HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DENGAN RECTANGLE.

HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK
DENGAN RECTANGLE

SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA

OLEH :
SISKA NURMALA SARI
BP. 0910431016

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG

2013

ABSTRAK

Dalam tulisan ini akan dipelajari hubungan antara himpunan kubik asiklik
dengan rectangle. Diberikan sebuah kubus dasar Q yang merupakan suatu hasil
kali berhingga dari interval-interval dasar I = [l, l + 1] atau I = [l, l] untuk suatu

l ∈ Z. Suatu himpunan kubik X adalah gabungan berhingga dari kubus-kubus
dasar Q. Himpunan kubik dengan bentuk X = [k1 , l1 ] × [k2 , l2 ] × ... × [kn , ln ] ⊂ Rn
disebut rectangle, dimana ki , li adalah bilangan bulat dan ki ≤ li . Selanjutnya,
diperoleh bahwa sebarang rectangle X adalah asiklik, dengan kata lain Hk (X)
isomorfik dengan Z jika k = 0, dan Hk (X) isomorfik dengan 0 jika k > 0.
Kata kunci : Himpunan kubik, asikluk, isomorfik .

iv

BAB I
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah
Topologi merupakan cabang matematika yang merupakan pengembangan

dari geometri. Sesuai dengan namanya, topologi, kajian awal bidang ini adalah
dengan mempertimbangkan konsep ’tempat’ dalam struktur lokal maupun globalnya (konsep ruang topologi). Awal kajian topologi dilakukan oleh Euler pada
tahun 1752 (sejalan dengan berkembangnya teori graf) dan konsep topologinya

sendiri diperkenalkan beberapa abad kemudian oleh B. Listing. Kajian topologi
ini dikembangkan dengan menggunakan konsep teori himpunan dengan memperhatikan himpunan titik-titik dan keluarga himpunan tersebut. Istilah topologi
ini digunakan sebagai nama bidang kajiannya atau juga sebagai nama himpunan
dengan sifat-sifat tertentu yang digunakan dalam ruang topologinya. Salah satu
konsep penting yang dikaji dalam topologi adalah pemetaan (fungsi) yang bersifat
homomorfisma.
Seperti diketahui bahwa dua ruang vektor berdimensi hingga dan sama (dimensinya yang sama) adalah isomorfik [5]. Aljabar topologi adalah suatu konsep
untuk mengerjakan hal yang sama, tetapi dalam konteks ruang topologi. Karena
ruang topologi lebih bervariasi daripada ruang vektor dimana pengklasifikasian
dikerjakan dalam kontek objek-objek aljabar yang berbeda dari bilangan asli.

Misalkan X suatu himpunan tak kosong. Suatu koleksi τ yang berisikan
himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi pada X, jika memenuhi
beberapa sifat-sifat (lihat definisi 2.4.18). Pasangan (X,τ ) disebut ruang topologi
dan secara ringkas ditulis sebagai X.
Misalkan diberikan ruang topologi X. Selanjutnya didefinisikan suatu objek
aljabar H∗ (X) yang disebut dengan homologi dari X, dimana secara topologi
H∗ (X) adalah sebuah invarian, artinya jika X dan Y adalah homeomorfik maka
H∗ (X) dan H∗ (Y) adalah isomorfik,
X ≈ Y ⇒ H∗ (X) ∼

= H∗ (Y ).
H∗ (X) merupakan koleksi dari grup homologi ke-k dari X yang dinotasikan dengan
Hk (X).
Misalkan diberikan suatu ruang topologi G ⊂ Rn , yang mana dapat disederhanakan menjadi suatu graf. Kemudian graf tersebut diobservasi dan direpresentasikan secara kombinatorik dan dari kombinatorik ini diperoleh suatu objek
aljabar H∗ (G) yang disebut homologi dari G.
Pada tulisan ini, Penulis akan fokus pada homologi kubik dimana ruang
topologi dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubik. Sebuah kubus dasar Q
adalah suatu hasil kali hingga dari interval-interval dasar I = [l, l+1] atau I = [l, l]
untuk suatu l ∈ Z. Jadi, Q = I1 ×I2 ×· · ·×In ⊂ Rn . Himpunan kubik merupakan
suatu kelas khusus dari ruang topologi.
Salah satu jenis dari himpunan kubik adalah himpunan kubik asiklik, di-

2

mana homologi dimensi ke-k adalah

Hk (X) ∼
=





 Z, jika k = 0


 0,

(1.1.1)

selainnya.

Himpunan kubik dengan bentuk X = [k1 , l1 ] × [k2 , l2 ] × ... × [kn , ln ] ⊂ Rn disebut
rectangle, dimana ki , li adalah bilangan bulat dan ki ≤ li . Rectangle juga dapat
dikatakan sebagai kubus dasar jika ki = li atau ki + 1 = li untuk setiap i.
Pada tulisan ini, akan dikaji hubungan antara himpunan kubik asiklik dengan rectangle.

1.2

Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dikaji dalam tulisan ini adalah bagaimanakah

hubungan antara himpunan kubik asiklik dengan rectangle.

1.3

Batasan Masalah
Permasalahannya hanya dibatasi pada sudut pandang kombinatorik dan al-

jabar, yang berhubungan dengan suatu ruang topologi dalam mengkaji hubungan
antara himpunan kubik asiklik dengan rectangle.

1.4

Tujuan
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk menentukan hubungan antara him-

punan kubik asiklik dengan rectangle.
3

1.5

Sistematika Penulisan
Penulisan terdiri atas 4 Bab yaitu, Bab I Pendahuluan yang berisi: latar

belakang, rumusan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Bab
II Landasan Teori, berisi: materi dasar dan materi penunjang. Bab III Pembahasan tentang hubungan antara himpunan kubik asiklik dengan rectangle. Bab
IV Kesimpulan dari hasil pembahasan.

4