Riset Operasi (Pert 2).pptx

  Riset Operasi

Program Linier : Penyelesaian Grafik

Model Matematika

  Kasus 1 :

Perusahaan mebel akan membuat meja dan kursi. Setiap meja

  2

  2 membutuhkan 5 m kayu jati dan 2 m kayu pinus, dan membutuhkan waktu pembuatan selama 4 jam. Untuk membuat

sebuah kursi dibutuhkan 2 m kayu jati, 3 m kayu pinus dan 2

jam kerja.

  Dari penjualan sebuah meja didapat keuntungan sebesar Rp. 12.000,- dan keuntungan sebuah kursi Rp. 8.000,-

Mebel itu ingin dibuat sebanyak-banyaknya, tapi terbatas bahan

baku dan tenaga kerja. Dalam satu minggu ia hanya mampu

  2

  2

   Penyelesaian :

  

Keuntungan ditentukan oleh seberapa banyak meja

dan kursi yang dibuat, maka variabel keputusan sbb:

   x =Jumlah meja yang harus dibuat

  1  x =Jumlah kursi yang harus dibuat

  2 

  Tujuan : 

  Memaksimumkan keuntungan, sebuah meja Rp.12000,- dan sebuah kursi Rp.8000,-, karena

   Kendala :

   Dengan membuat x1 buah meja dan x2 buah kursi, maka kendala yang harus dipenuhi :

   5x

• 2x

  1

  2 ≤150

  Sumber Daya Meja Kursi Persediaan Kayu Jati

  5 2 150 Kayu Pinus 2 3 100 Jam Kerja

  4

  2

  80

   Kasus 2:

  

Pada waktu menyelesaikan perbaikan rumahnya, Bp.

  2

  2 Siang menemukan 100m plywood dan 80 m tripleks

sisa yang bisa ia manfaatkan utk membuat meja dan

rak buku.

  2 

  Untuk membuat sebuah meja diperlukan 16m

  2 plywood dan 8m tripleks, sedangkan utk membuat

  2 2 rak buku dibutuhkan 12m plywood dan 16m tripleks.

  

Dengan menjual hasil pembuatannya tsb, Bp. Siang

  

  Penyelesaian :

  

  Hasil diperoleh dari plywood dan tripleks yang tersisa, maka variabel keputusan sbb:

  

  x =Jumlah meja yang harus dibuat

  1

  

  x =Jumlah rak buku yang harus dibuat

  2

  

  Tujuan :

  

• 12x

  8x

  16

  8

  16 12 100 Tripleks

  Sumber Daya Meja Rak Buku Persediaan Plywood

  2 ≤80

  1

  

  2 ≤100

  1

  16x

  

  Kendala :

  

  80

• 16x

   Model Program Linier,

  

  Masalah yang dapat diselesaikan dengan program linier memiliki ciri-ciri sbb:

  1. Semua variabel penyusunnya bernilai tidak negatif.

  2. Fungsi Objektif dapat dinyatakan sebagai fungsi linier variabel-variabelnya.

  

Program Linier : Penyelesaian

Grafik

  

Bentuk Standar model program linier

  

  Mencari X=(x ,x ,…,x )≥0 yang

  1 2 n memaksimumkan/meminimumkan f(X)=f(x ,x ,…,x )=c x +c x +…+c x

  1 2 n

  1

  1

  2 2 n n

  

  Dengan kendala :

  

  a x +a x +…+a x =b

  11

  1

  12 2 1n n

  1

  

   Kasus 3 :

   Seorang Pengusaha bahan kimia membuat 2 macam cairan

pembunuh serangga, yaitu jenis superior (C ) dan jenis standar (C ),

_{1 2} kedua jenis cairan dibuat dari 2 macam bahan yang sama, yaitu A dan B dengan komposisi yang berbeda.

  

Setiap liter cairan jenis superior dibuat dari campuran 1 unit bahan A

dan 3 unit bahan B, sedangkan setiap liter jenis standar dibuat dari

campuran 2 unit bahan A dan 1 unit bahan B. Karena keterbatasan

pasokan, setiap hari ia hanya dapat memperoleh 20 unit bahan A dan

   Untuk setiap liter cairan jenis superior yang ia buat, akan

  

Penyelesaian :

   Variabel keputusan yang harus ditentukan adalah jumlah (liter) cairan kedua jenis yang harus dibuat maksimum.

   Karena ada 2 cairan penentu keuntungan, maka ada 2 variabel keputusan.

   Misalkan;

   x =jumlah cairan jenis superior

   Fungsi sasaran yang akan dimaksimumkan adalah keuntungan.

   Untuk tiap liter cairan C , keuntungan yang didapat

  1 adalah 30.000, maka jika dibuat x 1 liter C 1 , keuntungan yang didapat adalah 30.000 C .

  1 

  Cairan C 2 , keuntungan yang diperoleh 20.000, jika dibuat x liter C , dan keuntungan yang didapat 20.000x .

  2

  2

  2 

Dengan demikian, keuntungan yang didapat jika dibuat dibuat x liter C dan x liter C adalah sebesar

  1

  1

  2

  2

   Variabel kendala:

  

Bahan Cairan Cairan Pasokan

Superior (C ) Standar (C ) Maksimu _{1 2} m A

  1

  2

  20 B

  3

  1

  20 Untung 30.000 20.000 

  Bahan A : 

  Setiap liter C , membutuhkan 1 unit bahan A, maka untuk

  1 membuat x liter C dibutuhkan 1x =x unit bahan A.

  1

  1

  1

  1

  

  Secara keseluruhan, untuk membuat x liter

  1 C dan x liter C dibutuhkan bahan A

  1

  2

  2 sejumlah x +2x unit.

  

  Karena persediaan bahan A sejumlah 20 unit, maka jumlah bahan A yang digunakan utk membuat C dan C tidak boleh lebih

  1

  2 dari 20 unit. Didapat kendala : x +2x ≤20.

  

  Bahan B:

  

  Untuk membuat x liter C dan x liter C

  1

  1

  2

  2 dibutuhkan bahan B sejumlah 3x +x .

  

  Karena terbatasnya persediaan, hanya tersedia 20 unit, maka kendala yang harus dipenuhi adl : 3x +x ≤20

  1

  2

• 20.000x

  Kendala : x

  1 ,x

  x

  

  2 ≤20

  1

  3x

  2 ≤20

  1

  

  2

  1

  2 )=30.000x

  1 ,x

  Maksimumkan f(x

  

  Model untuk masalah pengusaha kimia tsb adl sbb:

  

• 2x
• x

  2 ≥0

Penyelesaian grafik

  

  Kendala x +2x ≤20 (pertidaksamaan), ubah

  1

  2 kebentuk persamaan x +2x =20.

  1

  2

  

  1

  2 titik berbeda yg memenuhi persamaan.

  

  Misal, isikan variabel = 0, utk x =0,

  1

  

  maka 0+2x =20

  2

  

  Variabel=0, utk x

  2 =0,

  

  Maka x

• 2(0)=20 x

  1

  1 =20

  

  Didapat titik B(20,0) x ₂ A(0,10) B(20,0) x ₁ x +2x =20 _{1 2}

x ₂ A(0,10) B(20,0) x ₁

   Penggambaran bidang kendala 3x 1 +x 2 ≤20, dibuat persamaan 3x

  1 +x 2 =20 

  Diujikan, misal variabel=0 utk x 1 =0 

  Maka 3(0)+x

  2 =20

   x 2 =20

   Didapat titik C(0,20)

   Variabel=0 utk x 2 =0

   Maka 3x 1 +(0)=20 x ₂ C(0,20) A(0,10)

  B(20,0) x ₁ D(20/3,0) x +2x =20 _{1 2} 3x +x =20

  

  Jika kembali diambil titik (0,0) sebagai titik uji utk memenuhi bidang pertidaksamaan 3x +x ≤20 maka didapat 3(0)+0 ≤20 yang

  1

  2 merupakan pertidaksamaan yang benar.

Jadi penyelesaian pertidaksamaan 3x +x ≤20 adalah segitiga COD

  1

  2 x ₂ C(0,20) A(0,10) E

  B(20,0) x ₁ D(20/3,0) x +2x =20 _{1 2} 3x +x =20

   Kemudian mencari koordinat daerah fisibel, titik E.

  Karena E merupakan perpotongan x +2x =20 dan

  1

  2 3x +x =20, maka koordinat dengan

  1

  2 menyelesaikan kedua persamaan tsb:

   x +2x =20 (1x) x +2x =20

  1

  2

  1

  2 

  3x 1 +x 2 =20 (2x) 6x

1 +2x

2 =40 

• 5x =-20

  1  x =4

  1

  

Langkah terakhir yaitu menentukan nilai fungsi dititik-

titik sudut daerah fisible.

  

Nilai fungsi maksimum terjadi pada titik E(4,8) dengan

  Titik Sudut Daerah Fisibel Nilai Fungsi = f(x1,x2) = 3x ₁ +2x ₂ O (0,0) 3(0)+2(0)=0 A (0,10) 3(0)+2(10)=20 E (4,8) 3(4)+2(8)=28 D (20/3,0) 3(20/3)+2(0)=20

   Kasus 4 :

   Seorang wirausaha membuat produk shampo mobil, yaitu Washcar Extra (W ) dan Washcar Standar (W ), keduanya

  1

  2 dibuat dengan bahan yang sama Natrium Karbonat (NK) dan Natrium Bikarbonat (NB) dengan komposisi yang berbeda.

  

Setiap liter Washcar Extra dibuat dari 2 unit bahan NK dan 4

unit bahan NB sedangkan setiap liter Washcar Standar dibuat dari campuran 4 unit NK dan 1 unit NB. Dan setiap

hari hanya mendapat 20 unit NK dan 20 unit NB dari suplier.

  

Keuntungan yang diperoleh produk Washcar Extra sebesar

  

  End of Day