Dimensi tiga jarak dlm dimensi
Dimensi Tiga
(Jarak)
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
jarak antara unsur-unsur dalam
ruang dimensi tiga
2
Kita akan membahas jarak antara:
titik ke titik
titik ke garis
titik ke bidang
garis ke garis
garis ke bidang
bidang ke bidang
3
Jarak titik ke titik
B
Ja
ra
k
du
a
t it
ik
Peragaan ini,
menunjukan
jarak titik A ke B,
adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan
titik A ke B
A
4
Contoh
E
A
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
H
P
G
dengan
F
panjang rusuk a cm.
a cm
Tentukan jarak
titik A ke C,
D
C
a cm
titik A ke G,
a cm
B
dan jarak titik A ke
tengah-tengah bidang EFGH
5
Pembahasan
E
A
Perhatikan
segitiga ABC yang
H
G siku-siku di B, maka
2
2
AB
BC
F
AC = 2 2
a cm
a a
=
2
2a
D
C
=
a cm
a 2
B
a cm
=
a 2
Jadi diagonal sisi AC =
cm
6
Jarak AG = ?
Perhatikan
segitiga ACG yang
H
G siku-siku di C, maka
2
2
AC
CG
E
F
AG =
( a 2 )2 a 2
a cm
=
2
2
2a a
D
C
=
2
a cm
a 3
3
a
A
B
a cm
=
=
a 3
Jadi diagonal ruang AG =
cm
7
Jarak AP = ?
Perhatikan
segitiga AEP yang
H
P
G
siku-siku
di
E,
maka
E
F
AE 2 EP 2
AP = 2
2
1
a 2 a 2
=
D
C
a 2 21 a 2
A
=
a cm
B
3 2
1
a
a 6
2
2
=1
=
a 6
2
Jadi jarak A ke P =
cm
8
Jarak titik ke Garis
Jar
ak
titik
dan
gar
is
A
g
Peragaan ini,
menunjukan
jarak titik A ke
garis g adalah
panjang ruas garis
yang ditarik dari
titik A dan tegak
lurus garis g
9
H
E
G
F
5 cm
D
A
C
5 cm
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 5 cm.
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah….
10
H
E
G
Pembahasan
F
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah
D
C panjang ruas garis
5 cm
A
B
AH, (AH HG)
a 2
AH =
(AH diagonal sisi)
5 2
AH =
Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm
5 cm
11
H
G
E
F
6 cm
D
A
C
6 cm
B
Contoh 2
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak titik B ke
diagonal AG
adalah….
12
H
G
F
cm
6√
3
cm
E
6 √2
P
D
A
B
6 cm
6√
3
G
P ?
A
6
6√2
B
C
Pembahasan
Jarak B ke AG =
jarak B ke P (BPAG)
Diagonal sisi BG =
6√2 cm
Diagonal ruang AG
= 6√3 cm
Lihat segitiga ABG
13
6√
3
G
P ?
A
6
6√2
Lihat segitiga
ABG
BP
BG
Sin A = AG = AB
6 2
6 3
B
BP =
( 6 2 )( 6 )
6 3
x
=
3
3
BP
6
2
6 6
3
BP = 2√6
Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm
14
Contoh 3
12√
2c
m
T
D
A
12 cm
Diketahui T.ABCD
limas beraturan.
Panjang rusuk alas
12 cm, dan panjang
C rusuk tegak
12√2 cm. Jarak A
B
ke TC adalah….
15
Pembahasan
T
A
2
6√
12√
2c
m
2
6√
D
Jarak A ke TC = AP
AC = diagonal persegi
= 12√22
AC PC 2
AP
=
P
( 12 2 ) 2 ( 6 2 ) 2
=
2( 144 36 ) 2.108
=
C
2.3.36 6 6
=
B Jadi jarak A ke TC
= 6√6 cm
12√2
12 cm
16
H
PG
E
F
D
A
C
6 cm
B
6 cm
Contoh 4
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm dan
Titik P pada pertengahan FG.
Jarak titik A dan garis DP adalah….
17
PG
E
F
D
A
C
6 cm
DP =
=
=
6 cm
B
DG 2 GP 2
G
6√2 cm
H
Pembahasan
3 cm P
D
F
Q
R
6 cm
A
( 6 2 )2 3 2
72 9 9
18
Pembahasan
3 cm P
72 9 9
DP =
G
6√2 cm
Luas segitiga ADP
Q
½DP.AQ = ½DA.PR
4
9.AQ = 6.6√2
D 6 cm
R
AQ = 4√2
Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm
F
A
19
Garis tegak lurus
Bidang
Garis tegak lurus
g
V
a
b
g a, g b,
Jadi g V
sebuah bidang
jika garis tersebut
tegak lurus dua
buah garis berpotongan yang terdapat pada bidang
20
Jarak titik ke bidang
A
V
Peragaan ini
menunjukan jarak
antara titik A ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus titik A
ke bidang V
21
H
G
E
F
D
A
P
10 cm
C
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 10 cm
Jarak titik A ke
bidang BDHF
adalah….
22
H
G
Pembahasan
Jarak titik A ke
E
F
bidang BDHF
diwakili oleh
D
P
C panjang AP.(APBD)
AP = ½ AC (ACBD)
A
B
10 cm
= ½.10√2
= 5√2
Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm
23
Contoh 2
12
cm
T
D
A
8 cm
Diketahui limas
segi-4 beraturan
T.ABCD.
Panjang AB = 8 cm
C dan TA = 12 cm.
Jarak titik T ke
bidang ABCD
B
adalah….
24
Pembahasan
12
cm
T
D P
A
8 cm
Jarak T ke ABCD
= Jarak T ke
perpotongan AC
dan BD
C = TP
AC diagonal persegi
AC = 8√2
B
AP = ½ AC = 4√2
25
AP = ½ AC
=
4√2
2
2
TP = AT2 AP 2
= 12 ( 4 2 )
= 144 32
112
=
C
= 4√7
12
c
m
T
D P
A
8 cm
B
Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm
26
H
G
E
F
D
A
C
9 cm
B
Contoh 3
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 9 cm.
Jarak titik C ke
bidang BDG
adalah….
27
H
G
Pembahasan
Jarak titik C ke
E
F
bidang BDG = CP
yaitu ruas garis
P
D
C yang dibuat melalui
T
A
titik C dan tegak
9 cm
B
lurus GT
CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3
Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm
28
Jarak garis ke garis
P
Q
g
h
Peragaan
menunjukan jarak
antara garis g ke
garis h adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus kedua
garis tersebut
29
H
G
E
D
A
4 cm
Contoh
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
dengan panjang
C rusuk 4 cm.
Tentukan jarak:
B
a.Garis AB ke garis HG
b.Garis AD ke garis HF
c.Garis BD ke garis EG
30
Penyelesaian
G Jarak garis:
a. AB ke garis
F
H
E
HG
= AH (AH AB,
D
A
C
4 cm
B
AH HG)
= 4√2 (diagonal sisi)
b.AD ke garis HF
= DH (DH AD,
DH
= 4 cm
HF
31
E
H Q
D
A
P
4 cm
G
F
B
Penyelesaian
Jarak garis:
b.BD ke garis EG
C = PQ (PQ BD,
PQ
= AE
= 4 cm
EG
32
Jarak garis ke bidang
g
V
Peragaan
menunjukan
Jarak antara
garis g ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus garis
dan bidang
33
H
G
E
F
P
D
A
8 cm
C
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 8 cm
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
adalah….
34
Pembahasan
H
E
F
P
D
A
8 cm
B
G Jarak
garis AE ke
bidang BDHF
diwakili oleh
Cpanjang AP.(AP AE
AP BDHF)
AP = ½ AC(ACBDHF)
= ½.8√2
= 4√2
Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm
35
Jarak Bidang dan
Bidang
peragaan,
Jarak Dua Bidang
menunjukan jarak
antara bidang W
dengan bidang V
adalah panjang
ruas garis yang
tegak lurus
bidang W dan
tegak lurus bidang V
W
V
36
H
G
E
F
6 cm
D
A
C
6 cm
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
adalah….
37
H
G
Pembahasan
Jarak bidang AFH
E
F
ke bidang BDG
Q
6 cm
diwakili oleh PQ
P
D
C PQ = ⅓ CE
A
(CE diagonal ruang)
6 cm
B
PQ = ⅓. 9√3
= 3√3
Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm
38
H
G
E
F
M
D
A
L
12 cm
BK
C
Contoh 2
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 12 cm.
Titik K, L dan M berturut-turut
merupakan titik tengah BC, CD
dan CG. Jarak antara bidang
AFH dan KLM adalah….
39
H
G
E
F
D
A
L
12 cm
B
Pembahasan
•Diagonal EC = 12√3
•Jarak E ke AFH
=jarak AFH ke BDG
C
=jarak BDG ke C
Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC
=⅓.12√3
= 4√3
Berarti jarak BDG ke C juga 4√3
40
H
G
E
D
A
BDG ke C juga 4√3
M Jarak BDG ke KLM
= jarak KLM ke C
C
=
½.4√3
K
B
= 2√3
F
L
12 cm
Jadi jarak AFH ke KLM =
jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM
= 4√3 + 2√3
= 6√3 cm
41
SELAMAT BELAJAR
42
(Jarak)
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
jarak antara unsur-unsur dalam
ruang dimensi tiga
2
Kita akan membahas jarak antara:
titik ke titik
titik ke garis
titik ke bidang
garis ke garis
garis ke bidang
bidang ke bidang
3
Jarak titik ke titik
B
Ja
ra
k
du
a
t it
ik
Peragaan ini,
menunjukan
jarak titik A ke B,
adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan
titik A ke B
A
4
Contoh
E
A
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
H
P
G
dengan
F
panjang rusuk a cm.
a cm
Tentukan jarak
titik A ke C,
D
C
a cm
titik A ke G,
a cm
B
dan jarak titik A ke
tengah-tengah bidang EFGH
5
Pembahasan
E
A
Perhatikan
segitiga ABC yang
H
G siku-siku di B, maka
2
2
AB
BC
F
AC = 2 2
a cm
a a
=
2
2a
D
C
=
a cm
a 2
B
a cm
=
a 2
Jadi diagonal sisi AC =
cm
6
Jarak AG = ?
Perhatikan
segitiga ACG yang
H
G siku-siku di C, maka
2
2
AC
CG
E
F
AG =
( a 2 )2 a 2
a cm
=
2
2
2a a
D
C
=
2
a cm
a 3
3
a
A
B
a cm
=
=
a 3
Jadi diagonal ruang AG =
cm
7
Jarak AP = ?
Perhatikan
segitiga AEP yang
H
P
G
siku-siku
di
E,
maka
E
F
AE 2 EP 2
AP = 2
2
1
a 2 a 2
=
D
C
a 2 21 a 2
A
=
a cm
B
3 2
1
a
a 6
2
2
=1
=
a 6
2
Jadi jarak A ke P =
cm
8
Jarak titik ke Garis
Jar
ak
titik
dan
gar
is
A
g
Peragaan ini,
menunjukan
jarak titik A ke
garis g adalah
panjang ruas garis
yang ditarik dari
titik A dan tegak
lurus garis g
9
H
E
G
F
5 cm
D
A
C
5 cm
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 5 cm.
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah….
10
H
E
G
Pembahasan
F
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah
D
C panjang ruas garis
5 cm
A
B
AH, (AH HG)
a 2
AH =
(AH diagonal sisi)
5 2
AH =
Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm
5 cm
11
H
G
E
F
6 cm
D
A
C
6 cm
B
Contoh 2
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak titik B ke
diagonal AG
adalah….
12
H
G
F
cm
6√
3
cm
E
6 √2
P
D
A
B
6 cm
6√
3
G
P ?
A
6
6√2
B
C
Pembahasan
Jarak B ke AG =
jarak B ke P (BPAG)
Diagonal sisi BG =
6√2 cm
Diagonal ruang AG
= 6√3 cm
Lihat segitiga ABG
13
6√
3
G
P ?
A
6
6√2
Lihat segitiga
ABG
BP
BG
Sin A = AG = AB
6 2
6 3
B
BP =
( 6 2 )( 6 )
6 3
x
=
3
3
BP
6
2
6 6
3
BP = 2√6
Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm
14
Contoh 3
12√
2c
m
T
D
A
12 cm
Diketahui T.ABCD
limas beraturan.
Panjang rusuk alas
12 cm, dan panjang
C rusuk tegak
12√2 cm. Jarak A
B
ke TC adalah….
15
Pembahasan
T
A
2
6√
12√
2c
m
2
6√
D
Jarak A ke TC = AP
AC = diagonal persegi
= 12√22
AC PC 2
AP
=
P
( 12 2 ) 2 ( 6 2 ) 2
=
2( 144 36 ) 2.108
=
C
2.3.36 6 6
=
B Jadi jarak A ke TC
= 6√6 cm
12√2
12 cm
16
H
PG
E
F
D
A
C
6 cm
B
6 cm
Contoh 4
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm dan
Titik P pada pertengahan FG.
Jarak titik A dan garis DP adalah….
17
PG
E
F
D
A
C
6 cm
DP =
=
=
6 cm
B
DG 2 GP 2
G
6√2 cm
H
Pembahasan
3 cm P
D
F
Q
R
6 cm
A
( 6 2 )2 3 2
72 9 9
18
Pembahasan
3 cm P
72 9 9
DP =
G
6√2 cm
Luas segitiga ADP
Q
½DP.AQ = ½DA.PR
4
9.AQ = 6.6√2
D 6 cm
R
AQ = 4√2
Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm
F
A
19
Garis tegak lurus
Bidang
Garis tegak lurus
g
V
a
b
g a, g b,
Jadi g V
sebuah bidang
jika garis tersebut
tegak lurus dua
buah garis berpotongan yang terdapat pada bidang
20
Jarak titik ke bidang
A
V
Peragaan ini
menunjukan jarak
antara titik A ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus titik A
ke bidang V
21
H
G
E
F
D
A
P
10 cm
C
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 10 cm
Jarak titik A ke
bidang BDHF
adalah….
22
H
G
Pembahasan
Jarak titik A ke
E
F
bidang BDHF
diwakili oleh
D
P
C panjang AP.(APBD)
AP = ½ AC (ACBD)
A
B
10 cm
= ½.10√2
= 5√2
Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm
23
Contoh 2
12
cm
T
D
A
8 cm
Diketahui limas
segi-4 beraturan
T.ABCD.
Panjang AB = 8 cm
C dan TA = 12 cm.
Jarak titik T ke
bidang ABCD
B
adalah….
24
Pembahasan
12
cm
T
D P
A
8 cm
Jarak T ke ABCD
= Jarak T ke
perpotongan AC
dan BD
C = TP
AC diagonal persegi
AC = 8√2
B
AP = ½ AC = 4√2
25
AP = ½ AC
=
4√2
2
2
TP = AT2 AP 2
= 12 ( 4 2 )
= 144 32
112
=
C
= 4√7
12
c
m
T
D P
A
8 cm
B
Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm
26
H
G
E
F
D
A
C
9 cm
B
Contoh 3
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 9 cm.
Jarak titik C ke
bidang BDG
adalah….
27
H
G
Pembahasan
Jarak titik C ke
E
F
bidang BDG = CP
yaitu ruas garis
P
D
C yang dibuat melalui
T
A
titik C dan tegak
9 cm
B
lurus GT
CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3
Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm
28
Jarak garis ke garis
P
Q
g
h
Peragaan
menunjukan jarak
antara garis g ke
garis h adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus kedua
garis tersebut
29
H
G
E
D
A
4 cm
Contoh
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
dengan panjang
C rusuk 4 cm.
Tentukan jarak:
B
a.Garis AB ke garis HG
b.Garis AD ke garis HF
c.Garis BD ke garis EG
30
Penyelesaian
G Jarak garis:
a. AB ke garis
F
H
E
HG
= AH (AH AB,
D
A
C
4 cm
B
AH HG)
= 4√2 (diagonal sisi)
b.AD ke garis HF
= DH (DH AD,
DH
= 4 cm
HF
31
E
H Q
D
A
P
4 cm
G
F
B
Penyelesaian
Jarak garis:
b.BD ke garis EG
C = PQ (PQ BD,
PQ
= AE
= 4 cm
EG
32
Jarak garis ke bidang
g
V
Peragaan
menunjukan
Jarak antara
garis g ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus garis
dan bidang
33
H
G
E
F
P
D
A
8 cm
C
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 8 cm
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
adalah….
34
Pembahasan
H
E
F
P
D
A
8 cm
B
G Jarak
garis AE ke
bidang BDHF
diwakili oleh
Cpanjang AP.(AP AE
AP BDHF)
AP = ½ AC(ACBDHF)
= ½.8√2
= 4√2
Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm
35
Jarak Bidang dan
Bidang
peragaan,
Jarak Dua Bidang
menunjukan jarak
antara bidang W
dengan bidang V
adalah panjang
ruas garis yang
tegak lurus
bidang W dan
tegak lurus bidang V
W
V
36
H
G
E
F
6 cm
D
A
C
6 cm
B
Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
adalah….
37
H
G
Pembahasan
Jarak bidang AFH
E
F
ke bidang BDG
Q
6 cm
diwakili oleh PQ
P
D
C PQ = ⅓ CE
A
(CE diagonal ruang)
6 cm
B
PQ = ⅓. 9√3
= 3√3
Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm
38
H
G
E
F
M
D
A
L
12 cm
BK
C
Contoh 2
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 12 cm.
Titik K, L dan M berturut-turut
merupakan titik tengah BC, CD
dan CG. Jarak antara bidang
AFH dan KLM adalah….
39
H
G
E
F
D
A
L
12 cm
B
Pembahasan
•Diagonal EC = 12√3
•Jarak E ke AFH
=jarak AFH ke BDG
C
=jarak BDG ke C
Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC
=⅓.12√3
= 4√3
Berarti jarak BDG ke C juga 4√3
40
H
G
E
D
A
BDG ke C juga 4√3
M Jarak BDG ke KLM
= jarak KLM ke C
C
=
½.4√3
K
B
= 2√3
F
L
12 cm
Jadi jarak AFH ke KLM =
jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM
= 4√3 + 2√3
= 6√3 cm
41
SELAMAT BELAJAR
42