Pembahasan Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA kode 252 (Sampel Version Unfinished)
1.
Titik
dan
Y
adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran
dengan sumbu- . Nilai adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
8
TRIK SUPERKILAT:
=
+
Y
8
(0, )
O
8
X
O
Dari sketsa gambar kita
akan segera tahu bahwa
besar sudut
,
sehingga kita akan
cepat tahu juga bahwa
segitiga pada gambar
siku-siku sama kaki,
.
sehingga
Pembahasan:
Ingat,
Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung
lingkaran. Misal lingkaran berpusat di
dan garis singgung lingkaran dapat
dinyatakan dalam
, maka jari-jari lingkaran adalah:
Perhatikan,
Terdapat dua lingkaran pada soal, yaitu:
(i)
(ii)
Perhatikan ilustrasi berikut,
Y
8
O
8
X
Karena panjang jari-jari kedua lingkaran adalah sama, maka besar gradien dari garis
singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah sama dengan besar gradien dari
garis yang melalui kedua pusat lingkaran.
Sehingga, gradien garis singgung persekutuan dua lingkaran yang dimaksud sama
dengan gradien garis yang melalui titik
dan
yaitu:
Titik
adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan
sumbu- , maka persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang dimaksud
adalah persamaan garis lurus dengan gradien
yang melalui
adalah:
Jari-jari lingkaran
pusat lingkaran
yaitu
dapat dihitung menggunakan jarak titik
ke garis singgung
, yaitu:
Sehingga, nilai
Jadi, nilai
atau
.
2.
Segitiga
dan
A.
siku-siku di . Titik
maka
....
pada
sehingga
dan
. Jika
TRIK SUPERKILAT:
Luas
dapat dicari dengan dua cara
,
menggunakan rumus
maupun rumus sinus:
B.
C.
=3
3
= 26
26
D.
E.
5
1
2
= 5
2
1
Pembahasan:
Cara 1: Aturan Kosinus
Ingat,
Pada suatu segitiga
seperti pada gambar di samping berlaku aturan kosinus:
Perhatikan segitiga
,
Karena segitiga
dan
Sekarang perhatikan segitiga
Nilai
siku-siku B maka berlaku teorema Pythagoras,
, berlaku aturan kosinus,
dapat dicari menggunakan identitas trigonometri,
Cara 2: Rumus Pengurangan Dua Sudut Sinus
Ingat,
Rumus pengurangan dua sudut sinus:
Perhatikan segitiga
dan
serta sudut
dan ,
Maka diperoleh nilai-nilai trigonometri berikut,
Perhatikan baik-baik bahwa
.
Sehingga,
Nilai
dapat diperoleh dengan mengkuadratkan nilai
,
3.
Fungsi
interval ....
untuk
naik pada
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan apa gunanya
syarat berikut pada soal?????
dan
Jelas pada nilai tersebut
fungsi
tidak terdefinisi,
dan naik turunnya fungsi
sudah semestinya akan
terpotong pada nilai tersebut.
Jawaban A, C, dan E pasti
salah. Tersisa pilihan jawaban
B atau D saja yang mungkin
benar.
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
Ingat,
Fungsi
dan
naik pada
Sekarang tinggal cek aja apakah
fungsi naik atau turun menggunakan
dua nilai pada interval jawaban:
Karena
, maka pada
interval 0 sampai
fungsi turun.
Karena yang ditanyakan interval
fungsi naik, jadi jelas bahwa jawaban
yang benar pastilah D.
apabila
Perhatikan,
Misal,
Maka,
Syarat fungsi
naik adalah
, sehingga:
Daerah yang memenuhi dapat dicek dengan menguji nilai
pada garis bilangan berikut
yang diminta adalah negatif, maka daerah
Karena nilai pertidaksamaan
penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah
.
4.
Suatu transformasi
terdiri dari pencerminan terhadap
, dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap sumbu . Jika
dikenakan transformasi sebanyak 24 kali,
maka hasil transformasinya adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
TRIK SUPERKILAT:
Titik potong dan sudut yang
dibentuk oleh garis
dan
sumbu berturut-turut adalah
dan
, sehingga
komposisi dua pencerminan
berurutan oleh garis
dilanjutkan oleh sumbu akan
menghasilkan rotasi dengan
pusat
sebesar
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali,
ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik
tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap
di titik semula. Jadi, bayangan titik
adalah tetap
.
S
.!
Gampang kan?
Cara 1: Pemetaan Transformasi
Ingat,
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap garis
, maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap sumbu , maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Perhatikan, apabila transformasi
terdiri dari pencerminan terhadap garis
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
,
Sehingga,
Jadi, apabila titik
transformasinya adalah:
dikenakan transformasi
sebanyak 24 kali, maka hasil
Sampai disini, kita harus dapat menemukan pola dari transformasi tersebut, karena
akan ribet banget kalau sampe
f
.H
.
Mari kita periksa,
Perhatikan, ternyata transformasi
adalah berulang setiap 4 kali, sehingga hasil
transformasi ke-24 terhadap transformasi adalah:
Jadi, bayangan titik
terhadap transformasi
sebanyak 24 kali adalah
.
Cara 2: Matriks Transformasi
Ingat,
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap garis
, maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap sumbu , maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Sehingga,
matriks
transformasi
pencerminan terhadap garis
:
Sehingga,
matriks
transformasi
pencerminan terhadap sumbu :
Misal,
Perhatikan, apabila transformasi
terdiri dari pencerminan terhadap garis
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
Jadi, apabila titik
transformasinya adalah:
dikenakan transformasi
Sampai disini, kita harus dapat menemukan nilai
Mari kita periksa terlebih dahulu,
Perhatikan, karena
Maka, bayangan titik
Jadi, bayangan titik
, maka nilai
sebanyak 24 kali, maka hasil
.?
adalah berulang setiap 4 kali, sehingga:
terhadap transformasi
terhadap transformasi
,
sebanyak 24 kali adalah:
sebanyak 24 kali adalah
.
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Sifat komposisi pencerminan dua garis saling berpotongan)
Ingat,
Operasi dua pencerminan berurutan terhadap dua garis yang saling berpotongan akan
menghasilkan rotasi, dengan:
Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis.
Sudut rotasi sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis pertama dengan
garis kedua.
Perhatikan sketsa grafik di bawah,
Titik potong antara garis
dan sumbu (
adalah titik
Sudut yang dibentuk antara garis
dengan sumbu adalah
.
.
Perhatikan lagi sketsa grafik di bawah,
Sehingga, komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis
sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat
sebesar
dilanjutkan oleh
.
Nah, karena transformasi sebanyak 24 kali, maka sama artinya dengan dikenakan
sebanyak 24 kali rotasi tersebut. Namun, coba perhatikan:
;
Dan mengingat sifat sudut rotasi
, maka:
Apabila suatu titik dikenakan transformasi
sebanyak 24 kali, ini sama artinya
memutar titik tersebut sebesar
, artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali,
sehingga bayangannya tetap di titik semula.
Jadi, bayangan titik
adalah tetap
.
5.
Diketahui kubus
.
. Titik
berada di rusuk
sedemikian sehingga
. Titik
berada di rusuk
sedemikian sehingga
. Titik berada
di rusuk
sedemikian sehingga
. Jika adalah sudut antara bidang
dan garis
maka nilai
....
TRIK SUPERKILAT:
A.
Apabila kita geser FH ke dasar maka jelas terlihat bahwa sudut
Perhatikan gambar berikut:
B.
H
G
F
E
C.
P
D.
E.
.
N
D
C
M
Q
A
B
Pembahasan:
Asumsi kita bahwa sudut
,
maka nilai sinus sudut pasti lebih
, dan hanya ada dua
besar dari
jawaban yang mungkin benar, yaitu
jawaban A dan B.
Jawaban B hanya sedikit lebih besar
dan bisa dipertimbangkan
dari
..
S
A .
Perhatikan gambar berikut,
H
G
F
E
Tantangan di soal ini adalah bagaimana mencari sudut
yang dibentuk antara garis dan bidang, sedangkan tidak
dapat dilihat secara langsung titik tembus garis pada
bidang tersebut.
P
N
D
M
C
Q
A
B
Alternatif langkah penyelesaiannya adalah:
H
(i) Bidang diperluas dan garis diperpanjang
sedemikian sehingga garis dapat menembus
bidang di suatu titik tembus, sehingga sudut
antara garis dan bidang dapat diamati dan
dihitung yaitu sudut yang dibentuk antara garis
dan proyeksi garis pada bidang.
Perhatikan ilustrasi di samping!
G
�
E
F
P
N
D
C
M
Q
A
B
(ii) Bidang atau garis dapat digeser asalkan masih tetap sejajar dengan bidang atau
garis semula.
a) Garis
dapat kita geser ke
bidang dasar, sehingga garis
berhimpit dengan garis
.
Sehingga, sudut yang terbentuk
antara garis
dan bidang
dapat diwakili oleh sudut antara
garis
dan bidang
.
Perhatikan ilustrasi berikut:
H
b) Bidang
dapat kita geser
menjadi bidang
, ini dapat
dilakukan karena bidang
sejajar bidang
. Sehingga,
sudut antara garis
dan bidang
dapat diwakili oleh sudut
antara garis
dan bidang
.
Perhatikan ilustrasi berikut:
H
G
F
E
E
P
A
G
R
F
P
N
D
M
�
M
Q
B
N
D
C
A
C
Q
B
Kita menggunakan alternatif jawaban pada cara (ii) b), yaitu menggeser bidang MNP
menjadi bidang ACH.
Perhatikan gambar berikut,
H
E
�
G
R
F
P
N
D
C
M
Q
A
Sudut
B
adalah sudut antara garis
dan bidang
.
Jadi,
Nah, berarti kita tinggal mencari panjang
merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku
adalah panjang rusuk kubus, dan
.
Misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus adalah . Maka panjang
Perhatikan, titik
merupakan titik potong antara diagonal
.
Panjang
Jadi,
dapat dicari pada segitiga siku-siku
, yaitu:
dan diagonal
.
, maka
6.
Jika sisa pembagian
oleh
A.
B.
C.
D.
E.
33
43
53
63
73
oleh
adalah
adalah
, maka
, dan sisa pembagian
= ....
TRIK SUPERKILAT:
dibagi oleh
bersisa
dibagi oleh
bersisa
dibagi oleh
bersisa
dibagi
bersisa
Karena
Maka
, sehingga
,
Pembahasan:
Cara 1: R
S
Ingat,
B
B
Rumus pembagian suku banyak,
dimana,
yang dibagi;
pembagi;
hasil bagi;
sisa pembagian
Perhatikan,
Sisa pembagian
oleh
adalah
, maka:
Perhatikan juga bahwa yang akan dicari adalah sisa pembagian
oleh
dalam bentuk
, maka kita harus dapat menemukan bentuk
terlebih dahulu. Perhatikan uraian berikut:
Perhatikan bentuk
berikut,
Jadi, sisa pembagian
sisa pembagian
terlebih dahulu bentuk
oleh
oleh
sama artinya juga dengan mencari
. Oleh karena itu, mari kita jabarkan
sehingga diperoleh:
Sehingga, sisa pembagian dapat diperoleh dengan pembagian bersusun
:
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Horner Modifikasi)
S
sisa pembagian oleh
pembagi derajat berapapun, khususnya pembagi yang tidak bisa difaktorkan, juga dapat
diperoleh dengan Horner Modifikasi.
Caranya adalah perhatikan bentuk pembagi berikut:
Maka,
Angka
kita susun dari bawah ke atas di bagian kiri bagan Horner Modifikasi.
Lalu koefisien dari fungsi yang dibagi ditulis seperti biasa pada Horner Biasa.
Hasil sisa pembagian
perhitungan Horner Modifikasi berikut:
Hasil
Jadi,
Sisa Pembagian
oleh
Langkah-langkah Horner Modifikasi:
Kolom pertama dijumlahkan, hasilnya 9.
9 dikalikan dengan 0, 3,
masing-masing hasilnya 0, 27,
Kolom kedua dijumlahkan, hasilnya 6.
6 dikalikan dengan 0, 3,
masing-masing hasilnya 0, 18,
(Perkalian berhenti kalau kolom terakhir sudah terisi, yaitu
Kolom ketiga dijumlahkan, hasilnya 16.
Kolom keempat dijumlahkan, hasilnya
.
Kolom kelima dijumlahkan, hasilnya
.
Sisa pembagian
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
dapat dilihat pada
oleh
adalah
.
.
.)
7.
Grafik
berada di bawah grafik
A.
B.
C.
D.
E.
jika ....
TRIK SUPERKILAT:
Karena untuk
maka jelas
Bukti:
dan
dan
nilai
, tidak bisa
v .
Jadi jawabannya adalah jelas C.
Sudah gitu aja, gampang kan?
,
Untuk
, maka
Untuk
, maka
Pembahasan:
Cara 1: Pertidaksamaan Eksponen
Ingat,
Pada pertidaksamaan eksponen, berlaku:
Untuk
, maka:
.
Perhatikan,
Grafik
berada di bawah grafik
f
Jadi, grafik
, maka:
f
berada di bawah grafik
H
f
jika
Tambahan:
Pemfaktoran bentuk
menggunakan metode Horner.
Perhatikan, karena jumlah semua koefisien
, maka salah satu faktornya adalah
, sehingga:
Jadi,
adalah
.
f
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Cek Interval Pilihan Jawaban)
Karena batas interval di pilihan jawaban hanya memuat
,
, dan
. Tidak
terlalu banyak dan rumit untuk diperiksa satu per satu untuk menguji jawaban mana
yang benar.
Nah, waktu yang diperlukan mungkin bisa lebih singkat ketimbang membuktikan
jawaban benar dengan menguraikan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen.
Oke, mari kita coba.
Ada dua alternatif cara TRIK SUPERKILAT yang bisa dilakukan pada soal ini.
Jadi, sebenarnya kita cukup mengecek hal berikut:
Pertama, cek nilai setiap interval yang disediakan pilihan jawaban.
Ambil sebarang nilai pada setiap interval, lalu substitusikan dan periksa interval
mana saja yang menyebabkan
bernilai benar.
0
Untuk
, maka
1
Untuk
, maka
3
Untuk
, maka
Untuk
maka
Dari pengujian nilai setiap interval, jelas diperoleh interval yang menyebabkan
Kedua, cek apakah
adalah
.
,
, dan
pada pilihan jawaban menyebabkan
.
nilai
Lihat pada Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban) di bawah ini:
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban)
Kedua, cek apakah
nilai
Mari kita periksa:
Untuk
, maka
,
, dan
pada pilihan jawaban menyebabkan
.
Untuk
, maka
Untuk
Jadi, karena untuk
dan
nilai
jelas bahwa
dan
Perhatikan pilihan jawaban yang tersedia,
Untuk
Jadi jawabannya adalah jelas C.
Sudah gitu aja, gampang kan?
, maka
, maka
, maka sangatlah
v
.
8.
....
TRIK SUPERKILAT:
A.
Abaikan dan coret sin terlebih dahulu. Dan keluarkan
pada pembilang.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
Ingat,
Konsep dasar limit trigonometri:
Perhatikan,
Bentuk
Padahal,
mungkin akan banyak disalahpahami menjadi
bukanlah sudut dari sinus.
Jadi, biar tidak salah paham maka
Sehingga,
Maka, bentuk limit akan menjadi,
Jadi,
dipindah ke depan
.
.
.
9.
Jika dalam suatu barisan geometri
....
dan
, maka
TRIK SUPERKILAT:
A.
B.
C.
D.
E.
Karena
dan
, maka
Pembahasan:
Cara 1: Barisan dan Deret Geometri
Maka
Ingat,
Rumus suku ke- dan jumlah
suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan,
Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret
geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250,
yang tak lain adalah nilai dari rasio
.
f
f
H
Jadi,
Tambahan:
Pemfaktoran
Perhatikan karena
menggunakan metode Horner.
.
Jadi, kemungkinan nilai adalah
jelas tidak mungkin, sehingga kita pilih
Jadi,
.
,
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Feeling dan Cek Angka pada Pilihan Jawaban)
Ingat,
Rumus suku ke- dan jumlah
suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan,
Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret
geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250,
yang tak lain adalah nilai dari rasio
.
S
Jadi,
.
.
.
10.
Misalkan
A.
B.
C.
D.
E.
. Jika nilai minimum dan maksimum
berturut-turut adalah dan , maka
....
3
19
20
83
100
pada selang
TRIK SUPERKILAT:
Nilai minimum pastilah
,
dan nilai maksimum di antara dua
nilai
atau
.
Setelah diperiksa ternyata,
dan
, jadi
nilai maksimum adalah
Dari uji turunan pertama,
dan
batas interval
diperoleh garis bilangan:
+
2
1
0
′
2
2
Pembahasan:
Sehingga,
Jadi,
2
dan
1
Ingat,
Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi
interval
adalah sebagai berikut:
pada
(i) Menentukan nilai fungsi pada batas interval yaitu
dan
.
(ii) Menentukan nilai pada interval
yang menyebabkan nilai maksimum
atau minimum dengan syarat stasioner serta menentukan nilai fungsinya.
(iii) Membandingkan nilai fungsi pada langkah (i) dan (ii), lalu dipilih sesuai yang
diinginkan. Apakah mencari nilai maksimum atau nilai minimum.
Perhatikan,
Pada soal diberikan batas interval
, maka hitung nilai
Perhatikan lagi
dan
, maka turunan pertama dan kedua
Lalu, tentukan nilai
dari syarat fungsi stasioner, yaitu
adalah:
,
Kemudian menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua
Periksa jenis stasioner di
Untuk
atau
,
, maka
memiliki titik belok di
, maka
memiliki titik balik minimum di
Jadi, dari syarat stasioner hanya diperoleh nilai minimum
Sehingga dengan membandingkan nilai
Jadi,
.
, maka
Karena
.
, maka
Karena
Untuk
.
Nilai minimum,
Nilai maksimum,
.
yaitu
, diperoleh:
:
.
Titik
dan
Y
adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran
dengan sumbu- . Nilai adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
8
TRIK SUPERKILAT:
=
+
Y
8
(0, )
O
8
X
O
Dari sketsa gambar kita
akan segera tahu bahwa
besar sudut
,
sehingga kita akan
cepat tahu juga bahwa
segitiga pada gambar
siku-siku sama kaki,
.
sehingga
Pembahasan:
Ingat,
Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung
lingkaran. Misal lingkaran berpusat di
dan garis singgung lingkaran dapat
dinyatakan dalam
, maka jari-jari lingkaran adalah:
Perhatikan,
Terdapat dua lingkaran pada soal, yaitu:
(i)
(ii)
Perhatikan ilustrasi berikut,
Y
8
O
8
X
Karena panjang jari-jari kedua lingkaran adalah sama, maka besar gradien dari garis
singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah sama dengan besar gradien dari
garis yang melalui kedua pusat lingkaran.
Sehingga, gradien garis singgung persekutuan dua lingkaran yang dimaksud sama
dengan gradien garis yang melalui titik
dan
yaitu:
Titik
adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan
sumbu- , maka persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang dimaksud
adalah persamaan garis lurus dengan gradien
yang melalui
adalah:
Jari-jari lingkaran
pusat lingkaran
yaitu
dapat dihitung menggunakan jarak titik
ke garis singgung
, yaitu:
Sehingga, nilai
Jadi, nilai
atau
.
2.
Segitiga
dan
A.
siku-siku di . Titik
maka
....
pada
sehingga
dan
. Jika
TRIK SUPERKILAT:
Luas
dapat dicari dengan dua cara
,
menggunakan rumus
maupun rumus sinus:
B.
C.
=3
3
= 26
26
D.
E.
5
1
2
= 5
2
1
Pembahasan:
Cara 1: Aturan Kosinus
Ingat,
Pada suatu segitiga
seperti pada gambar di samping berlaku aturan kosinus:
Perhatikan segitiga
,
Karena segitiga
dan
Sekarang perhatikan segitiga
Nilai
siku-siku B maka berlaku teorema Pythagoras,
, berlaku aturan kosinus,
dapat dicari menggunakan identitas trigonometri,
Cara 2: Rumus Pengurangan Dua Sudut Sinus
Ingat,
Rumus pengurangan dua sudut sinus:
Perhatikan segitiga
dan
serta sudut
dan ,
Maka diperoleh nilai-nilai trigonometri berikut,
Perhatikan baik-baik bahwa
.
Sehingga,
Nilai
dapat diperoleh dengan mengkuadratkan nilai
,
3.
Fungsi
interval ....
untuk
naik pada
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan apa gunanya
syarat berikut pada soal?????
dan
Jelas pada nilai tersebut
fungsi
tidak terdefinisi,
dan naik turunnya fungsi
sudah semestinya akan
terpotong pada nilai tersebut.
Jawaban A, C, dan E pasti
salah. Tersisa pilihan jawaban
B atau D saja yang mungkin
benar.
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
Ingat,
Fungsi
dan
naik pada
Sekarang tinggal cek aja apakah
fungsi naik atau turun menggunakan
dua nilai pada interval jawaban:
Karena
, maka pada
interval 0 sampai
fungsi turun.
Karena yang ditanyakan interval
fungsi naik, jadi jelas bahwa jawaban
yang benar pastilah D.
apabila
Perhatikan,
Misal,
Maka,
Syarat fungsi
naik adalah
, sehingga:
Daerah yang memenuhi dapat dicek dengan menguji nilai
pada garis bilangan berikut
yang diminta adalah negatif, maka daerah
Karena nilai pertidaksamaan
penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah
.
4.
Suatu transformasi
terdiri dari pencerminan terhadap
, dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap sumbu . Jika
dikenakan transformasi sebanyak 24 kali,
maka hasil transformasinya adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
TRIK SUPERKILAT:
Titik potong dan sudut yang
dibentuk oleh garis
dan
sumbu berturut-turut adalah
dan
, sehingga
komposisi dua pencerminan
berurutan oleh garis
dilanjutkan oleh sumbu akan
menghasilkan rotasi dengan
pusat
sebesar
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali,
ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik
tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap
di titik semula. Jadi, bayangan titik
adalah tetap
.
S
.!
Gampang kan?
Cara 1: Pemetaan Transformasi
Ingat,
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap garis
, maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap sumbu , maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Perhatikan, apabila transformasi
terdiri dari pencerminan terhadap garis
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
,
Sehingga,
Jadi, apabila titik
transformasinya adalah:
dikenakan transformasi
sebanyak 24 kali, maka hasil
Sampai disini, kita harus dapat menemukan pola dari transformasi tersebut, karena
akan ribet banget kalau sampe
f
.H
.
Mari kita periksa,
Perhatikan, ternyata transformasi
adalah berulang setiap 4 kali, sehingga hasil
transformasi ke-24 terhadap transformasi adalah:
Jadi, bayangan titik
terhadap transformasi
sebanyak 24 kali adalah
.
Cara 2: Matriks Transformasi
Ingat,
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap garis
, maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Apabila suatu titik
dicerminkan
terhadap sumbu , maka pemetaan
yang terjadi adalah sebagai berikut:
Sehingga,
matriks
transformasi
pencerminan terhadap garis
:
Sehingga,
matriks
transformasi
pencerminan terhadap sumbu :
Misal,
Perhatikan, apabila transformasi
terdiri dari pencerminan terhadap garis
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
Jadi, apabila titik
transformasinya adalah:
dikenakan transformasi
Sampai disini, kita harus dapat menemukan nilai
Mari kita periksa terlebih dahulu,
Perhatikan, karena
Maka, bayangan titik
Jadi, bayangan titik
, maka nilai
sebanyak 24 kali, maka hasil
.?
adalah berulang setiap 4 kali, sehingga:
terhadap transformasi
terhadap transformasi
,
sebanyak 24 kali adalah:
sebanyak 24 kali adalah
.
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Sifat komposisi pencerminan dua garis saling berpotongan)
Ingat,
Operasi dua pencerminan berurutan terhadap dua garis yang saling berpotongan akan
menghasilkan rotasi, dengan:
Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis.
Sudut rotasi sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis pertama dengan
garis kedua.
Perhatikan sketsa grafik di bawah,
Titik potong antara garis
dan sumbu (
adalah titik
Sudut yang dibentuk antara garis
dengan sumbu adalah
.
.
Perhatikan lagi sketsa grafik di bawah,
Sehingga, komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis
sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat
sebesar
dilanjutkan oleh
.
Nah, karena transformasi sebanyak 24 kali, maka sama artinya dengan dikenakan
sebanyak 24 kali rotasi tersebut. Namun, coba perhatikan:
;
Dan mengingat sifat sudut rotasi
, maka:
Apabila suatu titik dikenakan transformasi
sebanyak 24 kali, ini sama artinya
memutar titik tersebut sebesar
, artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali,
sehingga bayangannya tetap di titik semula.
Jadi, bayangan titik
adalah tetap
.
5.
Diketahui kubus
.
. Titik
berada di rusuk
sedemikian sehingga
. Titik
berada di rusuk
sedemikian sehingga
. Titik berada
di rusuk
sedemikian sehingga
. Jika adalah sudut antara bidang
dan garis
maka nilai
....
TRIK SUPERKILAT:
A.
Apabila kita geser FH ke dasar maka jelas terlihat bahwa sudut
Perhatikan gambar berikut:
B.
H
G
F
E
C.
P
D.
E.
.
N
D
C
M
Q
A
B
Pembahasan:
Asumsi kita bahwa sudut
,
maka nilai sinus sudut pasti lebih
, dan hanya ada dua
besar dari
jawaban yang mungkin benar, yaitu
jawaban A dan B.
Jawaban B hanya sedikit lebih besar
dan bisa dipertimbangkan
dari
..
S
A .
Perhatikan gambar berikut,
H
G
F
E
Tantangan di soal ini adalah bagaimana mencari sudut
yang dibentuk antara garis dan bidang, sedangkan tidak
dapat dilihat secara langsung titik tembus garis pada
bidang tersebut.
P
N
D
M
C
Q
A
B
Alternatif langkah penyelesaiannya adalah:
H
(i) Bidang diperluas dan garis diperpanjang
sedemikian sehingga garis dapat menembus
bidang di suatu titik tembus, sehingga sudut
antara garis dan bidang dapat diamati dan
dihitung yaitu sudut yang dibentuk antara garis
dan proyeksi garis pada bidang.
Perhatikan ilustrasi di samping!
G
�
E
F
P
N
D
C
M
Q
A
B
(ii) Bidang atau garis dapat digeser asalkan masih tetap sejajar dengan bidang atau
garis semula.
a) Garis
dapat kita geser ke
bidang dasar, sehingga garis
berhimpit dengan garis
.
Sehingga, sudut yang terbentuk
antara garis
dan bidang
dapat diwakili oleh sudut antara
garis
dan bidang
.
Perhatikan ilustrasi berikut:
H
b) Bidang
dapat kita geser
menjadi bidang
, ini dapat
dilakukan karena bidang
sejajar bidang
. Sehingga,
sudut antara garis
dan bidang
dapat diwakili oleh sudut
antara garis
dan bidang
.
Perhatikan ilustrasi berikut:
H
G
F
E
E
P
A
G
R
F
P
N
D
M
�
M
Q
B
N
D
C
A
C
Q
B
Kita menggunakan alternatif jawaban pada cara (ii) b), yaitu menggeser bidang MNP
menjadi bidang ACH.
Perhatikan gambar berikut,
H
E
�
G
R
F
P
N
D
C
M
Q
A
Sudut
B
adalah sudut antara garis
dan bidang
.
Jadi,
Nah, berarti kita tinggal mencari panjang
merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku
adalah panjang rusuk kubus, dan
.
Misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus adalah . Maka panjang
Perhatikan, titik
merupakan titik potong antara diagonal
.
Panjang
Jadi,
dapat dicari pada segitiga siku-siku
, yaitu:
dan diagonal
.
, maka
6.
Jika sisa pembagian
oleh
A.
B.
C.
D.
E.
33
43
53
63
73
oleh
adalah
adalah
, maka
, dan sisa pembagian
= ....
TRIK SUPERKILAT:
dibagi oleh
bersisa
dibagi oleh
bersisa
dibagi oleh
bersisa
dibagi
bersisa
Karena
Maka
, sehingga
,
Pembahasan:
Cara 1: R
S
Ingat,
B
B
Rumus pembagian suku banyak,
dimana,
yang dibagi;
pembagi;
hasil bagi;
sisa pembagian
Perhatikan,
Sisa pembagian
oleh
adalah
, maka:
Perhatikan juga bahwa yang akan dicari adalah sisa pembagian
oleh
dalam bentuk
, maka kita harus dapat menemukan bentuk
terlebih dahulu. Perhatikan uraian berikut:
Perhatikan bentuk
berikut,
Jadi, sisa pembagian
sisa pembagian
terlebih dahulu bentuk
oleh
oleh
sama artinya juga dengan mencari
. Oleh karena itu, mari kita jabarkan
sehingga diperoleh:
Sehingga, sisa pembagian dapat diperoleh dengan pembagian bersusun
:
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Horner Modifikasi)
S
sisa pembagian oleh
pembagi derajat berapapun, khususnya pembagi yang tidak bisa difaktorkan, juga dapat
diperoleh dengan Horner Modifikasi.
Caranya adalah perhatikan bentuk pembagi berikut:
Maka,
Angka
kita susun dari bawah ke atas di bagian kiri bagan Horner Modifikasi.
Lalu koefisien dari fungsi yang dibagi ditulis seperti biasa pada Horner Biasa.
Hasil sisa pembagian
perhitungan Horner Modifikasi berikut:
Hasil
Jadi,
Sisa Pembagian
oleh
Langkah-langkah Horner Modifikasi:
Kolom pertama dijumlahkan, hasilnya 9.
9 dikalikan dengan 0, 3,
masing-masing hasilnya 0, 27,
Kolom kedua dijumlahkan, hasilnya 6.
6 dikalikan dengan 0, 3,
masing-masing hasilnya 0, 18,
(Perkalian berhenti kalau kolom terakhir sudah terisi, yaitu
Kolom ketiga dijumlahkan, hasilnya 16.
Kolom keempat dijumlahkan, hasilnya
.
Kolom kelima dijumlahkan, hasilnya
.
Sisa pembagian
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
dapat dilihat pada
oleh
adalah
.
.
.)
7.
Grafik
berada di bawah grafik
A.
B.
C.
D.
E.
jika ....
TRIK SUPERKILAT:
Karena untuk
maka jelas
Bukti:
dan
dan
nilai
, tidak bisa
v .
Jadi jawabannya adalah jelas C.
Sudah gitu aja, gampang kan?
,
Untuk
, maka
Untuk
, maka
Pembahasan:
Cara 1: Pertidaksamaan Eksponen
Ingat,
Pada pertidaksamaan eksponen, berlaku:
Untuk
, maka:
.
Perhatikan,
Grafik
berada di bawah grafik
f
Jadi, grafik
, maka:
f
berada di bawah grafik
H
f
jika
Tambahan:
Pemfaktoran bentuk
menggunakan metode Horner.
Perhatikan, karena jumlah semua koefisien
, maka salah satu faktornya adalah
, sehingga:
Jadi,
adalah
.
f
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Cek Interval Pilihan Jawaban)
Karena batas interval di pilihan jawaban hanya memuat
,
, dan
. Tidak
terlalu banyak dan rumit untuk diperiksa satu per satu untuk menguji jawaban mana
yang benar.
Nah, waktu yang diperlukan mungkin bisa lebih singkat ketimbang membuktikan
jawaban benar dengan menguraikan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen.
Oke, mari kita coba.
Ada dua alternatif cara TRIK SUPERKILAT yang bisa dilakukan pada soal ini.
Jadi, sebenarnya kita cukup mengecek hal berikut:
Pertama, cek nilai setiap interval yang disediakan pilihan jawaban.
Ambil sebarang nilai pada setiap interval, lalu substitusikan dan periksa interval
mana saja yang menyebabkan
bernilai benar.
0
Untuk
, maka
1
Untuk
, maka
3
Untuk
, maka
Untuk
maka
Dari pengujian nilai setiap interval, jelas diperoleh interval yang menyebabkan
Kedua, cek apakah
adalah
.
,
, dan
pada pilihan jawaban menyebabkan
.
nilai
Lihat pada Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban) di bawah ini:
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban)
Kedua, cek apakah
nilai
Mari kita periksa:
Untuk
, maka
,
, dan
pada pilihan jawaban menyebabkan
.
Untuk
, maka
Untuk
Jadi, karena untuk
dan
nilai
jelas bahwa
dan
Perhatikan pilihan jawaban yang tersedia,
Untuk
Jadi jawabannya adalah jelas C.
Sudah gitu aja, gampang kan?
, maka
, maka
, maka sangatlah
v
.
8.
....
TRIK SUPERKILAT:
A.
Abaikan dan coret sin terlebih dahulu. Dan keluarkan
pada pembilang.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
Ingat,
Konsep dasar limit trigonometri:
Perhatikan,
Bentuk
Padahal,
mungkin akan banyak disalahpahami menjadi
bukanlah sudut dari sinus.
Jadi, biar tidak salah paham maka
Sehingga,
Maka, bentuk limit akan menjadi,
Jadi,
dipindah ke depan
.
.
.
9.
Jika dalam suatu barisan geometri
....
dan
, maka
TRIK SUPERKILAT:
A.
B.
C.
D.
E.
Karena
dan
, maka
Pembahasan:
Cara 1: Barisan dan Deret Geometri
Maka
Ingat,
Rumus suku ke- dan jumlah
suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan,
Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret
geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250,
yang tak lain adalah nilai dari rasio
.
f
f
H
Jadi,
Tambahan:
Pemfaktoran
Perhatikan karena
menggunakan metode Horner.
.
Jadi, kemungkinan nilai adalah
jelas tidak mungkin, sehingga kita pilih
Jadi,
.
,
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Feeling dan Cek Angka pada Pilihan Jawaban)
Ingat,
Rumus suku ke- dan jumlah
suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan,
Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret
geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250,
yang tak lain adalah nilai dari rasio
.
S
Jadi,
.
.
.
10.
Misalkan
A.
B.
C.
D.
E.
. Jika nilai minimum dan maksimum
berturut-turut adalah dan , maka
....
3
19
20
83
100
pada selang
TRIK SUPERKILAT:
Nilai minimum pastilah
,
dan nilai maksimum di antara dua
nilai
atau
.
Setelah diperiksa ternyata,
dan
, jadi
nilai maksimum adalah
Dari uji turunan pertama,
dan
batas interval
diperoleh garis bilangan:
+
2
1
0
′
2
2
Pembahasan:
Sehingga,
Jadi,
2
dan
1
Ingat,
Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi
interval
adalah sebagai berikut:
pada
(i) Menentukan nilai fungsi pada batas interval yaitu
dan
.
(ii) Menentukan nilai pada interval
yang menyebabkan nilai maksimum
atau minimum dengan syarat stasioner serta menentukan nilai fungsinya.
(iii) Membandingkan nilai fungsi pada langkah (i) dan (ii), lalu dipilih sesuai yang
diinginkan. Apakah mencari nilai maksimum atau nilai minimum.
Perhatikan,
Pada soal diberikan batas interval
, maka hitung nilai
Perhatikan lagi
dan
, maka turunan pertama dan kedua
Lalu, tentukan nilai
dari syarat fungsi stasioner, yaitu
adalah:
,
Kemudian menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua
Periksa jenis stasioner di
Untuk
atau
,
, maka
memiliki titik belok di
, maka
memiliki titik balik minimum di
Jadi, dari syarat stasioner hanya diperoleh nilai minimum
Sehingga dengan membandingkan nilai
Jadi,
.
, maka
Karena
.
, maka
Karena
Untuk
.
Nilai minimum,
Nilai maksimum,
.
yaitu
, diperoleh:
:
.