Peramalan Produksi di PT.XXX dan Peramal
Peramalan Produksi di PT.XXX dan Peramalan Data Simulasi dengan Metode ARIMA
Musmirani (1207015018), Abdussamad (1207015033), Andini Juita Sari (1207015065)
Program Studi Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Mulawarman
ABSTRAK
Penelitian ini mempelajari suatu metode dalam meramalkan suatu data time series. Metode yang
dipakai dalam penelitian ini adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ini
merupakan gabungan dari proses Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA). Metode ini diaplikasikan
pada data jumlah Produksi di PT.XXX dan data simulasi. Sehingga diperoleh ramalan jumlah produksi untuk
tahun berikutnya.
Kata Kunci:ARIMA, Peramalan, AR, MA, Produksi, Simulasi
1. Pendahuluan
Analisis Deret Berkala (time series analysis) adalah suatu metode kuantitatif untuk menentukan pola
data masa lampau yang telah dikumpulkan secara teratur menurut urutan waktu kejadian. Pola masa lalu
ini dapat digunakan sebagai dasar pertimbangan untuk forecasting di masa yang akan datang.
Peramalan adalah suatu kegiatan memprediksi masa depan menggunakan kondisi ataupun data dimasa
lalu. Menurut Assauri(1984:7) peramalan merupakan kegiatan dalam memperkirakan apa yang akan terjadi
pada masa yang akan datang, atau lebih tepatnya peramalan adalah kegiatan mencoba menduga perubahan
yang akan terjadi. Hasil ramalan adalah situasi/kondisi yang diperkirakan akan terjadi pada masa yang akan
datang. Ramalan dapat diperoleh dengan bermacam‐macam cara yang dikenal dengan metode peramalan.
Menurut Makridakis dkk (1999:8) peramalan dengan menggunakan metode kuantitatifdapat
diterapkan apabila terdapat tiga kondisi berikut yaitu: tersedia informasi tentang masa lalu, informasi tersebut
dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik,dan dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek pola masa
lalu akan terus berlanjutdimasa mendatang.
Hal yang perlu diperhatikan pada peramalan data time series adalah galat (error), dimanamerupakan
bagian yang tidak terpisahkan dalam metode peramalan. Hasil dariprediksi sangatlah jarang yang sama
dengan data sesungguhnya, maka seorangperamal hanya bisa berusaha untuk membuat galatnya
menjadiseminimal mungkin. Untuk meramalkan data time series dibutuhkan teknik peramalan yang baik.
Teknik peramalan dapat bermacam-macam tergantung pada pola data yang ada.
Penelitian ini bertujuan untuk melakukan peramalan terhadap data jumlah Produksi di PT.XXX dan data
simulasi. Sehingga diperoleh ramalan jumlah produksi untuk beberapa tahun berikutnya. Dengan
menggunakan model ARIMA dan melakukan identifkasi hasil peramalan berdasarkan model ARIMA terbaik.
2. Kajian Teori
2.1 Analisis Deret Waktu
Analisis Deret Berkala (time series analysis) adalah suatu metode kuantitatif untuk menentukan pola
data masa lampau yang telah dikumpulkan secara teratur menurut urutan waktu kejadian. Pola masa lalu ini
dapat digunakan sebagai dasar pertimbangan untuk forecasting di masa yang akan datang.
Deret waktu dikatakan stasioner jika tidak ada perubahan kecenderungan dalam rata-rata dan
perubahan variansi. Dengan kata lain, deret waktu yang stasioner adalah relatif tidak terjadi kenaikan atau
1
pun penurunan nilai secara tajam (fluktuasi data berada pada sekitar nilai rata-rata konstan). Kondisi stasioner
terdiri atas dua hal, yaitu stasioner dalam rata-rata dan stasioner dalam variansi. Untuk memeriksa
kestasioneran dapat digunakan diagram deret waktu (time series plot) yaitu diagram pencar antara nilai
Yt
peubah
dengan waktu t. Jika diagram deret waktu berfluktuasi disekitar garis yang sejajar sumbu
waktu (t) maka dikatakan deret (series) stasioner dalam rata-rata. Bila kondisi stasioner dalam rata-rata tidak
terpenuhi diperlukan proses pembedahan (differencing) (Aswi dan Sukarna, 2006).
Secara umum model ARIMA (Box-Jenkins) dirumuskan dengan notasi sebagai berikut : (Harijono
dan Sugiarto, 2000): ARIMA (p,d,q) dalam hal ini, p menunjukkan orde / derajat Autoregressive (AR) ; d
menunjukkan orde / derajat Differencing (pembedaan), q menunjukkan orde / derajat Moving Average (MA).
2.2 Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive adalah model yang menggambarkan bahwa variable dependen dipengaruhi oleh
variabel dependen itu sendiri pada periode-periode dan waktu-waktu sebelumnya (Sugiarto dan Harijono,
2000). Secara umum model autoregressive (AR) mempunyai bentuk sebagai berikut :
Y t =θ0 +θ1 Y t−1 +θ2 Y t−2 +…+θ p Y t − p−et
........................................(1)
Dimana,
Y t = deret waktu stationer
θ0 = konstanta
Y t−1 , … ,Y t− p = nilai masa lalu yang berhubungan
θ1 , … ., θ p = koefisien atau parameter dari model autoregressive
e t = residual pada waktu t
2.3 Model MA (Moving Average)
Secara umum model moving average mempunyai bentuk sebagai berikut :
Y t =∅0 +∅1 et −1−∅2 e t−2−…−∅ p e t− p .............................................(2)
Dimana,
Y t = deret waktu stationer
∅0 = konstanta
∅n
= koefisien model moving average yang menunjukan bobot. Nilai koefisien dapat memiliki tanda
negative atau positif, tergantung hasil estimasi
e t = residual lampau yang digunakan oleh model, yaitu sebanyak q, menentukan model ini.
2.4 Fungsi Autokorelasi
2
Menurut Soejeti (1987) suatu deret waktu yang stationer dapat diestimasi nilai mean ( μ ¿
ACF
{ γ k ; k=0,1,.. }
dan
dengan menggunakan persamaan statistic sebagai berikut :
n
1
^μ= z^ = ∑ Z t ……………………………………………………….(3)
n t=1
k =0,1,.. , maka nilai autokorelasi (ACF) adalah sebagai berikut :
Dan untuk
n
∑ (Zt − Ź)(Z t +k− Ź)
γ^k =ck = t =1
..........................................................(4)
n
Untuk memperoleh harga estimasi yang cukup baik diperlukan
c k yang dihitung hanya k ≤
rk=
ck
c0
n
. Nilai
4
ρk
n yang cukup besar, yaitu n ≥50 . Nilai
kemudian diestimasikan dengan :
……………………………………………………………………(5)
2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial
Menurut Soejeti (1987) PACF yabg ditulis dengan
{∅kk ; k =1,2, … }
, yakni himpunan
autokorelasi parsial untuk berbagai lag k. persamaannya adalah sebagai berikut :
|P k ¿|
∅ kk =
| Pk|
……………………………………………………………
Pk adalah matriks autokorelasi k × k dan
Dengan
Pk ¿ adalah
(6)
Pk dengan kolom terakhir diganti
dengan :
[]
ρ1
ρ2
.
.
.
ρk
Model ARIMA secara umum
∅ p ( B ) (1−B)d Z t =θq ( B ) at
…………………………………………..(7)
Dimana ,
❑
∅p (B )
= Autoregressive
(1−B)d = differencing
Zt
= data
θq ( B )=¿ Moving Average
3
at =¿ residual
3. Metodologi Pendekatan Box- Jenkins
Menurut Aswi dan Sukarna (2006) dasar dari pendekatan Box dan Jenkins terdiri dari tigga tahap,
yaitu identifikasi model, penaksiran dan diagnostic model, serta aplikasi model (peramalan).
1. Identifikasi Model
Tahap ini terdiri dari pemeriksaan stationeritas data deret waktu dan kemudian penetapan model smentara
berdasarkan ACF dan PACF.
2. Penaksiran Parameter dan Pengujuan Diagnostik
Metode penakasiran parameter yang umum digunakan adalahmetode least squares, yaitu suatu metode
yang dilakukan dengan cara mencari nilai parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan.
Pengujian diagnostik terdiri dari uji signifikansi parameter dan uji kesesuaian white noise dan uji
kenormalan residual.
Uji Signifikansi Parameter
Untuk AR
Hipotesis
H0 :
∅ = 0 ( nilai parameter model AR (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 :
∅
≠ 0 (nilai parameter model AR (1) signifikan berbeda dengan nol)
Untuk MA
Hipotesis
H0 :
θ = 0 (nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 :
θ
≠ 0 (nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol)
Uji Kesesuaian Model
Berikut adalah proses pengujian white noise dengan menggunakan Ljung-Box.
Hipotesis
H0 :
ρ1=ρ2 =…= ρK =0 (Residual memenuhi syarat white noise)
H1 : minimal ada satu
ρi ≠ 0 untuk i=1,2, … , K (Residual tidak memenuhi syarat white noise)
Statistik Uji
K
Q =n(n+2) ∑
¿
k=1
2
ρk
.........................................................................(8)
n−k
Daerah kritis
4
Q¿ > χ 2α ;df
H0 ditolak jika
α
atau p-value <
Selanjutnya adalah melakukan pengujian kenormalan residual. Proses pengujiannya adalah sebagai
berikut:
Hipotesis
H0 : Residual berdistribusi normal
H1 : Residual tidak berdistribusi normal
Statistik Uji
Dhitung =¿ Sn ( X )−S n ( X ) ....................................................................(9)
1
2
Daerah Kritis
Dhitung > Dtabel atau p-value < α
H0 ditolak jika
3. Peramalan
Tujuan model time series adalah menggunakan model yang diperoleh untuk inferensi time series dimasa
mendatang berdasarka pola yang terjadi di masa lalu. Yakni, berdasarkan suatu model ingin diturunkan
distribusi bersyaratkan observasi yang akan dating, jika diketahui observasi yang lalu.
4. Data dan Pembahasan
4.1 Data
1. Berikut merupakan data Penjualan Produk PT. XXX dari Januari 2010 – Juni 2014
t
Zt
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4639
2784
5860
5781
4897
3920
3835
3618
3350
2625
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Tabel 4.1 Tabel Data Penjualan Produk PT.XXX
Zt
t
Zt
T
Zt
t
Zt
2414
2221
2619
3203
2706
2717
3677
4272
3771
4955
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
5584
3891
3501
4436
2922
2837
4690
5119
5838
5389
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
4993
4446
4849
3016
2881
3821
4300
4168
5448
5477
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
4127
6316
6650
6304
4842
4352
3215
2652
4494
5753
t
Zt
51
52
53
54
5555
5712
4786
4066
Lakukan peramalan 10 periode kedepan dengan menggunakan data Penjualan Produk PT.XXX pada
Tabel 4.1
2. Berikut merupakan data simulasi dalam 45 periode
Tabel 4.2 Tabel Data Simulasi
t
Zt
t
Zt
t
Zt
t
Zt
1
2
3
4
1.31
1.61
1.65
2.81
11
12
13
14
2.2
2
1.91
1.36
21
22
23
24
1.53
1.68
1.51
1.62
31
32
33
34
5
1.96
1.93
2.18
2.43
t
Zt
41
42
43
44
1.48
1.9
1.79
1.89
5
6
7
8
9
10
2.06
2.51
3.55
2.94
1.87
2.11
15
16
17
18
19
20
1.69
2.36
2.61
2.16
1.57
1.65
25
26
27
28
29
30
1.19
1.38
1.29
1.5
1.53
2.19
35
36
37
38
39
40
1.34
3.02
1.88
1.72
1.36
1.26
45
1.95
Lakukan peramalan 10 periode kedepan dengan menggunakan data simulasi pada Tabel 4.2
4.2 Pembahasan
1. Data Penjualan Produk PT.XXX
a. Identifikasi Model
Melihat kestasioneran data dengan TS Plot
Gambar 4.1 Time Series Plot dan Box-Cox Data Penjualan Produk PT.XXX
Berdasarkan Gambar 4.1 data tidak stasioner dalam rata-rata dan data terlihat tidak stasioner dalam
variansi karena nilai estimate adalah 0,64. Kemudian data di transformasikan dengan melihat nilai estimate
yaitu Z0,64.
Gambar 4.2 Box-Cox Hasil Transformasi
Berdasarkan Gambar 4.2 hasil transformasi 1 tersebut belum menunjukkan data penjualan produk
stasioner dalam variansi karena nilai estimate adalah 0,99. Maka dilakukan transformasi lagi dengan Z 0,99.
Pada transformasi 2 data sudah stasioner dalam variansi selanjutnya melihat Time Series Plot untuk melihat
stasioner dalam rata-rata.
6
Gambar 4.3 Time Series Plot
Berdasarkan Gambar 4.3 data trasnfomasi 2 terlihat belum stasioner dalam rata-rata, oleh karena itu
dilakukan differencing kemudian dilihat TS plot nya. Time Series Plot data differencing terlihat belum
stasioner dalam rata-rata maka di differencing sekali lagi.
Berdasarkan Gambar 4.3 disamping
data yang telah di differencing 2 kali terlihat
sudah stasioner dalam rata-rata.
Maka selanjutnya melihat grafik ACF dan
PACF.
Gambar 4.3 Time Series Plot Data
Differencing 2
Gambar 4.4 Grafik ACF dan PACF
Berdasarkan Gambar 4.4 pada grafik ACF cut off di lag 1 dan pada grafik PACF cut off di lag 5. Oleh
karena model yang di dapat adalah ARIMA (5,2,1).
Model sementara:
1. ARIMA (0,2,1)
7. ARIMA (3,2,1)
2. ARIMA (1,2,0)
8. ARIMA (4,2,0)
3. ARIMA (1,2,1)
9. ARIMA (4,2,1)
4. ARIMA (2,2,0)
10. ARIMA (5,2,0)
5. ARIMA (2,2,1)
11. ARIMA (5,2,1)
6. ARIMA (3,2,0)
7
b. Pengujian Signifikan Parameter
Hipotesis untuk parameter model AR
H0: ∅ = 0 (Parameter model AR tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model AR signifikan berbeda dengan nol)
H1: ∅
Hipotesis untuk parameter model MA
H0: θ = 0 (Parameter model MA tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model MA signifikan berbeda dengan nol)
H1: θ
Tabel 4.3 Signifikan Parameter
Model
Parameter
P-Value
Kesimpulan
MA(1)
0,9665
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,465
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,0874
0,563
Tidak
(1,2,1)
MA(1)
0,9654
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,6363
0,000
(2,2,0)
Signnifikan
AR(2)
-0,6028
0,000
AR(1)
-0,0499
0,738
Tidak
(2,2,1)
AR(2)
-0,2782
0,060
Signifikan
MA(1)
0,9141
0,000
AR(1)
-0,7274
0,000
Tidak
(3,2,0)
AR(2)
-0,7038
0,000
Signifikan
AR(3)
-0,2041
0,142
AR(1)
-1,2396
0,001
AR(2)
-1,0191
0,000
Tidak
(3,2,1)
AR(3)
-0,5045
0,016
Signifikan
MA(1)
-0,5273
0,198
AR(1)
-0,7293
0,000\
AR(2)
-0,7189
0,000
Tidak
(4,2,0)
AR(3)
-0,2187
0,214
Signifikan
AR(4)
-0,0249
0,864
AR(1)
-1,2554
0,140
AR(2)
-1,0367
0,138
AR(3)
0,5243
0,434
Tidak
(4,2,1)
AR(4)
0,0126
0,965
Signifikan
MA(1)
-0,5405
0,513
AR(1)
-0,7422
0,000
AR(2)
-0,7877
0,000
AR(3)
-,5261
0,008
Tidak
(5,2,0)
AR(4)
-0,3321
0,059
Signifikan
AR(5)
-0,4708
0,001
AR(1)
-0,14664
0,000
AR(2)
-1,0931
0,001
AR(3)
-0,7001
0,042
Tidak
(5,2,1)
AR(4)
-0,1224
0,680
Signifikan
AR(5)
-0,0292
0,851
MA(1)
-0,9725
0,000
Berdasarkan Tabel 4.3 terdapat 3 model t=yang signifikan yaitu ARIMA (0,2,1), ARIMA (1,2,0) dan
ARIMA (2,2,0) yang kemudian di uji White Noise.
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
c. Pengujian White Noise
Hipotesis
H0: ρ 1 = ρ2 = … =
ρk = 0 (Residual memenuhi syarat White Noise)
8
H1:
∃ ρi
≠ 0, i=1,2,…,k (Residual belum memenuhi syarat White Noise)
Tabel 4.4 Tabel Pengujian White Noise
Lag
Model
Kesimpulan
ARIMA
12
24
36
48
(0,2,1)
0,082
0,348
0,355
0,102
White Noise
(1,2,0)
0,000
0,024
0,010
0,001
Tidak White Noise
(2,2,0)
0,190
0,299
0,312
0,012
Tidak White Noise
Berdasarkan Tabel 4.4 hanya ada satu model yang memenuhi syarat White Noise yaitu model
ARIMA (0,2,1), selanjutnya model tersebut di uji kenormalan residual.
d. Uji Kenormalan
Hipotesis
H0: Residual berdistribusi normal
H1: Residual tidak berdistribusi normal
Berdasarkan Gambar 4.5
terlihat data menyebar disekitar garis
diagonal dan p-value=0,152 < α
=0,05 maka dapat disimpulkan
bahwa residual model ARIMA
(0,2,1) berdistribusi normal. Maka
model ARIMA (0,2,1) cocok untuk
peramalan.
Gambar 4.5 Grafik Kenormalan
e. Peramalan
dengan taraf kepercayaan 95% berikut adalah data hasil peramalan penjualan PT.XXX
selama 5 periode dengan model ARIMA (0,2,1) adalah sebagai berikut:
Tabel 4.5 Tabel Peramalan Data Penjualan Produk di PT.XXX
Period
Forecast
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
205.651
205.105
204.570
204.046
203.534
203.033
202.544
202.066
201.600
201.145
Forecast (
Forecast (
1
0.99
1
Z 0,67 ¿
4474.82
4456.07
4437.73
4419.82
4402.32
4385.24
4368.58
4352.33
4336.49
4321.06
Z ¿
217.018
216.436
215.865
215.307
214.761
214.228
213.707
213.197
212.701
212.216
9
Actual
241.140
235.848
240.050
214.600
193.539
2. Data Simulasi
a. Identifikasi Model
Melihat kestasioneran data dengan TS Plot
Gambar 4.6 Time Series Plot dan Box-Cox Data Simulasi
Berdasarkan Gambar 4.6 data tidak stasioner dalam rata-rata dan data terlihat tidak stasioner dalam
variansi karena nilai estimate adalah -0,82. Kemudian data di transformasikan dengan melihat nilai estimate
yaitu Z-0,82.
Gambar 4.7 Box Cox dan Time Series Plot Data Transformasi
Berdasarkan Gambar 4.7 terlihat nilai estimate nya 1 yang berarti bahwa data transformasi sudah
stasioner dalan variansi. Kemudian pada TS plot terlihat bahwa data transformasi belum stasioner dalam ratarata, maka dilakukan transformasi.
Gambar 4.8 Time Series Plot Data Simulasi Differencing
Berdasarkan Gambar 4.8 data yang di difffrencing sekali belum menunjukkan stasioner dalam ratarata, dan kemudia di diffrencing lagi sehingga pada grafik Time Series Differencing yang kedua terlihat
bahwa data sudah stasioner dalam rata-rata.
Selanjutnya dapat melihat grafik ACF dan PACF.
10
Gambar 4.8 Grafik ACF dan PACF Data Simulasi
Berdasarkan Gambar 4.4 pada grafik ACF cut off di lag 1 dan pada grafik PACF cut off di lag 5. Oleh karena
model yang di dapat adalah ARIMA (5,2,1).
Model sementara:
1.
2.
3.
4.
5.
ARIMA (0,2,1)
ARIMA (1,2,0)
ARIMA (1,2,1)
ARIMA (2,2,0)
ARIMA (2,2,1)
6. ARIMA (3,2,0)
7. ARIMA (3,2,1)
8. ARIMA (4,2,0)
9. ARIMA (4,2,1)
10. ARIMA (5,2,0)
11. ARIMA (5,2,1)
b. Pengujian Signifikan Parameter
Hipotesis untuk parameter model AR
H0: ∅ = 0 (Parameter model AR tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model AR signifikan berbeda dengan nol)
H1: ∅
Hipotesis untuk parameter model MA
H0: θ = 0 (Parameter model MA tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model MA signifikan berbeda dengan nol)
H1: θ
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
(1,2,1)
(2,2,0)
(2,2,1)
(3,2,0)
(3,2,1)
(4,2,0)
Tabel 4.6 Signifikan Parameter Data Siimulasi
Model
Parameter
P-Value
Kesimpulan
MA(1)
0,9921
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,6666
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,3506
0,024
Signifikan
MA(1)
0,9844
0,000
AR(1)
-0,8912
0,000
Signifikan
AR(2)
-0,3441
0,026
AR(1)
-1,5331
0,000
AR(2)
-0,5330
0,000
Signifikan
MA(1)
-1,0345
0,000
AR(1)
-1,0181
0,000
AR(2)
-0,6745
0,000
Signifikan
AR(3)
-0,3940
0,011
AR(1)
-0,3976
0,022
AR(2)
-0,1265
0,488
Tidak
AR(3)
-0,2016
0,225
Signifikan
MA(1)
0,9542
0,000
AR(1)
-1,1—8
0,000
AR(2)
-0,8253
0,001
Tidak
AR(3)
-0,6217
0,007
Signifikan
AR(4)
-0,2301
0,158
11
(4,2,1)
(5,2,0)
(5,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
MA(1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
MA(1)
-1,4392
-0,66748
-0,2859
0,0488
-0,9618
-1,1794
-1,0440
-0,9169
-0,6492
-0,3997
-0,3027
-0,0362
-0,1832
0,0019
-0,0683
1,0506
0,000
0,063
0,426
0,796
0,000
0,000
0,000
0,000
0,006
0,013
0,090
0,849
0,326
0,992
0,696
0,000
Tidak
Signifikan
Signifikan
Tidak
Signifikan
Berdasarkan Tabel 4.6 terdapat 7 model yang signifikan, kemudian model tersebut di uji White Noise.
c. Pengujian White Noise
Hipotesis
H0: ρ 1 = ρ2 = … = ρk = 0 (Residual memenuhi syarat White Noise)
≠ 0, i=1,2,…,k (Residual belum memenuhi syarat White Noise)
H1: ∃ ρi
Tabel 4.7 Tabel Pengujian White Noise
Lag
Model
Kesimpulan
ARIMA
12
24
36
(0,2,1)
0,076
0,398
0,101
White Noise
(1,2,0)
0,200
0,595
0,025
Tidak White Noise
(1,2,1)
0,636
0,862
0,406
White Noise
(2,2,0)
0,109
0,313
0,051
White Noise
(2,2,1)
0,112
0,422
0,013
Tidak White Noise
(3,2,0)
0,258
0,422
0,130
White Noise
(5,2,0)
0,636
0,640
0,279
White Noise
Berdasarkan Tabel 4.7 terdapat 5 model yang telah memenuhi White Noise, selanjutnya model
tersebut di uji kenormalan residual.
d. Uji Kenormalan Residual
Hipotesis
H0: Residual berdistribusi normal
H1: Residual tidak berdistribusi normal
12
Berdasarkan Gambar 4.9 terlihat
data menyebar disekitar garis diagonal dan
p-value=0,416 > α =0,05 maka dapat
disimpulkan bahwa residual model ARIMA
(0,2,1) berdistribusi normal. Maka model
ARIMA (0,2,1) cocok untuk peramalan.
Gambar 4.9 Grafik Normal ARIMA (0,2,1)
Berdasarkan Gambar 4.10
terlihat data menyebar disekitar garis
diagonal dan p-value=0,189 > α
=0,05 maka dapat disimpulkan bahwa
residual
model
ARIMA
(1,2,1)
berdistribusi normal. Maka model
ARIMA (1,2,1) cocok untuk peramalan.
Gambar 4.10 Grafik Normal ARIMA (1,2,1)
Berdasarkan Gambar 4.11 terlihat
data menyebar disekitar garis diagonal
dan p-value=0,989 > α =0,05 maka
dapat disimpulkan bahwa residual model
ARIMA (2,2,0) berdistribusi normal.
Maka model ARIMA (2,2,0) cocok untuk
peramalan.
Gambar 4.11 Grafik Normal ARIMA (2,2,0)
13
Berdasarkan Gambar 4.12
terlihat data menyebar disekitar garis
diagonal dan p-value=0,891 > α
=0,05 maka dapat disimpulkan bahwa
residual
model
ARIMA
(3,2,0)
berdistribusi normal. Maka model
ARIMA (3,2,0) cocok untuk peramalan.
Gambar 4.12 Grafik Normal ARIMA (3,2,0)
Berdasarkan Gambar 4.11 terlihat
data menyebar disekitar garis diagonal
dan p-value=0,911 > α =0,05 maka
dapat disimpulkan bahwa residual model
ARIMA (5,2,0) berdistribusi normal.
Maka model ARIMA (5,2,0) cocok untuk
peramalan.
Gambar 4.12 Grafik Normal ARIMA (5,2,0)
Tabel 4.8 Perbandingan Nilai SSE
Model ARIMA
SSE
(0,2,1)
0,695046
(1,2,1)
0,610497
(2,2,0)
0,921882
(3,2,0)
0,786036
(5,2,0)
0,642263
Berdasarkan Tabel 4.8 disamping terlihat
bahwa model ARIMA (1,2,1) memiliki nilai
SSE yang paling kecil, oleh karena itu model
ARIMA (1,2,1) cocok digunakan untuk
peramalan.
e. Peramalan
Dengan taraf kepercayaan 95% berikut adalah data hasil peramalan penjualan selama 5 periode
dengan model ARIMA (1,2,1) adalah sebagai berikut:
Tabel 4.9 Tabel Peramalan Data Simulasi
Period
Forecast
41
42
43
44
45
0.800872
0.801259
0.792208
0.786450
0.779522
Forecast (
1
Z −0.82 ¿
1.31101
1.31024
1.32852
1.34039
1.35493
14
Actual
0.72508
0.59077
0.62038
0.59334
0.57832
46
47
48
49
50
0.772989
0.766301
0.759652
0.752974
0.746290
1.36891
1.38349
1.39827
1.41341
1.42886
5. Kesimpulan
Pada data penjualan produk di PT. XXX model terbaik ARIMA yang telah memenuhi semua asumsi
adalah ARIMA (0,2,1) dan pada data simulasi model ARIMA terbaiknya dalah ARIMA (1,2,1). Kedua model
ARIMA terbaik tersebut digunakan untuk peramalan data beberapa periode sesudahnya.
DAFTAR PUSTAKA
Sofyan, Assauri.1984.Teknik dan Metode Peramalan.Jakarta: Penerbit Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia
Aswi dan sukarna. 2006. Analisis Deret Waktu dan Aplikasi. Makassar: Andira Publisher
Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi
kedua. Jakarta: Bina Rupa Aksara
Salamah, Mutiah, Suhartono dan Wulandari, Sri Pingit. 2003. Analisis Time Series. Surabaya:
FMIPA-ITS
15
Musmirani (1207015018), Abdussamad (1207015033), Andini Juita Sari (1207015065)
Program Studi Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Mulawarman
ABSTRAK
Penelitian ini mempelajari suatu metode dalam meramalkan suatu data time series. Metode yang
dipakai dalam penelitian ini adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ini
merupakan gabungan dari proses Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA). Metode ini diaplikasikan
pada data jumlah Produksi di PT.XXX dan data simulasi. Sehingga diperoleh ramalan jumlah produksi untuk
tahun berikutnya.
Kata Kunci:ARIMA, Peramalan, AR, MA, Produksi, Simulasi
1. Pendahuluan
Analisis Deret Berkala (time series analysis) adalah suatu metode kuantitatif untuk menentukan pola
data masa lampau yang telah dikumpulkan secara teratur menurut urutan waktu kejadian. Pola masa lalu
ini dapat digunakan sebagai dasar pertimbangan untuk forecasting di masa yang akan datang.
Peramalan adalah suatu kegiatan memprediksi masa depan menggunakan kondisi ataupun data dimasa
lalu. Menurut Assauri(1984:7) peramalan merupakan kegiatan dalam memperkirakan apa yang akan terjadi
pada masa yang akan datang, atau lebih tepatnya peramalan adalah kegiatan mencoba menduga perubahan
yang akan terjadi. Hasil ramalan adalah situasi/kondisi yang diperkirakan akan terjadi pada masa yang akan
datang. Ramalan dapat diperoleh dengan bermacam‐macam cara yang dikenal dengan metode peramalan.
Menurut Makridakis dkk (1999:8) peramalan dengan menggunakan metode kuantitatifdapat
diterapkan apabila terdapat tiga kondisi berikut yaitu: tersedia informasi tentang masa lalu, informasi tersebut
dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik,dan dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek pola masa
lalu akan terus berlanjutdimasa mendatang.
Hal yang perlu diperhatikan pada peramalan data time series adalah galat (error), dimanamerupakan
bagian yang tidak terpisahkan dalam metode peramalan. Hasil dariprediksi sangatlah jarang yang sama
dengan data sesungguhnya, maka seorangperamal hanya bisa berusaha untuk membuat galatnya
menjadiseminimal mungkin. Untuk meramalkan data time series dibutuhkan teknik peramalan yang baik.
Teknik peramalan dapat bermacam-macam tergantung pada pola data yang ada.
Penelitian ini bertujuan untuk melakukan peramalan terhadap data jumlah Produksi di PT.XXX dan data
simulasi. Sehingga diperoleh ramalan jumlah produksi untuk beberapa tahun berikutnya. Dengan
menggunakan model ARIMA dan melakukan identifkasi hasil peramalan berdasarkan model ARIMA terbaik.
2. Kajian Teori
2.1 Analisis Deret Waktu
Analisis Deret Berkala (time series analysis) adalah suatu metode kuantitatif untuk menentukan pola
data masa lampau yang telah dikumpulkan secara teratur menurut urutan waktu kejadian. Pola masa lalu ini
dapat digunakan sebagai dasar pertimbangan untuk forecasting di masa yang akan datang.
Deret waktu dikatakan stasioner jika tidak ada perubahan kecenderungan dalam rata-rata dan
perubahan variansi. Dengan kata lain, deret waktu yang stasioner adalah relatif tidak terjadi kenaikan atau
1
pun penurunan nilai secara tajam (fluktuasi data berada pada sekitar nilai rata-rata konstan). Kondisi stasioner
terdiri atas dua hal, yaitu stasioner dalam rata-rata dan stasioner dalam variansi. Untuk memeriksa
kestasioneran dapat digunakan diagram deret waktu (time series plot) yaitu diagram pencar antara nilai
Yt
peubah
dengan waktu t. Jika diagram deret waktu berfluktuasi disekitar garis yang sejajar sumbu
waktu (t) maka dikatakan deret (series) stasioner dalam rata-rata. Bila kondisi stasioner dalam rata-rata tidak
terpenuhi diperlukan proses pembedahan (differencing) (Aswi dan Sukarna, 2006).
Secara umum model ARIMA (Box-Jenkins) dirumuskan dengan notasi sebagai berikut : (Harijono
dan Sugiarto, 2000): ARIMA (p,d,q) dalam hal ini, p menunjukkan orde / derajat Autoregressive (AR) ; d
menunjukkan orde / derajat Differencing (pembedaan), q menunjukkan orde / derajat Moving Average (MA).
2.2 Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive adalah model yang menggambarkan bahwa variable dependen dipengaruhi oleh
variabel dependen itu sendiri pada periode-periode dan waktu-waktu sebelumnya (Sugiarto dan Harijono,
2000). Secara umum model autoregressive (AR) mempunyai bentuk sebagai berikut :
Y t =θ0 +θ1 Y t−1 +θ2 Y t−2 +…+θ p Y t − p−et
........................................(1)
Dimana,
Y t = deret waktu stationer
θ0 = konstanta
Y t−1 , … ,Y t− p = nilai masa lalu yang berhubungan
θ1 , … ., θ p = koefisien atau parameter dari model autoregressive
e t = residual pada waktu t
2.3 Model MA (Moving Average)
Secara umum model moving average mempunyai bentuk sebagai berikut :
Y t =∅0 +∅1 et −1−∅2 e t−2−…−∅ p e t− p .............................................(2)
Dimana,
Y t = deret waktu stationer
∅0 = konstanta
∅n
= koefisien model moving average yang menunjukan bobot. Nilai koefisien dapat memiliki tanda
negative atau positif, tergantung hasil estimasi
e t = residual lampau yang digunakan oleh model, yaitu sebanyak q, menentukan model ini.
2.4 Fungsi Autokorelasi
2
Menurut Soejeti (1987) suatu deret waktu yang stationer dapat diestimasi nilai mean ( μ ¿
ACF
{ γ k ; k=0,1,.. }
dan
dengan menggunakan persamaan statistic sebagai berikut :
n
1
^μ= z^ = ∑ Z t ……………………………………………………….(3)
n t=1
k =0,1,.. , maka nilai autokorelasi (ACF) adalah sebagai berikut :
Dan untuk
n
∑ (Zt − Ź)(Z t +k− Ź)
γ^k =ck = t =1
..........................................................(4)
n
Untuk memperoleh harga estimasi yang cukup baik diperlukan
c k yang dihitung hanya k ≤
rk=
ck
c0
n
. Nilai
4
ρk
n yang cukup besar, yaitu n ≥50 . Nilai
kemudian diestimasikan dengan :
……………………………………………………………………(5)
2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial
Menurut Soejeti (1987) PACF yabg ditulis dengan
{∅kk ; k =1,2, … }
, yakni himpunan
autokorelasi parsial untuk berbagai lag k. persamaannya adalah sebagai berikut :
|P k ¿|
∅ kk =
| Pk|
……………………………………………………………
Pk adalah matriks autokorelasi k × k dan
Dengan
Pk ¿ adalah
(6)
Pk dengan kolom terakhir diganti
dengan :
[]
ρ1
ρ2
.
.
.
ρk
Model ARIMA secara umum
∅ p ( B ) (1−B)d Z t =θq ( B ) at
…………………………………………..(7)
Dimana ,
❑
∅p (B )
= Autoregressive
(1−B)d = differencing
Zt
= data
θq ( B )=¿ Moving Average
3
at =¿ residual
3. Metodologi Pendekatan Box- Jenkins
Menurut Aswi dan Sukarna (2006) dasar dari pendekatan Box dan Jenkins terdiri dari tigga tahap,
yaitu identifikasi model, penaksiran dan diagnostic model, serta aplikasi model (peramalan).
1. Identifikasi Model
Tahap ini terdiri dari pemeriksaan stationeritas data deret waktu dan kemudian penetapan model smentara
berdasarkan ACF dan PACF.
2. Penaksiran Parameter dan Pengujuan Diagnostik
Metode penakasiran parameter yang umum digunakan adalahmetode least squares, yaitu suatu metode
yang dilakukan dengan cara mencari nilai parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan.
Pengujian diagnostik terdiri dari uji signifikansi parameter dan uji kesesuaian white noise dan uji
kenormalan residual.
Uji Signifikansi Parameter
Untuk AR
Hipotesis
H0 :
∅ = 0 ( nilai parameter model AR (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 :
∅
≠ 0 (nilai parameter model AR (1) signifikan berbeda dengan nol)
Untuk MA
Hipotesis
H0 :
θ = 0 (nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol)
H1 :
θ
≠ 0 (nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol)
Uji Kesesuaian Model
Berikut adalah proses pengujian white noise dengan menggunakan Ljung-Box.
Hipotesis
H0 :
ρ1=ρ2 =…= ρK =0 (Residual memenuhi syarat white noise)
H1 : minimal ada satu
ρi ≠ 0 untuk i=1,2, … , K (Residual tidak memenuhi syarat white noise)
Statistik Uji
K
Q =n(n+2) ∑
¿
k=1
2
ρk
.........................................................................(8)
n−k
Daerah kritis
4
Q¿ > χ 2α ;df
H0 ditolak jika
α
atau p-value <
Selanjutnya adalah melakukan pengujian kenormalan residual. Proses pengujiannya adalah sebagai
berikut:
Hipotesis
H0 : Residual berdistribusi normal
H1 : Residual tidak berdistribusi normal
Statistik Uji
Dhitung =¿ Sn ( X )−S n ( X ) ....................................................................(9)
1
2
Daerah Kritis
Dhitung > Dtabel atau p-value < α
H0 ditolak jika
3. Peramalan
Tujuan model time series adalah menggunakan model yang diperoleh untuk inferensi time series dimasa
mendatang berdasarka pola yang terjadi di masa lalu. Yakni, berdasarkan suatu model ingin diturunkan
distribusi bersyaratkan observasi yang akan dating, jika diketahui observasi yang lalu.
4. Data dan Pembahasan
4.1 Data
1. Berikut merupakan data Penjualan Produk PT. XXX dari Januari 2010 – Juni 2014
t
Zt
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4639
2784
5860
5781
4897
3920
3835
3618
3350
2625
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Tabel 4.1 Tabel Data Penjualan Produk PT.XXX
Zt
t
Zt
T
Zt
t
Zt
2414
2221
2619
3203
2706
2717
3677
4272
3771
4955
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
5584
3891
3501
4436
2922
2837
4690
5119
5838
5389
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
4993
4446
4849
3016
2881
3821
4300
4168
5448
5477
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
4127
6316
6650
6304
4842
4352
3215
2652
4494
5753
t
Zt
51
52
53
54
5555
5712
4786
4066
Lakukan peramalan 10 periode kedepan dengan menggunakan data Penjualan Produk PT.XXX pada
Tabel 4.1
2. Berikut merupakan data simulasi dalam 45 periode
Tabel 4.2 Tabel Data Simulasi
t
Zt
t
Zt
t
Zt
t
Zt
1
2
3
4
1.31
1.61
1.65
2.81
11
12
13
14
2.2
2
1.91
1.36
21
22
23
24
1.53
1.68
1.51
1.62
31
32
33
34
5
1.96
1.93
2.18
2.43
t
Zt
41
42
43
44
1.48
1.9
1.79
1.89
5
6
7
8
9
10
2.06
2.51
3.55
2.94
1.87
2.11
15
16
17
18
19
20
1.69
2.36
2.61
2.16
1.57
1.65
25
26
27
28
29
30
1.19
1.38
1.29
1.5
1.53
2.19
35
36
37
38
39
40
1.34
3.02
1.88
1.72
1.36
1.26
45
1.95
Lakukan peramalan 10 periode kedepan dengan menggunakan data simulasi pada Tabel 4.2
4.2 Pembahasan
1. Data Penjualan Produk PT.XXX
a. Identifikasi Model
Melihat kestasioneran data dengan TS Plot
Gambar 4.1 Time Series Plot dan Box-Cox Data Penjualan Produk PT.XXX
Berdasarkan Gambar 4.1 data tidak stasioner dalam rata-rata dan data terlihat tidak stasioner dalam
variansi karena nilai estimate adalah 0,64. Kemudian data di transformasikan dengan melihat nilai estimate
yaitu Z0,64.
Gambar 4.2 Box-Cox Hasil Transformasi
Berdasarkan Gambar 4.2 hasil transformasi 1 tersebut belum menunjukkan data penjualan produk
stasioner dalam variansi karena nilai estimate adalah 0,99. Maka dilakukan transformasi lagi dengan Z 0,99.
Pada transformasi 2 data sudah stasioner dalam variansi selanjutnya melihat Time Series Plot untuk melihat
stasioner dalam rata-rata.
6
Gambar 4.3 Time Series Plot
Berdasarkan Gambar 4.3 data trasnfomasi 2 terlihat belum stasioner dalam rata-rata, oleh karena itu
dilakukan differencing kemudian dilihat TS plot nya. Time Series Plot data differencing terlihat belum
stasioner dalam rata-rata maka di differencing sekali lagi.
Berdasarkan Gambar 4.3 disamping
data yang telah di differencing 2 kali terlihat
sudah stasioner dalam rata-rata.
Maka selanjutnya melihat grafik ACF dan
PACF.
Gambar 4.3 Time Series Plot Data
Differencing 2
Gambar 4.4 Grafik ACF dan PACF
Berdasarkan Gambar 4.4 pada grafik ACF cut off di lag 1 dan pada grafik PACF cut off di lag 5. Oleh
karena model yang di dapat adalah ARIMA (5,2,1).
Model sementara:
1. ARIMA (0,2,1)
7. ARIMA (3,2,1)
2. ARIMA (1,2,0)
8. ARIMA (4,2,0)
3. ARIMA (1,2,1)
9. ARIMA (4,2,1)
4. ARIMA (2,2,0)
10. ARIMA (5,2,0)
5. ARIMA (2,2,1)
11. ARIMA (5,2,1)
6. ARIMA (3,2,0)
7
b. Pengujian Signifikan Parameter
Hipotesis untuk parameter model AR
H0: ∅ = 0 (Parameter model AR tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model AR signifikan berbeda dengan nol)
H1: ∅
Hipotesis untuk parameter model MA
H0: θ = 0 (Parameter model MA tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model MA signifikan berbeda dengan nol)
H1: θ
Tabel 4.3 Signifikan Parameter
Model
Parameter
P-Value
Kesimpulan
MA(1)
0,9665
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,465
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,0874
0,563
Tidak
(1,2,1)
MA(1)
0,9654
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,6363
0,000
(2,2,0)
Signnifikan
AR(2)
-0,6028
0,000
AR(1)
-0,0499
0,738
Tidak
(2,2,1)
AR(2)
-0,2782
0,060
Signifikan
MA(1)
0,9141
0,000
AR(1)
-0,7274
0,000
Tidak
(3,2,0)
AR(2)
-0,7038
0,000
Signifikan
AR(3)
-0,2041
0,142
AR(1)
-1,2396
0,001
AR(2)
-1,0191
0,000
Tidak
(3,2,1)
AR(3)
-0,5045
0,016
Signifikan
MA(1)
-0,5273
0,198
AR(1)
-0,7293
0,000\
AR(2)
-0,7189
0,000
Tidak
(4,2,0)
AR(3)
-0,2187
0,214
Signifikan
AR(4)
-0,0249
0,864
AR(1)
-1,2554
0,140
AR(2)
-1,0367
0,138
AR(3)
0,5243
0,434
Tidak
(4,2,1)
AR(4)
0,0126
0,965
Signifikan
MA(1)
-0,5405
0,513
AR(1)
-0,7422
0,000
AR(2)
-0,7877
0,000
AR(3)
-,5261
0,008
Tidak
(5,2,0)
AR(4)
-0,3321
0,059
Signifikan
AR(5)
-0,4708
0,001
AR(1)
-0,14664
0,000
AR(2)
-1,0931
0,001
AR(3)
-0,7001
0,042
Tidak
(5,2,1)
AR(4)
-0,1224
0,680
Signifikan
AR(5)
-0,0292
0,851
MA(1)
-0,9725
0,000
Berdasarkan Tabel 4.3 terdapat 3 model t=yang signifikan yaitu ARIMA (0,2,1), ARIMA (1,2,0) dan
ARIMA (2,2,0) yang kemudian di uji White Noise.
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
c. Pengujian White Noise
Hipotesis
H0: ρ 1 = ρ2 = … =
ρk = 0 (Residual memenuhi syarat White Noise)
8
H1:
∃ ρi
≠ 0, i=1,2,…,k (Residual belum memenuhi syarat White Noise)
Tabel 4.4 Tabel Pengujian White Noise
Lag
Model
Kesimpulan
ARIMA
12
24
36
48
(0,2,1)
0,082
0,348
0,355
0,102
White Noise
(1,2,0)
0,000
0,024
0,010
0,001
Tidak White Noise
(2,2,0)
0,190
0,299
0,312
0,012
Tidak White Noise
Berdasarkan Tabel 4.4 hanya ada satu model yang memenuhi syarat White Noise yaitu model
ARIMA (0,2,1), selanjutnya model tersebut di uji kenormalan residual.
d. Uji Kenormalan
Hipotesis
H0: Residual berdistribusi normal
H1: Residual tidak berdistribusi normal
Berdasarkan Gambar 4.5
terlihat data menyebar disekitar garis
diagonal dan p-value=0,152 < α
=0,05 maka dapat disimpulkan
bahwa residual model ARIMA
(0,2,1) berdistribusi normal. Maka
model ARIMA (0,2,1) cocok untuk
peramalan.
Gambar 4.5 Grafik Kenormalan
e. Peramalan
dengan taraf kepercayaan 95% berikut adalah data hasil peramalan penjualan PT.XXX
selama 5 periode dengan model ARIMA (0,2,1) adalah sebagai berikut:
Tabel 4.5 Tabel Peramalan Data Penjualan Produk di PT.XXX
Period
Forecast
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
205.651
205.105
204.570
204.046
203.534
203.033
202.544
202.066
201.600
201.145
Forecast (
Forecast (
1
0.99
1
Z 0,67 ¿
4474.82
4456.07
4437.73
4419.82
4402.32
4385.24
4368.58
4352.33
4336.49
4321.06
Z ¿
217.018
216.436
215.865
215.307
214.761
214.228
213.707
213.197
212.701
212.216
9
Actual
241.140
235.848
240.050
214.600
193.539
2. Data Simulasi
a. Identifikasi Model
Melihat kestasioneran data dengan TS Plot
Gambar 4.6 Time Series Plot dan Box-Cox Data Simulasi
Berdasarkan Gambar 4.6 data tidak stasioner dalam rata-rata dan data terlihat tidak stasioner dalam
variansi karena nilai estimate adalah -0,82. Kemudian data di transformasikan dengan melihat nilai estimate
yaitu Z-0,82.
Gambar 4.7 Box Cox dan Time Series Plot Data Transformasi
Berdasarkan Gambar 4.7 terlihat nilai estimate nya 1 yang berarti bahwa data transformasi sudah
stasioner dalan variansi. Kemudian pada TS plot terlihat bahwa data transformasi belum stasioner dalam ratarata, maka dilakukan transformasi.
Gambar 4.8 Time Series Plot Data Simulasi Differencing
Berdasarkan Gambar 4.8 data yang di difffrencing sekali belum menunjukkan stasioner dalam ratarata, dan kemudia di diffrencing lagi sehingga pada grafik Time Series Differencing yang kedua terlihat
bahwa data sudah stasioner dalam rata-rata.
Selanjutnya dapat melihat grafik ACF dan PACF.
10
Gambar 4.8 Grafik ACF dan PACF Data Simulasi
Berdasarkan Gambar 4.4 pada grafik ACF cut off di lag 1 dan pada grafik PACF cut off di lag 5. Oleh karena
model yang di dapat adalah ARIMA (5,2,1).
Model sementara:
1.
2.
3.
4.
5.
ARIMA (0,2,1)
ARIMA (1,2,0)
ARIMA (1,2,1)
ARIMA (2,2,0)
ARIMA (2,2,1)
6. ARIMA (3,2,0)
7. ARIMA (3,2,1)
8. ARIMA (4,2,0)
9. ARIMA (4,2,1)
10. ARIMA (5,2,0)
11. ARIMA (5,2,1)
b. Pengujian Signifikan Parameter
Hipotesis untuk parameter model AR
H0: ∅ = 0 (Parameter model AR tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model AR signifikan berbeda dengan nol)
H1: ∅
Hipotesis untuk parameter model MA
H0: θ = 0 (Parameter model MA tidak signifikan berbeda dengan nol)
≠ 0 (Parameter model MA signifikan berbeda dengan nol)
H1: θ
ARIMA
(0,2,1)
(1,2,0)
(1,2,1)
(2,2,0)
(2,2,1)
(3,2,0)
(3,2,1)
(4,2,0)
Tabel 4.6 Signifikan Parameter Data Siimulasi
Model
Parameter
P-Value
Kesimpulan
MA(1)
0,9921
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,6666
0,000
Signifikan
AR(1)
-0,3506
0,024
Signifikan
MA(1)
0,9844
0,000
AR(1)
-0,8912
0,000
Signifikan
AR(2)
-0,3441
0,026
AR(1)
-1,5331
0,000
AR(2)
-0,5330
0,000
Signifikan
MA(1)
-1,0345
0,000
AR(1)
-1,0181
0,000
AR(2)
-0,6745
0,000
Signifikan
AR(3)
-0,3940
0,011
AR(1)
-0,3976
0,022
AR(2)
-0,1265
0,488
Tidak
AR(3)
-0,2016
0,225
Signifikan
MA(1)
0,9542
0,000
AR(1)
-1,1—8
0,000
AR(2)
-0,8253
0,001
Tidak
AR(3)
-0,6217
0,007
Signifikan
AR(4)
-0,2301
0,158
11
(4,2,1)
(5,2,0)
(5,2,1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
MA(1)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
AR(5)
MA(1)
-1,4392
-0,66748
-0,2859
0,0488
-0,9618
-1,1794
-1,0440
-0,9169
-0,6492
-0,3997
-0,3027
-0,0362
-0,1832
0,0019
-0,0683
1,0506
0,000
0,063
0,426
0,796
0,000
0,000
0,000
0,000
0,006
0,013
0,090
0,849
0,326
0,992
0,696
0,000
Tidak
Signifikan
Signifikan
Tidak
Signifikan
Berdasarkan Tabel 4.6 terdapat 7 model yang signifikan, kemudian model tersebut di uji White Noise.
c. Pengujian White Noise
Hipotesis
H0: ρ 1 = ρ2 = … = ρk = 0 (Residual memenuhi syarat White Noise)
≠ 0, i=1,2,…,k (Residual belum memenuhi syarat White Noise)
H1: ∃ ρi
Tabel 4.7 Tabel Pengujian White Noise
Lag
Model
Kesimpulan
ARIMA
12
24
36
(0,2,1)
0,076
0,398
0,101
White Noise
(1,2,0)
0,200
0,595
0,025
Tidak White Noise
(1,2,1)
0,636
0,862
0,406
White Noise
(2,2,0)
0,109
0,313
0,051
White Noise
(2,2,1)
0,112
0,422
0,013
Tidak White Noise
(3,2,0)
0,258
0,422
0,130
White Noise
(5,2,0)
0,636
0,640
0,279
White Noise
Berdasarkan Tabel 4.7 terdapat 5 model yang telah memenuhi White Noise, selanjutnya model
tersebut di uji kenormalan residual.
d. Uji Kenormalan Residual
Hipotesis
H0: Residual berdistribusi normal
H1: Residual tidak berdistribusi normal
12
Berdasarkan Gambar 4.9 terlihat
data menyebar disekitar garis diagonal dan
p-value=0,416 > α =0,05 maka dapat
disimpulkan bahwa residual model ARIMA
(0,2,1) berdistribusi normal. Maka model
ARIMA (0,2,1) cocok untuk peramalan.
Gambar 4.9 Grafik Normal ARIMA (0,2,1)
Berdasarkan Gambar 4.10
terlihat data menyebar disekitar garis
diagonal dan p-value=0,189 > α
=0,05 maka dapat disimpulkan bahwa
residual
model
ARIMA
(1,2,1)
berdistribusi normal. Maka model
ARIMA (1,2,1) cocok untuk peramalan.
Gambar 4.10 Grafik Normal ARIMA (1,2,1)
Berdasarkan Gambar 4.11 terlihat
data menyebar disekitar garis diagonal
dan p-value=0,989 > α =0,05 maka
dapat disimpulkan bahwa residual model
ARIMA (2,2,0) berdistribusi normal.
Maka model ARIMA (2,2,0) cocok untuk
peramalan.
Gambar 4.11 Grafik Normal ARIMA (2,2,0)
13
Berdasarkan Gambar 4.12
terlihat data menyebar disekitar garis
diagonal dan p-value=0,891 > α
=0,05 maka dapat disimpulkan bahwa
residual
model
ARIMA
(3,2,0)
berdistribusi normal. Maka model
ARIMA (3,2,0) cocok untuk peramalan.
Gambar 4.12 Grafik Normal ARIMA (3,2,0)
Berdasarkan Gambar 4.11 terlihat
data menyebar disekitar garis diagonal
dan p-value=0,911 > α =0,05 maka
dapat disimpulkan bahwa residual model
ARIMA (5,2,0) berdistribusi normal.
Maka model ARIMA (5,2,0) cocok untuk
peramalan.
Gambar 4.12 Grafik Normal ARIMA (5,2,0)
Tabel 4.8 Perbandingan Nilai SSE
Model ARIMA
SSE
(0,2,1)
0,695046
(1,2,1)
0,610497
(2,2,0)
0,921882
(3,2,0)
0,786036
(5,2,0)
0,642263
Berdasarkan Tabel 4.8 disamping terlihat
bahwa model ARIMA (1,2,1) memiliki nilai
SSE yang paling kecil, oleh karena itu model
ARIMA (1,2,1) cocok digunakan untuk
peramalan.
e. Peramalan
Dengan taraf kepercayaan 95% berikut adalah data hasil peramalan penjualan selama 5 periode
dengan model ARIMA (1,2,1) adalah sebagai berikut:
Tabel 4.9 Tabel Peramalan Data Simulasi
Period
Forecast
41
42
43
44
45
0.800872
0.801259
0.792208
0.786450
0.779522
Forecast (
1
Z −0.82 ¿
1.31101
1.31024
1.32852
1.34039
1.35493
14
Actual
0.72508
0.59077
0.62038
0.59334
0.57832
46
47
48
49
50
0.772989
0.766301
0.759652
0.752974
0.746290
1.36891
1.38349
1.39827
1.41341
1.42886
5. Kesimpulan
Pada data penjualan produk di PT. XXX model terbaik ARIMA yang telah memenuhi semua asumsi
adalah ARIMA (0,2,1) dan pada data simulasi model ARIMA terbaiknya dalah ARIMA (1,2,1). Kedua model
ARIMA terbaik tersebut digunakan untuk peramalan data beberapa periode sesudahnya.
DAFTAR PUSTAKA
Sofyan, Assauri.1984.Teknik dan Metode Peramalan.Jakarta: Penerbit Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia
Aswi dan sukarna. 2006. Analisis Deret Waktu dan Aplikasi. Makassar: Andira Publisher
Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi
kedua. Jakarta: Bina Rupa Aksara
Salamah, Mutiah, Suhartono dan Wulandari, Sri Pingit. 2003. Analisis Time Series. Surabaya:
FMIPA-ITS
15