Metode Peramalan Autoregressive Integrat. docx
Metode Peramalan Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA) terhadap Data Simulasi dan Data Penjualan Produk PT.
XXX (Januari 2010 – Juni 2014)
Dessy Ariani (1207015029), Muhammad Septyadhi (1207015019) dan Pratama Yuly N. (1207015003)
Jurusan Statistika Fakultas MIPA
Universitas Mulawarman Samarinda
ABSTRAK
Paper ini membahas penggunaan metode peramalan Autoregressive Integrated Moving
Average (ARIMA) terhadap nilai peramalan untuk dua data, yakni Data Simulasi dan
Data Penjualan Produk PT. XXX periode Januari 2010 – Juni 2014. Metode ini
digunakan untuk mencari model yang terbaik dalam menentukan nilai peramalan.
Berdasarkan hasil yang diperoleh analisis baik secara global maupun lokal diperoleh
bahwa model terbaik bagi Data Simulasi adalah ARIMA (1,2,1) dan model terbaik bagi
Data Penjualan Produk PT. XXX adalah ARIMA (0,2,1)
Kata Kunci:
1.
Pendahuluan
2.
2.1
Kajian Teori
Regresi Parametrik
3.
3.1
Metodologi
Sumber Data
Data yang dianalisis adalah data penjualan produk PT. XXX periode Januari
2010 – Juni 2014 dan data kedua adalah data simulasi. Kali ini kita akan
meramalkan nilai hasil penjualan selama 5 bulan kedepan dan juga meramalkan
nilai simulasi selama 5 periode tertentu kedepan.
3.2
1.
2.
3.
4.
Tahap Analisis
Tahapan analisis yang dilakukan adalah
Mengecek kestasioneran data
Dalam variansi
Dalam hal ini digunakan uji Box-Cox untuk mengecek apakah data
sudah stasioner dalam variansi atau belum.
Dalam rata-rata
Mencari nilai ACF dan PACF guna memodelkan peramalan menggunakan
metode ARIMA
Mencari model terbaik dari beberapa model sementara yang didapat dengan
asumsi yang harus memenuhi
Setiap parameter model harus signifikan
Uji White Noise atau uji kecocokan model
Residual data berdistribusi normal
Menurunkan model ARIMA sehingga didapatkan rumus yang tepat
4.
Hasil dan Pembahasan
Analisis dilakukan untuk tujuan explanation dan prediksi menggunakan data
penjualan produk PT. XXX, selain itu juga akan dilakukan analisis data simulasi.
4.1
Explanation
4.1.1 Data Penjualan Produk PT. XXX
4.1.1.1 Uji Kestasioneran Data
Berikut adalah time series plot pada data penjualan produk PT. XXX periode
Januari 2010 – Juni 2014
Box-Cox Plot of Data
Time Series Plot of Data
7000
Lower CL
1600
Upper CL
Lambda
(using 95.0% confidence)
6000
Estimate
1400
StDev
Data
5000
4000
Lower CL
Upper CL
Rounded Value
1200
0.53
-0.53
1.52
0.50
1000
3000
800
2000
600
Limit
1
5
10
15
20
25
30
Index
35
40
45
-5.0
50
-2.5
0.0
Lambda
2.5
5.0
Gambar 1. Time Series Plot data Penjualan dan Plot Box-Cox
Dari gambar plot diatas dapat dilihat bahwa data belum stasioner dalam variansi
maupun rata-rata. Maka dari itu dilakukan transformasi sebanyak 1 kali dengan
memangkatkan data dengan nilai estimate yaitu 0,53 dan differencing 2 kali sehingga
time series plot menjadi
Time Series Plot of Diff_ 2
50
40
30
Diff_ 2
20
10
0
-10
-20
-30
-40
1
5
10
15
20
25
30
Index
35
40
45
50
Gambar 2. Time Series Plot setelah transformasi dan differencing
Karena data sudah stasioner dalam variansi dan rata-rata maka dilanjutkan untuk
mencari nilai ACF dan PACF
4.1.1.2 Mencari Nilai ACF dan PACF
Autocorrelation Function for Diff_ 2
Partial Autocorrelation Function for Diff_ 2
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.0
1
2
3
4
5
6
7
Lag
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
Lag
8
9
10
11
12
13
Gambar 3. ACF dan PACF data Penjualan
Dari gambar diatas diketahui bahwa ACF cut off di lag 1 dan PACF cut off di lag 5.
Nilai ACF menunjukkan parameter untuk Moving Average (MA) dan PACF merupakan
parameter untuk Autoregressive (AR). Sedangkan Integrated menunjukkan berapa kali
data di differencing. Karena data di differencing 2 kali, maka model peramalan
sementara untuk data penjualan adalah ARIMA (5,2,1). Sehingga kombinasi model
ARIMA adalah sebagai berikut
ARIMA (0,2,1)
ARIMA (2,2,1)
ARIMA (4,2,1)
ARIMA (1,2,0)
ARIMA (3,2,0)
ARIMA (5,2,0)
ARIMA (1,2,1)
ARIMA (3,2,1)
ARIMA (5,2,1)
ARIMA (2,2,0)
ARIMA (4,2,0)
4.1.1.3 Mencari Model Terbaik
Semua model sementara diatas diuji kesesuaian modelnya, apakah model ARIMA
tersebut layak digunakan dalam peramalan apa tidak. Asumsi yang harus dipenuhi
adalah Setiap parameter model harus signifikan, uji White Noise atau uji kecocokan
model, dan residual data harus berdistribusi normal. Dari semua model tersebut, yang
memenuhi semua kriteria asumsi diatas adalah model peramalan ARIMA (0,2,1).
Berikut adalah hasil dari analisis yang dilakukan
ARIMA (0,2,1)
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
ARIMA
Model
(0,2,1)
MA(1)
(1,2,0)
AR(1)
(1,2,1)
AR(1)
MA(1)
(2,2,0)
AR(1)
AR(2)
(2,2,1)
AR(1)
AR(2)
MA(1)
(3,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
(3,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
Parameter
θ=0,9670
ϕ=−0,4647
ϕ=−0,0891
θ=0,9657
ϕ=−0,6365
ϕ=−0,6062
ϕ=−0,0319
ϕ=−0,2701
θ=0,9578
ϕ=−0,7285
ϕ=−0,7071
ϕ=−0,2045
ϕ=−1,2386
ϕ=−1,0213
0,000
P-value
Kesimpulan
Signifikan
0,000
Signifikan
0,555
0,000
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,000
Signifikan
Signifikan
0,827
0,063
0,000
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,000
0,140
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
0,002
0,000
0,017
Signifikan
Signifikan
Signifikan
ϕ=−0,5049
θ=−0,5252
ϕ=−0,7307
ϕ=−0,7241
ϕ=−0,2207
ϕ=−0,0279
ϕ=−1,2569
ϕ=−1,0414
ϕ=−0,5276
ϕ=−0,0149
θ=−0,5405
ϕ=−0,7447
ϕ=−0,7929
ϕ=−0,5294
ϕ=−0,3339
ϕ=−0,4698
ϕ=−1,4414
ϕ=−1,0503
ϕ=−0,6620
ϕ=−0,0977
ϕ=−0,0255
θ=−0,9780
MA(1)
(4,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
(4,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
MA(1)
(5,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
(5,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
MA(1)
0,202
Tidak Signifikan
0,000
0,000
0,209
0,847
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
0,147
0,144
0,440
0,959
0,521
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
0,000
0,000
0,007
0,058
0,001
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,001
0,057
0,745
0,871
0,000
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Gambar 4. Tabel Uji Parsial
Dari tabel diatas diketahui model ARIMA yang signifikan adalah ARIMA (0,2,1),
ARIMA (1,2,0) dan ARIMA (2,2,0) sehingga hanya ketiga model tersebut yang
dilakukan pengujian White Noise
Uji White Noise (Kecocokan Model)
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
(2,2,0)
Lag
12
24
36
48
12
24
36
48
12
24
36
48
P-value
0,077
0,333
0,333
0,100
0,000
0,022
0,008
0,001
0,191
0,294
0,312
0,013
Kesimpulan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Gambar 5. Tabel Uji White Noise
Dari ketiga model tersebut, yang signifikan hanyalah model ARIMA (0,2,1) dan
selanjutnya dilakukan uji kenormalan residual pada model tersebut.
Uji Kenormalan Residual
Probability Plot of RESI1
Normal
99
Mean
StDev
N
KS
P-Value
95
90
1.088
10.68
52
0.109
0.122
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
RESI1
Gambar 6. Plot Residual
Dari plot diatas diketahui nilai p-value adalah 0,122 >
berdistribusi normal
α
= 0,05 maka residual
Hipotesis
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
Hipotesis untuk MA (1)
H0 : θ1=0
(Nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 : θ1 ≠ 0
(Nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,000 < α =0,05 maka diputuskan H0 ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model MA (1)
signifikan berbeda dengan nol
Uji Kecocokan Model (White Noise)
Hipotesis
H0 : ρ 1=ρ2 =…= ρk =0
(Residual memenuhi syarat White Noise)
H1 : ∃ ρi ≠ 0; i=1,2, … , k
(Residual tidak memenuhi syarat White Noise)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value pada lag 12, 24, 36 dan 48 berturut-turut adalah 0,077 ; 0,333 ;
0,333 ; 0,100 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual memenuhi syarat White
Noise
Uji Kenormalan Residual
Hipotesis
H0 : Residual data berdistribusi normal
H1 : Residual data tidak berdistribusi normal
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,122 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada
taraf kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi
normal
Penurunan Model
Model ARIMA secara umum
d
ϕ p ( B ) ( 1−B ) Z t=θ q (B) at
ARIMA (0,2,1) dengan transformasi satu kali
ϕ 0 ( B ) ( 1−B )2 Z ¿t =θ1 ( B ) a¿t
2
¿
¿
(1−B) Z t =θ 1 ( B ) at
( 1−2 B+B 2 ) Z ¿t =[1−θ1 ( B )] a¿t
Z ¿t −2 Z ¿t ( B ) +Z ¿t ( B2 ) =a¿t −θ1 a¿t (B)
¿
¿
¿
¿
¿
Z t −2 Z t −1 + Z t−2=at −θ 1 a t−1
Z ¿t =2 Z ¿t −1 −Z ¿t −2 −θ1 a¿t−1 +a¿t
Z ¿t =2 Z ¿t −1 −Z ¿t −2 −0,9760 a¿t −1 +a ¿t
4.1.1.4 Hasil Peramalan
Hasil peramalan (forecast) diperoleh secara langsung oleh software minitab.
Namun hasil peramalan tersebut masih berupa angka dalam transformasi, sehingga
perlu dikembalikan ke data awal dimana data berada disekitar data awal atau data asli.
Cara mengembalikan data peramalan transformasi ke data peramalan data asli adalah
dengan cara data transformasi dipangkatkan satu berbanding nilai lambda atau nilai
estimate pada plot box-cox. Hasil peramalan atau forecast dari data penjualan selama 5
bulan kedepan adalah sebagai berikut:
Forecas
t
4038.36
4011.37
3985.03
3959.34
3934.29
Bulan
July-14
Agustus-14
September-14
Oktober-14
November-14
Gambar 7. Tabel Hasil Forecast Data Penjualan
4.1.2 Data Simulasi
4.1.2.1 Uji Kestasioneran Data
Berikut adalah time series plot pada data simulasi
Time Series Plot of Data
Box-Cox Plot of Data
Lower CL
0.9
3.5
Upper CL
Lambda
(using 95.0% confidence)
0.8
3.0
2.5
StDev
Data
0.7
2.0
Estimate
-0.85
Lower CL
Upper CL
-2.04
0.14
Rounded Value
-1.00
0.6
0.5
1.5
0.4
Limit
0.3
1.0
4
8
12
16
20
24
Index
28
32
36
40
44
-5.0
-2.5
0.0
Lambda
2.5
5.0
Gambar 8. Time Series Plot data Simulasi dan Plot Box-Cox
Dari gambar plot diatas dapat dilihat bahwa data belum stasioner dalam variansi
maupun rata-rata. Maka dari itu dilakukan transformasi sebanyak 1 kali dengan
memangkatkan data dengan nilai estimate yaitu 0,53 dan differencing 2 kali sehingga
time series plot menjadi
Time Series Plot of Diff_ 2
50
40
30
Diff_ 2
20
10
0
-10
-20
-30
-40
1
5
10
15
20
25
30
Index
35
40
45
50
Gambar9. Time Series Plot setelah transformasi dan differencing
Karena data sudah stasioner dalam variansi dan rata-rata maka dilanjutkan untuk
mencari nilai ACF dan PACF
4.1.1.2 Mencari Nilai ACF dan PACF
Partial Autocorrelation Function for Diff_ 2
Autocorrelation Function for Diff_ 2
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.8
-1.0
-1.0
1
2
3
4
5
6
Lag
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
Lag
7
8
9
10
11
Gambar 10. ACF dan PACF data Simulasi
Dari gambar diatas diketahui bahwa ACF cut off di lag 1 dan PACF cut off di lag 5.
Nilai ACF menunjukkan parameter untuk Moving Average (MA) dan PACF merupakan
parameter untuk Autoregressive (AR). Sedangkan Integrated menunjukkan berapa kali
data di differencing. Karena data di differencing 2 kali, maka model peramalan
sementara untuk data penjualan adalah ARIMA (5,2,1). Sehingga kombinasi model
ARIMA adalah sebagai berikut
ARIMA (0,2,1)
ARIMA (2,2,1)
ARIMA (4,2,1)
ARIMA (1,2,0)
ARIMA (3,2,0)
ARIMA (5,2,0)
ARIMA (1,2,1)
ARIMA (3,2,1)
ARIMA (5,2,1)
ARIMA (2,2,0)
ARIMA (4,2,0)
4.1.1.3 Mencari Model Terbaik
Semua model sementara diatas diuji kesesuaian modelnya, apakah model ARIMA
tersebut layak digunakan dalam peramalan apa tidak. Asumsi yang harus dipenuhi
adalah Setiap parameter model harus signifikan, uji White Noise atau uji kecocokan
model, dan residual data harus berdistribusi normal. Dari semua model tersebut, yang
memenuhi semua kriteria asumsi diatas adalah model peramalan ARIMA (0,2,1),
ARIMA (1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0) dan ARIMA (5,20). Karena terdapat
lebih dari satu model sementara yang memenuhi asumsi, maka dilihat nilai SSE yang
paling kecil. Dari kelima model sementara tersebut, nilai SSE terkecil ada pada model
ARIMA (1,2,1), maka ARIMA (1,2,1) merupakan model terbaik yang kita dapat.
Berikut adalah hasil dari analisis yang dilakukan
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
ARIMA
Model
(0,2,1)
MA(1)
(1,2,0)
AR(1)
(1,2,1)
AR(1)
MA(1)
(2,2,0)
AR(1)
AR(2)
Parameter
θ=0,9921
ϕ=−0,6672
ϕ=−0,3474
θ=0,9835
ϕ=−0,8906
ϕ=−0,3420
0,000
P-value
Kesimpulan
Signifikan
0,000
Signifikan
0,026
0,000
Signifikan
Signifikan
0,000
0,027
Signifikan
Signifikan
(2,2,1)
AR(1)
AR(2)
MA(1)
(3,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
(3,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
MA(1)
(4,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
(4,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
MA(1)
(5,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
(5,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
MA(1)
ϕ=−1,2725
ϕ=−0,2715
θ=−1,0131
ϕ=−1,0167
ϕ=−0,6720
ϕ=−0,3936
ϕ=−0,3929
ϕ=−0,1214
ϕ=−0,1980
θ=0,9533
ϕ=−1,1003
ϕ=−0,8236
ϕ=−0,6247
ϕ=−0,2327
ϕ=−1,7569
ϕ=−1,3037
ϕ=−0,7721
ϕ=−0,2234
θ=−0,9621
ϕ=−1,1789
ϕ=−1,0420
ϕ=−0,9168
ϕ=−0,6499
ϕ=−0,3991
ϕ=−0,3217
ϕ=−0,0392
ϕ=−0,1762
ϕ=−0,0055
ϕ=−0,0750
θ=1,0468
0,000
0,066
0,000
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,001
0,011
Signifikan
Signifikan
Signifikan
0,024
0,507
0,237
0,000
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,001
0,007
0,154
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
0,000
0,000
0,023
0,207
0,000
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,000
0,000
0,006
0,013
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
0,073
0,838
0,346
0,977
0,668
0,000
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Gambar 11. Tabel Uji Parsial
Dari tabel diatas diketahui model ARIMA yang signifikan adalah ARIMA (0,2,1),
ARIMA (1,2,0), ARIMA (1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0), dan ARIMA (5,2,0)
sehingga hanya keenam model tersebut yang dilakukan pengujian White Noise.
Uji White Noise (Kecocokan Model)
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
(1,2,1)
(2,2,0)
(3,2,0)
Lag
12
24
36
12
24
36
12
24
36
12
24
36
12
24
36
P-value
0,074
0,393
0,102
0,205
0,598
0,026
0,632
0,859
0,409
0,110
0,310
0,050
0,256
0,415
0,130
Kesimpulan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
(5,2,0)
12
24
36
0,633
0,636
0,278
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Gambar 12. Tabel Uji White Noise
Dari keenam model tersebut yang signifikan adalah model ARIMA (0,2,1), ARIMA
(1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0) dan ARIMA (5,2,0). Maka pada kelima model
tersebut dilakukan pengujian kenormalan residual.
Uji Kenormalan Residual
ARIMA
P-value
Kesimpulan
(0,2,1)
0,150
Berdistribusi normal
(1,2,1)
0,150
Berdistribusi normal
(2,2,0)
0,150
Berdistribusi normal
(3,2,0)
0,150
Berdistribusi normal
0,150
Berdistribusi normal
(5,2,0)
Gambar 13. Tabel Uji Kenormalan Residual
Karena kelima model ARIMA tersebut berdistribusi normal, maka untuk menentukan
model terbaiknya lihat SSE yang paling kecil. Berikut adalah SSE kelima model
ARIMA tersebut:
ARIMA (0,2,1) = 0,719515
ARIMA (1,2,1) = 0,632027
ARIMA (2,2,0) = 0,954601
ARIMA (3,2,0) = 0,814106
ARIMA (5,2,0) = 0,665066
Nilai SSE terkecil terdapat pada model ARIMA (1,2,1) dengan nilai 0,632027 jadi
model terbaik untuk peramalan data simulasi adalah ARIMA (1,2,1)
Probability Plot of RESI3
Normal
99
Mean
StDev
N
KS
P-Value
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
RESI3
0.1
0.2
Gambar 14. Plot Residual
Hipotesis
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
Hipotesis untuk AR (1)
0.3
0.01265
0.1220
43
0.098
>0.150
H0 : ϕ 1=0
(Nilai parameter model AR (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 : ϕ 1 ≠ 0
(Nilai parameter model AR (1) signifikan berbeda dengan nol)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,024 < α =0,05 maka diputuskan H0 ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model AR (1)
signifikan berbeda dengan nol
Hipotesis untuk MA (1)
H0 : θ1=0
(Nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 : θ1 ≠ 0
(Nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,000 < α =0,05 maka diputuskan H0 ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model MA (1)
signifikan berbeda dengan nol
Uji Kecocokan Model (White Noise)
Hipotesis
H0 : ρ 1=ρ2 =…= ρk =0
(Residual memenuhi syarat White Noise)
H1 : ∃ ρi ≠ 0; i=1,2, … , k
(Residual tidak memenuhi syarat White Noise)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value pada lag 12, 24, dan 36 berturut-turut adalah 0,632 ; 0,859 ;
0,409 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada taraf kepercayaan 95%.
Maka dapat disimpulkan bahwa residual memenuhi syarat White Noise
Uji Kenormalan Residual
Hipotesis
H0 : Residual data berdistribusi normal
H1 : Residual data tidak berdistribusi normal
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,150 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada
taraf kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi
normal
Penurunan Model
Model ARIMA secara umum
ϕ p ( B ) ( 1−B )d Z t=θ q (B) at
ARIMA (1,2,1) dengan transformasi satu kali
ϕ 1 ( B ) ( 1−B )2 Z ¿t =θ 1 ( B ) a¿t
[1−ϕ 1 ( B ) ] ( 1−2 B+B 2) Z ¿t =[ 1−θ1 ( B )]a ¿t
Z ¿t −ϕ1 Z ¿t ( B )−2 Z ¿t ( B ) +2 ϕ 1 Z¿t ( B2 ) + Z ¿t ( B2 )−ϕ1 Z ¿t ( B3 )=a¿t −θ1 a¿t ( B)
Z ¿t −( ϕ1 +2 ) Z ¿t ( B ) + ( 2 ϕ 1+ 1 ) Z ¿t ( B2 )−ϕ1 Z ¿t ( B3 )=a¿t −θ1 a¿t (B)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Z t −( ϕ1 +2 ) Z t −1+ ( 2 ϕ1 +1 ) Z t −2−ϕ 1 Z t−3=at −θ1 at−1
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Z t =( ϕ1 +2 ) Z t −1−( 2 ϕ 1+1 ) Z t−2 +ϕ 1 Z t−3−θ 1 at −1+ at
Z ¿t =(−0,3474+2 ) Z ¿t −1−( 2 (−0,3474 ) +1 ) Z ¿t−2 +(−0,3473)Z ¿t −3−0,9875 a¿t −1+ a¿t
Z ¿t =1,6526 Z ¿t −1−0,3052 Z ¿t−2−0,3474 Z ¿t −3 −0,9875 a¿t −1+ a¿t
4.1.1.5 Hasil Peramalan
Hasil peramalan (forecast) diperoleh secara langsung oleh software minitab.
Namun hasil peramalan tersebut masih berupa angka dalam transformasi, sehingga
perlu dikembalikan ke data awal dimana data berada disekitar data awal atau data asli.
Cara mengembalikan data peramalan transformasi ke data peramalan data asli adalah
dengan cara data transformasi dipangkatkan satu berbanding nilai lambda atau nilai
estimate pada plot box-cox. Hasil peramalan atau forecast dari data penjualan selama 5
periode waktu kedepan adalah sebagai berikut:
t
46
47
48
49
50
Foreca
st
1.98026
2.0233
2.06385
2.10755
2.1525
Gambar 15. Tabel Hasil Forecast Data Simulasi
5.
Kesimpulan
Dari hasil analisis yang telah dilakukan dalam hal explanation dapat
disimpulkan:
Model peramalan ARIMA yang terbaik untuk data penjualan PT. XXX adalah
ARIMA (0,2,1)
Model peramalan ARIMA yang terbaik untuk data simulasi adalah ARIMA
(1,21)
Dalam hal hasil peramalan dapat disimpulkan bahwa
(ARIMA) terhadap Data Simulasi dan Data Penjualan Produk PT.
XXX (Januari 2010 – Juni 2014)
Dessy Ariani (1207015029), Muhammad Septyadhi (1207015019) dan Pratama Yuly N. (1207015003)
Jurusan Statistika Fakultas MIPA
Universitas Mulawarman Samarinda
ABSTRAK
Paper ini membahas penggunaan metode peramalan Autoregressive Integrated Moving
Average (ARIMA) terhadap nilai peramalan untuk dua data, yakni Data Simulasi dan
Data Penjualan Produk PT. XXX periode Januari 2010 – Juni 2014. Metode ini
digunakan untuk mencari model yang terbaik dalam menentukan nilai peramalan.
Berdasarkan hasil yang diperoleh analisis baik secara global maupun lokal diperoleh
bahwa model terbaik bagi Data Simulasi adalah ARIMA (1,2,1) dan model terbaik bagi
Data Penjualan Produk PT. XXX adalah ARIMA (0,2,1)
Kata Kunci:
1.
Pendahuluan
2.
2.1
Kajian Teori
Regresi Parametrik
3.
3.1
Metodologi
Sumber Data
Data yang dianalisis adalah data penjualan produk PT. XXX periode Januari
2010 – Juni 2014 dan data kedua adalah data simulasi. Kali ini kita akan
meramalkan nilai hasil penjualan selama 5 bulan kedepan dan juga meramalkan
nilai simulasi selama 5 periode tertentu kedepan.
3.2
1.
2.
3.
4.
Tahap Analisis
Tahapan analisis yang dilakukan adalah
Mengecek kestasioneran data
Dalam variansi
Dalam hal ini digunakan uji Box-Cox untuk mengecek apakah data
sudah stasioner dalam variansi atau belum.
Dalam rata-rata
Mencari nilai ACF dan PACF guna memodelkan peramalan menggunakan
metode ARIMA
Mencari model terbaik dari beberapa model sementara yang didapat dengan
asumsi yang harus memenuhi
Setiap parameter model harus signifikan
Uji White Noise atau uji kecocokan model
Residual data berdistribusi normal
Menurunkan model ARIMA sehingga didapatkan rumus yang tepat
4.
Hasil dan Pembahasan
Analisis dilakukan untuk tujuan explanation dan prediksi menggunakan data
penjualan produk PT. XXX, selain itu juga akan dilakukan analisis data simulasi.
4.1
Explanation
4.1.1 Data Penjualan Produk PT. XXX
4.1.1.1 Uji Kestasioneran Data
Berikut adalah time series plot pada data penjualan produk PT. XXX periode
Januari 2010 – Juni 2014
Box-Cox Plot of Data
Time Series Plot of Data
7000
Lower CL
1600
Upper CL
Lambda
(using 95.0% confidence)
6000
Estimate
1400
StDev
Data
5000
4000
Lower CL
Upper CL
Rounded Value
1200
0.53
-0.53
1.52
0.50
1000
3000
800
2000
600
Limit
1
5
10
15
20
25
30
Index
35
40
45
-5.0
50
-2.5
0.0
Lambda
2.5
5.0
Gambar 1. Time Series Plot data Penjualan dan Plot Box-Cox
Dari gambar plot diatas dapat dilihat bahwa data belum stasioner dalam variansi
maupun rata-rata. Maka dari itu dilakukan transformasi sebanyak 1 kali dengan
memangkatkan data dengan nilai estimate yaitu 0,53 dan differencing 2 kali sehingga
time series plot menjadi
Time Series Plot of Diff_ 2
50
40
30
Diff_ 2
20
10
0
-10
-20
-30
-40
1
5
10
15
20
25
30
Index
35
40
45
50
Gambar 2. Time Series Plot setelah transformasi dan differencing
Karena data sudah stasioner dalam variansi dan rata-rata maka dilanjutkan untuk
mencari nilai ACF dan PACF
4.1.1.2 Mencari Nilai ACF dan PACF
Autocorrelation Function for Diff_ 2
Partial Autocorrelation Function for Diff_ 2
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.0
1
2
3
4
5
6
7
Lag
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
Lag
8
9
10
11
12
13
Gambar 3. ACF dan PACF data Penjualan
Dari gambar diatas diketahui bahwa ACF cut off di lag 1 dan PACF cut off di lag 5.
Nilai ACF menunjukkan parameter untuk Moving Average (MA) dan PACF merupakan
parameter untuk Autoregressive (AR). Sedangkan Integrated menunjukkan berapa kali
data di differencing. Karena data di differencing 2 kali, maka model peramalan
sementara untuk data penjualan adalah ARIMA (5,2,1). Sehingga kombinasi model
ARIMA adalah sebagai berikut
ARIMA (0,2,1)
ARIMA (2,2,1)
ARIMA (4,2,1)
ARIMA (1,2,0)
ARIMA (3,2,0)
ARIMA (5,2,0)
ARIMA (1,2,1)
ARIMA (3,2,1)
ARIMA (5,2,1)
ARIMA (2,2,0)
ARIMA (4,2,0)
4.1.1.3 Mencari Model Terbaik
Semua model sementara diatas diuji kesesuaian modelnya, apakah model ARIMA
tersebut layak digunakan dalam peramalan apa tidak. Asumsi yang harus dipenuhi
adalah Setiap parameter model harus signifikan, uji White Noise atau uji kecocokan
model, dan residual data harus berdistribusi normal. Dari semua model tersebut, yang
memenuhi semua kriteria asumsi diatas adalah model peramalan ARIMA (0,2,1).
Berikut adalah hasil dari analisis yang dilakukan
ARIMA (0,2,1)
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
ARIMA
Model
(0,2,1)
MA(1)
(1,2,0)
AR(1)
(1,2,1)
AR(1)
MA(1)
(2,2,0)
AR(1)
AR(2)
(2,2,1)
AR(1)
AR(2)
MA(1)
(3,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
(3,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
Parameter
θ=0,9670
ϕ=−0,4647
ϕ=−0,0891
θ=0,9657
ϕ=−0,6365
ϕ=−0,6062
ϕ=−0,0319
ϕ=−0,2701
θ=0,9578
ϕ=−0,7285
ϕ=−0,7071
ϕ=−0,2045
ϕ=−1,2386
ϕ=−1,0213
0,000
P-value
Kesimpulan
Signifikan
0,000
Signifikan
0,555
0,000
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,000
Signifikan
Signifikan
0,827
0,063
0,000
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,000
0,140
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
0,002
0,000
0,017
Signifikan
Signifikan
Signifikan
ϕ=−0,5049
θ=−0,5252
ϕ=−0,7307
ϕ=−0,7241
ϕ=−0,2207
ϕ=−0,0279
ϕ=−1,2569
ϕ=−1,0414
ϕ=−0,5276
ϕ=−0,0149
θ=−0,5405
ϕ=−0,7447
ϕ=−0,7929
ϕ=−0,5294
ϕ=−0,3339
ϕ=−0,4698
ϕ=−1,4414
ϕ=−1,0503
ϕ=−0,6620
ϕ=−0,0977
ϕ=−0,0255
θ=−0,9780
MA(1)
(4,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
(4,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
MA(1)
(5,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
(5,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
MA(1)
0,202
Tidak Signifikan
0,000
0,000
0,209
0,847
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
0,147
0,144
0,440
0,959
0,521
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
0,000
0,000
0,007
0,058
0,001
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,001
0,057
0,745
0,871
0,000
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Gambar 4. Tabel Uji Parsial
Dari tabel diatas diketahui model ARIMA yang signifikan adalah ARIMA (0,2,1),
ARIMA (1,2,0) dan ARIMA (2,2,0) sehingga hanya ketiga model tersebut yang
dilakukan pengujian White Noise
Uji White Noise (Kecocokan Model)
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
(2,2,0)
Lag
12
24
36
48
12
24
36
48
12
24
36
48
P-value
0,077
0,333
0,333
0,100
0,000
0,022
0,008
0,001
0,191
0,294
0,312
0,013
Kesimpulan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Gambar 5. Tabel Uji White Noise
Dari ketiga model tersebut, yang signifikan hanyalah model ARIMA (0,2,1) dan
selanjutnya dilakukan uji kenormalan residual pada model tersebut.
Uji Kenormalan Residual
Probability Plot of RESI1
Normal
99
Mean
StDev
N
KS
P-Value
95
90
1.088
10.68
52
0.109
0.122
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
RESI1
Gambar 6. Plot Residual
Dari plot diatas diketahui nilai p-value adalah 0,122 >
berdistribusi normal
α
= 0,05 maka residual
Hipotesis
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
Hipotesis untuk MA (1)
H0 : θ1=0
(Nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 : θ1 ≠ 0
(Nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,000 < α =0,05 maka diputuskan H0 ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model MA (1)
signifikan berbeda dengan nol
Uji Kecocokan Model (White Noise)
Hipotesis
H0 : ρ 1=ρ2 =…= ρk =0
(Residual memenuhi syarat White Noise)
H1 : ∃ ρi ≠ 0; i=1,2, … , k
(Residual tidak memenuhi syarat White Noise)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value pada lag 12, 24, 36 dan 48 berturut-turut adalah 0,077 ; 0,333 ;
0,333 ; 0,100 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual memenuhi syarat White
Noise
Uji Kenormalan Residual
Hipotesis
H0 : Residual data berdistribusi normal
H1 : Residual data tidak berdistribusi normal
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,122 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada
taraf kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi
normal
Penurunan Model
Model ARIMA secara umum
d
ϕ p ( B ) ( 1−B ) Z t=θ q (B) at
ARIMA (0,2,1) dengan transformasi satu kali
ϕ 0 ( B ) ( 1−B )2 Z ¿t =θ1 ( B ) a¿t
2
¿
¿
(1−B) Z t =θ 1 ( B ) at
( 1−2 B+B 2 ) Z ¿t =[1−θ1 ( B )] a¿t
Z ¿t −2 Z ¿t ( B ) +Z ¿t ( B2 ) =a¿t −θ1 a¿t (B)
¿
¿
¿
¿
¿
Z t −2 Z t −1 + Z t−2=at −θ 1 a t−1
Z ¿t =2 Z ¿t −1 −Z ¿t −2 −θ1 a¿t−1 +a¿t
Z ¿t =2 Z ¿t −1 −Z ¿t −2 −0,9760 a¿t −1 +a ¿t
4.1.1.4 Hasil Peramalan
Hasil peramalan (forecast) diperoleh secara langsung oleh software minitab.
Namun hasil peramalan tersebut masih berupa angka dalam transformasi, sehingga
perlu dikembalikan ke data awal dimana data berada disekitar data awal atau data asli.
Cara mengembalikan data peramalan transformasi ke data peramalan data asli adalah
dengan cara data transformasi dipangkatkan satu berbanding nilai lambda atau nilai
estimate pada plot box-cox. Hasil peramalan atau forecast dari data penjualan selama 5
bulan kedepan adalah sebagai berikut:
Forecas
t
4038.36
4011.37
3985.03
3959.34
3934.29
Bulan
July-14
Agustus-14
September-14
Oktober-14
November-14
Gambar 7. Tabel Hasil Forecast Data Penjualan
4.1.2 Data Simulasi
4.1.2.1 Uji Kestasioneran Data
Berikut adalah time series plot pada data simulasi
Time Series Plot of Data
Box-Cox Plot of Data
Lower CL
0.9
3.5
Upper CL
Lambda
(using 95.0% confidence)
0.8
3.0
2.5
StDev
Data
0.7
2.0
Estimate
-0.85
Lower CL
Upper CL
-2.04
0.14
Rounded Value
-1.00
0.6
0.5
1.5
0.4
Limit
0.3
1.0
4
8
12
16
20
24
Index
28
32
36
40
44
-5.0
-2.5
0.0
Lambda
2.5
5.0
Gambar 8. Time Series Plot data Simulasi dan Plot Box-Cox
Dari gambar plot diatas dapat dilihat bahwa data belum stasioner dalam variansi
maupun rata-rata. Maka dari itu dilakukan transformasi sebanyak 1 kali dengan
memangkatkan data dengan nilai estimate yaitu 0,53 dan differencing 2 kali sehingga
time series plot menjadi
Time Series Plot of Diff_ 2
50
40
30
Diff_ 2
20
10
0
-10
-20
-30
-40
1
5
10
15
20
25
30
Index
35
40
45
50
Gambar9. Time Series Plot setelah transformasi dan differencing
Karena data sudah stasioner dalam variansi dan rata-rata maka dilanjutkan untuk
mencari nilai ACF dan PACF
4.1.1.2 Mencari Nilai ACF dan PACF
Partial Autocorrelation Function for Diff_ 2
Autocorrelation Function for Diff_ 2
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.8
-1.0
-1.0
1
2
3
4
5
6
Lag
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
Lag
7
8
9
10
11
Gambar 10. ACF dan PACF data Simulasi
Dari gambar diatas diketahui bahwa ACF cut off di lag 1 dan PACF cut off di lag 5.
Nilai ACF menunjukkan parameter untuk Moving Average (MA) dan PACF merupakan
parameter untuk Autoregressive (AR). Sedangkan Integrated menunjukkan berapa kali
data di differencing. Karena data di differencing 2 kali, maka model peramalan
sementara untuk data penjualan adalah ARIMA (5,2,1). Sehingga kombinasi model
ARIMA adalah sebagai berikut
ARIMA (0,2,1)
ARIMA (2,2,1)
ARIMA (4,2,1)
ARIMA (1,2,0)
ARIMA (3,2,0)
ARIMA (5,2,0)
ARIMA (1,2,1)
ARIMA (3,2,1)
ARIMA (5,2,1)
ARIMA (2,2,0)
ARIMA (4,2,0)
4.1.1.3 Mencari Model Terbaik
Semua model sementara diatas diuji kesesuaian modelnya, apakah model ARIMA
tersebut layak digunakan dalam peramalan apa tidak. Asumsi yang harus dipenuhi
adalah Setiap parameter model harus signifikan, uji White Noise atau uji kecocokan
model, dan residual data harus berdistribusi normal. Dari semua model tersebut, yang
memenuhi semua kriteria asumsi diatas adalah model peramalan ARIMA (0,2,1),
ARIMA (1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0) dan ARIMA (5,20). Karena terdapat
lebih dari satu model sementara yang memenuhi asumsi, maka dilihat nilai SSE yang
paling kecil. Dari kelima model sementara tersebut, nilai SSE terkecil ada pada model
ARIMA (1,2,1), maka ARIMA (1,2,1) merupakan model terbaik yang kita dapat.
Berikut adalah hasil dari analisis yang dilakukan
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
ARIMA
Model
(0,2,1)
MA(1)
(1,2,0)
AR(1)
(1,2,1)
AR(1)
MA(1)
(2,2,0)
AR(1)
AR(2)
Parameter
θ=0,9921
ϕ=−0,6672
ϕ=−0,3474
θ=0,9835
ϕ=−0,8906
ϕ=−0,3420
0,000
P-value
Kesimpulan
Signifikan
0,000
Signifikan
0,026
0,000
Signifikan
Signifikan
0,000
0,027
Signifikan
Signifikan
(2,2,1)
AR(1)
AR(2)
MA(1)
(3,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
(3,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
MA(1)
(4,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
(4,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
MA(1)
(5,2,0)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
(5,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
MA(1)
ϕ=−1,2725
ϕ=−0,2715
θ=−1,0131
ϕ=−1,0167
ϕ=−0,6720
ϕ=−0,3936
ϕ=−0,3929
ϕ=−0,1214
ϕ=−0,1980
θ=0,9533
ϕ=−1,1003
ϕ=−0,8236
ϕ=−0,6247
ϕ=−0,2327
ϕ=−1,7569
ϕ=−1,3037
ϕ=−0,7721
ϕ=−0,2234
θ=−0,9621
ϕ=−1,1789
ϕ=−1,0420
ϕ=−0,9168
ϕ=−0,6499
ϕ=−0,3991
ϕ=−0,3217
ϕ=−0,0392
ϕ=−0,1762
ϕ=−0,0055
ϕ=−0,0750
θ=1,0468
0,000
0,066
0,000
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,001
0,011
Signifikan
Signifikan
Signifikan
0,024
0,507
0,237
0,000
Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,001
0,007
0,154
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
0,000
0,000
0,023
0,207
0,000
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
0,000
0,000
0,000
0,006
0,013
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
0,073
0,838
0,346
0,977
0,668
0,000
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Gambar 11. Tabel Uji Parsial
Dari tabel diatas diketahui model ARIMA yang signifikan adalah ARIMA (0,2,1),
ARIMA (1,2,0), ARIMA (1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0), dan ARIMA (5,2,0)
sehingga hanya keenam model tersebut yang dilakukan pengujian White Noise.
Uji White Noise (Kecocokan Model)
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
(1,2,1)
(2,2,0)
(3,2,0)
Lag
12
24
36
12
24
36
12
24
36
12
24
36
12
24
36
P-value
0,074
0,393
0,102
0,205
0,598
0,026
0,632
0,859
0,409
0,110
0,310
0,050
0,256
0,415
0,130
Kesimpulan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Tidak Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Signifikan
(5,2,0)
12
24
36
0,633
0,636
0,278
Signifikan
Signifikan
Signifikan
Gambar 12. Tabel Uji White Noise
Dari keenam model tersebut yang signifikan adalah model ARIMA (0,2,1), ARIMA
(1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0) dan ARIMA (5,2,0). Maka pada kelima model
tersebut dilakukan pengujian kenormalan residual.
Uji Kenormalan Residual
ARIMA
P-value
Kesimpulan
(0,2,1)
0,150
Berdistribusi normal
(1,2,1)
0,150
Berdistribusi normal
(2,2,0)
0,150
Berdistribusi normal
(3,2,0)
0,150
Berdistribusi normal
0,150
Berdistribusi normal
(5,2,0)
Gambar 13. Tabel Uji Kenormalan Residual
Karena kelima model ARIMA tersebut berdistribusi normal, maka untuk menentukan
model terbaiknya lihat SSE yang paling kecil. Berikut adalah SSE kelima model
ARIMA tersebut:
ARIMA (0,2,1) = 0,719515
ARIMA (1,2,1) = 0,632027
ARIMA (2,2,0) = 0,954601
ARIMA (3,2,0) = 0,814106
ARIMA (5,2,0) = 0,665066
Nilai SSE terkecil terdapat pada model ARIMA (1,2,1) dengan nilai 0,632027 jadi
model terbaik untuk peramalan data simulasi adalah ARIMA (1,2,1)
Probability Plot of RESI3
Normal
99
Mean
StDev
N
KS
P-Value
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
RESI3
0.1
0.2
Gambar 14. Plot Residual
Hipotesis
Uji Parsial (Signifikansi Parameter)
Hipotesis untuk AR (1)
0.3
0.01265
0.1220
43
0.098
>0.150
H0 : ϕ 1=0
(Nilai parameter model AR (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 : ϕ 1 ≠ 0
(Nilai parameter model AR (1) signifikan berbeda dengan nol)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,024 < α =0,05 maka diputuskan H0 ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model AR (1)
signifikan berbeda dengan nol
Hipotesis untuk MA (1)
H0 : θ1=0
(Nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 : θ1 ≠ 0
(Nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,000 < α =0,05 maka diputuskan H0 ditolak pada taraf
kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model MA (1)
signifikan berbeda dengan nol
Uji Kecocokan Model (White Noise)
Hipotesis
H0 : ρ 1=ρ2 =…= ρk =0
(Residual memenuhi syarat White Noise)
H1 : ∃ ρi ≠ 0; i=1,2, … , k
(Residual tidak memenuhi syarat White Noise)
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value pada lag 12, 24, dan 36 berturut-turut adalah 0,632 ; 0,859 ;
0,409 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada taraf kepercayaan 95%.
Maka dapat disimpulkan bahwa residual memenuhi syarat White Noise
Uji Kenormalan Residual
Hipotesis
H0 : Residual data berdistribusi normal
H1 : Residual data tidak berdistribusi normal
Taraf Signifikansi
α =5
Daerah Kritis
Menolak H0 jika p-value < α
Keputusan dan Kesimpulan
Karena nilai p-value = 0,150 > α =0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada
taraf kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi
normal
Penurunan Model
Model ARIMA secara umum
ϕ p ( B ) ( 1−B )d Z t=θ q (B) at
ARIMA (1,2,1) dengan transformasi satu kali
ϕ 1 ( B ) ( 1−B )2 Z ¿t =θ 1 ( B ) a¿t
[1−ϕ 1 ( B ) ] ( 1−2 B+B 2) Z ¿t =[ 1−θ1 ( B )]a ¿t
Z ¿t −ϕ1 Z ¿t ( B )−2 Z ¿t ( B ) +2 ϕ 1 Z¿t ( B2 ) + Z ¿t ( B2 )−ϕ1 Z ¿t ( B3 )=a¿t −θ1 a¿t ( B)
Z ¿t −( ϕ1 +2 ) Z ¿t ( B ) + ( 2 ϕ 1+ 1 ) Z ¿t ( B2 )−ϕ1 Z ¿t ( B3 )=a¿t −θ1 a¿t (B)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Z t −( ϕ1 +2 ) Z t −1+ ( 2 ϕ1 +1 ) Z t −2−ϕ 1 Z t−3=at −θ1 at−1
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Z t =( ϕ1 +2 ) Z t −1−( 2 ϕ 1+1 ) Z t−2 +ϕ 1 Z t−3−θ 1 at −1+ at
Z ¿t =(−0,3474+2 ) Z ¿t −1−( 2 (−0,3474 ) +1 ) Z ¿t−2 +(−0,3473)Z ¿t −3−0,9875 a¿t −1+ a¿t
Z ¿t =1,6526 Z ¿t −1−0,3052 Z ¿t−2−0,3474 Z ¿t −3 −0,9875 a¿t −1+ a¿t
4.1.1.5 Hasil Peramalan
Hasil peramalan (forecast) diperoleh secara langsung oleh software minitab.
Namun hasil peramalan tersebut masih berupa angka dalam transformasi, sehingga
perlu dikembalikan ke data awal dimana data berada disekitar data awal atau data asli.
Cara mengembalikan data peramalan transformasi ke data peramalan data asli adalah
dengan cara data transformasi dipangkatkan satu berbanding nilai lambda atau nilai
estimate pada plot box-cox. Hasil peramalan atau forecast dari data penjualan selama 5
periode waktu kedepan adalah sebagai berikut:
t
46
47
48
49
50
Foreca
st
1.98026
2.0233
2.06385
2.10755
2.1525
Gambar 15. Tabel Hasil Forecast Data Simulasi
5.
Kesimpulan
Dari hasil analisis yang telah dilakukan dalam hal explanation dapat
disimpulkan:
Model peramalan ARIMA yang terbaik untuk data penjualan PT. XXX adalah
ARIMA (0,2,1)
Model peramalan ARIMA yang terbaik untuk data simulasi adalah ARIMA
(1,21)
Dalam hal hasil peramalan dapat disimpulkan bahwa