Analisis Jumlah Penduduk Dan Pendapatan Perkapita Terhadap Pertumbuhan Ekonomi Kota Medan

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Konsep Dasar Analisis Regresi

Perubahan nilai suatu variabel dapat disebabkan karena adanya perubahan pada variabel - variabel lain yang mempengaruhinya. Misalnya pada kinerja seorang pegawai terhadap perubahan tingkat produktivitas karena adanya perubahan gaji yang diterimanya. Dalam artian bahwa pegawai tersebut semakin produktif sebagai akibat adanya tambahan gaji yang diterimanya. Dalam hal ini berarti bahwa perubahan produktivitasnya disebabkan oleh adanya perubahan gaji. Dalam fenomena alam banyak sekali kejadian yang saling berkaitan sehingga perubahan pada variabel lain berakibat pada perubahan variabel yang lainnya. Teknik yang digunakan untuk menganalisis hal - hal semacam ini disebut dengan analisis regresi.

Analisis regresi (regression analysis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai analisis prediksi. Karena merupakan prediksi, maka nilai prediksi tidak selalu tepat dengan nilai riilnya, semakin kecil tingkat penyimpangan antara nilai

prediksi dengan nilai riilnya, maka semakin tepat persamaan regresi yang di bentuk.

Dengan demikian dapat didefenisikan bahwa : analisis regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk menentukan kemungkinan bentuk hubungan antara variabel - variabel, dengan tujuan pokok dalam penggunaan metode ini adalah untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari suatu variabel lain yang diketahui.

2.2 Persamaan Regresi

Persamaan regresi (regression equation) adalah suatu persamaan matematis yang mendefenisikan hubungan antara dua variabel. Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai variabel dependen disebut persamaan regresi estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui dengan satu variabel lain yang nilainya belum diketahui.

Sifat hubungan antarvariabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat (causal relationship). Oleh karena itu, sebelum menggunakan persamaan regresi dalam menjelaskan hubungan antara dua atau lebih variabel, maka perlu diyakini terlebih dahulu bahwa secara teoritis atau perkiraan sebelumnya, dua atau lebih variabel tersebut memiliki hubungan sebab akibat. Variabel yang nilainnya akan mempengaruhi nilai variabel lain disebut

dengan variabel bebas (independent variable), sedangkan variabel yang nilainya dipengaruhi oleh nilai variabel lain disebut variabel terikat (dependent variable).

2.2.1 Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana yaitu suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk persamaan antara variabel bebas tunggal dengan variabel terikat tunggal. Regresi linier sederhana hanya memiliki satu variabel bebas X yang dihubungkan dengan satu variabel terikat Y.

Bentuk umum Regresi Linier Sederhana:

Y = α + bX (2.1)

Dengan:

Y : variabel terikat X : variabel bebas α : intersep

b : koefisien regresi/slop

Persamaan regresi linier sederhana dengan satu variabel bebas ditaksir oleh:

Ŷ = α + bX (2.2)

Nilai α dan b dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan normal berikut: ΣY = αn + bΣX

ΣXY = αΣX + bΣX2

(2.3)

Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam Metode Kuadrat Terkecil nilai α dan b dapat ditentukan sebagai berikut:

α =

b = (2.5)

2.2.2 Regresi Linier Berganda

Banyak persoalan penelitian/pengamatan yang terjadi dengan lebih dari dua variabel, atau dengan kata lain memerlukan lebih dari satu variabel bebas dalam membentuk model regresi. Sebagai salah satu contoh, IPK (Indeks Prestasi Kumulatif) seorang mahasiswa (Y) bergantung pada jumlah jam belajar setiap hari (X1), banyaknya buku yang dibaca (X2), jumlah uang yang dimiliki (X3) dan

faktor - faktor lainnya. Untuk memberikan gambaran tentang suatu permasalahan/persoalan, biasanya sangat sulit ditentukan sehingga diperlukan suatu model yang dapat memprediksi atau meramalkan respon yang penting terhadap persoalan tersebut, yaitu regresi linier berganda.

Analisis regresi linier berganda memberikan kemudahan kepada pengguna untuk memasukkan lebih dari satu variabel prediktor hingga k-prediktor dimana banyaknya k kurang dari jumlah observasi (n).

Dengan demikian model regresi linier berganda dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Y = + X1 + X2 + ... + Xk + (2.6) Dengan:

Y = variabel terikat (dependent) = koefisien regresi

X1,…,Xk = variabel bebas (independent) = error

Karena model diduga dari sampel, maka persamaannya secara umum ditunjukkan sebagai berikut:

Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bkXk (2.7) Dengan:

= nilai penduga bagi variabel Y

b0,…,bk = dugaan bagi parameter konstanta ,...,

X1,…,Xk = variabel bebas X1,…,Xk

Untuk mencari nilai b0,b1,b2,...,bk diperlukan n buah pasang data

(X1,X2,...,Xk,Y) yang dapat di lihat dalam tabel 2.1 berikut.

Tabel 2.1. Data hasil pengamatan dari n responden (X1,X2,...,Xk,Y)

Responden X1 X2 ... Xk Y

1 X11 X21 ... Xk1 Y1

2 X12 X22 ... Xk2 Y2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . N X1n X2n . Xkn Yn

Dari Tabel 2.1. dapat di lihat bahwa Y1 berpasangan dengan X11,X21,...,Xk1, data

Y2 berpasangan dengan X12,X22,...,Xk2 dan umumnya data Yn berpasangan dengan

X1n,X2n,...,Xkn.

Persamaan regresi linier berganda dengan dua variabel bebas X1, X2 ditaksir oleh:

Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 (2.8)

Nilai b0, b1, b2 dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan normal berikut:

∑Yi = b0n + b1∑X1i + b2∑X2i ∑Yi∑1i = b0∑X1i + b1∑X1i2 + b2∑X1iX2i

∑Yi∑X2i = b0∑X2i + b1∑X2iX1 + b2∑X2i2 (2.9)

Dalam bentuk matrix dapat dituliskan:

= (2.10)

Dalam bentuk Metode Kuadrat Terkecil nilai b0, b1, b2 ditentukan sebagai berikut:

b1 =

b2 = (2.11)

b0 = (2.11)

Dengan:

= - = -

= - = -

Dalam persamaan model regresi linier berganda yang diperoleh, maka antara nilai Y dengan akan menimbulkan perbedaan hasil yang sering disebut sebagai kekeliruan. Ukuran tersebut dapat dihitung oleh kesalahan baku taksiran Sy.12...k, yang dapat ditentukan oleh rumus:

Sy.1,2,...,k =

(2.12)

Dengan:

Yi adalah nilai data sebenarnya, i adalah nilai taksiran

n = banyaknya data

k = banyak variabel bebasnya

2.3 Uji Keberartian Regresi Linier

2.3.1 Uji F (Simultan)

Uji F ini adalah pengujian yang bertujuan untuk mengetahui seberapa besar pengaruh koefisien regresi secara bersama - sama terhadap variabel terikatnya. Nilai Fhitung dapat diperoleh dengan rumus:

F =

(2.13)

Dengan:

JKreg = jumlah kuadrat regresi

JKres = jumlah kuadrat residu (sisa)

JKreg = b1∑yjx1j + b2∑yjx2j + ... + bk∑yjxkj

Dimana: x1j = X1 -

x2i = X2 -

xkj = Xi -

Untuk uji F ini digunakan hipotesa sebagai berikut: H0 : b1=b2=bn...=bn=0 (tidak ada pengaruh)

H1 : b1 b2 0…bi=1 (minimal terdapat satu pengaruh)

Kriteria pengambilan keputusan:

a. H0 diterima jika (Fhitung Ftabel) artinya variabel bebas secara bersama - sama

tidak berpengaruh secara simultan dan signifikan terhadap variabel terikatnya. b. H1 diterima jika (Fhitung Ftabel) artinya variabel bebas secara bersama - sama

berpengaruh secara simultan dan signifikan terhadap variabel terikatnya.

2.3.2 Uji t-statistik

Uji t-statistik merupakan pengujian untuk mengetahui apakah masing - masing koefisien regresi signifikan atau tidak terhadap variabel terikatnya, dengan menganggap variabel bebas lainnya konstan.

Nilai thitung diperoleh dengan rumus:

t = (2.14)

Dengan:

bi = nilai taksiran parameter b ke-i

Dalam uji t ini digunakan perumusan hipotesa sebagai berikut: H0 : bi = b (tidak ada pengaruh)

H1 : bi b (minimal terdapat satu pengaruh)

Dengan bi adalah koefisien variabel ke-i nilai parameter hipotesis, dan biasanya b

dianggap = 0. Artinya tidak ada pengaruh variabel Xi terhadap Y.

Pengujian dilakukan melalui uji-t dengan membandingkan thitung dengan ttabel.

Hasil pengujian menunjukkan:

a. H0 diterima apabila thitung ttabel dengan tingkat kepercayaan sebesar (α).

Artinya tidak terdapat pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat secara signifikan.

b. H0 ditolak apabila thitung ttabel dengan tingkat kepercayaan sebesar (α).

Artinya terdapat pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat secara signifikan.

2.4 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi dinyatakan dengan R2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel. Koefisien determinasi digunakan untuk mengetahui proporsi keragaman total dalam variabel terikat (Y) yang dapat dijelaskan atau diterangkan oleh variabel - variabel bebas (X) yang ada dalam model persamaan regresi linier berganda secara bersama - sama.

Maka R2 ditentukan oleh rumus:

Dengan:

JKreg = jumlah kuadrat regresi

∑yi2 = ∑Yi2–

2.5 Koefisien Korelasi

Analisis korelasi adalah alat statistik yang digunakan untuk mengetahui adanya derajat hubungan linier antara satu variabel dengan variabel yang lain. Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada satu variabel akan diikuti oleh perubahan variabel lain, baik dengan arah yang sama maupun dengan arah yang berlawanan. Hubungan antar variabel dapat di kelompokkan menjadi 3 jenis hubungan sebagai berikut:

1. Korelasi Positif

Korelasi positif adalah korelasi dari dua variabel, yaitu apabila variabel yang satu (X) meningkat atau menurun maka variabel lainnya (Y) cenderung untuk meningkat atau menurun pula.

Gambar 2.1. Korelasi positif 2. Korelasi Negatif

Korelasi negatif terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu (X) diikuti dengan perubahan variabel lain (Y) dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik) begitu juga sebaliknya.

Gambar 2.2. Korelasi negatif 3. Korelasi Nol

Korelasi nol terjadi apabila kedua variabel (X dan Y) tidak menunjukkan adanya hubungan.

Gambar 2.3. Korelasi nol

Besarnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel yang lain dinyatakan dengan koefisien korelasi yang disimbolkan dengan „r‟.

Untuk mencari korelasi antara variabel terikat dengan variabel bebas atau ry.1,2,...,k

dapat di cari dengan rumus:

r_y.1,2,…,k = (2.16)

Sedangkan untuk mengetahui korelasi antarvariabel bebas dengan variabel bebas lainnya dapat di cari dengan rumus:

r12 = (2.17)

Nilai koefisien korelasi adalah -1 ≤ r ≥ 1. Jika dua variabel berkorelasi positif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati +1 ; jika dua variabel berkorelasi negatif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati -1 ; jika dua variabel tidak berkorelasi maka koefisien korelasi akan mendekati 0.

Untuk lebih memudahkan mengetahui seberapa jauh derajat keerataan antarvariabel tersebut, berikut ini diberikan nilai - nilai dari Koefisien Korelasi (KK) sebagai patokan.

1. KK = 0, tidak ada korelasi.

2. 0 < KK 0,20, korelasi sangat rendah/lemah sekali. 3. 0,20 < KK 0,40, korelasi rendah/lemah tapi pasti. 4. 0,40 < KK 0,70, korelasi yang cukup berarti. 5. 0,70 < KK 0,90, korelasi yang tinggi, kuat.

6. 0,90 < KK 1,00, korelasi sangat tinggi, kuat sekali, dapat diandalkan. 7. KK = 1, berarti korelasi sempurna.

Dalam persamaan model regresi linier berganda yang diperoleh, maka antara nilai Y dengan akan menimbulkan perbedaan hasil yang sering disebut sebagai kekeliruan. Ukuran tersebut dapat dihitung oleh kesalahan baku taksiran Sy.12...k, yang dapat ditentukan oleh rumus:

Sy.1,2,...,k =

(2.12)

Dengan:

Yi adalah nilai data sebenarnya, i adalah nilai taksiran

n = banyaknya data

k = banyak variabel bebasnya

2.3 Uji Keberartian Regresi Linier

2.3.1 Uji F (Simultan)

Uji F ini adalah pengujian yang bertujuan untuk mengetahui seberapa besar pengaruh koefisien regresi secara bersama - sama terhadap variabel terikatnya. Nilai Fhitung dapat diperoleh dengan rumus:

F =

(2.13)

Dengan:

JKreg = jumlah kuadrat regresi

JKres = jumlah kuadrat residu (sisa)

Dimana: x1j = X1 -

x2i = X2 -

xkj = Xi -

Untuk uji F ini digunakan hipotesa sebagai berikut: H0 : b1=b2=bn...=bn=0 (tidak ada pengaruh)

H1 : b1 b2 0…bi=1 (minimal terdapat satu pengaruh)

Kriteria pengambilan keputusan:

a. H0 diterima jika (Fhitung Ftabel) artinya variabel bebas secara bersama - sama

tidak berpengaruh secara simultan dan signifikan terhadap variabel terikatnya. b. H1 diterima jika (Fhitung Ftabel) artinya variabel bebas secara bersama - sama

berpengaruh secara simultan dan signifikan terhadap variabel terikatnya.

2.3.2 Uji t-statistik

Uji t-statistik merupakan pengujian untuk mengetahui apakah masing - masing koefisien regresi signifikan atau tidak terhadap variabel terikatnya, dengan menganggap variabel bebas lainnya konstan.

Nilai thitung diperoleh dengan rumus:

t = (2.14)

Dengan:

bi = nilai taksiran parameter b ke-i

Dalam uji t ini digunakan perumusan hipotesa sebagai berikut: H0 : bi = b (tidak ada pengaruh)

H1 : bi b (minimal terdapat satu pengaruh)

Dengan bi adalah koefisien variabel ke-i nilai parameter hipotesis, dan biasanya b

dianggap = 0. Artinya tidak ada pengaruh variabel Xi terhadap Y.

Pengujian dilakukan melalui uji-t dengan membandingkan thitung dengan ttabel.

Hasil pengujian menunjukkan:

a. H0 diterima apabila thitung ttabel dengan tingkat kepercayaan sebesar (α).

Artinya tidak terdapat pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat secara signifikan.

b. H0 ditolak apabila thitung ttabel dengan tingkat kepercayaan sebesar (α).

Artinya terdapat pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat secara signifikan.

2.4 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi dinyatakan dengan R2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel. Koefisien determinasi digunakan untuk mengetahui proporsi keragaman total dalam variabel terikat (Y) yang dapat dijelaskan atau diterangkan oleh variabel - variabel bebas (X) yang ada dalam model persamaan regresi linier berganda secara bersama - sama.

Maka R2 ditentukan oleh rumus:

JKreg = jumlah kuadrat regresi

∑yi2 = ∑Yi2– 2.5 Koefisien Korelasi

Analisis korelasi adalah alat statistik yang digunakan untuk mengetahui adanya derajat hubungan linier antara satu variabel dengan variabel yang lain. Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada satu variabel akan diikuti oleh perubahan variabel lain, baik dengan arah yang sama maupun dengan arah yang berlawanan. Hubungan antar variabel dapat di kelompokkan menjadi 3 jenis hubungan sebagai berikut:

1. Korelasi Positif

Korelasi positif adalah korelasi dari dua variabel, yaitu apabila variabel yang satu (X) meningkat atau menurun maka variabel lainnya (Y) cenderung untuk meningkat atau menurun pula.

Gambar 2.1. Korelasi positif

Korelasi negatif terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu (X) diikuti dengan perubahan variabel lain (Y) dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik) begitu juga sebaliknya.

Gambar 2.2. Korelasi negatif

3. Korelasi Nol

Korelasi nol terjadi apabila kedua variabel (X dan Y) tidak menunjukkan adanya hubungan.

Gambar 2.3. Korelasi nol

Besarnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel yang lain

dapat di cari dengan rumus:

r_y.1,2,…,k = (2.16)

Sedangkan untuk mengetahui korelasi antarvariabel bebas dengan variabel bebas lainnya dapat di cari dengan rumus:

r12 = (2.17)

Nilai koefisien korelasi adalah -1 ≤ r ≥ 1. Jika dua variabel berkorelasi positif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati +1 ; jika dua variabel berkorelasi negatif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati -1 ; jika dua variabel tidak berkorelasi maka koefisien korelasi akan mendekati 0.

Untuk lebih memudahkan mengetahui seberapa jauh derajat keerataan antarvariabel tersebut, berikut ini diberikan nilai - nilai dari Koefisien Korelasi (KK) sebagai patokan.

1. KK = 0, tidak ada korelasi.

2. 0 < KK 0,20, korelasi sangat rendah/lemah sekali. 3. 0,20 < KK 0,40, korelasi rendah/lemah tapi pasti. 4. 0,40 < KK 0,70, korelasi yang cukup berarti. 5. 0,70 < KK 0,90, korelasi yang tinggi, kuat.

6. 0,90 < KK 1,00, korelasi sangat tinggi, kuat sekali, dapat diandalkan. 7. KK = 1, berarti korelasi sempurna.