Bab I Dasar Teori - Laporan Metode Statistika 1

  

Dasar Teori

Inferensi Statistik

  Inferensi statistik adalah pengambilan kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan analisa pada sampel. Beberapa hal yang perlu diketahui berhubungan dengan inferensi statistik yaitu estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis.

  

Estimasi titik adalah menduga nilai tunggal parameter populasi. Estimasi Interval

  adalah menduga nilai parameter populasi dalam bentuk interval. Uji hipotesis adalah suatu proses untuk menentukan apakah dugaan tentang nilai parameter/karakteristik populasi didukung kuat oleh data sampel atau tidak. Hipotesis dalam inferensi statistik di bedakan menjadi hipotesis nol (Ho), yaitu hipotesis yang akan diuji oleh suatu prosedur statistik, biasanya berupa suatu pernyataan tidak adanya perbedaan atau tidak adanya hubungan, dan hipotesis alternativ (H ^{1 ), yaitu hipotesis yang merupakan lawan dari Ho biasanya berupa} pernyataan tentang adanya perbedaan atau adanya hubungan, yang selanjutnya digunakan untuk menunjukan bahwa pernyataan mendapat dukungan kuat dari data. Tahap-tahap uji hipotesis secara umum, yaitu:

  1. Tentukan model probabilitas yang cocok dari data, _1,

  2. Tentukan hipotesis Ho dan H

  3. Tentukan statistik penguji,

  4. Tentukan tingkat signifikansi,

  5. Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi,

  6. Hitung statistik penguji,

  7. Alternatif, hitung p-value berdasarkan statistik penguji, dan 8. Ambil kesimpulan berdasarkan poin 6 dan 7.

  Inferensi Statistik Mean Satu Populasi Variansi Diketahui

  Uji hipotesis untuk mean jika variansi diketahui atau juga dikenal juga sebagai uji Z yaitu:  Hipotesis

  µ µ

  Uji dua sisi, H : = _{1 :} µ H ≠ µ

  µ µ ≤ µ ≥ µ

  Uji satu sisi, H : atau H :

  µ µ µ µ

  H ^{1 : > H 1 : <}

  α

   Signifikansi _{_}

  x − µ

   Statistik penguji Z =

  σ n _{/ 2 / 2}

  α α

  Z < -Z atau Z > Z  Daerah kritik

  α

  Z > Z

  α

  Z < -Z

  Variansi tidak diketahui

  Uji hipotesis untuk mean jika variansi tidak diketahui atau juga dikenal juga sebagai uji t yaitu:

• Hipotesis

  µ µ

  Uji dua sisi, H : =

  µ

  H ^{1 :}

  ≠ µ µ µ ≤ µ ≥ µ

  Uji satu sisi, H : atau H : _{1 :} µ µ µ µ _{1 :} H > H <

  α

• Tingkat signifikansi _{_}

  x − µ

• Staistik Penguji t =

  s n

• Daerah Kritik, Ho ditolak jika: _{( n 1 ; / 2 ) ( n 1 ; / 2 )}

  − α − α

  1. t > t atau t < -t _{( n 1 ; )}

  − α

  2. t > t _{( n − 1 ; α )} 3. t < t

• Hipotesis: Uji dua sisi, H : P = P H ^{1 :}
• Tingkat signifikansi
• Statistika uji : Z =

  dengan : ^{^}

  P H ^{1 :} P ¹ – P ² > P H ^{1 :} P ¹ – P ² < P

  ≥

  P atau H 0 : P ^{1 – P 2}

  ≤

  Uji satu sisi, H : P ^{1 – P 2}

  ≠ P

  P ¹ – P ²

  Uji hipotesis untuk inferensi proporsi dua populasi yaitu:

  α Dua populasi

  , x = jumlah sukses n = ukuran sampel

  P adalah proporsi sukses dari sampel _^ P = n x

  − −

  ) 1 ( ^{^}

  n P P P P

  α

  P H ^{1 :} P > P H ^{1 :} P < P

  ≥

  P atau H : P

  ≤

  P ≠ P Uji satu sisi, H : P

  Uji hipotesis untuk inferensi proporsi satu populasi yaitu:

  Inferensi Proporsi Satu Populasi

• Daerah kritik, Ho ditolak jika, p value yang diperoleh dengan menggunakan minitab <
• Hipotesis: Uji dua sisi, H : P ^{1 – P 2 = P} H ^{1 :}

  α

• Tingkat signifikansi
• Statistik penguji Z =
_{2 2} ^{^} ₂ ^{^} _{1 1} ^{^} ₁ ^{^ 2 ^ 1 ^}

  1 ^

  P P P −

• − − −

  jika P tidak diketahui, maka P dianggap = 0, 0 sehingga Z =

  ) ) 1 ( 1 ( ) ( n P P n P P

P P

• =
• − −
• Daerah kritik, Ho ditolak jika, p value yang diperoleh dengan menggunakan minitab < α
• H :
• Signifikansi
• Statistik hitung

• ^{n n} _p

  2

  2

  1

  1

  2 − + − + −

  = n n s n s n

  S p

• − − −
• =
• − − − µ µ
• −    

  2

  2

  2

  1 σ σ ≠ t = k t n s n s x x

  ~ ) ( ) (

  2

  1

  2

  2

  2

  1

  

2

  1

  2 _ 1 _

     

     

  1

  1 ₂ ^{2 1 2 2} ₁ ^{2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1}

  −   

  

     

  n n s n n s n s n s k

  2

  1

  2

  µ ≠ µ

     

  2

  1 ^ ^ 2 ^

  1

  1 ) 1 (

n n

P P

  dengan nilai _{2 1} ^{2 1 ^}

  n n x x P

  Interferensi Dua Rata-rata Uji Rata-rata 2 populasi Independent

  Untuk data yang saling independent satu sama lain, uji hipotesisnya yaitu:

  µ

  =

  µ

  (kedua rata-rata relativ sama) H ^{1 :}

  α

     

  = 5%

  Kesamaan variansi Statistik Penguji Keterangan

  2

  2

  2

  1 σ σ = t =

  2 ~

  1

  1 ) ( ) ( _{2 1 2 1 2 2 1} ^{2 _ 1 _}

  −   

  

  

t

n n S x x

  ) 1 ( 1 (

  2

  µ µ 2 )

  Uji Rata-rata 2 populasi Dependent

  Uji rata-rata 2 populasi yang saling dependent ini dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan dimana suatu sampel dikenai dua perlakuan yang berbeda, dan kita akan melihat keterkaitan kedua perlakuan tersebut. Uji hipotesis untuk rata-rata 2 populasi dependent yaitu:

  µ µ ¹

• H : ^{2 = d}
_{1 :} µ µ 1<
• H ^{2 ≠ d}

  α

• Tingkat signifikansi

  2 _{_} _ _{_}   d d d d d

  − − ⁱ

  ∑ ∑

  Statistika uji : t = dengan dan S d =

• i

  d =  

  S _d n n n

  1

  −

• Daerah Kritis, Ho ditolak jika nilai Signifikansi yang diperoleh dari penggunaan SPSS data editor (sig) atau P-value yang diperoleh dari penyelesaian dengan minuitab &lt; α

Permasalahan

  Adapun permasalahan yang akan kami selesaikan dengan menggunakan alat Bantu SPSS dan atau Minitab pada kesempatan kali ini, yaitu:

  1. The mean reaction time for a certain species of pigs were given a stimulus is 0,9 second. After 18 pigs were given 3 oz of alcohol, their reaction time slowed to 1,1 second with a standard deviation 0,26 second. At the 0,05 level, did intake alcohol significantly increase reaction time ???

  2. Two different firms design their own IQ test and a psychologist administers both versions 10 randomly selected subject. the result are given below. At the 0,02 level significance, test the claim that both versions produce the same mean score.

  Subject A B C D E F G H

  I J Tes I 98 94 111 102 108 105

  92 88 100

  99 Tes II 105 103 113 98 112 109

  97 95 107 103

  3. Data berikut adalah data tentang umur pasangan yang menikah : Laki-laki 28,1 33 29,8 53,1 56,7 41,6 50,6 21,4 62 19,7 Perempuan 28,4 27,6 32,7 52 58,1 41,2 50,7 20,6 61,1 18,1

• Apakah ada perbedaan antara rata-rata umur mempelai pria dan wanita ?
• Jika ada, rata-rata umur siapakah yang lebih tua ?
• Apakah perbedaan rata-ratanya sama dengan 3 tahun ?

  4. An advertiser studies the proportion of radio listeners who prefer country music. In region A 95 of 250 listeners surveyed indicated a preference for countri music. In region B, country music was preferred by 14 % of the 400 listeners surveyed. At the 0,02 level significance, test the claim that region A has a greater proportion of listeners who prefer country music.

  

Pembahasan

  1. based on the question above, we can conclude that:

  µ µ ≤

• Ho :

  µ µ

  H 1 : &gt;

  α

• Signification = 0,05 _{_}

  x µ −

• Statistic test: t = , with n = 18,

  s n

^{( n}

^{1 ; )}

  Critical area, Ho is denied if t &lt; t _{( n − 1 ; α )} By seeing the table, we get the values of -t = -1,74, 1 ,

• − α

  1 ,

  9

  −

  And by calculating, we got t = ,

  26

  18 ,

  2 =

  , 061 = 3,27 _{( n 1 ; )}

  − α

  Based on the calculation above, we know that t &gt; t namely, 3,27 &gt; -1,74 so, Ho is not denied, it means that the alcohol intakes is not increase the reaction time

  2. The second question is a dependent samples t- test, with:

  µ µ

• Ho : =

  µ

  H ^{1 : ≠ µ}

  α

• Signification = 0,02
>Critical area, Ho denied if the p-value &lt; &al
• Statistic test

  To get the P-Value, we can use the minitab with this follow ways: 1. activate the minitab program,

  2. Insert the data from the question 2, and the output is : 3. click stats

  4. after that, insert C1 as the firs sample, C2 as the second sample,  klik options, and insert 98 as the confidence level, test mean “0,00” , and alternative “not equal”

   click continue  click OK, and the output is: From the output above, we got that the P-value = 0,004 is less than the significance ( α ) = 0,02 So, the conclucion is Ho is denied, it means the mean score that produced by the two companies is different one another, and we have no reason to say that both companies produce the same test score.

  3. Berdasarkan table pada soal nomor 3, dapat disimpulkan bahwa data tersebut merupakan data independent sample t test, dan kita dapat menyusun suatu hipotesis untuk:

  a. mengetahui ada tidaknya perbedaan antara rata-rata umur mempelai pria dan wanita

  µ µ

  Ho : ^{1 = 2}

  µ ≠ µ

  H ^{1 : 1 2} Signifikansi 0,05 (karena media yang akan kita gunakan adalah SPSS data editor yang mana sebagai default untuk tingkat kepercayaan, SPSS menggunakan tingkat kepercayaan 95% atau tingkat signifikansi 100%-95% = 5 % atau 0,05) Ho ditolak jika nilai dari sig ≤ 0,05 Lalu, kita akan menyelesaikan dengan menggunakan SPSS data editor untuk memperoleh nilai sig, dengan langkah-langkah: 1. aktifkan SPSS data editor, kemudian entrikan data pada table soal nomor 3, dan outputnya:

  2. Klik analyze muncul kotak dialog sebagai berikut:

  3. Setelah itu, insertkan variable nikah ke test variables, dan sumber ke grouping variable  klik define groups, dan muncul kotak dialog berikut;

  4. ketik 1 pada group 1, 2 pada group 2  klik continue  klik OK, dan outputnya sebagai berikut:

  Berdasarkan output tersebut, kita memperoleh bahwa nilai sig = 0,899 sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama. Dengan demikian anggapan kesamaan variansi dipenuhi, dan Ho Tidak ditolak. Selain itu, kita juga dapat melihat nilai sig dari uji kesamaan rata-rata, yaitu 0,938 atau nilai t = 0,079 yang berarti masuk daerah penerimaan Ho. Sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua rata-rata dapat dianggap realatif sama.

  b. rata-rata umur yang lebih tua, oleh karena hasil pada pertanyaan a mengindikasikan bahwa kedua data memiliki rata-rata yang relative sama, jadi tidak ada rata-rata umur yang paling tua.

  c. mengetahui apakah perbedaan rata-rata sama dengan 3 tahun Oleh karena kedua rata-rata relative sama, maka selisih keduanya tidak mungkin sama dengan 3

  4. from the fourth question, we got that:

• 95 of 250 listeners in the region A prefer country music
• 14% (56) of 400 listeners in the region B prefer country music

  ≤

  Ho: p1 p2 - H 1 : p1 &gt; p2 Significance level is 0,02 it mean the confidence level is 98% - Critical area , Ho is denied if p-value &lt; α - Statistic test. - Statistic test is aims to know wheter Ho is denied oe accepted

  To know the p value, we can use the Minitab, with this follow ways: 1. activate the minitab programme

   click stats  basic stats  2 proportions  and be shown this box :

  2. click summarized data  insert 250 into number of trials in the first sample, 95 into successes

   insert 400 into number of trialws in the second sample, 56 into successes  click options  insert 98 into confidence level box  choose alternative greater than

   click OK  click OK, and the output is: from the output, we get that the p-value is 0,000 and means that it is less than

  

α and indicate that Ho is denied and we can conclude that region A has a greater proportion of listeners who prefer country music. berdasarkan analisa pada sampel. Beberapa hal yang perlu diketahui berhubungan dengan inferensi statistik yaitu estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis.

  Tahap-tahap uji hipotesis secara umum, yaitu:

  1. Tentukan model probabilitas yang cocok dari data,

  2. Tentukan hipotesis Ho dan H 1,

  3. Tentukan statistik penguji,

  4. Tentukan tingkat signifikansi,

  5. Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi,

  6. Hitung statistik penguji,

  7. Alternatif, hitung p-value berdasarkan statistik penguji, dan 8. Ambil kesimpulan berdasarkan poin 6 dan 7.

  Inferensi statistik dibedakan menjadi :

• Inferensi statistik mean satu populasi, terdiri atas:

  1. Uji Z (jika variansi diketahui dan ukuran sampel kecil (&lt;30))

  2. Uji T (jika variansi tidak diketahui, dan ukuran sampel besar (&gt;30))

• Inferensi proporsi, terdiri atas: 1. 1 populasi 2. 2 populasi
• Inferensi dua rata-rata, terdiri atas:

  1. Uji rata-rata 2 populasi dependent

  2. Uji rata-rata 2 populasi independent Permasalahan inferensi statistik dapat diselesaikan dengan menggunakan bantuan program SPSS Data Editor for windows dan Minitab. Kedua program ini dapat mempermudah pekerjaan kita dalam menyelesaikan permasalahan inferensi statistik, karena dilengkapi dengan option-option yang sesuai dengan jenis permasalahan inferensi yang akan kita selesaikan.