Model Optimasi Untuk Persoalan Persediaan Deterministik Dengan Adanya Backorder Parsial
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Banyak penelitian yang mengusulkan model persediaan dengan backorder seperti Pentico dan Drake (2009), Pentico et al., (2009) dan Pentico et al., (2011), tetapi sangat
sedikit yang digunakan model deterministik untuk EOQ dan EPQ dengan backorder
parsial, Pentico dan Drake (2011), yang lebih ke pendekatan ekonomi, maka penelitian
ini akan dikembangkan lagi dengan menggunakan pendekatan nonlinier.
2.1
Persediaan
Chase et al., (2004) memperkenalkan persediaan adalah stok dari beberapa item
atau sumber daya yang digunakan dalam suatu organisasi. Suatu sistem persediaan
merupakan suatu set kebijaksanaan dan pengendalian dalam memonitor tingkat persediaan dan menentukan tingkat persediaan yang harus dijaga, kapan persediaan harus
disediakan dan berapa jumlah persediaan yang harus dipesan.
Hu et al., (2009) mengusulkan bahwa inti dari pengendalian persediaan yaitu untuk menyeimbangkan persediaan, pemesanaan shortage dalam perdangangan. Dimana
hasil dari persediaan memegang peranan yang lebih besar yang membuat keuntungan
lebih tinggi tetapi menurunkan biaya pemesanan dan biaya backorder atau kehilangan
penjualan (lost sales).
2.2 Model Optimasi Deterministik
Dalam beberapa masalah optimasi, suatu model tidak sepenuhnya dapat ditentukan karena bergantung pada jumlah yang tidak diketahui pada saat formulasi. Suatu
pemodelan dapat memprediksi atau memperkirakan jumlah yang tidak diketahui dengan beberapa derajat kepercayaan, misalnya dengan memberikan beberapa kemungkinan masalah untuk nilai dari jumlah yang tidak diketahui dan bahkan menetapkan
probabilitas (peluang) untuk masing-masing masalah. Algoritma optimasi probabilistik menggunakan kuantitas ketidakpastian untuk menghasilkan solusi yang mengoptimalkan kinerja yang diharapkan dari model. Sedang optimasi deterministic menggu4
Universitas Sumatera Utara
5
nakan parameter yang sepenuhnya ditentukan (pasti). Maka fokus pada penelitian ini
dengan optimasi deterministic atau disebut juga optimasi matematis.
2.3
Model Optimasi dengan Pendekatan Program Matematika
Optimasi sering disebut dalam pemrograman matematika, sebuah istilah yang
agak membingungkan karena menunjukkan penulisan program komputer dengan orientasi matematika. Perumusan masalah, desain algoritma dan analisis.
Permasalahan optimisasi merupakan suatu permasalahan untuk mengoptimalkan
suatu fungsi objektif atau tujuan. Mengoptimalkan suatu fungsi objektif dapat berupa
meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsi objektif. Fungsi objektif dapat
berbentuk linear atau tak linear. Jika fungsi objektif berbentuk tak linear, maka permasalahan optimisasi dinamakan optimisasi tak linear. Suatu fungsi objektif dapat
memiliki kendala dari Nocedal dan Wright (2006). Secara umum, permasalahan optimisasi tak linear tanpa kendala dapat dinyatakan dalam bentuk:
min f(x)
x∈X
dengan x ∈ Rn yang merupakan variabel keputusan, f(x) merupakan fungsi objektif tak
linear, dan X = Rn merupakan daerah layak. Secara umum, permasalahan optimisasi
tak linear berkendala dapat dinyatakan dalam bentuk:
min f(x)
x∈Rn
dengan
ci (x) = 0 : i ∈ ε
ci (x) > 0 : i ∈ I
dengan ε merupakan himpunan indeks dari kendala-kendala persamaan dan I merupakan himpunan indeks dari kendala-kendala pertidaksamaan dari Sun dan Yuan (2006).
2.4 Model Persediaan Deterministik
Dalam model persediaan deterministik parameter-parameter yang berpengaruh
terhadap sistem persediaan dapat diketahui dengan pasti. Rata-rata kebutuhan dari
Universitas Sumatera Utara
6
biaya-biaya persediaan diasumsi diketahui dengan pasti. Lamanya lead time juga diasumsikan selalu tetap karena semua parameter bersifat deterministik, maka tidak
dimungkinkan adanya kekurangan persediaan. Model deterministik terkadang merupakan pendekatan yang sangat baik atau paling tidak merupakan langkah awal yang
baik untuk menggambarkan fenomena persediaan.
2.5 Model Optimasi Persediaan Deterministik
Jadi dari uraian diatas model optimasi persediaan deterministik adalah permasalahan untuk mengoptimalkan suatu fungsi persdiaan yang parameter-parameternya sudah
diketahui pasti. Disini mengoptimalkan suatu fungsi objektif tak linier dipilih meminimumkan fungsi persediaan dengan kendala-kendala biaya-biaya yang ditimbulkan oleh
persediaan itu sendiri.
2.6 Model Persediaan dengan Backorder Parsial
Backorder adalah permintaan yang belum dapat dipenuhi, tetapi kemudian dapat
dipenuhi pada periode berikutnya. Di dalam situasi yang bersifat backorder, suatu perusahaan tidak kehilangan penjualan ketika persediaan habis, karena konsumen bersedia menunggu pesanannya terpenuhi pada tahap produksi selanjutnya, perusahaan mengalami kekurangan persediaan (stockout) dan memenuhinya dengan cara backorder,
sedangkan jika konsumen tidak bersedia menunggu, maka perusahaan akan mengalami
penjualan hilang (lost sales). Sedangkan yang dimaksud backorder parsial adalah untuk
menentukan jumlah persediaan yang habis ketika adanya permintaan dari konsumen
yang tidak dapat dipenuhi. Masalah backorder parsial dapat ditemukan dalam beberapa literatur penelitian yang akan dijelaskan pada model-model persediaan deterministik
yang akan ditunjukkan pada bagian berikutnya.
2.7 Program Pendekatan Nonlinier
Beberapa literatur penelitian telah menunjukkan model deterministik dengan
backorder parsial menggunakan model EOQ-PBO dan EPQ-PBO maupun keduanya
Pentico dan Drake (2009), Pentico et al., (2009), Pentico et al., (2011), dan Pentico
dan Drake (2011), ataupun Hu et al., (2009) menggunakan model persediaan dengan
backorder parsial dengan mengaitkannya pada unit backorder untuk harga meningkat
Universitas Sumatera Utara
7
linier dengan waktu tunggu. Maka akan dikembangkan model optimasi persediaan
dengan menggunakan pendekatan program nonlinier.
Nocedal dan Wright (1999) menyatakan pendekatan matematika untuk menentukan iterasi optimasi algoritma dimulai dengan mengawali menebak keoptimalan pada
nilai-nilai variabel dan menghasilkan urutan perkiraan peningkatan sampai mencapai
semua solusi. Strategi yang digunakan berpindah dari satu iterasi ke iterasi berikutnya untuk membedakan satu algoritma dari algoritma yang lain. Kebanyakan strategi memanfaatkan nilai-nilai fungsi obyektif f(x), dengan kendala ci (x), dan menggunakan fungsi turunan pertama dan kedua pada fungsi tersebut. Beberapa algoritma
mengumpulkan informasi pada iterasi sebelumnya, sementara yang lain hanya menggunakan informasi solusi lokal dari titik yang ditemukan. Algoritma optimasi tercepat
hanya mencari solusi lokal, dimana ditemukannya suatu titik fungsi objektif yang lebih
kecil dari pada semua titik layak lainnya di sekitarnya. Titik ini tidak selalu merupakan
titik terbaik dari semua titik minimal yang ditemukan maka disebut solusi global. Solusi
global diperlukan dalam beberapa aplikasi, tetapi biasanya sulit untuk mengidentifikasi
dan bahkan lebih sulit untuk menemukannya. Sebuah kasus khusus yang penting adalah
pemrograman konveks, di mana semua solusi lokal juga solusi global. Masalah pemrograman linier jatuh dalam kategori pemrograman konveks. Namun, masalah nonlinier
umum, baik dibatasi dan tidak dibatasi, mungkin memiliki solusi lokal yang bukan
solusi global.
2.8 Pengali Lagrange
Nocedal dan Wright (1999) memperkenalkan fungsi lagrange dengan:
L(x, λ1 ) = f(x) − λ1 c1 (x)
dan menuliskan bahwa ∇x L(x, λ1 ) = ∇f(x) − λ1 ∇c1(x). Pada solusi x∗ ada skalar λ∗1 ,
sehingga
∇x L(x∗ , λ∗1 ) = 0
Pernyataan tersebut menyatakan bahwa dapat mencari solusi dari masalah persamaan berkendala dengan mencari titik-titik stasioner dari fungsi lagrange. Kuantitas
skalar ini disebut suatu pengali lagrange untuk kendala ci (x) = 0.
Universitas Sumatera Utara
8
2.9 Sistem KKT
Menggunakan titik x∗ dan himpunan aktif A(x∗) yang dinyatakan dengan linear
independence constraint qualification LICQ jika himpunan dari kendala yang aktif
{∇Ci (x∗),
i ∈ A(x∗)} disebut linier bebas. Dengan catatan jika berpatokan pada
kondisi ini, tak satupun dari kendala yang aktif adalah nol. Kondisi ini memungkinkan
untuk menyatakan kondisi yang optimal pada masalah program nonlinier yang umum.
Kondisi yang diperlukan pada orde pertama Dengan menghendaki x∗ solusi local yang
berpegangan pada LICQ pada x∗, kemudian ada vector pengali lagrange λ. Kondisi ini
dikenal dengan Karush Kuhn Tucker atau disingkat KKT. Kondisi ini menghubungkan
pengali lagrange dengan kendala pertidaksamaan yang tidak aktif yaitu nol (Nocedal
dan Wright, 1999).
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Banyak penelitian yang mengusulkan model persediaan dengan backorder seperti Pentico dan Drake (2009), Pentico et al., (2009) dan Pentico et al., (2011), tetapi sangat
sedikit yang digunakan model deterministik untuk EOQ dan EPQ dengan backorder
parsial, Pentico dan Drake (2011), yang lebih ke pendekatan ekonomi, maka penelitian
ini akan dikembangkan lagi dengan menggunakan pendekatan nonlinier.
2.1
Persediaan
Chase et al., (2004) memperkenalkan persediaan adalah stok dari beberapa item
atau sumber daya yang digunakan dalam suatu organisasi. Suatu sistem persediaan
merupakan suatu set kebijaksanaan dan pengendalian dalam memonitor tingkat persediaan dan menentukan tingkat persediaan yang harus dijaga, kapan persediaan harus
disediakan dan berapa jumlah persediaan yang harus dipesan.
Hu et al., (2009) mengusulkan bahwa inti dari pengendalian persediaan yaitu untuk menyeimbangkan persediaan, pemesanaan shortage dalam perdangangan. Dimana
hasil dari persediaan memegang peranan yang lebih besar yang membuat keuntungan
lebih tinggi tetapi menurunkan biaya pemesanan dan biaya backorder atau kehilangan
penjualan (lost sales).
2.2 Model Optimasi Deterministik
Dalam beberapa masalah optimasi, suatu model tidak sepenuhnya dapat ditentukan karena bergantung pada jumlah yang tidak diketahui pada saat formulasi. Suatu
pemodelan dapat memprediksi atau memperkirakan jumlah yang tidak diketahui dengan beberapa derajat kepercayaan, misalnya dengan memberikan beberapa kemungkinan masalah untuk nilai dari jumlah yang tidak diketahui dan bahkan menetapkan
probabilitas (peluang) untuk masing-masing masalah. Algoritma optimasi probabilistik menggunakan kuantitas ketidakpastian untuk menghasilkan solusi yang mengoptimalkan kinerja yang diharapkan dari model. Sedang optimasi deterministic menggu4
Universitas Sumatera Utara
5
nakan parameter yang sepenuhnya ditentukan (pasti). Maka fokus pada penelitian ini
dengan optimasi deterministic atau disebut juga optimasi matematis.
2.3
Model Optimasi dengan Pendekatan Program Matematika
Optimasi sering disebut dalam pemrograman matematika, sebuah istilah yang
agak membingungkan karena menunjukkan penulisan program komputer dengan orientasi matematika. Perumusan masalah, desain algoritma dan analisis.
Permasalahan optimisasi merupakan suatu permasalahan untuk mengoptimalkan
suatu fungsi objektif atau tujuan. Mengoptimalkan suatu fungsi objektif dapat berupa
meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsi objektif. Fungsi objektif dapat
berbentuk linear atau tak linear. Jika fungsi objektif berbentuk tak linear, maka permasalahan optimisasi dinamakan optimisasi tak linear. Suatu fungsi objektif dapat
memiliki kendala dari Nocedal dan Wright (2006). Secara umum, permasalahan optimisasi tak linear tanpa kendala dapat dinyatakan dalam bentuk:
min f(x)
x∈X
dengan x ∈ Rn yang merupakan variabel keputusan, f(x) merupakan fungsi objektif tak
linear, dan X = Rn merupakan daerah layak. Secara umum, permasalahan optimisasi
tak linear berkendala dapat dinyatakan dalam bentuk:
min f(x)
x∈Rn
dengan
ci (x) = 0 : i ∈ ε
ci (x) > 0 : i ∈ I
dengan ε merupakan himpunan indeks dari kendala-kendala persamaan dan I merupakan himpunan indeks dari kendala-kendala pertidaksamaan dari Sun dan Yuan (2006).
2.4 Model Persediaan Deterministik
Dalam model persediaan deterministik parameter-parameter yang berpengaruh
terhadap sistem persediaan dapat diketahui dengan pasti. Rata-rata kebutuhan dari
Universitas Sumatera Utara
6
biaya-biaya persediaan diasumsi diketahui dengan pasti. Lamanya lead time juga diasumsikan selalu tetap karena semua parameter bersifat deterministik, maka tidak
dimungkinkan adanya kekurangan persediaan. Model deterministik terkadang merupakan pendekatan yang sangat baik atau paling tidak merupakan langkah awal yang
baik untuk menggambarkan fenomena persediaan.
2.5 Model Optimasi Persediaan Deterministik
Jadi dari uraian diatas model optimasi persediaan deterministik adalah permasalahan untuk mengoptimalkan suatu fungsi persdiaan yang parameter-parameternya sudah
diketahui pasti. Disini mengoptimalkan suatu fungsi objektif tak linier dipilih meminimumkan fungsi persediaan dengan kendala-kendala biaya-biaya yang ditimbulkan oleh
persediaan itu sendiri.
2.6 Model Persediaan dengan Backorder Parsial
Backorder adalah permintaan yang belum dapat dipenuhi, tetapi kemudian dapat
dipenuhi pada periode berikutnya. Di dalam situasi yang bersifat backorder, suatu perusahaan tidak kehilangan penjualan ketika persediaan habis, karena konsumen bersedia menunggu pesanannya terpenuhi pada tahap produksi selanjutnya, perusahaan mengalami kekurangan persediaan (stockout) dan memenuhinya dengan cara backorder,
sedangkan jika konsumen tidak bersedia menunggu, maka perusahaan akan mengalami
penjualan hilang (lost sales). Sedangkan yang dimaksud backorder parsial adalah untuk
menentukan jumlah persediaan yang habis ketika adanya permintaan dari konsumen
yang tidak dapat dipenuhi. Masalah backorder parsial dapat ditemukan dalam beberapa literatur penelitian yang akan dijelaskan pada model-model persediaan deterministik
yang akan ditunjukkan pada bagian berikutnya.
2.7 Program Pendekatan Nonlinier
Beberapa literatur penelitian telah menunjukkan model deterministik dengan
backorder parsial menggunakan model EOQ-PBO dan EPQ-PBO maupun keduanya
Pentico dan Drake (2009), Pentico et al., (2009), Pentico et al., (2011), dan Pentico
dan Drake (2011), ataupun Hu et al., (2009) menggunakan model persediaan dengan
backorder parsial dengan mengaitkannya pada unit backorder untuk harga meningkat
Universitas Sumatera Utara
7
linier dengan waktu tunggu. Maka akan dikembangkan model optimasi persediaan
dengan menggunakan pendekatan program nonlinier.
Nocedal dan Wright (1999) menyatakan pendekatan matematika untuk menentukan iterasi optimasi algoritma dimulai dengan mengawali menebak keoptimalan pada
nilai-nilai variabel dan menghasilkan urutan perkiraan peningkatan sampai mencapai
semua solusi. Strategi yang digunakan berpindah dari satu iterasi ke iterasi berikutnya untuk membedakan satu algoritma dari algoritma yang lain. Kebanyakan strategi memanfaatkan nilai-nilai fungsi obyektif f(x), dengan kendala ci (x), dan menggunakan fungsi turunan pertama dan kedua pada fungsi tersebut. Beberapa algoritma
mengumpulkan informasi pada iterasi sebelumnya, sementara yang lain hanya menggunakan informasi solusi lokal dari titik yang ditemukan. Algoritma optimasi tercepat
hanya mencari solusi lokal, dimana ditemukannya suatu titik fungsi objektif yang lebih
kecil dari pada semua titik layak lainnya di sekitarnya. Titik ini tidak selalu merupakan
titik terbaik dari semua titik minimal yang ditemukan maka disebut solusi global. Solusi
global diperlukan dalam beberapa aplikasi, tetapi biasanya sulit untuk mengidentifikasi
dan bahkan lebih sulit untuk menemukannya. Sebuah kasus khusus yang penting adalah
pemrograman konveks, di mana semua solusi lokal juga solusi global. Masalah pemrograman linier jatuh dalam kategori pemrograman konveks. Namun, masalah nonlinier
umum, baik dibatasi dan tidak dibatasi, mungkin memiliki solusi lokal yang bukan
solusi global.
2.8 Pengali Lagrange
Nocedal dan Wright (1999) memperkenalkan fungsi lagrange dengan:
L(x, λ1 ) = f(x) − λ1 c1 (x)
dan menuliskan bahwa ∇x L(x, λ1 ) = ∇f(x) − λ1 ∇c1(x). Pada solusi x∗ ada skalar λ∗1 ,
sehingga
∇x L(x∗ , λ∗1 ) = 0
Pernyataan tersebut menyatakan bahwa dapat mencari solusi dari masalah persamaan berkendala dengan mencari titik-titik stasioner dari fungsi lagrange. Kuantitas
skalar ini disebut suatu pengali lagrange untuk kendala ci (x) = 0.
Universitas Sumatera Utara
8
2.9 Sistem KKT
Menggunakan titik x∗ dan himpunan aktif A(x∗) yang dinyatakan dengan linear
independence constraint qualification LICQ jika himpunan dari kendala yang aktif
{∇Ci (x∗),
i ∈ A(x∗)} disebut linier bebas. Dengan catatan jika berpatokan pada
kondisi ini, tak satupun dari kendala yang aktif adalah nol. Kondisi ini memungkinkan
untuk menyatakan kondisi yang optimal pada masalah program nonlinier yang umum.
Kondisi yang diperlukan pada orde pertama Dengan menghendaki x∗ solusi local yang
berpegangan pada LICQ pada x∗, kemudian ada vector pengali lagrange λ. Kondisi ini
dikenal dengan Karush Kuhn Tucker atau disingkat KKT. Kondisi ini menghubungkan
pengali lagrange dengan kendala pertidaksamaan yang tidak aktif yaitu nol (Nocedal
dan Wright, 1999).
Universitas Sumatera Utara