 tahun 5/120 120/200 X 5/120 = 0,025 >10 tahun 75/120 120/200 X 75/120 = 0,375 80/200 < 1 tahun 1- 5 tahun} 25/80 80/200 X 25/80 = 0,125 _{15/80 80/200 X 15/80 = 0,075} Pindah _{>10 tahun 6–10 tahun 80/200 X 10/80 = 0,050 10/80 30/80 80/200 X 30/80 = 0,150}

  Total = 1 Jawab pertanyaan ini 

  Peluang memilih eksekutif secara acak yang memilih tetap bekerja dan telah bekerja lebih dari 10 tahun ? 

  0,375 

  Peluang memilih eksekutif secara acak yang

memilih pindah dan telah bekerja lebih dari 10

tahun ? 

  0,150 

  Peluang memilih eksekutif secara acak yang memilih tetap bekerja dan telah bekerja antara 6 - 10 tahun ? 

  0,025 Teorema Bayes �

  ( �

  � 1 ) .

  2 )

  �(�│�

  � 2 ) .

  � (

  1 )+

  �(�│�

  � (

  1 |

  1 )

  �(�│�

  1 ) .

  ( �

  = �

  � )

  

  Bayes (2) 

  Probabilitas awal (prior probability) = Probabilitas berdasarkan informasi yang tersedia saat ini

  

  Probabilitas Posterior = Probabilitas yang direvisi / diperbaiki dengan memanfaatkan informasi tambahan Contoh 

Terdapat 3 supplier barang A, yaitu A1, A2, dan A3.

  Probabilitas awalnya adalah : 

  P(A1) = 0,30 = peluang barang A diproduksi oleh A1 

  P(A2) = 0,20 = peluang barang A diproduksi oleh A2 

  P(A3) = 0,50 = peluang barang A diproduksi oleh A3 

  Informasi tambahan 

  P(B1│A1) = Probabilitas sebuah barang A yang diproduksi A1 cacat = 0,03 

  P(B1│A2) = Probabilitas sebuah barang A yang diproduksi A2 cacat = 0,05 

  P(B1│A3) = Probabilitas sebuah barang A yang diproduksi A3 cacat = 0,04

  

  Dari contoh tadi, coba buat diagram pohonnya dan tentukan probabilitas awal, bersyarat, dan bersamanya Pertanyaan 

  Berapa peluang barang cacat berasal dari supplier A2 ??

  

  = P(A2│B1) = ???

   Disebut probabilitas posterior

  Peristiw Prob Prob Prob Prob

a Awal Bersyarat ganda Posterior

P(Ai dan

  

Ai P (Ai) P(B1lAi) B1) P(AiIB1)

A1

  0.3 0.03 0.009 0.2308 A2

  0.2

  0.05 0.01 0.2564 A3

  0.5

  0.04 0.02 0.5128 P(B1) 0.039 1.0000 Pertanyaan 

  Berapa peluang barang Bagus berasal dari supplier A1 ??

  

  = P(A1│B2) = ???

   Disebut probabilitas posterior

  Peristiwa Prob Awal

Prob

Bersyarat

  Prob ganda Prob Posterior Ai P (Ai) P(B2lAi) P(Ai dan B2) P(AiIB2) A1 0,30 0,97 0,291 0,3028 A2 0,20 0,95 0,190 0,1977 A3 0,50 0,96 0,480 0,4995 Distribusi Peluang _{Distribusi Multinomial Distribusi} Binomial

_{Random Diskrit}

Variabel

_{Hipergeometrik Distribusi Probabilitas Distribusi Distribusi} Distribusi _{Poisson Distribusi Student} Normal

_Kontinyu

_Random

Variabel

_{Distribusi Chi- Square}

  Distribusi Binomial

  

N! = 1 X 2 X 3 X...X (N-1) X N Parameter di Distribusi Binomial 

  Dalam populasi yang berdistribusi Binomial berlaku parameter rata-rata dan simpangan baku yang dinyatakan sebagai berikut

  

  Hitunglah probabilitas mendapatkan 6 kali muka G ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang logam sebanyak 10 kali

  

  Hitunglah probabilitas munculnya mata 6 sebanyak 8 buah pada lemparan satu kali 10 dadu homogen?

  

probabilitas mendapatkan 6 kali muka G ketika

melakukan undian dengan sebuah mata uang logam sebanyak 10 kali  

  P(X=6)= = 210 (=0,2050

  

probabilitas munculnya mata 6 sebanyak 8 buah pada

lemparan satu kali 10 dadu homogen? 

  P(X=8) =

  

  

10% dari semacam benda tergolong kategori A.

sebuah sampel berukuran 30 diambil secara random. Berapa probabilitas sampel itu akan berisikan benda kategori A:

  a. Semuanya

  b. Sebuah

  c. Dua buah

  d. Paling sedikit sebuah

  e. Paling banyak dua buah

  f. Rata-rata terdapat kategori A

  

Semuanya A

 

  P(X=30) =

  

Sebuah kategori A

 

  P(X=1) =0,1409

  

Dua buah kategori A

 

  P(X=2) =0,2270

  

Paling sedikit sebuah termasuk

kategori A   P(X≥1) = P(X=1)+P(X=2)+...

• P(X=30)

  

  = 1-P(X=0)

  

  = 1- Terdapat paling banyak 2 kejadian A 

  P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

  

  = 0,0423+0,1409+0,2270 = 0,4102

  

Rata-rata terdapatnya kategori

A 

  µ = 30 (0,1) = 3

  

  Rata-rata terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah Distribusi Multinomial

  Ekspektasi Distribusi Multinomial 

  Ekspektasi terjadinya tiap peristiwa E , E , ... , E berturut-turut adalah _{1 2 K}

  Np , Np ,...,Np _{1 2 k}

   

  Dalam sebuah undian satu buah dadu sebanyak 12 kali, hitunglah probabilitas terdapat mata 1, mata 2, mata 3,…..mata 6 masing-masing tepat dua kali!

   Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 barang oleh mesin B, dan 5 barang oleh mesin C. Semua barang yang dihasilkan ketiga mesin mempunyai ciri yang sama. Barang-barang tersebut diberi label yg

memberikan keterangan diproduksi oleh mesin

yang mana, lalu semua dimasukkan ke dalam

kotak. Tentukan probabilitas diantara 6 barang

yang diambil akan ditemukan 1 barang dari

mesin A, 2 barang dari mesin B, dan 3 barang

dari mesin C.

  

  Distribusi Hipergeometrik Dengan rata-rata n

  

  Sekelompok manusia ada 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal

  1 Januari. Secara random diambil 5 orang. Berapa probabilitas diantara 5 orang tadi

  a. Tidak terdapat yang lahir tanggal 1

  januari

  b. Terdapat tidak lebih dari seorang

  yang lahir pada tanggal 1 januari

  

Tidak terdapat yang lahir

tanggal 1 januari  

  P(0)==0,724

  

Terdapat tidak lebih dari seorang yang

lahir pada tanggal 1 januari  

  = P(0) + P(1)

  

  = 0,724+=0,724+0,253

  

  = 0,977 Distribusi Poisson

  

  Misalkan rata-rata terdapat 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang.

  Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil. Hitunglah probabilitas tidak ada orang yang buta huruf per 200 orang!

  

probabilitas tidak ada orang yang

buta huruf per 200 orang!  

  p(0)= =